Страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

26.23 a) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x};$

б) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 5x - \cos 3x}{\sin 5x + \sin 3x}.$

а) Найдем предел $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} $.

При прямой подстановке значения $ x = \frac{\pi}{2} $ в выражение получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $:

$ \frac{\sin(3\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(3\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2})} = \frac{-1 + 1}{0 + 0} = \frac{0}{0} $

Для раскрытия неопределенности воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение (сумма синусов и сумма косинусов):

$ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:

Числитель: $ \sin 3x + \sin x = 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin(2x)\cos(x) $.

Знаменатель: $ \cos 3x + \cos x = 2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\cos(2x)\cos(x) $.

Подставим преобразованные выражения обратно в предел:

$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2\sin(2x)\cos(x)}{2\cos(2x)\cos(x)} $

Поскольку $ x \to \frac{\pi}{2} $, но $ x \neq \frac{\pi}{2} $, то $ \cos(x) \neq 0 $, и мы можем сократить дробь на $ 2\cos(x) $:

$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan(2x) $

Теперь найдем значение предела, подставив $ x = \frac{\pi}{2} $:

$ \tan(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \tan(\pi) = 0 $

Ответ: $0$

б) Найдем предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos 5x - \cos 3x}{\sin 5x + \sin 3x} $.

При прямой подстановке значения $ x = 0 $ в выражение также получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $:

$ \frac{\cos(0) - \cos(0)}{\sin(0) + \sin(0)} = \frac{1-1}{0+0} = \frac{0}{0} $

Для раскрытия неопределенности воспользуемся формулами преобразования разности и суммы тригонометрических функций в произведение (разность косинусов и сумма синусов):

$ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:

Числитель: $ \cos 5x - \cos 3x = -2\sin\frac{5x+3x}{2}\sin\frac{5x-3x}{2} = -2\sin(4x)\sin(x) $.

Знаменатель: $ \sin 5x + \sin 3x = 2\sin\frac{5x+3x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 2\sin(4x)\cos(x) $.

Подставим преобразованные выражения обратно в предел:

$ \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin(4x)\sin(x)}{2\sin(4x)\cos(x)} $

Поскольку $ x \to 0 $, но $ x \neq 0 $, то $ \sin(4x) \neq 0 $, и мы можем сократить дробь на $ 2\sin(4x) $:

$ \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = \lim_{x \to 0} (-\tan(x)) $

Теперь найдем значение предела, подставив $ x = 0 $:

$ -\tan(0) = 0 $

Ответ: $0$

26.27 Вычислите:

a) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} $

б) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x - \sin 3x}{\sin 8x - \sin 2x} $

a) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} $.

При подстановке $x = 0$ в выражение под знаком предела, мы получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $, так как $ \cos 0 = 1 $. Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся тригонометрической формулой для косинуса двойного угла, а именно следствием из нее: $ 1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} $.

Применим эту формулу к числителю:

$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} $

Теперь преобразуем выражение так, чтобы использовать первый замечательный предел $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $. Для этого в знаменателе нам нужен аргумент, идентичный аргументу синуса, то есть $ \frac{x}{2} $.

$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} 2 \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} \right)^2 = \lim_{x \to 0} 2 \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{2 \cdot \frac{x}{2}} \right)^2 = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{1}{4} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 $

Вынесем константу за знак предела:

$ \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 $

Так как при $ x \to 0 $, то и $ \frac{x}{2} \to 0 $. Следовательно, предел выражения в скобках равен 1 (согласно первому замечательному пределу).

$ \frac{1}{2} \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

б) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x - \sin 3x}{\sin 8x - \sin 2x} $.

При подстановке $x = 0$ в выражение, получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $. Для ее раскрытия используем формулу преобразования разности синусов в произведение: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2} $.

