Страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

24.30 a) $x_n = \frac{5}{2^n};$

Б) $x_n = \frac{1}{2} \cdot 5^{-n};$

В) $x_n = 7 \cdot 3^{-n};$

Г) $x_n = \frac{4}{3^{n+1}}.$

а) $x_n = \frac{5}{2^n}$

Чтобы определить, является ли последовательность $x_n$ геометрической прогрессией, найдем отношение последующего члена к предыдущему, то есть $\frac{x_{n+1}}{x_n}$. Если это отношение является константой (не зависит от $n$), то последовательность является геометрической прогрессией, а это отношение равно ее знаменателю $q$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$x_{n+1} = \frac{5}{2^{n+1}}$

Теперь найдем отношение:

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{5}{2^{n+1}}}{\frac{5}{2^n}} = \frac{5}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{5} = \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{2^n}{2^n \cdot 2^1} = \frac{1}{2}$

Поскольку отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ является постоянным числом $\frac{1}{2}$, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив $n=1$ в формулу для $x_n$:

$b_1 = x_1 = \frac{5}{2^1} = \frac{5}{2}$

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией; первый член $b_1 = \frac{5}{2}$, знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

б) $x_n = \frac{1}{2} \cdot 5^{-n}$

Преобразуем формулу для n-го члена: $x_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5^n} = \frac{1}{2 \cdot 5^n}$.

Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$x_{n+1} = \frac{1}{2 \cdot 5^{n+1}}$

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{1}{2 \cdot 5^{n+1}}}{\frac{1}{2 \cdot 5^n}} = \frac{1}{2 \cdot 5^{n+1}} \cdot \frac{2 \cdot 5^n}{1} = \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{5^n}{5^n \cdot 5^1} = \frac{1}{5}$

Отношение постоянно и равно $\frac{1}{5}$, следовательно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{5}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ при $n=1$:

$b_1 = x_1 = \frac{1}{2} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией; первый член $b_1 = \frac{1}{10}$, знаменатель $q = \frac{1}{5}$.

в) $x_n = 7 \cdot 3^{-n}$

Преобразуем формулу: $x_n = 7 \cdot \frac{1}{3^n} = \frac{7}{3^n}$.

Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$x_{n+1} = \frac{7}{3^{n+1}}$

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{7}{3^{n+1}}}{\frac{7}{3^n}} = \frac{7}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{7} = \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{3^n}{3^n \cdot 3^1} = \frac{1}{3}$

Отношение постоянно и равно $\frac{1}{3}$, следовательно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{3}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ при $n=1$:

$b_1 = x_1 = 7 \cdot 3^{-1} = 7 \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией; первый член $b_1 = \frac{7}{3}$, знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

г) $x_n = \frac{4}{3^{n+1}}$

Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$x_{n+1} = \frac{4}{3^{(n+1)+1}} = \frac{4}{3^{n+2}}$

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{4}{3^{n+2}}}{\frac{4}{3^{n+1}}} = \frac{4}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{4} = \frac{3^{n+1}}{3^{n+2}} = \frac{3^{n+1}}{3^{n+1} \cdot 3^1} = \frac{1}{3}$

Отношение постоянно и равно $\frac{1}{3}$, следовательно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{3}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ при $n=1$:

$b_1 = x_1 = \frac{4}{3^{1+1}} = \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9}$

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией; первый член $b_1 = \frac{4}{9}$, знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

24.26 Приведите примеры последовательностей:

а) возрастающих и ограниченных сверху;

б) возрастающих и не ограниченных сверху;

в) убывающих и ограниченных снизу;

г) убывающих и не ограниченных снизу.

а) возрастающих и ограниченных сверху

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = 1 - \frac{1}{n}$.

Докажем, что она является возрастающей. Для этого нужно показать, что каждый следующий член больше предыдущего, то есть $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n$. Сравним $a_{n+1}$ и $a_n$: $a_{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$ $a_n = 1 - \frac{1}{n}$ Неравенство $a_{n+1} > a_n$ равносильно неравенству $1 - \frac{1}{n+1} > 1 - \frac{1}{n}$. Вычитая 1 из обеих частей, получаем: $-\frac{1}{n+1} > -\frac{1}{n}$. Умножая обе части на -1 и меняя знак неравенства, получаем: $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. Так как $n+1 > n$ и оба числа положительные, то это неравенство верно для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность является возрастающей.

