Страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

24.15 a) $x_1 = 2, x_n = nx_{n-1};$

Б) $x_1 = -5, x_n = -0,5 \cdot x_{n-1};$

В) $x_1 = -2, x_n = -x_{n-1};$

Г) $x_1 = 1, x_n = \frac{x_{n-1}}{0,1}.$

a) Дана последовательность, в которой первый член $x_1 = 2$, а каждый последующий член, начиная со второго, вычисляется по рекуррентной формуле $x_n = n \cdot x_{n-1}$.

Найдем первые четыре члена этой последовательности, последовательно подставляя значения $n=2, 3, 4$ в формулу:

Первый член задан по условию: $x_1 = 2$.

Для $n=2$: $x_2 = 2 \cdot x_{2-1} = 2 \cdot x_1 = 2 \cdot 2 = 4$.

Для $n=3$: $x_3 = 3 \cdot x_{3-1} = 3 \cdot x_2 = 3 \cdot 4 = 12$.

Для $n=4$: $x_4 = 4 \cdot x_{4-1} = 4 \cdot x_3 = 4 \cdot 12 = 48$.

Ответ: Первые четыре члена последовательности: 2, 4, 12, 48.

б) Дана последовательность, в которой первый член $x_1 = -5$, а каждый последующий член, начиная со второго, вычисляется по рекуррентной формуле $x_n = -0,5 \cdot x_{n-1}$. Эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = -0,5$.

Найдем первые четыре члена этой последовательности:

Первый член задан по условию: $x_1 = -5$.

Для $n=2$: $x_2 = -0,5 \cdot x_1 = -0,5 \cdot (-5) = 2,5$.

Для $n=3$: $x_3 = -0,5 \cdot x_2 = -0,5 \cdot 2,5 = -1,25$.

Для $n=4$: $x_4 = -0,5 \cdot x_3 = -0,5 \cdot (-1,25) = 0,625$.

Ответ: Первые четыре члена последовательности: -5; 2,5; -1,25; 0,625.

в) Дана последовательность, в которой первый член $x_1 = -2$, а каждый последующий член, начиная со второго, вычисляется по рекуррентной формуле $x_n = -x_{n-1}$. Эта последовательность является знакочередующейся геометрической прогрессией со знаменателем $q = -1$.

Найдем первые четыре члена этой последовательности:

Первый член задан по условию: $x_1 = -2$.

Для $n=2$: $x_2 = -x_1 = -(-2) = 2$.

Для $n=3$: $x_3 = -x_2 = -(2) = -2$.

Для $n=4$: $x_4 = -x_3 = -(-2) = 2$.

Ответ: Первые четыре члена последовательности: -2, 2, -2, 2.

г) Дана последовательность, в которой первый член $x_1 = 1$, а каждый последующий член, начиная со второго, вычисляется по рекуррентной формуле $x_n = \frac{x_{n-1}}{0,1}$.

Заметим, что деление на $0,1$ эквивалентно умножению на 10. Таким образом, формулу можно переписать в виде $x_n = 10 \cdot x_{n-1}$. Эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 10$.

Найдем первые четыре члена этой последовательности:

Первый член задан по условию: $x_1 = 1$.

Для $n=2$: $x_2 = 10 \cdot x_1 = 10 \cdot 1 = 10$.

Для $n=3$: $x_3 = 10 \cdot x_2 = 10 \cdot 10 = 100$.

Для $n=4$: $x_4 = 10 \cdot x_3 = 10 \cdot 100 = 1000$.

Ответ: Первые четыре члена последовательности: 1, 10, 100, 1000.

24.16 Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности:

а) $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{8}$, $\frac{9}{10}$, ...;

б) $\frac{2}{\sqrt{3}}$, $\frac{4}{3}$, $\frac{6}{3\sqrt{3}}$, $\frac{8}{9}$, $\frac{10}{9\sqrt{3}}$, ...;

в) $\frac{3}{4}$, $\frac{9}{16}$, $\frac{27}{64}$, $\frac{81}{256}$, $\frac{243}{1024}$, ...;

г) $\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{2\sqrt{2}}$, $\frac{7}{4}$, $\frac{9}{4\sqrt{2}}$, ... .

а) Обозначим $n$-й член последовательности как $a_n$. Последовательность имеет вид: $-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{5}{6}, \frac{7}{8}, -\frac{9}{10}, \dots$

Рассмотрим составные части каждого члена последовательности.

1. Знаки: Знаки членов последовательности чередуются, начиная с минуса (-, +, -, +, ...). Такое чередование можно описать с помощью множителя $(-1)^n$, так как при $n=1$ он равен $-1$, при $n=2$ он равен $1$, и так далее.

2. Числители: Последовательность числителей — $1, 3, 5, 7, 9, \dots$. Это арифметическая прогрессия, у которой первый член равен $1$, а разность равна $2$. Формула $n$-го члена такой прогрессии: $1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n-1$.

3. Знаменатели: Последовательность знаменателей — $2, 4, 6, 8, 10, \dots$. Это последовательность четных чисел, или арифметическая прогрессия с первым членом $2$ и разностью $2$. Формула $n$-го члена: $2 + (n-1) \cdot 2 = 2 + 2n - 2 = 2n$.

