Страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

25.10 Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего её членов равна 29, а второго и четвёртого 11,6.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда $n$-й член прогрессии вычисляется по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи, сумма первого и третьего членов равна 29, а сумма второго и четвёртого — 11,6. Запишем это в виде системы уравнений:

$ \begin{cases} b_1 + b_3 = 29 \\ b_2 + b_4 = 11,6 \end{cases} $

Выразим все члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1q$
$b_3 = b_1q^2$
$b_4 = b_1q^3$

Подставим эти выражения в систему уравнений:

$ \begin{cases} b_1 + b_1q^2 = 29 \\ b_1q + b_1q^3 = 11,6 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} b_1(1 + q^2) = 29 \\ b_1q(1 + q^2) = 11,6 \end{cases} $

Теперь разделим второе уравнение на первое, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$ (при условии, что $b_1 \neq 0$ и $1+q^2 \neq 0$):

$\frac{b_1q(1 + q^2)}{b_1(1 + q^2)} = \frac{11,6}{29}$

Сократив $b_1$ и $(1+q^2)$, получим:

$q = \frac{11,6}{29} = \frac{116}{290} = \frac{4 \cdot 29}{10 \cdot 29} = \frac{4}{10} = 0,4$

Теперь, зная $q$, найдем первый член прогрессии $b_1$ из первого уравнения системы $b_1(1 + q^2) = 29$:

$b_1(1 + 0,4^2) = 29$

$b_1(1 + 0,16) = 29$

$b_1(1,16) = 29$

$b_1 = \frac{29}{1,16} = \frac{2900}{116} = \frac{2900}{4 \cdot 29} = \frac{100}{4} = 25$

Так как знаменатель прогрессии $|q| = |0,4| < 1$, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, и можно найти её сумму. Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Подставим найденные значения $b_1 = 25$ и $q = 0,4$:

$S = \frac{25}{1 - 0,4} = \frac{25}{0,6} = \frac{250}{6} = \frac{125}{3}$

Сумму можно также записать в виде смешанной дроби: $41\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{125}{3}$

25.14 Решите уравнение, если известно, что $|x| < 1$.

a) $x + x^2 + x^3 + x^4 + \dots + x^n + \dots = 4;$

б) $2x - 4x^2 + 8x^3 - 16x^4 + \dots = \frac{3}{8}.$

а) Левая часть уравнения $x + x^2 + x^3 + x^4 + ... = 4$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = x$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{x^2}{x} = x$. По условию задачи $|x| < 1$, что является условием сходимости для бесконечной геометрической прогрессии. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставив наши значения, получим: $S = \frac{x}{1 - x}$ Теперь приравняем эту сумму к значению из уравнения: $\frac{x}{1 - x} = 4$ Решим полученное уравнение относительно $x$: $x = 4(1 - x)$ $x = 4 - 4x$ $x + 4x = 4$ $5x = 4$ $x = \frac{4}{5}$ Проверим, удовлетворяет ли корень условию $|x| < 1$: $|\frac{4}{5}| = \frac{4}{5}$, и так как $\frac{4}{5} < 1$, условие выполняется.
Ответ: $x = \frac{4}{5}$

б) Левая часть уравнения $2x - 4x^2 + 8x^3 - 16x^4 + ... = \frac{3}{8}$ также является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 2x$. Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{-4x^2}{2x} = -2x$. Для сходимости ряда необходимо выполнение условия $|q| < 1$, то есть $|-2x| < 1$. $2|x| < 1$ $|x| < \frac{1}{2}$ Это условие является более строгим, чем данное в задаче ($|x| < 1$), и найденный корень должен ему удовлетворять. Сумма прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставим наши значения: $S = \frac{2x}{1 - (-2x)} = \frac{2x}{1 + 2x}$ Приравняем сумму к значению из уравнения: $\frac{2x}{1 + 2x} = \frac{3}{8}$ Решим это уравнение, используя свойство пропорции: $8 \cdot (2x) = 3 \cdot (1 + 2x)$ $16x = 3 + 6x$ $16x - 6x = 3$ $10x = 3$ $x = \frac{3}{10}$ Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию сходимости $|x| < \frac{1}{2}$: $|\frac{3}{10}| = \frac{3}{10}$. Так как $\frac{3}{10} = 0.3$, а $\frac{1}{2} = 0.5$, то $0.3 < 0.5$. Условие выполняется.
Ответ: $x = \frac{3}{10}$

25.11 Найдите геометрическую прогрессию, если её сумма равна 24, а сумма первых трёх членов равна 21.