Докажем, что она ограничена сверху. Последовательность ограничена сверху, если существует такое число $M$, что $a_n \le M$ для всех $n$. Для нашей последовательности $a_n = 1 - \frac{1}{n}$. Поскольку $n \ge 1$, то $\frac{1}{n} > 0$. Следовательно, $a_n = 1 - \frac{1}{n} < 1$ для любого натурального $n$. Таким образом, все члены последовательности меньше 1. Можно взять в качестве верхней границы $M=1$. Последовательность ограничена сверху.

Ответ: $a_n = 1 - \frac{1}{n}$.

б) возрастающих и не ограниченных сверху

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, заданную формулой $a_n = n$.

Докажем, что она является возрастающей. Сравним $a_{n+1}$ и $a_n$: $a_{n+1} = n+1$ $a_n = n$ Так как $n+1 > n$ для любого натурального $n$, то $a_{n+1} > a_n$. Следовательно, последовательность является возрастающей.

Докажем, что она не ограничена сверху. Это означает, что для любого, сколь угодно большого числа $M$, найдется такой член последовательности $a_n$, который будет больше $M$. Пусть $M$ — произвольное положительное число. Согласно свойству Архимеда, существует натуральное число $n$ такое, что $n > M$. Таким образом, член последовательности $a_n = n$ будет больше $M$. Это означает, что последовательность не ограничена сверху.

Ответ: $a_n = n$.

в) убывающих и ограниченных снизу

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = \frac{1}{n}$.

Докажем, что она является убывающей. Для этого нужно показать, что $a_{n+1} < a_n$ для любого натурального $n$. Сравним $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$ и $a_n = \frac{1}{n}$. Неравенство $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$ верно, так как $n+1 > n$ и оба числа положительные. Следовательно, последовательность является убывающей.

Докажем, что она ограничена снизу. Последовательность ограничена снизу, если существует такое число $m$, что $a_n \ge m$ для всех $n$. Для нашей последовательности $a_n = \frac{1}{n}$. Так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$, а значит $\frac{1}{n} > 0$. Таким образом, все члены последовательности положительны. Можно взять в качестве нижней границы $m=0$. Последовательность ограничена снизу.

Ответ: $a_n = \frac{1}{n}$.

г) убывающих и не ограниченных снизу

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = -n$.

Докажем, что она является убывающей. Сравним $a_{n+1}$ и $a_n$: $a_{n+1} = -(n+1) = -n - 1$ $a_n = -n$ Так как $-n-1 < -n$ для любого натурального $n$, то $a_{n+1} < a_n$. Следовательно, последовательность является убывающей.

Докажем, что она не ограничена снизу. Это означает, что для любого, сколь угодно малого (большого по модулю отрицательного) числа $m$, найдется такой член последовательности $a_n$, который будет меньше $m$. Пусть $m$ — произвольное число. Нам нужно найти такое $n$, чтобы $a_n < m$, то есть $-n < m$, что равносильно $n > -m$. Согласно свойству Архимеда, для любого числа (в данном случае $-m$) найдется натуральное число $n$, которое его превосходит. Таким образом, для любого $m$ найдется член последовательности $a_n = -n$, который меньше $m$. Это означает, что последовательность не ограничена снизу.

Ответ: $a_n = -n$.

24.31 a) $x_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2};$

Б) $x_n = \frac{1 + 2n + n^2}{n^2};$

В) $x_n = \frac{3 - n^2}{n^2};$

Г) $x_n = \frac{3n - 4 - 2n^2}{n^2}.$

а) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2}$ при $n \to \infty$, можно преобразовать выражение, разделив дробь на два слагаемых:

$x_n = \frac{2n^2}{n^2} - \frac{1}{n^2} = 2 - \frac{1}{n^2}$

Теперь найдем предел:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 - \frac{1}{n^2}\right)$

Поскольку при неограниченном возрастании $n$ значение дроби $\frac{1}{n^2}$ стремится к нулю ($\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$), предел последовательности равен:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 2 - 0 = 2$

Ответ: $2$

б) Для последовательности $x_n = \frac{1 + 2n + n^2}{n^2}$, заметим, что числитель является формулой квадрата суммы: $1 + 2n + n^2 = (1+n)^2$.

