Страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

26.15 а) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2}$;

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x^2 + 7x + 5}$;

В) $\lim_{x \to \infty} \frac{-2x - 1}{3x^2 - 4x + 1}$;

Г) $\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 4x - 3}{5x^2 + 2x + 1}$.

а) Чтобы найти предел $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2}$, мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.
$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^2 + 9}{x^2}}{\frac{x^2 + 2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^2}{x^2} + \frac{9}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}}$.
Поскольку при $x \to \infty$ выражения $\frac{9}{x^2}$ и $\frac{2}{x^2}$ стремятся к нулю, мы получаем:
$\frac{4 + 0}{1 + 0} = 4$.
Ответ: 4

б) Для нахождения предела $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x^2 + 7x + 5}$ мы также имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x^2 + 7x + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x - 1}{x^2}}{\frac{x^2 + 7x + 5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{7x}{x^2} + \frac{5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{5}{x^2}}$.
При $x \to \infty$ все слагаемые, содержащие $x$ в знаменателе (такие как $\frac{3}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{7}{x}$, $\frac{5}{x^2}$), стремятся к нулю. В результате получаем:
$\frac{0 - 0}{1 + 0 + 0} = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: 0

в) Для нахождения предела $\lim_{x \to \infty} \frac{-2x - 1}{3x^2 - 4x + 1}$ мы снова сталкиваемся с неопределенностью $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.
$\lim_{x \to \infty} \frac{-2x - 1}{3x^2 - 4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-2x - 1}{x^2}}{\frac{3x^2 - 4x + 1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-2x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{4x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{3 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}$.
Так как при $x \to \infty$ слагаемые $-\frac{2}{x}$, $-\frac{1}{x^2}$, $-\frac{4}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю, получаем:
$\frac{0 - 0}{3 - 0 + 0} = \frac{0}{3} = 0$.
Ответ: 0

г) Для нахождения предела $\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 4x - 3}{5x^2 + 2x + 1}$ мы имеем неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.
$\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 4x - 3}{5x^2 + 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10x^2 + 4x - 3}{x^2}}{\frac{5x^2 + 2x + 1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10x^2}{x^2} + \frac{4x}{x^2} - \frac{3}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{4}{x} - \frac{3}{x^2}}{5 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$.
При $x \to \infty$ все слагаемые, содержащие $x$ в знаменателе, стремятся к нулю. Таким образом, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях:
$\frac{10 + 0 - 0}{5 + 0 + 0} = \frac{10}{5} = 2$.
Ответ: 2

26.12 Известно, что $\lim_{x \to \infty} f(x) = 2$, $\lim_{x \to \infty} g(x) = -3$ и $\lim_{x \to \infty} h(x) = 9$.

Вычислите:

a) $\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x));$

б) $\lim_{x \to \infty} (g(x) \cdot f(x));$

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)g(x)}{h(x)};$

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{2h(x)}{3g(x)}.$

Для решения данной задачи используются основные теоремы о пределах (арифметические свойства пределов). Поскольку пределы функций $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ при $x \to \infty$ существуют и конечны, мы можем применять следующие правила:

• Предел суммы: $\lim_{x \to c} (u(x) + v(x)) = \lim_{x \to c} u(x) + \lim_{x \to c} v(x)$
• Предел произведения: $\lim_{x \to c} (u(x) \cdot v(x)) = (\lim_{x \to c} u(x)) \cdot (\lim_{x \to c} v(x))$
• Предел частного: $\lim_{x \to c} \frac{u(x)}{v(x)} = \frac{\lim_{x \to c} u(x)}{\lim_{x \to c} v(x)}$, при условии, что $\lim_{x \to c} v(x) \neq 0$.

По условию нам даны следующие значения пределов:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2$

$\lim_{x \to \infty} g(x) = -3$

$\lim_{x \to \infty} h(x) = 9$

Теперь вычислим каждый из требуемых пределов, подставляя данные значения.

а) $\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x))$

Используем правило о пределе суммы двух функций:

$\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} g(x) = 2 + (-3) = -1$.

Ответ: $-1$

б) $\lim_{x \to \infty} (g(x) \cdot f(x))$

Используем правило о пределе произведения двух функций:

$\lim_{x \to \infty} (g(x) \cdot f(x)) = (\lim_{x \to \infty} g(x)) \cdot (\lim_{x \to \infty} f(x)) = (-3) \cdot 2 = -6$.

Ответ: $-6$

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)g(x)}{h(x)}$

Применяем последовательно правила о пределе произведения и частного. Предел знаменателя не равен нулю ($\lim_{x \to \infty} h(x) = 9 \neq 0$), поэтому правило частного применимо.