Объединяя все три компонента, получаем формулу для $n$-го члена исходной последовательности.

Ответ: $a_n = (-1)^n \frac{2n-1}{2n}$

б) Обозначим $n$-й член последовательности как $b_n$. Последовательность имеет вид: $\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{4}{3}, \frac{6}{3\sqrt{3}}, \frac{8}{9}, \frac{10}{9\sqrt{3}}, \dots$

1. Числители: Последовательность числителей — $2, 4, 6, 8, 10, \dots$. Это последовательность четных чисел, формула $n$-го члена которой равна $2n$.

2. Знаменатели: Последовательность знаменателей — $\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, 9, 9\sqrt{3}, \dots$. Заметим, что это геометрическая прогрессия. Найдем её знаменатель, разделив второй член на первый: $q = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. Первый член равен $\sqrt{3}$. Таким образом, $n$-й член знаменателя можно записать по формуле $b_1 \cdot q^{n-1} = \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1} = (\sqrt{3})^n$. Эту же последовательность можно представить как степени числа $\sqrt{3}$: $(\sqrt{3})^1, (\sqrt{3})^2, (\sqrt{3})^3, \dots$.

Объединяя формулы для числителя и знаменателя, получаем общую формулу.

Ответ: $b_n = \frac{2n}{(\sqrt{3})^n}$

в) Обозначим $n$-й член последовательности как $c_n$. Последовательность: $\frac{3}{4}, \frac{9}{16}, \frac{27}{64}, \frac{81}{256}, \frac{243}{1024}, \dots$

Данная последовательность является геометрической прогрессией, так как отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно. Найдем это отношение (знаменатель прогрессии $q$):

$q = \frac{9/16}{3/4} = \frac{9}{16} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3}{4}$.

Первый член прогрессии $c_1 = \frac{3}{4}$. По формуле $n$-го члена геометрической прогрессии $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$, получаем:

$c_n = \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} = \left(\frac{3}{4}\right)^n$.

Альтернативно, можно заметить, что числители $3, 9, 27, \dots$ являются степенями числа 3 ($3^n$), а знаменатели $4, 16, 64, \dots$ являются степенями числа 4 ($4^n$). Это также приводит к формуле $c_n = \frac{3^n}{4^n}$.

Ответ: $c_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$

г) Обозначим $n$-й член последовательности как $d_n$. Последовательность: $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2\sqrt{2}}, \frac{7}{4}, \frac{9}{4\sqrt{2}}, \dots$

1. Числители: Последовательность числителей — $1, 3, 5, 7, 9, \dots$. Это арифметическая прогрессия нечетных чисел, формула $n$-го члена которой, как и в пункте а), равна $2n-1$.

2. Знаменатели: Последовательность знаменателей — $\sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4, 4\sqrt{2}, \dots$. Представим эти члены как степени числа $\sqrt{2}$:

При $n=1$: $\sqrt{2} = (\sqrt{2})^1$

При $n=2$: $2 = (\sqrt{2})^2$

При $n=3$: $2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$

При $n=4$: $4 = 2^2 = ((\sqrt{2})^2)^2 = (\sqrt{2})^4$

При $n=5$: $4\sqrt{2} = (\sqrt{2})^4 \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^5$

Таким образом, $n$-й член последовательности знаменателей равен $(\sqrt{2})^n$.

Соединив формулы для числителя и знаменателя, получаем итоговую формулу.

Ответ: $d_n = \frac{2n-1}{(\sqrt{2})^n}$

24.17 Постройте график последовательности:

a) $y_n = 10 - n^3$;

б) $y_n = (-1)^n \sqrt{9n}$;

В) $y_n = n^3 - 8$;

Г) $y_n = 4 - \sqrt{4n}$.

Для построения графика последовательности необходимо найти координаты нескольких первых ее членов. График последовательности представляет собой множество отдельных (изолированных) точек на координатной плоскости с координатами $(n, y_n)$, где $n$ — натуральное число (номер члена последовательности), а $y_n$ — значение этого члена.

а) $y_n = 10 - n^3$

Вычислим значения первых нескольких членов последовательности:

• При $n=1$: $y_1 = 10 - 1^3 = 10 - 1 = 9$. Координаты точки: $(1, 9)$.
• При $n=2$: $y_2 = 10 - 2^3 = 10 - 8 = 2$. Координаты точки: $(2, 2)$.
• При $n=3$: $y_3 = 10 - 3^3 = 10 - 27 = -17$. Координаты точки: $(3, -17)$.
• При $n=4$: $y_4 = 10 - 4^3 = 10 - 64 = -54$. Координаты точки: $(4, -54)$.

График представляет собой набор точек, которые лежат на кубической параболе $y = 10 - x^3$. С увеличением $n$ значения $y_n$ очень быстро убывают.

Ответ: График последовательности — это множество точек с координатами $(1, 9), (2, 2), (3, -17), (4, -54), \dots$, которые расположены на координатной плоскости.