Тогда выражение для $x_n$ можно переписать в виде:

$x_n = \frac{(1+n)^2}{n^2} = \left(\frac{1+n}{n}\right)^2 = \left(\frac{1}{n} + \frac{n}{n}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$

Найдем предел этой последовательности:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$

Так как $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, получаем:

$\lim_{n \to \infty} x_n = (1 + 0)^2 = 1^2 = 1$

Ответ: $1$

в) Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{3 - n^2}{n^2}$. Как и в пункте а), разделим дробь на два слагаемых:

$x_n = \frac{3}{n^2} - \frac{n^2}{n^2} = \frac{3}{n^2} - 1$

Найдем предел при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{n^2} - 1\right)$

Поскольку $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0$, то:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 0 - 1 = -1$

Ответ: $-1$

г) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{3n - 4 - 2n^2}{n^2}$ при $n \to \infty$, разделим каждый член числителя и знаменателя на старшую степень $n$, то есть на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n - 4 - 2n^2}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n^2} - \frac{4}{n^2} - \frac{2n^2}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n} - \frac{4}{n^2} - 2}{1}$

При $n \to \infty$ дроби $\frac{3}{n}$ и $\frac{4}{n^2}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{0 - 0 - 2}{1} = -2$

Ответ: $-2$

Вычислите $ \lim_{n \to \infty} x_n $, если:

24.27 а) $ x_n = \frac{5}{n^2} $;

Б) $ x_n = \frac{-17}{n^3} $;

В) $ x_n = \frac{-15}{n^2} $;

Г) $ x_n = \frac{3}{\sqrt{n}} $.

а)

Чтобы вычислить предел последовательности $x_n = \frac{5}{n^2}$ при $n \to \infty$, воспользуемся свойством предела частного и свойством вынесения константы за знак предела. $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 5 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} $$ Здесь мы используем известный предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0$ для любого $p > 0$. В данном случае $p=2$, что больше нуля. Следовательно, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$. Подставляя это значение в наше выражение, получаем: $$ 5 \cdot 0 = 0 $$ Ответ: $0$

б)

Вычислим предел последовательности $x_n = \frac{-17}{n^3}$ при $n \to \infty$. Вынесем постоянный множитель $-17$ за знак предела: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-17}{n^3} = -17 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} $$ Так как показатель степени в знаменателе $p=3 > 0$, предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3}$ равен нулю. Таким образом, искомый предел равен: $$ -17 \cdot 0 = 0 $$ Ответ: $0$

в)

Вычислим предел последовательности $x_n = \frac{-15}{n^2}$ при $n \to \infty$. Аналогично предыдущим пунктам, вынесем константу $-15$ за знак предела: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-15}{n^2} = -15 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} $$ Поскольку показатель степени $p=2 > 0$, предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$ равен нулю. Следовательно, получаем: $$ -15 \cdot 0 = 0 $$ Ответ: $0$

г)

Вычислим предел последовательности $x_n = \frac{3}{\sqrt{n}}$ при $n \to \infty$. Перепишем выражение, используя степенное представление корня: $x_n = \frac{3}{n^{1/2}}$. Вынесем константу $3$ за знак предела: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{1/2}} = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/2}} $$ Здесь показатель степени $p=1/2 > 0$, поэтому предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/2}}$ равен нулю. Итоговый результат: $$ 3 \cdot 0 = 0 $$ Ответ: $0$

24.28 a) $x_n = \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3};$

б) $x_n = 6 - \frac{7}{n^2} - \frac{3}{n} - \frac{3}{\sqrt{n}};$

в) $x_n = \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} - \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4};$

г) $x_n = \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} - 4 + \frac{7}{n^2}.$

а) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3}$ при $n \to \infty$ (при стремлении n к бесконечности), мы воспользуемся свойством аддитивности предела. Предел суммы равен сумме пределов слагаемых:

$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{8}{\sqrt{n}} + \lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^3} $.

Для каждого слагаемого вида $\frac{c}{n^p}$, где $p > 0$, предел при $n \to \infty$ равен нулю. В нашем случае:

$\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} = 0$ (так как степень $n$ в знаменателе $p=1 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{8}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^{1/2}} = 0$ (так как $p=1/2 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^3} = 0$ (так как $p=3 > 0$).