Преобразуем числитель:

$ \sin 7x - \sin 3x = 2 \sin\frac{7x - 3x}{2} \cos\frac{7x + 3x}{2} = 2 \sin(2x) \cos(5x) $

Преобразуем знаменатель:

$ \sin 8x - \sin 2x = 2 \sin\frac{8x - 2x}{2} \cos\frac{8x + 2x}{2} = 2 \sin(3x) \cos(5x) $

Подставим преобразованные выражения обратно в предел:

$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin(2x) \cos(5x)}{2 \sin(3x) \cos(5x)} $

Поскольку при $ x \to 0 $, $ \cos(5x) \to \cos(0) = 1 \ne 0 $, мы можем сократить общие множители $ 2 \cos(5x) $ в числителе и знаменателе:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} $

Мы снова получили неопределенность $ \frac{0}{0} $. Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $. Для этого разделим числитель и знаменатель на $ x $ (так как $ x \to 0 $, но $ x \ne 0 $):

$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{x}}{\frac{\sin 3x}{x}} $

Теперь преобразуем выражения, чтобы они соответствовали форме замечательного предела:

$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}{3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}} $

Используя свойство предела частного и тот факт, что $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{kx} = 1 $, получаем:

$ \frac{\lim_{x \to 0} \left(2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}\right)}{\lim_{x \to 0} \left(3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}\right)} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $.

26.24 а) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1};$

б) $\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{2x^2 + x - 6};$

В) $\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 - 2x - 3};$

Г) $\lim_{x \to 9} \frac{x^2 - 11x + 18}{x - 9}.$

Требуется найти предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}$.

При прямой подстановке предельного значения $x = 1$ в числитель и знаменатель дроби, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $1^2 + 2(1) - 3 = 0$ и $1 - 1 = 0$.

Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель $x^2 + 2x - 3$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Таким образом, разложение на множители имеет вид $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$.

Теперь подставим это разложение в исходный предел:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+3)}{x - 1}$

Поскольку $x$ стремится к 1, но не равен 1 ($x \neq 1$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-1)$:

$\lim_{x \to 1} (x+3)$

Теперь мы можем выполнить подстановку $x = 1$ в полученное выражение:

$1 + 3 = 4$

Ответ: 4

Требуется найти предел $\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{2x^2 + x - 6}$.

При подстановке значения $x = -2$ в выражение, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$: числитель $-2 + 2 = 0$, знаменатель $2(-2)^2 + (-2) - 6 = 2(4) - 2 - 6 = 8 - 8 = 0$.

Разложим знаменатель $2x^2 + x - 6$ на множители. Найдем корни уравнения $2x^2 + x - 6 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49$. Корни: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Тогда разложение знаменателя будет $2(x - x_1)(x - x_2) = 2(x - (-2))(x - \frac{3}{2}) = (x+2)(2x-3)$.

Перепишем предел с разложенным знаменателем:

$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x+2)(2x-3)}$

Сократим дробь на $(x+2)$, так как $x \neq -2$:

$\lim_{x \to -2} \frac{1}{2x-3}$

Подставим $x = -2$ в оставшееся выражение:

$\frac{1}{2(-2) - 3} = \frac{1}{-4 - 3} = -\frac{1}{7}$

Ответ: $-\frac{1}{7}$

Требуется найти предел $\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 - 2x - 3}$.

При подстановке $x = -1$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$: числитель $-1 + 1 = 0$, знаменатель $(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.

Разложим знаменатель $x^2 - 2x - 3$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 2x - 3 = (x - (-1))(x - 3) = (x+1)(x-3)$.

Подставим разложение в предел:

$\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{(x+1)(x-3)}$

Сократим общий множитель $(x+1)$:

$\lim_{x \to -1} \frac{1}{x-3}$

Теперь подставим значение $x = -1$:

$\frac{1}{-1 - 3} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

Требуется найти предел $\lim_{x \to 9} \frac{x^2 - 11x + 18}{x - 9}$.

Подстановка $x=9$ приводит к неопределенности $\frac{0}{0}$, так как $9^2 - 11(9) + 18 = 81 - 99 + 18 = 0$ и $9 - 9 = 0$.

Разложим числитель $x^2 - 11x + 18$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 11x + 18 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$. Следовательно, $x^2 - 11x + 18 = (x-2)(x-9)$.

Перепишем предел в новом виде:

$\lim_{x \to 9} \frac{(x-2)(x-9)}{x - 9}$

Сократим дробь на $(x-9)$, так как $x \neq 9$:

$\lim_{x \to 9} (x-2)$

Подставим $x=9$ в итоговое выражение:

$9 - 2 = 7$

Ответ: 7

26.28 Найдите приращение функции $y = 2x - 3$ при переходе от точки $x_0 = 3$ к точке $x_1$, если:

а) $x_1 = 3.2$;

б) $x_1 = 2.9$;

в) $x_1 = 3.5$;

г) $x_1 = 2.5$.