б) $y_n = (-1)^n\sqrt{9n}$

Эта последовательность является знакочередующейся, так как множитель $(-1)^n$ меняет знак каждого следующего члена. Вычислим первые члены:

• При $n=1$: $y_1 = (-1)^1\sqrt{9 \cdot 1} = -1 \cdot 3 = -3$. Координаты точки: $(1, -3)$.
• При $n=2$: $y_2 = (-1)^2\sqrt{9 \cdot 2} = 1 \cdot \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.24$. Координаты точки: $(2, 3\sqrt{2})$.
• При $n=3$: $y_3 = (-1)^3\sqrt{9 \cdot 3} = -1 \cdot \sqrt{27} = -3\sqrt{3} \approx -5.20$. Координаты точки: $(3, -3\sqrt{3})$.
• При $n=4$: $y_4 = (-1)^4\sqrt{9 \cdot 4} = 1 \cdot \sqrt{36} = 6$. Координаты точки: $(4, 6)$.

Точки графика поочередно располагаются ниже и выше оси абсцисс. При нечетных $n$ точки находятся в IV координатной четверти, при четных $n$ — в I. Абсолютное значение членов последовательности, $|y_n| = 3\sqrt{n}$, возрастает с ростом $n$.

Ответ: График последовательности — это множество точек с координатами $(1, -3), (2, 3\sqrt{2}), (3, -3\sqrt{3}), (4, 6), \dots$, которые поочередно меняют знак.

в) $y_n = n^3 - 8$

Вычислим значения первых нескольких членов последовательности:

• При $n=1$: $y_1 = 1^3 - 8 = 1 - 8 = -7$. Координаты точки: $(1, -7)$.
• При $n=2$: $y_2 = 2^3 - 8 = 8 - 8 = 0$. Координаты точки: $(2, 0)$.
• При $n=3$: $y_3 = 3^3 - 8 = 27 - 8 = 19$. Координаты точки: $(3, 19)$.
• При $n=4$: $y_4 = 4^3 - 8 = 64 - 8 = 56$. Координаты точки: $(4, 56)$.

График состоит из точек, лежащих на кривой $y = x^3 - 8$. Второй член последовательности равен нулю, поэтому точка $(2, 0)$ лежит на оси абсцисс. С увеличением $n$ значения $y_n$ быстро возрастают.

Ответ: График последовательности — это множество точек с координатами $(1, -7), (2, 0), (3, 19), (4, 56), \dots$.

г) $y_n = 4 - \sqrt{4n}$

Формулу можно упростить: $y_n = 4 - 2\sqrt{n}$. Вычислим первые члены:

• При $n=1$: $y_1 = 4 - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2$. Координаты точки: $(1, 2)$.
• При $n=2$: $y_2 = 4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2.83 = 1.17$. Координаты точки: $(2, 4-2\sqrt{2})$.
• При $n=3$: $y_3 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 4 - 3.46 = 0.54$. Координаты точки: $(3, 4-2\sqrt{3})$.
• При $n=4$: $y_4 = 4 - 2\sqrt{4} = 4 - 4 = 0$. Координаты точки: $(4, 0)$.
• При $n=5$: $y_5 = 4 - 2\sqrt{5} \approx 4 - 4.47 = -0.47$. Координаты точки: $(5, 4-2\sqrt{5})$.

Точки графика лежат на кривой $y = 4 - 2\sqrt{x}$. Последовательность является убывающей. Четвертый член равен нулю, поэтому точка $(4, 0)$ лежит на оси абсцисс. При $n>4$ члены последовательности становятся отрицательными.

Ответ: График последовательности — это множество точек с координатами $(1, 2), (2, 4-2\sqrt{2}), (3, 4-2\sqrt{3}), (4, 0), \dots$.

24.18 Сколько членов последовательности

а) $ \frac{1}{3125}, \frac{1}{625}, \frac{1}{125}, ...$

б) $ \frac{6}{377}, \frac{11}{379}, \frac{16}{381}, ...$

в) $ \frac{2}{729}, \frac{2}{243}, \frac{2}{81}, ...$

г) $ \frac{2}{219}, \frac{9}{222}, \frac{16}{225}, ...$

не превосходит единицы?

а) Дана последовательность $a_n: \frac{1}{3125}, \frac{1}{625}, \frac{1}{125}, ...$

Заметим, что знаменатели являются степенями числа 5: $3125=5^5, 625=5^4, 125=5^3$. Таким образом, последовательность можно представить в виде: $\frac{1}{5^5}, \frac{1}{5^4}, \frac{1}{5^3}, ...$

Общий член этой последовательности, которая является геометрической прогрессией, можно записать формулой $a_n = \frac{1}{5^{6-n}} = 5^{n-6}$.

Нам нужно найти количество членов последовательности, которые не превосходят единицу, то есть удовлетворяют неравенству $a_n \le 1$.

$5^{n-6} \le 1$

Поскольку $1 = 5^0$, неравенство принимает вид:

$5^{n-6} \le 5^0$

Так как основание степени $5 > 1$, функция $y=5^x$ является возрастающей, поэтому можно сравнить показатели степени:

$n - 6 \le 0$

$n \le 6$

Поскольку номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$), то подходят значения $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Таким образом, 6 членов последовательности не превосходят единицу.

