Страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

21.46 Сколько корней имеет уравнение:

a) $( \cos x - \sin x )^2 = 1 - 2 \sin 2x$ на отрезке $[\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}];$

б) $2 \cos^2 \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) - 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - 2x \right) + 1 = 0$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]?$

a)

Преобразуем левую часть уравнения $(\cos x - \sin x)^2 = 1 - 2\sin 2x$, используя формулу квадрата разности:

$(\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$. Левая часть примет вид:

$(\cos^2 x + \sin^2 x) - 2\sin x \cos x = 1 - \sin 2x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$1 - \sin 2x = 1 - 2\sin 2x$.

Перенеся слагаемые, получим:

$2\sin 2x - \sin 2x = 1 - 1$,

$\sin 2x = 0$.

Общее решение этого уравнения имеет вид $2x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $x = \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем, какие из этих корней принадлежат отрезку $[\frac{20\pi}{9}, \frac{28\pi}{9}]$. Для этого решим двойное неравенство:

$\frac{20\pi}{9} \le \frac{k\pi}{2} \le \frac{28\pi}{9}$.

Разделим все части на $\pi$ и умножим на 2:

$\frac{40}{9} \le k \le \frac{56}{9}$.

Переведем дроби в смешанные числа:

$4\frac{4}{9} \le k \le 6\frac{2}{9}$.

Этому неравенству удовлетворяют целые значения $k=5$ и $k=6$.

Найдем соответствующие корни:

при $k=5$: $x = \frac{5\pi}{2}$,

при $k=6$: $x = \frac{6\pi}{2} = 3\pi$.

Оба корня принадлежат заданному отрезку. Следовательно, на данном отрезке уравнение имеет два корня.

Ответ: 2

б)

Рассмотрим уравнение $2\cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) - 2\sin^2(\frac{\pi}{4} - 2x) + 1 = 0$.

Воспользуемся тем, что функция синус нечетная, а ее квадрат — четная функция: $\sin^2(-A) = (-\sin A)^2 = \sin^2 A$. Поскольку $\frac{\pi}{4} - 2x = -(2x - \frac{\pi}{4})$, то $\sin^2(\frac{\pi}{4} - 2x) = \sin^2(2x - \frac{\pi}{4})$.

Уравнение принимает вид:

$2\cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) - 2\sin^2(2x - \frac{\pi}{4}) + 1 = 0$.

Вынесем 2 за скобки и применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$, где $A = 2x - \frac{\pi}{4}$:

$2(\cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) - \sin^2(2x - \frac{\pi}{4})) + 1 = 0$,

$2\cos(2(2x - \frac{\pi}{4})) + 1 = 0$,

$2\cos(4x - \frac{\pi}{2}) + 1 = 0$.

По формуле приведения $\cos(B - \frac{\pi}{2}) = \sin B$, где $B=4x$, получаем:

$2\sin(4x) + 1 = 0$,

$\sin(4x) = -\frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения задаются двумя сериями:

$4x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}$,

$4x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Приведем границы отрезка к общему знаменателю 24: $[\frac{12\pi}{24}, \frac{36\pi}{24}]$.

Для первой серии $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} = \frac{(12k-1)\pi}{24}$ решим неравенство:

$\frac{12\pi}{24} \le \frac{(12k-1)\pi}{24} \le \frac{36\pi}{24}$,

$12 \le 12k - 1 \le 36 \quad \Rightarrow \quad 13 \le 12k \le 37 \quad \Rightarrow \quad 1\frac{1}{12} \le k \le 3\frac{1}{12}$.

Отсюда подходят целые $k=2, 3$. Корни: $x_1 = \frac{23\pi}{24}$, $x_2 = \frac{35\pi}{24}$.

Для второй серии $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} = \frac{(12k+7)\pi}{24}$ решим неравенство:

$\frac{12\pi}{24} \le \frac{(12k+7)\pi}{24} \le \frac{36\pi}{24}$,

$12 \le 12k + 7 \le 36 \quad \Rightarrow \quad 5 \le 12k \le 29 \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{12} \le k \le 2\frac{5}{12}$.

Отсюда подходят целые $k=1, 2$. Корни: $x_3 = \frac{19\pi}{24}$, $x_4 = \frac{31\pi}{24}$.

Всего на заданном отрезке уравнение имеет четыре различных корня.