Приращение функции, обозначаемое как $ \Delta y $, — это разность между новым и первоначальным значениями функции. Оно вычисляется по формуле: $ \Delta y = y(x_1) - y(x_0) $, где $ x_0 $ — начальное значение аргумента, а $ x_1 $ — конечное значение аргумента.

В данной задаче дана функция $ y(x) = 2x - 3 $ и начальная точка $ x_0 = 3 $.

Сначала найдем значение функции в начальной точке $ x_0 $:
$ y(x_0) = y(3) = 2 \cdot 3 - 3 = 6 - 3 = 3 $.

Теперь, используя это значение, найдем приращение функции для каждого случая.

а) если $ x_1 = 3,2 $

Найдем значение функции в точке $ x_1 $:
$ y(x_1) = y(3,2) = 2 \cdot 3,2 - 3 = 6,4 - 3 = 3,4 $.

Найдем приращение функции:

$ \Delta y = y(x_1) - y(x_0) = 3,4 - 3 = 0,4 $.

Ответ: 0,4

б) если $ x_1 = 2,9 $

Найдем значение функции в точке $ x_1 $:
$ y(x_1) = y(2,9) = 2 \cdot 2,9 - 3 = 5,8 - 3 = 2,8 $.

Найдем приращение функции:

$ \Delta y = y(x_1) - y(x_0) = 2,8 - 3 = -0,2 $.

Ответ: -0,2

в) если $ x_1 = 3,5 $

Найдем значение функции в точке $ x_1 $:
$ y(x_1) = y(3,5) = 2 \cdot 3,5 - 3 = 7 - 3 = 4 $.

Найдем приращение функции:

$ \Delta y = y(x_1) - y(x_0) = 4 - 3 = 1 $.

Ответ: 1

г) если $ x_1 = 2,5 $

Найдем значение функции в точке $ x_1 $:
$ y(x_1) = y(2,5) = 2 \cdot 2,5 - 3 = 5 - 3 = 2 $.

Найдем приращение функции:

$ \Delta y = y(x_1) - y(x_0) = 2 - 3 = -1 $.

Ответ: -1

26.25 a) $ \lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^3 + 8}; $

б) $ \lim_{x \to -1} \frac{1 + x^3}{1 - x^2}; $

в) $ \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^3 - 27}; $

г) $ \lim_{x \to 4} \frac{16 - x^2}{64 - x^3}. $

а) Найдем предел $\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^3 + 8}$.

При подстановке $x = -2$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $-2 + 2 = 0$.
Знаменатель: $(-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим знаменатель на множители, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:
$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.

Теперь можем упростить выражение под знаком предела:
$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 - 2x + 4}$.

Подставим предельное значение $x = -2$ в упрощенное выражение:
$\frac{1}{(-2)^2 - 2(-2) + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

б) Найдем предел $\lim_{x \to -1} \frac{1 + x^3}{1 - x^2}$.

При подстановке $x = -1$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $1 + (-1)^3 = 1 - 1 = 0$.
Знаменатель: $1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель (сумма кубов): $1 + x^3 = (1 + x)(1 - x + x^2)$.
Знаменатель (разность квадратов): $1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$.

Упростим выражение под знаком предела:
$\lim_{x \to -1} \frac{(1 + x)(1 - x + x^2)}{(1 - x)(1 + x)} = \lim_{x \to -1} \frac{1 - x + x^2}{1 - x}$.

Подставим предельное значение $x = -1$:
$\frac{1 - (-1) + (-1)^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

в) Найдем предел $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^3 - 27}$.

При подстановке $x = 3$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $3 - 3 = 0$.
Знаменатель: $3^3 - 27 = 27 - 27 = 0$.

Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.

Упростим выражение под знаком предела:
$\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x^2 + 3x + 9}$.

Подставим предельное значение $x = 3$:
$\frac{1}{3^2 + 3 \cdot 3 + 9} = \frac{1}{9 + 9 + 9} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$.

г) Найдем предел $\lim_{x \to 4} \frac{16 - x^2}{64 - x^3}$.

При подстановке $x = 4$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $16 - 4^2 = 16 - 16 = 0$.
Знаменатель: $64 - 4^3 = 64 - 64 = 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель (разность квадратов): $16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4 - x)(4 + x)$.
Знаменатель (разность кубов): $64 - x^3 = 4^3 - x^3 = (4 - x)(16 + 4x + x^2)$.

