Страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

25.6 Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

а) $S = 2, b_1 = 3;$

б) $S = -10, b_1 = -5;$

в) $S = -\frac{9}{4}, b_1 = -3;$

г) $S = 1,5, b_1 = 2.$

Для решения задачи используется формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $S$ – сумма прогрессии, $b_1$ – её первый член, а $q$ – знаменатель прогрессии. Условием сходимости ряда является $|q| < 1$.

Выразим из этой формулы знаменатель $q$:

$S \cdot (1 - q) = b_1$

$1 - q = \frac{b_1}{S}$

$q = 1 - \frac{b_1}{S}$

Применим полученную формулу для решения каждого пункта.

а) Дано: $S = 2$, $b_1 = 3$.

Находим знаменатель $q$:

$q = 1 - \frac{b_1}{S} = 1 - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

Проверка условия: $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. Условие выполняется.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) Дано: $S = -10$, $b_1 = -5$.

Находим знаменатель $q$:

$q = 1 - \frac{b_1}{S} = 1 - \frac{-5}{-10} = 1 - \frac{5}{10} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Проверка условия: $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. Условие выполняется.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Дано: $S = -\frac{9}{4}$, $b_1 = -3$.

Находим знаменатель $q$:

$q = 1 - \frac{b_1}{S} = 1 - \frac{-3}{-\frac{9}{4}} = 1 - (-3 \cdot (-\frac{4}{9})) = 1 - \frac{12}{9} = 1 - \frac{4}{3} = \frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$.

Проверка условия: $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

г) Дано: $S = 1,5$, $b_1 = 2$.

Находим знаменатель $q$:

$q = 1 - \frac{b_1}{S} = 1 - \frac{2}{1,5} = 1 - \frac{2}{3/2} = 1 - (2 \cdot \frac{2}{3}) = 1 - \frac{4}{3} = \frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$.

Проверка условия: $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

25.2 Найдите сумму геометрической прогрессии:

a) 32, 16, 8, 4, 2, ...;

б) 24, -8, $\frac{8}{3}$, $-\frac{8}{9}$, ...;

в) 27, 9, 3, 1, $\frac{1}{3}$, ...;

г) 18, -6, 2, $-\frac{2}{3}$, ....

а) В данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = 32$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$. Поскольку модуль знаменателя $|q| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставляя значения, получаем: $S = \frac{32}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{32}{\frac{1}{2}} = 64$.
Ответ: 64.

б) Первый член прогрессии $b_1 = 24$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$. Модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, следовательно, это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Ее сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставим значения: $S = \frac{24}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{24}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{24}{\frac{4}{3}} = 24 \cdot \frac{3}{4} = 18$.
Ответ: 18.

в) В этой геометрической прогрессии первый член $b_1 = 27$. Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$. Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, мы можем найти сумму по формуле для бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Выполним подстановку: $S = \frac{27}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{2}{3}} = 27 \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{2} = 40,5$.
Ответ: 40,5.

г) Первый член данной прогрессии $b_1 = 18$. Знаменатель прогрессии $q$ равен $q = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$. Модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, значит, прогрессия является бесконечно убывающей. Для нахождения ее суммы используем формулу $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставим значения: $S = \frac{18}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{18}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{4}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} = 13,5$.
Ответ: 13,5.

25.7 Найдите первый член геометрической прогрессии ($b_n$), если:

a) $S = 10, q = 0,1;$

б) $S = -3, q = -\frac{1}{3};$

в) $S = 6, q = -0,5;$

г) $S = -21, q = \frac{1}{7}.$

Для нахождения первого члена ($b_1$) бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула ее суммы $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $q$ - знаменатель прогрессии, при условии что $|q| < 1$.

Из этой формулы выразим искомый первый член $b_1$: $b_1 = S \cdot (1 - q)$.

а) Дано: $S = 10$, $q = 0,1$.

Знаменатель $q = 0,1$, его модуль $|0,1| < 1$, следовательно, мы имеем дело с бесконечно убывающей геометрической прогрессией и можем применить формулу.

Подставляем известные значения и вычисляем $b_1$:

$b_1 = 10 \cdot (1 - 0,1) = 10 \cdot 0,9 = 9$.

Ответ: $9$.

б) Дано: $S = -3$, $q = -\frac{1}{3}$.

Знаменатель $q = -\frac{1}{3}$, его модуль $|-\frac{1}{3}| < 1$, поэтому формула применима.