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)g(x)}{h(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x))}{\lim_{x \to \infty} h(x)} = \frac{(\lim_{x \to \infty} f(x)) \cdot (\lim_{x \to \infty} g(x))}{\lim_{x \to \infty} h(x)} = \frac{2 \cdot (-3)}{9} = \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{2h(x)}{3g(x)}$

Константы можно выносить за знак предела. Затем применяем правило о пределе частного. Предел знаменателя не равен нулю ($\lim_{x \to \infty} 3g(x) = 3 \cdot (-3) = -9 \neq 0$), поэтому правило применимо.

$\lim_{x \to \infty} \frac{2h(x)}{3g(x)} = \frac{2 \cdot \lim_{x \to \infty} h(x)}{3 \cdot \lim_{x \to \infty} g(x)} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot (-3)} = \frac{18}{-9} = -2$.

Ответ: $-2$

26.16 Какая из функций, графики 23–30, имеет предел при $x \to 3$? Чему равен этот предел?

Рис. 23

Предел существует и равен $3$.

Рис. 24

Предел существует и равен $4$.

Рис. 25

Предел существует и равен $4$.

Рис. 26

Предел не существует.

Рис. 27

Предел существует и равен $\infty$.

Рис. 28

Предел не существует.

Рис. 29

Предел не существует.

Рис. 30

Предел существует и равен $0$.

Для того чтобы у функции существовал предел при $x \to 3$, необходимо, чтобы существовали и были равны друг другу односторонние пределы: предел слева (когда $x$ стремится к $3$, оставаясь меньше $3$) и предел справа (когда $x$ стремится к $3$, оставаясь больше $3$).

$\lim_{x \to 3} f(x) = L$ тогда и только тогда, когда $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = L$.

Рассмотрим каждый график:

Рис. 23: Когда $x$ стремится к $3$ слева, график приближается к значению $y=3$. Когда $x$ стремится к $3$ справа, график также приближается к $y=3$. Точка $(3, 3)$ выколота, то есть функция в ней не определена, но это не влияет на существование предела. Так как левый и правый пределы равны, предел существует.
Ответ: предел существует и равен $3$.

Рис. 24: Когда $x$ стремится к $3$ с обеих сторон, график приближается к значению $y=4$. Левый предел $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$, и правый предел $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 4$. Наличие отдельной точки $f(3)=3$ не влияет на значение предела. Так как односторонние пределы равны, предел существует.
Ответ: предел существует и равен $4$.

Рис. 25: Когда $x$ стремится к $3$ с обеих сторон, график приближается к значению $y=4$. Функция непрерывна в этой точке. Левый и правый пределы равны $4$.
Ответ: предел существует и равен $4$.

Рис. 26: Когда $x$ стремится к $3$ слева, график приближается к $y=3$ ($\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$). Когда $x$ стремится к $3$ справа, график приближается к $y=4$ ($\lim_{x \to 3^+} f(x) = 4$). Так как левый и правый пределы не равны ($3 \neq 4$), предел в этой точке не существует. Это разрыв первого рода (скачок).
Ответ: предел не существует.

Рис. 27: Когда $x$ стремится к $3$ с обеих сторон, значения функции неограниченно возрастают, то есть стремятся к $+\infty$. Прямая $x=3$ является вертикальной асимптотой. Поскольку предел не является конечным числом, он не существует.
Ответ: предел не существует.

Рис. 28: Когда $x$ стремится к $3$ слева, график приближается к $y=3$ ($\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$). Когда $x$ стремится к $3$ справа, значения функции неограниченно возрастают ($\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$). Так как односторонние пределы не равны (и один из них не является конечным числом), предел не существует.
Ответ: предел не существует.

Рис. 29: Когда $x$ стремится к $3$ слева, график приближается к $y=3$ ($\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$). Когда $x$ стремится к $3$ справа, график приближается к $y=5$ ($\lim_{x \to 3^+} f(x) = 5$). Так как левый и правый пределы не равны ($3 \neq 5$), предел в этой точке не существует. Это разрыв первого рода (скачок).
Ответ: предел не существует.

Рис. 30: Функция (парабола) непрерывна в точке $x=3$. Когда $x$ стремится к $3$ с обеих сторон, график приближается к вершине параболы, где $y=1$. Левый и правый пределы равны $1$.
Ответ: предел существует и равен $1$.