Упростим выражение под знаком предела:
$\lim_{x \to 4} \frac{(4 - x)(4 + x)}{(4 - x)(16 + 4x + x^2)} = \lim_{x \to 4} \frac{4 + x}{16 + 4x + x^2}$.

Подставим предельное значение $x = 4$:
$\frac{4 + 4}{16 + 4 \cdot 4 + 4^2} = \frac{8}{16 + 16 + 16} = \frac{8}{48} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

26.29 Найдите приращение функции $y = x^2 + 2x$ при переходе от точки $x_0 = -2$ к точке $x_1$, если:

а) $x_1 = -1,9$;

б) $x_1 = -2,1$;

в) $x_1 = -1,5$;

г) $x_1 = -2,5$.

Приращение функции $\Delta y$ при переходе от точки $x_0$ к точке $x_1$ вычисляется по формуле: $\Delta y = y(x_1) - y(x_0)$.

Для заданной функции $y = x^2 + 2x$ и начальной точки $x_0 = -2$ сначала найдем значение функции в этой точке:

$y(x_0) = y(-2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = 4 - 4 = 0$.

Поскольку значение функции в начальной точке равно нулю, приращение функции будет равно значению функции в конечной точке $x_1$:

$\Delta y = y(x_1) - 0 = y(x_1)$.

Теперь вычислим приращение для каждого из предложенных случаев.

а) Если $x_1 = -1,9$, то приращение функции равно:

$\Delta y = y(-1,9) = (-1,9)^2 + 2 \cdot (-1,9) = 3,61 - 3,8 = -0,19$.

Ответ: $-0,19$.

б) Если $x_1 = -2,1$, то приращение функции равно:

$\Delta y = y(-2,1) = (-2,1)^2 + 2 \cdot (-2,1) = 4,41 - 4,2 = 0,21$.

Ответ: $0,21$.

в) Если $x_1 = -1,5$, то приращение функции равно:

$\Delta y = y(-1,5) = (-1,5)^2 + 2 \cdot (-1,5) = 2,25 - 3 = -0,75$.

Ответ: $-0,75$.

г) Если $x_1 = -2,5$, то приращение функции равно:

$\Delta y = y(-2,5) = (-2,5)^2 + 2 \cdot (-2,5) = 6,25 - 5 = 1,25$.

Ответ: $1,25$.

26.22 а) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 - x}$;

б) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{2 + x}$;

В) $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$;

Г) $\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{x^2 - 9}$.

а)

Найдем предел функции $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 - x}$. При прямой подстановке предельного значения $x=0$ в числитель и знаменатель дроби, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{0^2}{0^2 - 0} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия этой неопределенности необходимо упростить выражение. Вынесем в знаменателе общий множитель $x$ за скобки:

$x^2 - x = x(x-1)$

Теперь предел можно переписать в виде:

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x(x-1)}$

Поскольку $x$ стремится к нулю, но не равен ему ($x \neq 0$), мы можем сократить дробь на $x$:

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x-1}$

Теперь можно выполнить подстановку предельного значения $x=0$ в упрощенное выражение:

$\frac{0}{0-1} = \frac{0}{-1} = 0$

Ответ: $0$

б)

Найдем предел функции $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{2 + x}$. Прямая подстановка значения $x=-2$ приводит к неопределенности $\frac{0}{0}$:

$\frac{(-2)^2 - 4}{2 + (-2)} = \frac{4-4}{0} = \frac{0}{0}$

Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$

Подставим разложение в исходный предел:

$\lim_{x \to -2} \frac{(x-2)(x+2)}{2+x}$

Так как $x \to -2$, но $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x+2)$:

$\lim_{x \to -2} (x-2)$

Теперь подставим предельное значение $x=-2$:

$-2 - 2 = -4$

Ответ: $-4$

в)

Найдем предел функции $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$. При подстановке $x=5$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{5^2 - 25}{5 - 5} = \frac{25-25}{0} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия неопределенности разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$

Перепишем предел с разложенным числителем:

$\lim_{x \to 5} \frac{(x-5)(x+5)}{x - 5}$

Поскольку $x$ стремится к 5, но не равен 5, множитель $(x-5)$ не равен нулю, и мы можем на него сократить:

$\lim_{x \to 5} (x+5)$

Теперь подставляем значение $x=5$ в полученное выражение:

$5+5 = 10$

Ответ: $10$

г)

Найдем предел функции $\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{x^2 - 9}$. Прямая подстановка $x=-3$ дает неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{3 + (-3)}{(-3)^2 - 9} = \frac{0}{9-9} = \frac{0}{0}$

Чтобы раскрыть неопределенность, разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$

Подставим разложение в знаменатель предела:

$\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{(x-3)(x+3)}$

Так как $x \to -3$, но $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x+3)$:

$\lim_{x \to -3} \frac{1}{x-3}$

Теперь подставим предельное значение $x=-3$ в итоговое выражение:

$\frac{1}{-3-3} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$

26.26 a) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x^2 - 3x}$;

б) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x + 3} - \sqrt{2x - 7})$.

a) Найдём предел $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}$.

При подстановке предельного значения $x=3$ в функцию мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как:

Числитель: $\sqrt{3+6}-3 = \sqrt{9}-3 = 3-3 = 0$.

Знаменатель: $3^2 - 3 \cdot 3 = 9 - 9 = 0$.

Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $\sqrt{x+6}+3$.

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x} = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x+6}-3)(\sqrt{x+6}+3)}{(x^2-3x)(\sqrt{x+6}+3)}$

В числителе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$(\sqrt{x+6}-3)(\sqrt{x+6}+3) = (\sqrt{x+6})^2 - 3^2 = (x+6)-9 = x-3$.

В знаменателе вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^2-3x = x(x-3)$.

Подставим полученные выражения обратно в предел:

$\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)}$

Так как $x$ стремится к 3, но не равно 3, мы можем сократить дробь на множитель $(x-3)$:

$\lim_{x \to 3} \frac{1}{x(\sqrt{x+6}+3)}$

Теперь мы можем подставить значение $x=3$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{3(\sqrt{3+6}+3)} = \frac{1}{3(\sqrt{9}+3)} = \frac{1}{3(3+3)} = \frac{1}{3 \cdot 6} = \frac{1}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{18}$.

б) Найдём предел $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7})$.

При $x \to \infty$ оба корня стремятся к бесконечности, и мы получаем неопределенность вида $\infty - \infty$.

Для раскрытия этой неопределенности умножим и разделим наше выражение на сопряженное ему, то есть на $\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7}$.

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7}) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7})(\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7})}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7}}$

В числителе, как и в предыдущем примере, применяем формулу разности квадратов:

$(\sqrt{2x+3})^2 - (\sqrt{2x-7})^2 = (2x+3) - (2x-7) = 2x+3-2x+7 = 10$.

Теперь предел выглядит следующим образом:

$\lim_{x \to \infty} \frac{10}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7}}$

При $x \to \infty$ знаменатель дроби $\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7}$ стремится к $\infty + \infty$, то есть к бесконечности. Числитель же является константой (10). Предел отношения постоянной величины к бесконечно большой величине равен нулю.

$\frac{10}{\infty} = 0$.

Ответ: $0$.

26.30 Найдите приращение функции $y = \sqrt{x}$ при переходе от точки $x_0 = 1$ к точке $x_1 = x_0 + \Delta x$, если:

а) $\Delta x = 0,44$;

б) $\Delta x = -0,19$;

в) $\Delta x = 0,21$;

г) $\Delta x = 0,1025$.

Приращение функции $\Delta y$ — это разность между новым и старым значениями функции, возникающая из-за изменения аргумента на величину $\Delta x$. Формула для вычисления приращения функции $y = f(x)$ при переходе от точки $x_0$ к точке $x_1 = x_0 + \Delta x$ выглядит так:

$\Delta y = f(x_1) - f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

В данной задаче нам дана функция $y = \sqrt{x}$ и начальная точка $x_0 = 1$. Подставим эти значения в общую формулу:

$\Delta y = \sqrt{1 + \Delta x} - \sqrt{1} = \sqrt{1 + \Delta x} - 1$

Теперь вычислим приращение функции для каждого заданного значения $\Delta x$.

а) Если $\Delta x = 0,44$, то приращение функции равно:
$\Delta y = \sqrt{1 + 0,44} - 1 = \sqrt{1,44} - 1 = 1,2 - 1 = 0,2$.
Ответ: $0,2$.

б) Если $\Delta x = -0,19$, то приращение функции равно:
$\Delta y = \sqrt{1 + (-0,19)} - 1 = \sqrt{1 - 0,19} - 1 = \sqrt{0,81} - 1 = 0,9 - 1 = -0,1$.
Ответ: $-0,1$.