Ответ: 6

б) Дана последовательность $b_n: \frac{6}{377}, \frac{11}{379}, \frac{16}{381}, ...$

Рассмотрим последовательность числителей: $6, 11, 16, ...$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 6$ и разностью $d_c = 5$. Формула n-го члена: $c_n = 6 + (n-1)5 = 5n+1$.

Рассмотрим последовательность знаменателей: $377, 379, 381, ...$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $z_1 = 377$ и разностью $d_z = 2$. Формула n-го члена: $z_n = 377 + (n-1)2 = 2n+375$.

Таким образом, общий член исходной последовательности равен $b_n = \frac{5n+1}{2n+375}$.

Найдем количество членов, удовлетворяющих неравенству $b_n \le 1$.

$\frac{5n+1}{2n+375} \le 1$

Так как $n \ge 1$, знаменатель $2n+375$ всегда положителен. Умножим обе части на знаменатель:

$5n+1 \le 2n+375$

$3n \le 374$

$n \le \frac{374}{3}$

$n \le 124\frac{2}{3}$

Так как $n$ - натуральное число, то $n$ может принимать значения от 1 до 124 включительно.

Всего 124 таких члена.

Ответ: 124

в) Дана последовательность $v_n: \frac{2}{729}, \frac{2}{243}, \frac{2}{81}, ...$

Числитель каждого члена равен 2. Знаменатели $729, 243, 81, ...$ образуют геометрическую прогрессию. Представим знаменатели как степени числа 3: $729=3^6, 243=3^5, 81=3^4$.

Формула n-го члена знаменателя: $z_n = 3^{7-n}$.

Тогда общий член исходной последовательности: $v_n = \frac{2}{3^{7-n}} = 2 \cdot 3^{n-7}$.

Решим неравенство $v_n \le 1$:

$2 \cdot 3^{n-7} \le 1$

$3^{n-7} \le \frac{1}{2}$

Поскольку $3^0=1$, а $3^{-1}=\frac{1}{3}$, и $\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 1$, то показатель степени $n-7$ должен быть отрицательным. Проверим значения $n$:
При $n=6$, $v_6 = 2 \cdot 3^{6-7} = 2 \cdot 3^{-1} = \frac{2}{3} \le 1$.
При $n=7$, $v_7 = 2 \cdot 3^{7-7} = 2 \cdot 3^0 = 2 > 1$.
Следовательно, нам подходят все $n \le 6$.

Условию $n \le 6$ удовлетворяют натуральные числа $n=1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Всего 6 таких членов.

Ответ: 6

г) Дана последовательность $g_n: \frac{2}{219}, \frac{9}{222}, \frac{16}{225}, ...$

Последовательность числителей: $2, 9, 16, ...$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 2$ и разностью $d_c = 7$. Формула n-го члена: $c_n = 2 + (n-1)7 = 7n-5$.

Последовательность знаменателей: $219, 222, 225, ...$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $z_1 = 219$ и разностью $d_z = 3$. Формула n-го члена: $z_n = 219 + (n-1)3 = 3n+216$.

Общий член исходной последовательности: $g_n = \frac{7n-5}{3n+216}$.

Решим неравенство $g_n \le 1$:

$\frac{7n-5}{3n+216} \le 1$

Знаменатель $3n+216$ положителен при $n \ge 1$, поэтому умножим на него обе части неравенства:

$7n-5 \le 3n+216$

$4n \le 221$

$n \le \frac{221}{4}$

$n \le 55.25$

Поскольку $n$ - натуральное число, оно может принимать значения от 1 до 55 включительно.

Всего 55 таких членов.

Ответ: 55

24.14 а) $x_1 = 2, x_n = 5 - x_{n-1};$

б) $x_1 = 2, x_n = x_{n-1} + 10;$

В) $x_1 = -1, x_n = 2 + x_{n-1};$

Г) $x_1 = 4, x_n = x_{n-1} - 3.$

а) Последовательность задана рекуррентной формулой $x_n = 5 - x_{n-1}$ и первым членом $x_1 = 2$.
Найдем несколько первых членов последовательности, последовательно подставляя n = 2, 3, 4, ...:
$x_1 = 2$
$x_2 = 5 - x_1 = 5 - 2 = 3$
$x_3 = 5 - x_2 = 5 - 3 = 2$
$x_4 = 5 - x_3 = 5 - 2 = 3$
$x_5 = 5 - x_4 = 5 - 3 = 2$
Получаем последовательность: 2, 3, 2, 3, 2, ...
Проверим, является ли эта последовательность арифметической прогрессией. Для этого найдем разность между соседними членами:
$x_2 - x_1 = 3 - 2 = 1$
$x_3 - x_2 = 2 - 3 = -1$
Разность не является постоянной, значит, это не арифметическая прогрессия.
Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Для этого найдем отношение соседних членов:
$x_2 / x_1 = 3 / 2 = 1.5$
$x_3 / x_2 = 2 / 3$
Отношение не является постоянным, значит, это не геометрическая прогрессия.
Данная последовательность является периодической с периодом 2, где члены с нечетными номерами равны 2, а с четными - 3.
Ответ: Последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией. Это периодическая последовательность, состоящая из чередующихся чисел 2 и 3.