Складывая эти пределы, получаем:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 0 + 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

б) Дана последовательность $x_n = 6 - \frac{7}{n^2} - \frac{3}{n} - \frac{3}{\sqrt{n}}$. Найдем ее предел при $n \to \infty$. Используя свойства пределов (предел суммы/разности равен сумме/разности пределов), можем найти предел каждого члена выражения по отдельности:

$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( 6 - \frac{7}{n^2} - \frac{3}{n} - \frac{3}{\sqrt{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} 6 - \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} - \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} - \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} $.

Вычислим каждый предел:

Предел константы равен самой константе: $\lim_{n \to \infty} 6 = 6$.

Пределы остальных членов равны нулю, так как они имеют вид $\frac{c}{n^p}$ при $p > 0$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0$ (здесь $p=2 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$ (здесь $p=1 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{1/2}} = 0$ (здесь $p=1/2 > 0$).

Таким образом, искомый предел равен:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 6 - 0 - 0 - 0 = 6$.

Ответ: $6$.

в) Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} - \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4}$. Найдем ее предел при $n \to \infty$. Применим свойство предела суммы и разности:

$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} - \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} - \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^3} + \lim_{n \to \infty} \frac{13}{n^4} $.

Все слагаемые представляют собой дроби вида $\frac{c}{n^p}$, где $p > 0$. Предел каждого такого слагаемого при $n \to \infty$ равен нулю:

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$ ($p=1 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0$ ($p=2 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^3} = 0$ ($p=3 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{13}{n^4} = 0$ ($p=4 > 0$).

Следовательно, предел всей последовательности:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 0 + 0 - 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

г) Дана последовательность $x_n = \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} - 4 + \frac{7}{n^2}$. Для удобства перегруппируем слагаемые: $x_n = -4 + \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} + \frac{7}{n^2}$. Найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$:

$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( -4 + \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} + \frac{7}{n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} (-4) + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} + \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} $.

Вычислим пределы каждого слагаемого:

Предел константы: $\lim_{n \to \infty} (-4) = -4$.

Пределы остальных слагаемых равны нулю, так как они имеют вид $\frac{c}{n^p}$ при $p > 0$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ ($p=1 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{1/2}} = 0$ ($p=1/2 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0$ ($p=2 > 0$).

Суммируя полученные значения, находим искомый предел:

$\lim_{n \to \infty} x_n = -4 + 0 + 0 + 0 = -4$.

Ответ: $-4$.

24.29 a) $x_n = \frac{5n + 3}{n + 1}$;

б) $x_n = \frac{7n - 5}{n + 2}$;

В) $x_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$;

Г) $x_n = \frac{2n + 1}{3n - 1}$.

а) Чтобы найти предел последовательности $x_n = \frac{5n + 3}{n + 1}$ при $n \to \infty$, мы разделим и числитель, и знаменатель дроби на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{5n + 3}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5n}{n} + \frac{3}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$.
Поскольку при $n \to \infty$ выражения $\frac{3}{n}$ и $\frac{1}{n}$ стремятся к нулю, мы можем вычислить предел:
$\frac{5 + 0}{1 + 0} = 5$.
Ответ: $5$.

б) Чтобы найти предел последовательности $x_n = \frac{7n - 5}{n + 2}$ при $n \to \infty$, мы разделим числитель и знаменатель на $n$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{7n - 5}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{7n}{n} - \frac{5}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{7 - \frac{5}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$.
Поскольку при $n \to \infty$ выражения $\frac{5}{n}$ и $\frac{2}{n}$ стремятся к нулю, предел равен:
$\frac{7 - 0}{1 + 0} = 7$.
Ответ: $7$.

в) Чтобы найти предел последовательности $x_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$ при $n \to \infty$, мы разделим числитель и знаменатель на $n$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$.
Поскольку при $n \to \infty$ выражения $\frac{1}{n}$ и $\frac{2}{n}$ стремятся к нулю, предел равен:
$\frac{3 + 0}{1 + 0} = 3$.
Ответ: $3$.

г) Чтобы найти предел последовательности $x_n = \frac{2n + 1}{3n - 1}$ при $n \to \infty$, мы разделим числитель и знаменатель на $n$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{3n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{3n}{n} - \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{3 - \frac{1}{n}}$.
Поскольку при $n \to \infty$ выражение $\frac{1}{n}$ стремится к нулю как в числителе, так и в знаменателе, предел равен:
$\frac{2 + 0}{3 - 0} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.