Пусть $b_1$ — первый член искомой геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Данная формула применима только при условии, что знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$. По условию задачи, сумма прогрессии равна 24. Составим первое уравнение:

$\frac{b_1}{1-q} = 24$

Сумма первых трёх членов прогрессии ($b_1, b_2, b_3$) равна 21. Выразим эти члены через $b_1$ и $q$: $b_1, b_1q, b_1q^2$. Их сумма равна:

$S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = 21$

Вынесем $b_1$ за скобки, чтобы получить второе уравнение:

$b_1(1 + q + q^2) = 21$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 24 \\ b_1(1 + q + q^2) = 21 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$ через $q$:

$b_1 = 24(1-q)$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$24(1-q)(1 + q + q^2) = 21$

Выражение в скобках $(1-q)(1+q+q^2)$ является формулой разности кубов, которая равна $1^3 - q^3 = 1-q^3$. Уравнение упрощается:

$24(1-q^3) = 21$

Решим это уравнение относительно $q$:

$1-q^3 = \frac{21}{24}$

Сократим дробь в правой части:

$1-q^3 = \frac{7}{8}$

Отсюда находим $q^3$:

$q^3 = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$

Извлекаем кубический корень:

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$: $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$, что меньше 1. Условие выполняется.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ в выражение для $b_1$:

$b_1 = 24(1-q) = 24(1 - \frac{1}{2}) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$

Таким образом, мы определили параметры искомой геометрической прогрессии: её первый член $b_1=12$ и знаменатель $q=\frac{1}{2}$.

Запишем первые несколько членов этой прогрессии:

$12, \quad 12 \cdot \frac{1}{2}, \quad 12 \cdot (\frac{1}{2})^2, \quad \dots$

$12, \quad 6, \quad 3, \quad \dots$

Проверка:
Сумма прогрессии: $S = \frac{12}{1 - 1/2} = \frac{12}{1/2} = 24$. (Верно)
Сумма первых трёх членов: $12 + 6 + 3 = 21$. (Верно)

Ответ: Искомая геометрическая прогрессия задаётся первым членом $b_1=12$ и знаменателем $q=\frac{1}{2}$. Последовательность её членов: 12, 6, 3, 1.5, ...

25.15 Представьте в виде обыкновенной дроби:

а) $0,(15)$;

б) $0,1(2)$;

в) $0,(18)$;

г) $0,2(34)$.

а)

Чтобы представить чисто периодическую десятичную дробь $0,(15)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $x$:
$x = 0,151515...$
В периоде дроби 2 цифры, поэтому умножим обе части равенства на $10^2=100$:
$100x = 15,151515...$
Теперь вычтем из второго равенства первое:
$100x - x = 15,151515... - 0,151515...$
$99x = 15$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{15}{99}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{15 \div 3}{99 \div 3} = \frac{5}{33}$
Ответ: $\frac{5}{33}$

б)

Чтобы представить смешанную периодическую десятичную дробь $0,1(2)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $x$:
$x = 0,1222...$
Умножим обе части равенства на 10, чтобы часть до периода (цифра 1) стала целой:
$10x = 1,222...$
Теперь умножим исходное равенство на 100, чтобы сдвинуть один период влево от запятой:
$100x = 12,222...$
Вычтем из второго полученного равенства первое:
$100x - 10x = 12,222... - 1,222...$
$90x = 11$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{11}{90}$
Эта дробь несократима.
Ответ: $\frac{11}{90}$

в)

Чтобы представить чисто периодическую десятичную дробь $0,(18)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $x$:
$x = 0,181818...$
В периоде дроби 2 цифры, поэтому умножим обе части равенства на $10^2=100$:
$100x = 18,181818...$
Вычтем из второго равенства первое:
$100x - x = 18,181818... - 0,181818...$
$99x = 18$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{18}{99}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
$x = \frac{18 \div 9}{99 \div 9} = \frac{2}{11}$
Ответ: $\frac{2}{11}$