б) Последовательность задана рекуррентной формулой $x_n = x_{n-1} + 10$ и первым членом $x_1 = 2$.
Найдем несколько первых членов последовательности:
$x_1 = 2$
$x_2 = x_1 + 10 = 2 + 10 = 12$
$x_3 = x_2 + 10 = 12 + 10 = 22$
$x_4 = x_3 + 10 = 22 + 10 = 32$
Получаем последовательность: 2, 12, 22, 32, ...
Рекуррентная формула $x_n = x_{n-1} + 10$ показывает, что каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа 10. Это определение арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = x_1 = 2$, разность прогрессии $d = 10$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения: $x_n = 2 + (n-1) \cdot 10 = 2 + 10n - 10 = 10n - 8$.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $x_1 = 2$ и разностью $d = 10$. Формула n-го члена: $x_n = 10n - 8$.

в) Последовательность задана рекуррентной формулой $x_n = 2 + x_{n-1}$ и первым членом $x_1 = -1$.
Найдем несколько первых членов последовательности:
$x_1 = -1$
$x_2 = 2 + x_1 = 2 + (-1) = 1$
$x_3 = 2 + x_2 = 2 + 1 = 3$
$x_4 = 2 + x_3 = 2 + 3 = 5$
Получаем последовательность: -1, 1, 3, 5, ...
Рекуррентная формула $x_n = x_{n-1} + 2$ показывает, что каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением числа 2. Это определение арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = x_1 = -1$, разность прогрессии $d = 2$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения: $x_n = -1 + (n-1) \cdot 2 = -1 + 2n - 2 = 2n - 3$.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $x_1 = -1$ и разностью $d = 2$. Формула n-го члена: $x_n = 2n - 3$.

г) Последовательность задана рекуррентной формулой $x_n = x_{n-1} - 3$ и первым членом $x_1 = 4$.
Найдем несколько первых членов последовательности:
$x_1 = 4$
$x_2 = x_1 - 3 = 4 - 3 = 1$
$x_3 = x_2 - 3 = 1 - 3 = -2$
$x_4 = x_3 - 3 = -2 - 3 = -5$
Получаем последовательность: 4, 1, -2, -5, ...
Рекуррентная формула $x_n = x_{n-1} - 3$ показывает, что каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением числа -3. Это определение арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = x_1 = 4$, разность прогрессии $d = -3$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения: $x_n = 4 + (n-1) \cdot (-3) = 4 - 3n + 3 = 7 - 3n$.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $x_1 = 4$ и разностью $d = -3$. Формула n-го члена: $x_n = 7 - 3n$.

24.19 Какие из заданных последовательностей являются ограниченными?

a) $ \cos 1 $, $ \cos 2 $, $ \cos 3 $, ..., $ \cos n $, ...

б) $ \frac{\sin 1}{1} $, $ \frac{\sin 2}{2} $, $ \frac{\sin 3}{3} $, ..., $ \frac{(-1)^{n-1} \sin n}{n} $, ...

в) $ \mathrm{tg} \frac{\pi}{4} $, $ \mathrm{tg} \frac{3\pi}{4} $, $ \mathrm{tg} \frac{5\pi}{4} $, ..., $ \mathrm{tg} \frac{\pi}{4} (2n - 1) $, ...

г) $ \mathrm{ctg} \frac{\pi}{2} $, $ \mathrm{ctg} \frac{\pi}{3} $, $ \mathrm{ctg} \frac{\pi}{4} $, ..., $ \mathrm{ctg} \frac{\pi}{n + 1} $, ...

а) Последовательность задана формулой общего члена $a_n = \cos n$. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $x$, выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$.

Следовательно, для любого натурального числа $n$ справедливо двойное неравенство $-1 \le \cos n \le 1$. Это означает, что все члены последовательности находятся в пределах от -1 до 1. По определению, последовательность является ограниченной. Например, можно взять число $M=1$, и тогда для всех $n$ будет выполняться $|a_n| = |\cos n| \le 1$.

Ответ: последовательность является ограниченной.

б) Последовательность задана формулой общего члена $a_n = \frac{(-1)^{n-1}\sin n}{n}$. Для определения ограниченности последовательности рассмотрим модуль ее общего члена:

$|a_n| = \left| \frac{(-1)^{n-1}\sin n}{n} \right| = \frac{|(-1)^{n-1}| \cdot |\sin n|}{|n|}$

Поскольку $n$ — натуральное число, $|n|=n$. Также $|(-1)^{n-1}| = 1$. Таким образом, $|a_n| = \frac{|\sin n|}{n}$.

Функция синус ограничена, и для любого $n$ выполняется неравенство $|\sin n| \le 1$. Следовательно, $|a_n| \le \frac{1}{n}$. Так как $n \ge 1$, то $\frac{1}{n} \le 1$.

В итоге, для любого натурального $n$ имеем $|a_n| \le 1$. Это означает, что последовательность ограничена (например, числом $M=1$).

Ответ: последовательность является ограниченной.

в) Последовательность задана формулой общего члена $a_n = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2n-1)\right)$. Вычислим несколько первых членов последовательности, чтобы понять ее поведение:

При $n=1$: $a_1 = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2\cdot1-1)\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

При $n=2$: $a_2 = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2\cdot2-1)\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$.