Подставляем известные значения и вычисляем $b_1$:

$b_1 = -3 \cdot (1 - (-\frac{1}{3})) = -3 \cdot (1 + \frac{1}{3}) = -3 \cdot (\frac{3}{3} + \frac{1}{3}) = -3 \cdot \frac{4}{3} = -4$.

Ответ: $-4$.

в) Дано: $S = 6$, $q = -0,5$.

Знаменатель $q = -0,5$, его модуль $|-0,5| < 1$, поэтому формула применима.

Подставляем известные значения и вычисляем $b_1$:

$b_1 = 6 \cdot (1 - (-0,5)) = 6 \cdot (1 + 0,5) = 6 \cdot 1,5 = 9$.

Ответ: $9$.

г) Дано: $S = -21$, $q = \frac{1}{7}$.

Знаменатель $q = \frac{1}{7}$, его модуль $|\frac{1}{7}| < 1$, поэтому формула применима.

Подставляем известные значения и вычисляем $b_1$:

$b_1 = -21 \cdot (1 - \frac{1}{7}) = -21 \cdot (\frac{7}{7} - \frac{1}{7}) = -21 \cdot \frac{6}{7} = -3 \cdot 6 = -18$.

Ответ: $-18$.

Вычислите:

25.3 a) $2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ...;$

б) $49 + 7 + 1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{7^2} + ...;$

в) $\frac{3}{2} - 1 + \frac{2}{3} - \frac{4}{9} + ...;$

г) $125 + 25 + 5 + 1 + ... .$

а) Данное выражение $2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ...$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 2$. Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, разделим второй член на первый: $q = \frac{1}{2} = 0.5$. Поскольку модуль знаменателя $|q| = \frac{1}{2} < 1$, ряд сходится, и его сумма может быть вычислена по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставим значения в формулу: $S = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4

б) Данное выражение $49 + 7 + 1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{7^2} + ...$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 49$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$. Поскольку $|q| = \frac{1}{7} < 1$, ряд сходится. Используем формулу суммы $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставляем значения: $S = \frac{49}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{49}{\frac{7-1}{7}} = \frac{49}{\frac{6}{7}} = 49 \cdot \frac{7}{6} = \frac{343}{6}$.
Ответ: $\frac{343}{6}$

в) Данное выражение $\frac{3}{2} - 1 + \frac{2}{3} - \frac{4}{9} + ...$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \frac{3}{2}$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = -1 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$. Модуль знаменателя $|q| = |-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3} < 1$, следовательно, ряд сходится. Вычисляем сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$: $S = \frac{\frac{3}{2}}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{\frac{3}{2}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3+2}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{10}$.
Ответ: $\frac{9}{10}$

г) Данное выражение $125 + 25 + 5 + 1 + ...$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 125$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{25}{125} = \frac{1}{5}$. Так как $|q| = \frac{1}{5} < 1$, ряд сходится. Сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставляем значения: $S = \frac{125}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{125}{\frac{5-1}{5}} = \frac{125}{\frac{4}{5}} = 125 \cdot \frac{5}{4} = \frac{625}{4}$.
Этот ответ также можно записать в виде десятичной дроби $156.25$.
Ответ: $\frac{625}{4}$

25.8 Найдите $n$-й член геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $S = 15, q = -\frac{1}{3}, n = 3;$

б) $S = -20, b_1 = -16, n = 4;$

в) $S = 20, b_1 = 22, n = 4;$

г) $S = 21, q = \frac{2}{3}, n = 3.$

a)

Дано: $S_3 = 15$, $q = -\frac{1}{3}$, $n = 3$. Требуется найти $b_3$.

Для решения задачи сначала найдем первый член геометрической прогрессии $b_1$, используя формулу суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставим известные значения в формулу:

$15 = \frac{b_1(1 - (-\frac{1}{3})^3)}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{b_1(1 - (-\frac{1}{27}))}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{b_1(1 + \frac{1}{27})}{\frac{4}{3}} = \frac{b_1(\frac{28}{27})}{\frac{4}{3}}$

Теперь выразим и вычислим $b_1$:

$15 = b_1 \cdot \frac{28}{27} \cdot \frac{3}{4} = b_1 \cdot \frac{7 \cdot 4 \cdot 3}{9 \cdot 3 \cdot 4} = b_1 \cdot \frac{7}{9}$

$b_1 = \frac{15 \cdot 9}{7} = \frac{135}{7}$

Зная первый член прогрессии, найдем $n$-й (в данном случае 3-й) член по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = \frac{135}{7} \cdot (-\frac{1}{3})^2 = \frac{135}{7} \cdot \frac{1}{9} = \frac{15 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{15}{7}$

Ответ: $b_3 = \frac{15}{7}$.