г)

Чтобы представить смешанную периодическую десятичную дробь $0,2(34)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $x$:
$x = 0,2343434...$
Умножим обе части равенства на 10, чтобы часть до периода (цифра 2) стала целой:
$10x = 2,343434...$
Теперь умножим исходное равенство на 1000 (поскольку после запятой одна цифра до периода и две в периоде, $10^{1+2}=1000$), чтобы сдвинуть один период влево от запятой:
$1000x = 234,343434...$
Вычтем из второго полученного равенства первое:
$1000x - 10x = 234,343434... - 2,343434...$
$990x = 232$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{232}{990}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$x = \frac{232 \div 2}{990 \div 2} = \frac{116}{495}$
Эта дробь несократима.
Ответ: $\frac{116}{495}$

25.12 Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что её сумма равна 18, а сумма квадратов её членов равна 162.

Пусть первый член искомой геометрической прогрессии равен $b_1$, а её знаменатель равен $q$. Так как сумма членов прогрессии является конечным числом, речь идет о бесконечно убывающей геометрической прогрессии, для которой выполняется условие $|q| < 1$.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$.По условию задачи, сумма членов прогрессии равна 18. Составим первое уравнение:

$\frac{b_1}{1-q} = 18$

Рассмотрим последовательность, составленную из квадратов членов исходной прогрессии: $b_1^2, (b_1q)^2, (b_1q^2)^2, \ldots$ или $b_1^2, b_1^2q^2, b_1^2(q^2)^2, \ldots$.Эта последовательность также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, у которой первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$.

Сумма этой новой прогрессии, по условию, равна 162. Составим второе уравнение:

$\frac{b_1^2}{1-q^2} = 162$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 18 \\ \frac{b_1^2}{1-q^2} = 162 \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, используя формулу разности квадратов $1-q^2 = (1-q)(1+q)$:

$\frac{b_1^2}{(1-q)(1+q)} = 162$

Его можно переписать в виде:

$(\frac{b_1}{1-q}) \cdot (\frac{b_1}{1+q}) = 162$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $\frac{b_1}{1-q} = 18$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$18 \cdot \frac{b_1}{1+q} = 162$

Отсюда найдем выражение $\frac{b_1}{1+q}$:

$\frac{b_1}{1+q} = \frac{162}{18} = 9$

Теперь у нас есть более простая система уравнений:

$\begin{cases} b_1 = 18(1-q) \\ b_1 = 9(1+q) \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти $q$:

$18(1-q) = 9(1+q)$

Разделим обе части на 9:

$2(1-q) = 1+q$

$2 - 2q = 1 + q$

$2 - 1 = q + 2q$

$1 = 3q$

$q = \frac{1}{3}$

Теперь найдем $b_1$, подставив значение $q$ в любое из уравнений для $b_1$. Например, в $b_1 = 9(1+q)$:

$b_1 = 9(1 + \frac{1}{3}) = 9(\frac{3}{3} + \frac{1}{3}) = 9 \cdot \frac{4}{3} = 12$

Итак, мы нашли первый член прогрессии $b_1=12$ и её знаменатель $q=\frac{1}{3}$.

Составим искомую геометрическую прогрессию, выписав её первые несколько членов:

$b_1 = 12$

$b_2 = b_1 \cdot q = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4$

$b_3 = b_2 \cdot q = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

$b_4 = b_3 \cdot q = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$

... и так далее.

Ответ: Искомая геометрическая прогрессия: $12, 4, \frac{4}{3}, \frac{4}{9}, \dots$

25.9 Найдите сумму геометрической прогрессии ($b_n$), если:

a) $b_n = \frac{25}{3^n}$;

б) $b_n = (-1)^n \frac{13}{2^{n-1}}$;

В) $b_n = \frac{45}{6^n}$;

Г) $b_n = (-1)^n \frac{7}{6^{n-2}}$.

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Условием сходимости ряда (существования суммы) является $|q| < 1$.

а) $b_n = \frac{25}{3^n}$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив $n=1$ в формулу:
$b_1 = \frac{25}{3^1} = \frac{25}{3}$.