При $n=3$: $a_3 = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2\cdot3-1)\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

При $n=4$: $a_4 = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2\cdot4-1)\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Таким образом, последовательность представляет собой чередование чисел 1 и -1: $1, -1, 1, -1, \dots$. Все члены этой последовательности принадлежат множеству $\{-1, 1\}$. Следовательно, для любого $n$ выполняется $|a_n| = 1$, что означает, что последовательность ограничена числом $M=1$.

Ответ: последовательность является ограниченной.

г) Последовательность задана формулой общего члена $a_n = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{n+1}\right)$. Рассмотрим поведение общего члена при $n \to \infty$.

Аргумент котангенса $x_n = \frac{\pi}{n+1}$. При $n \to \infty$, знаменатель $n+1 \to \infty$, а значит, сам аргумент $x_n \to 0$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n+1 > 0$, и аргумент стремится к нулю с положительной стороны ($x_n \to 0^+$).

Найдем предел последовательности: $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{n+1}\right)$. Так как $\operatorname{ctg}(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$, а при $x \to 0^+$ имеем $\cos(x) \to 1$ и $\sin(x) \to 0$ (причем $\sin(x) > 0$), то предел котангенса равен бесконечности:

$\lim_{x\to0^+} \operatorname{ctg}(x) = +\infty$

Поскольку предел последовательности равен $+\infty$, это означает, что последовательность не ограничена сверху. Для любого сколь угодно большого числа $M$ можно найти такой номер $N$, что все члены последовательности с номерами $n > N$ будут больше $M$. Следовательно, последовательность не является ограниченной.

Ответ: последовательность не является ограниченной.

1. Какую функцию называют периодической?

1. Функцию $y = f(x)$ называют периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство:

$f(x + T) = f(x)$

Это равенство означает, что значения функции повторяются через определённый интервал. Число $T$ называют периодом функции. Важно, что $T \ne 0$.

Если $T$ — период функции, то любое число вида $nT$, где $n$ — любое целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \ne 0$), также является её периодом. Например, $f(x+2T) = f((x+T)+T) = f(x+T) = f(x)$, и также $f(x-T) = f((x-T)+T) = f(x)$.

Наименьшее положительное число $T$, обладающее указанным свойством, называют главным (или основным) периодом функции.

Геометрически периодичность функции означает, что её график состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Если построить график функции на любом промежутке длиной, равной главному периоду $T$ (например, на отрезке $[x_0, x_0 + T]$), то весь остальной график можно получить, параллельно перенося (сдвигая) этот фрагмент вдоль оси абсцисс ($Ox$) на расстояния $nT$ вправо и влево для всех целых $n$.

Классическими примерами периодических функций являются тригонометрические функции. Например, функции $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ имеют главный период $2\pi$, а функции $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ — главный период $\pi$. Ещё одним примером является функция дробной части числа $y = \{x\}$, её главный период равен $1$.

Ответ: Периодической называют функцию $f(x)$, для которой существует такое ненулевое число $T$ (называемое периодом), что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$.

2. Что такое период функции?

Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство:

$f(x + T) = f(x)$

При этом число $x + T$ (а также $x - T$) также должно принадлежать области определения функции.

Число $T$ называется периодом функции.

Если $T$ — период функции, то любое число вида $nT$, где $n$ — целое, не равное нулю, число ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также является её периодом. Например, если $f(x+T)=f(x)$, то и $f(x+2T) = f((x+T)+T) = f(x+T) = f(x)$ тоже верно.

На практике обычно интересует наименьший положительный период функции, который называют основным (или главным) периодом.

Геометрически периодичность функции означает, что её график состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Если взять часть графика на любом отрезке длиной в один основной период $T$ (например, на отрезке $[x_0, x_0+T]$) и сдвигать её вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) на $T, 2T, 3T, ...$ вправо или влево, то мы получим весь график функции.

Примеры периодических функций:

• Тригонометрические функции:
  • Функции синус $y = \sin(x)$ и косинус $y = \cos(x)$ имеют основной период $T = 2\pi$. То есть $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ и $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$.
  • Функции тангенс $y = \tan(x)$ и котангенс $y = \cot(x)$ имеют основной период $T = \pi$. То есть $\tan(x + \pi) = \tan(x)$ и $\cot(x + \pi) = \cot(x)$.
• Функция дробной части числа $y = \{x\}$ (где $\{x\} = x - [x]$, а $[x]$ — целая часть числа $x$). Её основной период равен $1$. Например, $\{2.7\} = 0.7$ и $\{(2.7+1)\} = \{3.7\} = 0.7$.
• Константная функция $y = c$. Для неё периодом является любое число, отличное от нуля. Поэтому у этой функции нет основного (наименьшего положительного) периода.

Нахождение периода сложных функций:

Если функция $y=f(x)$ имеет основной период $T$, то функция вида $y = A \cdot f(kx + b) + C$ будет иметь основной период $T_1$, который вычисляется по формуле:

$T_1 = \frac{T}{|k|}$

Например, найдем период функции $y = 5\cos(2x - \frac{\pi}{4})$.