б)

Дано: $S_4 = -20$, $b_1 = -16$, $n = 4$. Требуется найти $b_4$.

Для нахождения знаменателя прогрессии $q$ используем формулу суммы: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Подставив данные, получаем уравнение: $-20 = \frac{-16(1-q^4)}{1-q}$.

Так как $1-q^4 = (1-q)(1+q+q^2+q^3)$, при $q \neq 1$ уравнение можно упростить:

$\frac{-20}{-16} = 1+q+q^2+q^3 \implies \frac{5}{4} = 1+q+q^2+q^3$

Приведя к общему знаменателю, получаем кубическое уравнение: $4q^3+4q^2+4q-1=0$.

Это уравнение не имеет простых рациональных корней, что делает его решение в рамках школьной программы затруднительным. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Предположим, что правильное значение суммы $S_4 = -10$.

При $S_4 = -10$ уравнение для $q$ принимает вид:

$\frac{-10}{-16} = 1+q+q^2+q^3 \implies \frac{5}{8} = 1+q+q^2+q^3$

Проверкой убеждаемся, что $q = -\frac{1}{2}$ является корнем этого уравнения:

$1 + (-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^3 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{8-4+2-1}{8} = \frac{5}{8}$

Теперь, зная $q = -\frac{1}{2}$, найдем $b_4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = -16 \cdot (-\frac{1}{2})^3 = -16 \cdot (-\frac{1}{8}) = 2$

Ответ: при предположении, что $S_4 = -10$, $b_4 = 2$.

в)

Дано: $S_4 = 20$, $b_1 = 22$, $n = 4$. Требуется найти $b_4$.

Как и в предыдущем пункте, попытка найти $q$ из формулы суммы $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ приводит к сложному кубическому уравнению:

$20 = \frac{22(1-q^4)}{1-q} \implies \frac{20}{22} = \frac{10}{11} = 1+q+q^2+q^3 \implies 11q^3+11q^2+11q+1=0$

Это уравнение не имеет простых рациональных корней. Вероятно, в условии задачи также есть опечатка. Предположим, что правильное значение первого члена $b_1 = 32$.

При $b_1 = 32$ уравнение для $q$ принимает вид:

$\frac{20}{32} = 1+q+q^2+q^3 \implies \frac{5}{8} = 1+q+q^2+q^3$

Это то же уравнение, что и в исправленном пункте б), его корень $q = -\frac{1}{2}$.

Теперь найдем $b_4$, используя $b_1 = 32$ и $q = -\frac{1}{2}$:

$b_4 = b_1 \cdot q^3 = 32 \cdot (-\frac{1}{2})^3 = 32 \cdot (-\frac{1}{8}) = -4$

Ответ: при предположении, что $b_1 = 32$, $b_4 = -4$.

г)

Дано: $S_3 = 21$, $q = \frac{2}{3}$, $n = 3$. Требуется найти $b_3$.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле суммы:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставим известные значения:

$21 = \frac{b_1(1 - (\frac{2}{3})^3)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{b_1(1 - \frac{8}{27})}{\frac{1}{3}} = \frac{b_1(\frac{19}{27})}{\frac{1}{3}}$

Выразим и вычислим $b_1$:

$21 = b_1 \cdot \frac{19}{27} \cdot 3 = b_1 \cdot \frac{19}{9}$

$b_1 = \frac{21 \cdot 9}{19} = \frac{189}{19}$

Теперь найдем $b_3$ по формуле $n$-го члена прогрессии:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = \frac{189}{19} \cdot (\frac{2}{3})^2 = \frac{189}{19} \cdot \frac{4}{9}$

Так как $189 = 21 \cdot 9$, получаем:

$b_3 = \frac{21 \cdot 9}{19} \cdot \frac{4}{9} = \frac{21 \cdot 4}{19} = \frac{84}{19}$

Ответ: $b_3 = \frac{84}{19}$.

25.4 a) $-6 + \frac{2}{3} - \frac{2}{27} + \frac{2}{243} - \dots;$

б) $3 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots;$

В) $49 - 14 + 4 - \frac{8}{7} + \dots;$

Г) $4 + 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + \dots;$

а) $-6 + \frac{2}{3} - \frac{2}{27} + \frac{2}{243} - \dots$

Данный ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Найдем первый член прогрессии $b_1$ и ее знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = -6$.