в) Если $\Delta x = 0,21$, то приращение функции равно:
$\Delta y = \sqrt{1 + 0,21} - 1 = \sqrt{1,21} - 1 = 1,1 - 1 = 0,1$.
Ответ: $0,1$.

г) Если $\Delta x = 0,1025$, то приращение функции равно:
$\Delta y = \sqrt{1 + 0,1025} - 1 = \sqrt{1,1025} - 1 = 1,05 - 1 = 0,05$.
Ответ: $0,05$.

1. Можно ли утверждать, что $17\pi$ – период функции $y = \operatorname{tg} x$, а $-20\pi$ – период функции $y = \operatorname{ctg} x$?

1.

По определению, число $T \neq 0$ называется периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции $f$ число $(x+T)$ также принадлежит области определения и выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Наименьший положительный период (который также называют основным периодом) функции $y = \tg x$ — это $T_0 = \pi$. Любое число вида $T = n \cdot T_0$, где $n$ — целое ненулевое число ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также является периодом этой функции.

Проверим, является ли число $17\pi$ периодом для $y = \tg x$. Для этого нужно найти такое целое $n$, что $17\pi = n \cdot \pi$. Разделив обе части на $\pi$, получаем $n=17$. Так как $17$ — это целое ненулевое число, то $17\pi$ является периодом функции $y = \tg x$.

Формальная проверка по определению: $\tg(x + 17\pi) = \tg x$. Это равенство верно для всех $x$ из области определения тангенса, поскольку $17\pi$ является целым кратным основного периода $\pi$.

Ответ: Да, можно утверждать, что $17\pi$ является периодом функции $y = \tg x$.

а)

Аналогично предыдущему пункту, наименьший положительный период функции $y = \ctg x$ также равен $T_0 = \pi$. Соответственно, любой период этой функции имеет вид $T = n \cdot \pi$, где $n \in \mathbb{Z}$ и $n \neq 0$.

Проверим, является ли число $-20\pi$ периодом для $y = \ctg x$. Для этого нужно найти целое число $n$, для которого выполняется равенство $-20\pi = n \cdot \pi$. Разделив обе части на $\pi$, получаем $n = -20$.

Так как $n = -20$ является целым ненулевым числом, то $-20\pi$ является периодом функции $y = \ctg x$. Следует отметить, что по определению период функции не обязан быть положительным, он должен быть лишь отличен от нуля.

Формальная проверка по определению: $\ctg(x + (-20\pi)) = \ctg(x - 20\pi) = \ctg x$. Равенство верно, так как $-20\pi$ — целое кратное основного периода $\pi$.

Ответ: Да, можно утверждать, что $-20\pi$ является периодом функции $y = \ctg x$.

2. Назовите основной период функции:

а) $y = \operatorname{tg} x;$

б) $y = \operatorname{ctg} x;$

в) $y = \operatorname{tg} 3x;$

г) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}.$

а) Основной период функции $y = \operatorname{tg} x$ — это стандартное значение для тангенса, которое равно $\pi$. Это наименьшее положительное число $T$, для которого выполняется равенство $\operatorname{tg}(x+T) = \operatorname{tg} x$ для любого $x$ из области определения функции.
Ответ: $\pi$.

б) Основной период функции $y = \operatorname{ctg} x$ — это стандартное значение для котангенса, которое равно $\pi$. Это наименьшее положительное число $T$, для которого выполняется равенство $\operatorname{ctg}(x+T) = \operatorname{ctg} x$ для любого $x$ из области определения функции.
Ответ: $\pi$.

в) Для нахождения основного периода функции вида $y = f(kx+b)$ используется формула $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период исходной функции $y = f(x)$.
В данном случае исходная функция — это $y = \operatorname{tg} x$, ее основной период $T_0 = \pi$.
Для функции $y = \operatorname{tg} 3x$ коэффициент $k = 3$.
Подставляем значения в формулу:
$T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

г) Используем ту же формулу, что и в предыдущем пункте: $T = \frac{T_0}{|k|}$.
В данном случае исходная функция — это $y = \operatorname{ctg} x$, ее основной период $T_0 = \pi$.
Для функции $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}$ коэффициент $k = \frac{1}{2}$.
Подставляем значения в формулу:
$T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.