Основной период функции $y=\cos(x)$ равен $T=2\pi$. В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k=2$. Тогда период нашей функции будет:

$T_1 = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$

Ответ: Период функции — это такое ненулевое число $T$, при добавлении которого к аргументу функции её значение не меняется, то есть для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Наименьшее такое положительное число называется основным периодом.

3. Сколько периодов имеет периодическая функция?

По определению, функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое ненулевое число $T$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Число $T$ при этом называется периодом функции.

Допустим, мы нашли один такой период $T \neq 0$. Рассмотрим, являются ли другие числа также периодами.

Проверим число $2T$. Для этого подставим его в определение:

$f(x + 2T) = f((x+T) + T)$

Так как $T$ является периодом, то $f((x+T) + T) = f(x+T)$. А поскольку $f(x+T) = f(x)$, то мы получаем:

$f(x + 2T) = f(x)$

Это означает, что $2T$ также является периодом функции $f(x)$.

Рассуждая аналогично, можно доказать методом математической индукции, что любое число вида $nT$, где $n$ — натуральное число, будет являться периодом функции.

Теперь проверим отрицательные кратные периоды. Например, $-T$. Возьмем исходное равенство $f(x) = f(x+T)$ и заменим в нем $x$ на $x-T$:

$f(x-T) = f((x-T) + T) = f(x)$

Следовательно, $-T$ также является периодом. Объединяя результаты, мы можем утверждать, что если $T$ — период функции, то и любое число вида $k \cdot T$, где $k$ — любое целое число, не равное нулю ($k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$), также является ее периодом.

Так как множество целых чисел бесконечно, то для любой периодической функции существует бесконечное множество периодов.

Например, для функции $f(x) = \cos(x)$ наименьший положительный период равен $T = 2\pi$. Однако числа $4\pi$, $6\pi$, а также $-2\pi$, $-4\pi$ и т.д. (то есть все числа вида $2\pi k$ при $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$) тоже являются ее периодами.

Наименьший положительный период функции, если он существует, называется основным периодом. Но вопрос стоит об общем количестве периодов, а не только об основном.

Ответ: Бесконечно много.

4. Верно ли, что если функция $y = f(x)$ имеет период $T$, то периодом является:

а) число $2T$;

б) число $-17T$;

в) число $0,5T$?

По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $y=f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T)=f(x)$.

Из этого определения следует важное свойство: если $T$ - период функции, то и любое число вида $nT$, где $n$ - целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также является периодом этой функции.

а) число 2T

Проверим, является ли число $2T$ периодом функции $f(x)$, то есть выполняется ли равенство $f(x+2T)=f(x)$.

Используя свойство периодичности функции $f(x+T)=f(x)$, мы можем записать:

$f(x+2T) = f((x+T)+T)$

Обозначим $z = x+T$. Тогда выражение примет вид $f(z+T)$. Поскольку $T$ является периодом, то $f(z+T)=f(z)$.

Теперь подставим обратно $z=x+T$, получим $f(z) = f(x+T)$.

И снова, по определению периода, $f(x+T)=f(x)$.

Таким образом, мы получили цепочку равенств: $f(x+2T) = f((x+T)+T) = f(x+T) = f(x)$.

Следовательно, число $2T$ также является периодом функции $f(x)$. Это соответствует общему свойству при $n=2$.

Ответ: да, верно.

б) число -17T

Данный случай также подпадает под общее свойство, упомянутое выше, при $n=-17$. Число $-17$ является целым и не равным нулю.

Докажем это утверждение более подробно. Сначала покажем, что если $T$ - период, то и $-T$ является периодом. Для этого нужно проверить равенство $f(x-T)=f(x)$.

$f(x) = f(x+T)$. Заменим в этом равенстве $x$ на $x-T$: $f(x-T) = f((x-T)+T) = f(x)$. Равенство выполняется, значит $-T$ тоже является периодом.

Теперь, зная, что $-T$ является периодом, мы можем применить рассуждение из пункта а) 17 раз:

$f(x-17T) = f(x + 17 \cdot (-T)) = f(x + 16 \cdot (-T)) = \dots = f(x + (-T)) = f(x)$.

Следовательно, число $-17T$ также является периодом функции $f(x)$.

Ответ: да, верно.

в) число 0,5T

Это утверждение в общем случае неверно. Если $T$ является периодом, не обязательно, что его часть, например $0,5T$, также будет периодом. Утверждение было бы верным, если бы $T$ не было наименьшим положительным периодом, а было кратно ему (например, $T = 2T_0$, где $T_0$ - наименьший период), но вопрос ставится для общего случая.

Чтобы доказать неверность утверждения, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos(x)$. Ее наименьший положительный период равен $T=2\pi$.

Проверим, является ли число $0,5T = 0,5 \cdot 2\pi = \pi$ периодом этой функции.

Для этого нужно проверить, выполняется ли равенство $f(x+ \pi) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то есть $\cos(x+\pi) = \cos(x)$.

Используя формулу приведения, получаем: $\cos(x+\pi) = -\cos(x)$.

Равенство $-\cos(x) = \cos(x)$ выполняется только если $\cos(x)=0$. Для всех остальных значений $x$ равенство неверно. Например, при $x=0$, $\cos(0+\pi) = \cos(\pi) = -1$, а $\cos(0) = 1$. Так как $-1 \neq 1$, то $\pi$ не является периодом функции $\cos(x)$.