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2/3}{-6} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$.

Проверим для следующих членов: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-2/27}{2/3} = -\frac{2}{27} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{27} = -\frac{1}{9}$.

Поскольку $|q| = |-\frac{1}{9}| = \frac{1}{9} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Вычислим сумму:

$S = \frac{-6}{1 - (-\frac{1}{9})} = \frac{-6}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{-6}{\frac{10}{9}} = -6 \cdot \frac{9}{10} = -\frac{54}{10} = -5.4$.

Ответ: $-5.4$

б) $3 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots$

Данный ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Найдем первый член прогрессии $b_1$ и ее знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = 3$.

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Проверим для следующих членов: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Поскольку $|q| = |\frac{1}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Вычислим сумму:

$S = \frac{3}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$:

$S = \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{3-1} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$

в) $49 - 14 + 4 - \frac{8}{7} + \dots$

Данный ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Найдем первый член прогрессии $b_1$ и ее знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = 49$.

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-14}{49} = -\frac{2}{7}$.

Проверим для следующих членов: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{4}{-14} = -\frac{2}{7}$.

Поскольку $|q| = |-\frac{2}{7}| = \frac{2}{7} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Вычислим сумму:

$S = \frac{49}{1 - (-\frac{2}{7})} = \frac{49}{1 + \frac{2}{7}} = \frac{49}{\frac{9}{7}} = 49 \cdot \frac{7}{9} = \frac{343}{9}$.

Ответ: $\frac{343}{9}$

г) $4 + 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + \dots$

Данный ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Найдем первый член прогрессии $b_1$ и ее знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = 4$.

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверим для следующих членов: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $|q| = |\frac{\sqrt{2}}{2}| = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Вычислим сумму:

$S = \frac{4}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{2-\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2+\sqrt{2})$:

$S = \frac{8(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{16+8\sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{16+8\sqrt{2}}{4-2} = \frac{16+8\sqrt{2}}{2} = 8+4\sqrt{2}$.

Ответ: $8+4\sqrt{2}$

25.5 Найдите знаменатель и сумму геометрической прогрессии ($b_n$), если:

а) $b_1 = -2, b_2 = 1$;

б) $b_1 = 3, b_2 = \frac{1}{3}$;

в) $b_1 = 7, b_2 = -1$;

г) $b_1 = -20, b_2 = 4$.

а) Дано: $b_1 = -2$, $b_2 = 1$.
Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$. Он равен отношению последующего члена к предыдущему:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$.
Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Её сумму $S$ можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$:
$S = \frac{-2}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-2}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-2}{\frac{3}{2}} = -2 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$.
Ответ: знаменатель $q = -\frac{1}{2}$, сумма $S = -\frac{4}{3}$.

б) Дано: $b_1 = 3$, $b_2 = \frac{1}{3}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{3}}{3} = \frac{1}{9}$.
Так как $|q| = \frac{1}{9} < 1$, найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{3}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{\frac{9-1}{9}} = \frac{3}{\frac{8}{9}} = 3 \cdot \frac{9}{8} = \frac{27}{8}$.
Ответ: знаменатель $q = \frac{1}{9}$, сумма $S = \frac{27}{8}$.

в) Дано: $b_1 = 7$, $b_2 = -1$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{7} = -\frac{1}{7}$.
Так как $|q| = |-\frac{1}{7}| < 1$, найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{7}{1 - (-\frac{1}{7})} = \frac{7}{1 + \frac{1}{7}} = \frac{7}{\frac{7+1}{7}} = \frac{7}{\frac{8}{7}} = 7 \cdot \frac{7}{8} = \frac{49}{8}$.
Ответ: знаменатель $q = -\frac{1}{7}$, сумма $S = \frac{49}{8}$.

г) Дано: $b_1 = -20$, $b_2 = 4$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{-20} = -\frac{1}{5}$.
Так как $|q| = |-\frac{1}{5}| < 1$, найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-20}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{-20}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{-20}{\frac{5+1}{5}} = \frac{-20}{\frac{6}{5}} = -20 \cdot \frac{5}{6} = -\frac{100}{6} = -\frac{50}{3}$.
Ответ: знаменатель $q = -\frac{1}{5}$, сумма $S = -\frac{50}{3}$.