Вычислите:

26.13 a) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3} \right);$

В) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2}{x^2} + \frac{8}{x^3} \right);$

б) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{5}{x^3} + 1 \right) \cdot \left( -\frac{8}{x^2} - 2 \right);$

г) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{7}{x^6} - 2 \right) \cdot \left( -\frac{6}{x^{10}} - 3 \right).$

а) Для вычисления предела $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3}\right)$ воспользуемся свойством предела суммы. Предел суммы функций равен сумме их пределов, если каждый из них существует.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} + \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^3}$
Мы используем основное свойство пределов на бесконечности: $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$ для любой константы $c$ и любого $n > 0$.
Применяя это правило к каждому слагаемому, получаем:
$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$ (здесь $c=1, n=2$)
$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^3} = 0$ (здесь $c=3, n=3$)
Следовательно, искомый предел равен сумме этих значений:
$0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

б) Для вычисления предела $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right) \cdot \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right)$ воспользуемся свойством предела произведения. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если каждый из них существует.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right) \cdot \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right) = \left(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right)\right) \cdot \left(\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right)\right)$
Вычислим предел каждого сомножителя отдельно.
Для первого сомножителя:
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^3} + \lim_{x \to \infty} 1 = 0 + 1 = 1$
Для второго сомножителя:
$\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right) = \lim_{x \to \infty} \left(-\frac{8}{x^2}\right) - \lim_{x \to \infty} 2 = 0 - 2 = -2$
Теперь перемножим полученные результаты:
$1 \cdot (-2) = -2$
Ответ: $-2$

в) Для вычисления предела $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{x^2} + \frac{8}{x^3}\right)$ используем свойство предела суммы.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{x^2} + \frac{8}{x^3}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2} + \lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^3}$
Используя правило $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$ при $n > 0$, находим пределы каждого слагаемого:
$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2} = 0$
$\lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^3} = 0$
Складываем полученные значения:
$0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

г) Для вычисления предела $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) \cdot \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right)$ используем свойство предела произведения.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) \cdot \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right) = \left(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right)\right) \cdot \left(\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right)\right)$
Рассчитаем предел для каждого из сомножителей.
Для первого сомножителя:
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^6} - \lim_{x \to \infty} 2 = 0 - 2 = -2$
Для второго сомножителя:
$\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right) = \lim_{x \to \infty} \left(-\frac{6}{x^{10}}\right) - \lim_{x \to \infty} 3 = 0 - 3 = -3$
Перемножаем результаты:
$(-2) \cdot (-3) = 6$
Ответ: $6$

26.17 Изобразите эскиз графика какой-нибудь функции $y=g(x)$, обладающей заданным свойством:

a) $\lim_{x \to -1} g(x) = 2;$

б) $\lim_{x \to 2} g(x) = -3;$

в) $\lim_{x \to -7} g(x) = -4;$

г) $\lim_{x \to 5} g(x) = 3,5.$

а)

Условие $\lim_{x \to -1} g(x) = 2$ означает, что при стремлении аргумента $x$ к числу $-1$, значения функции $g(x)$ стремятся к числу $2$. Геометрически это означает, что точки графика функции $y=g(x)$ при приближении их абсциссы к $-1$ неограниченно приближаются к точке с координатами $(-1, 2)$.

Чтобы изобразить эскиз такого графика, можно нарисовать координатную плоскость, отметить на ней точку $(-1, 2)$ и провести через неё любую непрерывную линию. Самый простой пример — это горизонтальная прямая $y=2$.

Также можно изобразить функцию, которая не определена в точке $x = -1$ или имеет в ней другое значение. В этом случае на графике в точке $(-1, 2)$ будет "выколотая" точка (незакрашенный кружок), а ветви графика будут подходить к этой точке слева и справа.

Ответ: Эскиз графика может представлять собой любую кривую, которая в окрестности точки $x = -1$ стремится к значению $y = 2$. Например, это может быть непрерывная кривая, проходящая через точку $(-1, 2)$ (как прямая или парабола), или кривая с выколотой точкой в $(-1, 2)$.

б)

Условие $\lim_{x \to 2} g(x) = -3$ означает, что при стремлении аргумента $x$ к числу $2$, значения функции $g(x)$ стремятся к числу $-3$. На графике это означает, что при приближении абсциссы $x$ к $2$, точки графика функции $y=g(x)$ неограниченно приближаются к точке с координатами $(2, -3)$.

Для построения эскиза нужно нарисовать на координатной плоскости кривую, которая в окрестности точки $x=2$ подходит как можно ближе к значению $y=-3$.

Простейшим примером такой функции является постоянная функция $g(x)=-3$. Её график — это горизонтальная прямая. Также можно нарисовать любую другую непрерывную кривую, проходящую через точку $(2, -3)$.