Следовательно, утверждение о том, что $0,5T$ всегда является периодом, если $T$ - период, неверно.

Ответ: нет, неверно.

5. Можно ли утверждать, что $8\pi$ — период функции $y = \sin x$, а $-162\pi$ — период функции $y = \cos x$?

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся определением периодической функции и ее свойствами.

Число $T \ne 0$ называется периодом функции $y=f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Наименьший положительный период функции называется ее основным периодом. Если $T_0$ — основной период функции, то любое число вида $n \cdot T_0$, где $n$ — любое целое ненулевое число ($n \in \mathbb{Z}, n \ne 0$), также является ее периодом.

Для функции $y = \sin x$ основной период равен $T_0 = 2\pi$. Проверим, является ли $8\pi$ периодом этой функции. Для этого нужно найти такое целое число $n$, что $8\pi = n \cdot T_0$.

$8\pi = n \cdot 2\pi$

Разделив обе части уравнения на $2\pi$, получаем:

$n = \frac{8\pi}{2\pi} = 4$

Так как $n=4$ — это целое ненулевое число, то $8\pi$ является периодом функции $y = \sin x$.

Проверка по определению:

$\sin(x + 8\pi) = \sin(x + 4 \cdot 2\pi) = \sin x$

Равенство выполняется для всех $x$, значит, утверждение верно.

Ответ: Да, можно утверждать, что $8\pi$ является периодом функции $y = \sin x$.

a

Теперь рассмотрим функцию $y = \cos x$. Ее основной период также равен $T_0 = 2\pi$. Проверим, является ли $-162\pi$ периодом этой функции. Найдем такое целое число $n$, что $-162\pi = n \cdot T_0$.

$-162\pi = n \cdot 2\pi$

Разделив обе части уравнения на $2\pi$, получаем:

$n = \frac{-162\pi}{2\pi} = -81$

Так как $n=-81$ — это целое ненулевое число, то $-162\pi$ является периодом функции $y = \cos x$.

Проверка по определению:

$\cos(x - 162\pi) = \cos(x + (-81) \cdot 2\pi) = \cos x$

Равенство выполняется для всех $x$, значит, утверждение верно.

Ответ: Да, можно утверждать, что $-162\pi$ является периодом функции $y = \cos x$.

6. Что называют основным периодом периодической функции?

Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство:

$f(x+T) = f(x)$

Число $T$ называется периодом функции. Из определения следует, что если $T$ — период, то любое число вида $nT$, где $n$ — целое и не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также является периодом функции. Например, для функции $f(x) = \cos(x)$ периодами будут числа $2\pi, 4\pi, -2\pi, -6\pi$ и так далее, поскольку $\cos(x) = \cos(x + 2\pi) = \cos(x + 4\pi) = \dots$.

Таким образом, у периодической функции существует бесконечное множество периодов. Среди всех положительных периодов (если они существуют) может быть наименьший.

Основным периодом (иногда его называют главным или наименьшим положительным периодом) периодической функции называется наименьшее положительное число $T$, которое является её периодом.

Например, основной период для функций $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ равен $2\pi$. Для функций $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ основной период равен $\pi$.

Важно отметить, что не каждая периодическая функция имеет основной период. Например, функция-константа $f(x) = c$. Для нее любое число, кроме нуля, является периодом. Поскольку не существует наименьшего положительного действительного числа, у этой функции нет основного периода.

Ответ: Основным периодом периодической функции называется её наименьший положительный период.

7. Назовите основной период функции:

а) $y = \sin x;$

б) $y = \cos x;$

в) $y = \sin 2x;$

г) $y = \cos \frac{x}{3}.$

а) Основной период функции $y = \sin x$ — это наименьшее положительное число $T$, для которого выполняется равенство $\sin(x+T) = \sin x$ для всех значений $x$. Для функции синус это стандартное значение, равное $2\pi$. График функции $y = \sin x$ полностью повторяет свою форму на каждом интервале длиной $2\pi$.
Ответ: $2\pi$

б)Аналогично функции синус, основной период функции $y = \cos x$ — это наименьшее положительное число $T$, для которого $\cos(x+T) = \cos x$ для всех $x$. Для функции косинус это значение также равно $2\pi$.
Ответ: $2\pi$

в) Для нахождения основного периода функции вида $y = A \sin(kx+b)$ или $y = A \cos(kx+b)$ используется формула $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период исходной функции (для синуса и косинуса $T_0 = 2\pi$).В данном случае, для функции $y = \sin(2x)$, базовая функция — это $y = \sin x$ с периодом $T_0=2\pi$, а коэффициент при $x$ равен $k=2$.Применяем формулу:$T = \frac{2\pi}{|2|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $\pi$

г) Используем ту же формулу, что и в предыдущем пункте: $T = \frac{T_0}{|k|}$.Для функции $y = \cos\frac{x}{3}$, базовая функция — это $y = \cos x$, ее основной период $T_0 = 2\pi$. Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{3}$.Подставляем значения в формулу:$T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$.
Ответ: $6\pi$