2. Найдем знаменатель прогрессии $q$, вычислив отношение $b_{n+1}$ к $b_n$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{25}{3^{n+1}}}{\frac{25}{3^n}} = \frac{25}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{25} = \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}$.

3. Так как $|q|=|\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей, и её сумму можно вычислить.

4. Вычислим сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{25}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{25}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{25}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$.

Ответ: $12.5$.

б) $b_n = (-1)^n \frac{13}{2^{n-1}}$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = (-1)^1 \frac{13}{2^{1-1}} = -1 \cdot \frac{13}{2^0} = -1 \cdot \frac{13}{1} = -13$.

2. Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(-1)^{n+1} \frac{13}{2^{(n+1)-1}}}{(-1)^n \frac{13}{2^{n-1}}} = \frac{(-1)^{n+1}}{(-1)^n} \cdot \frac{13}{2^n} \cdot \frac{2^{n-1}}{13} = -1 \cdot \frac{2^{n-1}}{2^n} = -\frac{1}{2}$.

3. Так как $|q|=|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей.

4. Вычислим сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-13}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-13}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-13}{\frac{3}{2}} = -13 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{26}{3}$.

Ответ: $-\frac{26}{3}$.

в) $b_n = \frac{45}{6^n}$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = \frac{45}{6^1} = \frac{45}{6} = \frac{15}{2}$.

2. Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{45}{6^{n+1}}}{\frac{45}{6^n}} = \frac{45}{6^{n+1}} \cdot \frac{6^n}{45} = \frac{6^n}{6^{n+1}} = \frac{1}{6}$.

3. Так как $|q|=|\frac{1}{6}| = \frac{1}{6} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей.

4. Вычислим сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{15}{2}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{15}{2}}{\frac{5}{6}} = \frac{15}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{3 \cdot 3}{1} = 9$.

Ответ: $9$.

г) $b_n = (-1)^n \frac{7}{6^{n-2}}$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = (-1)^1 \frac{7}{6^{1-2}} = -1 \cdot \frac{7}{6^{-1}} = -1 \cdot 7 \cdot 6 = -42$.

2. Найдем знаменатель прогрессии $q$. Для этого найдем второй член $b_2$:
$b_2 = (-1)^2 \frac{7}{6^{2-2}} = 1 \cdot \frac{7}{6^0} = 1 \cdot 7 = 7$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{7}{-42} = -\frac{1}{6}$.

3. Так как $|q|=|-\frac{1}{6}| = \frac{1}{6} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей.

4. Вычислим сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-42}{1 - (-\frac{1}{6})} = \frac{-42}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{-42}{\frac{7}{6}} = -42 \cdot \frac{6}{7} = -6 \cdot 6 = -36$.

Ответ: $-36$.

25.13 Упростите выражение (при условии, что $x \neq \frac{\pi n}{2}$):

a) $\sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \ldots + \sin^n x + \ldots;$

б) $\cos x - \cos^2 x + \cos^3 x - \cos^4 x + \ldots;$

в) $\cos^2 x + \cos^4 x + \cos^6 x + \cos^8 x + \ldots;$

г) $1 - \sin^3 x + \sin^6 x - \sin^9 x + \ldots .$

а) $\sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + ... + \sin^n x + ...$

Данное выражение представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \sin x$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x$.

Условие сходимости ряда $|q| < 1$, то есть $|\sin x| < 1$. Заданное в условии ограничение $x \neq \frac{\pi n}{2}$ (где $n$ — целое число) гарантирует, что $|\sin x| \neq 1$. Если $\sin x = 0$, то сумма ряда равна 0. В остальных случаях, когда $0 < |\sin x| < 1$, ряд сходится.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$:

$S = \frac{\sin x}{1 - \sin x}$

Ответ: $\frac{\sin x}{1 - \sin x}$

б) $\cos x - \cos^2 x + \cos^3 x - \cos^4 x + ...$

Это выражение также является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \cos x$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-\cos^2 x}{\cos x} = -\cos x$.

Условие сходимости ряда $|q| < 1$, то есть $|-\cos x| < 1$ или $|\cos x| < 1$. Условие $x \neq \frac{\pi n}{2}$ обеспечивает выполнение этого неравенства, так как $|\cos x| \neq 1$.