Ответ: Эскиз графика — это любая кривая, которая в окрестности точки $x = 2$ приближается к прямой $y=-3$. Например, это может быть непрерывная кривая, проходящая через точку $(2, -3)$, или кривая с выколотой точкой в $(2, -3)$.

в)

Условие $\lim_{x \to -7} g(x) = -4$ означает, что когда $x$ стремится к $-7$, значения $g(x)$ стремятся к $-4$. Геометрически это интерпретируется так: точки на графике функции $y=g(x)$ подходят сколь угодно близко к точке $(-7, -4)$, когда их абсцисса $x$ подходит к $-7$.

Для эскиза можно изобразить любую кривую, которая в окрестности $x = -7$ приближается к точке $(-7, -4)$. Например, можно нарисовать график непрерывной функции, проходящий через эту точку. Это может быть прямая, парабола или любая другая гладкая кривая.

Например, функция $g(x) = x+3$ удовлетворяет этому условию, так как $\lim_{x \to -7} (x+3) = -7+3 = -4$. Её график — это прямая, проходящая через точку $(-7, -4)$.

Ответ: Эскиз графика — это любая кривая, которая в окрестности точки $x = -7$ приближается к прямой $y=-4$. Например, это может быть непрерывная кривая, проходящая через точку $(-7, -4)$, или кривая с выколотой точкой в $(-7, -4)$.

г)

Условие $\lim_{x \to 5} g(x) = 3,5$ означает, что при стремлении аргумента $x$ к числу $5$, значения функции $g(x)$ стремятся к числу $3,5$. На графике это означает, что при приближении абсциссы $x$ к $5$, точки графика функции $y=g(x)$ неограниченно приближаются к точке с координатами $(5; 3,5)$.

Эскиз графика должен показывать кривую, которая в окрестности $x=5$ подходит к уровню $y=3,5$. Можно нарисовать кривую, которая проходит через точку $(5; 3,5)$, например, параболу $y = -(x-5)^2 + 3,5$.

Чтобы подчеркнуть, что значение предела не зависит от значения функции в самой точке, можно нарисовать график с "выколотой точкой". Например, график функции $g(x)=3,5$ при $x \ne 5$ и $g(5)=1$. На эскизе это будет горизонтальная прямая $y=3,5$ с выколотой точкой в $(5; 3,5)$ и одной закрашенной точкой в $(5, 1)$.

Ответ: Эскиз графика — это любая кривая, которая в окрестности точки $x = 5$ приближается к прямой $y=3,5$. Например, это может быть непрерывная кривая, проходящая через точку $(5; 3,5)$, или кривая с выколотой точкой в $(5; 3,5)$.

26.14 a) $lim_{x\to\infty} \frac{x+1}{x-2};$

б) $lim_{x\to\infty} \frac{3x-4}{2x+7};$

В) $lim_{x\to\infty} \frac{x-4}{x+3};$

Г) $lim_{x\to\infty} \frac{7x+9}{6x-1}.$

а)

Чтобы найти предел функции $\lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-2}$, мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $x$, то есть на $x$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{x-2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$

Поскольку при $x \to \infty$, выражения $\frac{1}{x}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к нулю (так как предел $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$ при $n>0$), мы можем подставить их предельные значения:

$\frac{1 + 0}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: 1

б)

Найдем предел $\lim_{x \to \infty} \frac{3x-4}{2x+7}$. Здесь также имеем неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$, так как при $x \to \infty$ и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на $x$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x-4}{2x+7} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x-4}{x}}{\frac{2x+7}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{4}{x}}{2 + \frac{7}{x}}$

При $x \to \infty$, дроби $\frac{4}{x}$ и $\frac{7}{x}$ стремятся к 0. Подставляем предельные значения:

$\frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

в)

Для предела $\lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x+3}$ снова используем метод деления на старшую степень $x$, чтобы раскрыть неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x+3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x-4}{x}}{\frac{x+3}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}}$

Так как $\lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} = 0$ и $\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} = 0$, получаем:

$\frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: 1

г)

Вычислим предел $\lim_{x \to \infty} \frac{7x+9}{6x-1}$. Это неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $x$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{7x+9}{6x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7x+9}{x}}{\frac{6x-1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{9}{x}}{6 - \frac{1}{x}}$

Учитывая, что при $x \to \infty$, выражения $\frac{9}{x}$ и $\frac{1}{x}$ стремятся к 0, находим значение предела:

$\frac{7 + 0}{6 - 0} = \frac{7}{6}$

Ответ: $\frac{7}{6}$