Страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

23.13 Докажите тождество

$ \cos^2(45^\circ - \alpha) - \cos^2(60^\circ + \alpha) - \cos 75^\circ \sin(75^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha. $

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала рассмотрим разность квадратов косинусов, применив формулу понижения степени $cos²x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

$cos²(45° - α) = \frac{1 + cos(2(45° - α))}{2} = \frac{1 + cos(90° - 2α)}{2}$
Используя формулу приведения $cos(90° - \beta) = sin\beta$, получаем:
$\frac{1 + cos(90° - 2α)}{2} = \frac{1 + sin(2α)}{2}$.

Для второго члена:
$cos²(60° + α) = \frac{1 + cos(2(60° + α))}{2} = \frac{1 + cos(120° + 2α)}{2}$.

Теперь разность первых двух членов равна:
$cos²(45° - α) - cos²(60° + α) = \frac{1 + sin(2α)}{2} - \frac{1 + cos(120° + 2α)}{2} = \frac{1 + sin(2α) - 1 - cos(120° + 2α)}{2} = \frac{sin(2α) - cos(120° + 2α)}{2}$.

Далее преобразуем третий член $- cos 75° sin(75° - 2α)$, используя формулу преобразования произведения в сумму $cosA sinB = \frac{1}{2}(sin(A+B) - sin(A-B))$:

$- cos 75° sin(75° - 2α) = - \frac{1}{2}(sin(75° + 75° - 2α) - sin(75° - (75° - 2α)))$
$= - \frac{1}{2}(sin(150° - 2α) - sin(2α)) = \frac{sin(2α) - sin(150° - 2α)}{2}$.

Теперь сложим полученные выражения, чтобы получить всю левую часть тождества:

$\frac{sin(2α) - cos(120° + 2α)}{2} + \frac{sin(2α) - sin(150° - 2α)}{2} = \frac{sin(2α) - cos(120° + 2α) + sin(2α) - sin(150° - 2α)}{2}$
$= \frac{2sin(2α) - (cos(120° + 2α) + sin(150° - 2α))}{2} = sin(2α) - \frac{cos(120° + 2α) + sin(150° - 2α)}{2}$.

Рассмотрим сумму в числителе дроби, $cos(120° + 2α) + sin(150° - 2α)$, и применим формулы приведения:

$cos(120° + 2α) = cos(90° + (30° + 2α)) = -sin(30° + 2α)$.
$sin(150° - 2α) = sin(180° - (30° + 2α)) = sin(30° + 2α)$.

Сумма этих двух выражений равна:

$-sin(30° + 2α) + sin(30° + 2α) = 0$.

Подставив этот результат в преобразованную левую часть, получаем:

$sin(2α) - \frac{0}{2} = sin(2α)$.

Таким образом, левая часть тождества равна $sin(2α)$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество $cos²(45° - α) - cos²(60° + α) - cos 75° sin(75° - 2α) = sin2α$ доказано.

23.11 Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения:

а) $\sin x \sin 3x = 0,5$;

б) $\cos x \cos 3x + 0,5 = 0$.

а) $\sin x \sin 3x = 0,5$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:

$\frac{1}{2}(\cos(3x - x) - \cos(3x + x)) = 0,5$

$\frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 4x) = 0,5$

$\cos 2x - \cos 4x = 1$

Теперь используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$. В нашем случае, $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$.

$\cos 2x - (2\cos^2 2x - 1) = 1$

$\cos 2x - 2\cos^2 2x + 1 = 1$

$\cos 2x - 2\cos^2 2x = 0$

Вынесем $\cos 2x$ за скобки:

$\cos 2x (1 - 2\cos 2x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $1 - 2\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2}$

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем наименьший положительный и наибольший отрицательный корни, перебирая целочисленные значения $n$ и $k$.

Из первой серии корней $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$: при $n=0, x=\frac{\pi}{4}$; при $n=-1, x=-\frac{\pi}{4}$.

Из второй серии корней $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$:

Для $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$: при $k=0, x=\frac{\pi}{6}$; при $k=-1, x=-\frac{5\pi}{6}$.

Для $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$: при $k=0, x=-\frac{\pi}{6}$; при $k=1, x=\frac{5\pi}{6}$.

Выпишем полученные положительные корни в порядке возрастания: $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, ...$ Наименьший из них - $\frac{\pi}{6}$.

Выпишем полученные отрицательные корни: $-\frac{\pi}{4}, -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}$. Наибольший (ближайший к нулю) из них - $-\frac{\pi}{6}$.

Ответ: наименьший положительный корень: $\frac{\pi}{6}$, наибольший отрицательный корень: $-\frac{\pi}{6}$.