Используем формулу суммы $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$S = \frac{\cos x}{1 - (-\cos x)} = \frac{\cos x}{1 + \cos x}$

Ответ: $\frac{\cos x}{1 + \cos x}$

в) $\cos^2 x + \cos^4 x + \cos^6 x + \cos^8 x + ...$

Данное выражение представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \cos^2 x$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{\cos^4 x}{\cos^2 x} = \cos^2 x$.

Условие сходимости ряда $|q| < 1$, то есть $|\cos^2 x| < 1$. Поскольку $\cos^2 x \ge 0$, это эквивалентно $\cos^2 x < 1$, или $|\cos x| < 1$. Условие $x \neq \frac{\pi n}{2}$ гарантирует это.

Сумма прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$S = \frac{\cos^2 x}{1 - \cos^2 x}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.

Тогда $S = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$.

Ответ: $\cot^2 x$

г) $1 - \sin^3 x + \sin^6 x - \sin^9 x + ...$

Это выражение также является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-\sin^3 x}{1} = -\sin^3 x$.

Условие сходимости ряда $|q| < 1$, то есть $|-\sin^3 x| < 1$, что равносильно $|\sin x|^3 < 1$, или $|\sin x| < 1$. Условие $x \neq \frac{\pi n}{2}$ обеспечивает сходимость.

Сумма прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$S = \frac{1}{1 - (-\sin^3 x)} = \frac{1}{1 + \sin^3 x}$

Ответ: $\frac{1}{1 + \sin^3 x}$

26.1 Какая из функций, графики которых изображены на рисунках 19—22, имеет предел при $x \to +\infty$? При $x \to -\infty$? При $x \to \infty$?

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 22

Для ответа на вопрос необходимо проанализировать поведение каждой функции на бесконечности. Конечный предел функции при $x \to +\infty$ или $x \to -\infty$ существует, если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой (горизонтальной асимптоте) при движении вправо или влево по оси $x$ соответственно.

Проанализируем каждый график:

Рис. 19: На графике изображена парабола, ветви которой направлены вверх. При $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$ значение $y$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Следовательно, конечных пределов на $+\infty$ и на $-\infty$ у этой функции нет.

Рис. 20: При $x \to +\infty$ график функции приближается к горизонтальной прямой $y=2$. Это означает, что $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$. При $x \to -\infty$ значение $y$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$), поэтому конечного предела на $-\infty$ нет.

Рис. 21: При $x \to -\infty$ график функции приближается к оси абсцисс, то есть к прямой $y=0$. Это означает, что $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$. При $x \to +\infty$ значение $y$ неограниченно убывает ($y \to -\infty$), поэтому конечного предела на $+\infty$ нет.

Рис. 22: При $x \to +\infty$ график функции приближается к оси абсцисс ($y=0$), следовательно, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. При $x \to -\infty$ график также приближается к оси абсцисс ($y=0$), следовательно, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$.

На основе этого анализа ответим на вопросы.

Какая из функций ... имеет предел при $x \to +\infty$?
Предел при $x \to +\infty$ существует у тех функций, графики которых имеют горизонтальную асимптоту справа. Из нашего анализа следует, что это функции на рисунках 20 (предел равен 2) и 22 (предел равен 0).
Ответ: функции, изображенные на рисунках 20 и 22.

При $x \to -\infty$?
Предел при $x \to -\infty$ существует у тех функций, графики которых имеют горизонтальную асимптоту слева. Из нашего анализа следует, что это функции на рисунках 21 (предел равен 0) и 22 (предел равен 0).
Ответ: функции, изображенные на рисунках 21 и 22.

При $x \to \infty$?
Предел функции при $x \to \infty$ (без знака) существует тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой пределы при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$. Проверим это условие для каждой функции:
- Рис. 19: пределы на $+\infty$ и $-\infty$ не существуют.
- Рис. 20: предел на $+\infty$ существует, а на $-\infty$ — нет.
- Рис. 21: предел на $-\infty$ существует, а на $+\infty$ — нет.
- Рис. 22: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$. Оба предела существуют и равны. Следовательно, у этой функции существует предел при $x \to \infty$, и он равен 0.
Ответ: функция, изображенная на рисунке 22.