б) $\cos x \cos 3x + 0,5 = 0$

Перепишем уравнение в виде $\cos x \cos 3x = -0,5$.

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:

$\frac{1}{2}(\cos(3x - x) + \cos(3x + x)) = -0,5$

$\frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) = -0,5$

$\cos 2x + \cos 4x = -1$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$.

$\cos 2x + (2\cos^2 2x - 1) = -1$

$2\cos^2 2x + \cos 2x = 0$

Вынесем $\cos 2x$ за скобки:

$\cos 2x (2\cos 2x + 1) = 0$

Это уравнение также распадается на два:

1) $\cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $2\cos 2x + 1 = 0 \implies \cos 2x = -\frac{1}{2}$

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Найдем наименьший положительный и наибольший отрицательный корни, перебирая целочисленные значения $n$ и $k$.

Из первой серии корней $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$: при $n=0, x=\frac{\pi}{4}$; при $n=-1, x=-\frac{\pi}{4}$.

Из второй серии корней $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$:

Для $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$: при $k=0, x=\frac{\pi}{3}$; при $k=-1, x=-\frac{2\pi}{3}$.

Для $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$: при $k=0, x=-\frac{\pi}{3}$; при $k=1, x=\frac{2\pi}{3}$.

Выпишем полученные положительные корни в порядке возрастания: $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, ...$ Так как $\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$, наименьший положительный корень - $\frac{\pi}{4}$.

Выпишем полученные отрицательные корни: $-\frac{\pi}{4}, -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}$. Наибольший (ближайший к нулю) из них - $-\frac{\pi}{4}$.

Ответ: наименьший положительный корень: $\frac{\pi}{4}$, наибольший отрицательный корень: $-\frac{\pi}{4}$.

23.12 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = f(x)$, если:

a) $f(x) = \sin \left(x + \frac{\pi}{8}\right) \cos \left(x - \frac{\pi}{24}\right);$

б) $f(x) = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right).$

а) $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{8}\right) \cos\left(x - \frac{\pi}{24}\right)$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму, используя формулу:

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

В нашем случае пусть $\alpha = x + \frac{\pi}{8}$ и $\beta = x - \frac{\pi}{24}$.

Найдем сумму и разность углов $\alpha$ и $\beta$:

$\alpha + \beta = \left(x + \frac{\pi}{8}\right) + \left(x - \frac{\pi}{24}\right) = 2x + \frac{3\pi}{24} - \frac{\pi}{24} = 2x + \frac{2\pi}{24} = 2x + \frac{\pi}{12}$

$\alpha - \beta = \left(x + \frac{\pi}{8}\right) - \left(x - \frac{\pi}{24}\right) = x + \frac{\pi}{8} - x + \frac{\pi}{24} = \frac{3\pi}{24} + \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$

Подставим полученные выражения в формулу преобразования:

$f(x) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$

Мы знаем, что значение $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в функцию:

$f(x) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{4}$

Область значений синуса — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого значения аргумента $z$, выполняется неравенство $-1 \le \sin(z) \le 1$.

Следовательно, $-1 \le \sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) \le 1$.

Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается, когда $\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right)$ принимает наименьшее значение, равное -1:

$y_{наим} = \frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

Наибольшее значение функции $f(x)$ достигается, когда $\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right)$ принимает наибольшее значение, равное 1:

$y_{наиб} = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{1}{4}$, наибольшее значение равно $\frac{3}{4}$.

б) $f(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$

Для решения задачи преобразуем произведение синусов в разность косинусов с помощью формулы:

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

В данном случае пусть $\alpha = x - \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x + \frac{\pi}{3}$.

Найдем разность и сумму этих углов:

$\alpha - \beta = \left(x - \frac{\pi}{3}\right) - \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = x - \frac{\pi}{3} - x - \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$

$\alpha + \beta = \left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 2x$

Подставим эти выражения в исходную формулу:

$f(x) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) - \cos(2x)\right)$

Косинус является четной функцией, поэтому $\cos(-z) = \cos(z)$. Также известно, что $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, функция принимает вид:

$f(x) = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} - \cos(2x)\right) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos(2x)$

Область значений косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos(2x) \le 1$.

Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается тогда, когда значение $\cos(2x)$ максимально (равно 1), так как перед ним стоит знак минус:

$y_{наим} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{3}{4}$

Наибольшее значение функции $f(x)$ достигается тогда, когда значение $\cos(2x)$ минимально (равно -1):

$y_{наиб} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{3}{4}$, наибольшее значение равно $\frac{1}{4}$.