Ответ: 4

21.51 a) $ \sin 2x + 2 \sin x = 2 - 2 \cos x; $

б) $ 4 \sin 2x + 8(\sin x - \cos x) = 7. $

a) Решим уравнение $\sin 2x + 2\sin x = 2 - 2\cos x$.
Перенесем все члены в левую часть и преобразуем уравнение:
$\sin 2x + 2\sin x + 2\cos x - 2 = 0$
$\sin 2x + 2(\sin x + \cos x) - 2 = 0$
Данное уравнение удобно решать с помощью введения новой переменной. Пусть $t = \sin x + \cos x$.
Чтобы выразить $\sin 2x$ через $t$, возведем обе части замены в квадрат:
$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получаем:
$t^2 = 1 + \sin 2x$, откуда $\sin 2x = t^2 - 1$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(t^2 - 1) + 2t - 2 = 0$
$t^2 + 2t - 3 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Его корни можно найти по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -3$ и $t_1 + t_2 = -2$. Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Теперь выполним обратную замену для каждого из корней.
1) $t = -3 \implies \sin x + \cos x = -3$.
Чтобы оценить левую часть, используем метод вспомогательного угла: $\sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.
Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, следовательно, область значений выражения $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ — это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Поскольку число $-3$ не принадлежит этому отрезку ($-\sqrt{2} \approx -1.414$), уравнение $\sin x + \cos x = -3$ не имеет решений.
2) $t = 1 \implies \sin x + \cos x = 1$.
Используя то же преобразование, получаем: $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$.
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет две серии решений:
а) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
б) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $4\sin 2x + 8(\sin x - \cos x) = 7$.
Это уравнение также решается методом замены. Пусть $t = \sin x - \cos x$.
Возведем обе части замены в квадрат:
$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - \sin 2x$.
Отсюда выражаем $\sin 2x = 1 - t^2$.
Подставим замену и полученное выражение в исходное уравнение:
$4(1 - t^2) + 8t = 7$
$4 - 4t^2 + 8t - 7 = 0$
$-4t^2 + 8t - 3 = 0$
Умножим на -1 для удобства: $4t^2 - 8t + 3 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью формулы корней:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 = 4^2$.
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 4}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm 4}{8}$.
$t_1 = \frac{8+4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
$t_2 = \frac{8-4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Выполним обратную замену.
1) $t = \frac{3}{2} \implies \sin x - \cos x = \frac{3}{2}$.
Преобразуем левую часть: $\sin x - \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4})$.
Область значений выражения $\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4})$ — это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Так как $\frac{3}{2} = 1.5$, а $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $1.5 > \sqrt{2}$. Следовательно, это уравнение не имеет решений.
2) $t = \frac{1}{2} \implies \sin x - \cos x = \frac{1}{2}$.
Используя то же преобразование, получаем: $\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$.
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Общее решение для уравнения вида $\sin\alpha = a$ записывается как $\alpha = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$.
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Переносим $\frac{\pi}{4}$ в правую часть, чтобы выразить $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

21.47 Найдите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x| < 4:

a) $4 \sin^2 x + \sin^2 2x = 3;$

б) $4 \cos^2 2x + 8 \cos^2 x = 7.$

a) $4 \sin^2 x + \sin^2 2x = 3$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Подставим ее в уравнение:

$4 \sin^2 x + (2 \sin x \cos x)^2 = 3$

$4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x \cos^2 x = 3$

Теперь используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x (1 - \sin^2 x) = 3$

Произведем замену переменной. Пусть $y = \sin^2 x$, где $0 \le y \le 1$.

$4y + 4y(1 - y) = 3$

$4y + 4y - 4y^2 = 3$

$4y^2 - 8y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения: $y_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

Вернемся к замене. Корень $y_2 = \frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию $0 \le y \le 1$, так как $\sin^2 x$ не может быть больше 1. Следовательно, он является посторонним.

Рассмотрим корень $y_1 = \frac{1}{2}$:

$\sin^2 x = \frac{1}{2}$

$\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решениями этого уравнения являются серии корней $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, удовлетворяющие неравенству $|x| < 4$, то есть $-4 < x < 4$.

$-4 < \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} < 4$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (приблизительно 3.14):

$-\frac{4}{\pi} < \frac{1}{4} + \frac{k}{2} < \frac{4}{\pi}$

$-1.27 \lesssim \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \lesssim 1.27$

$-1.27 - 0.25 < 0.5k < 1.27 - 0.25$

$-1.52 < 0.5k < 1.02$

$-3.04 < k < 2.04$

Поскольку $k$ — целое число, возможные значения для $k$: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Найдем соответствующие значения $x$:

При $k=-3$: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{2} = -\frac{5\pi}{4}$.

При $k=-2$: $x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.

При $k=-1$: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$.

При $k=0$: $x = \frac{\pi}{4}$.

При $k=1$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$.

При $k=2$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$.

Все эти значения удовлетворяют условию $|x|<4$, так как $|\pm\frac{5\pi}{4}| \approx 3.93 < 4$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

б) $4 \cos^2 2x + 8 \cos^2 x = 7$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.

Подставим это выражение в уравнение:

$4 \cos^2 2x + 8 \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) = 7$

$4 \cos^2 2x + 4(1 + \cos 2x) = 7$

$4 \cos^2 2x + 4 + 4 \cos 2x = 7$

$4 \cos^2 2x + 4 \cos 2x - 3 = 0$

Произведем замену переменной. Пусть $z = \cos 2x$, где $-1 \le z \le 1$.

$4z^2 + 4z - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $z$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.

Корни уравнения: $z_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 8}{8} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}$ и $z_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Вернемся к замене. Корень $z_1 = -\frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию $-1 \le z \le 1$, так как косинус не может быть меньше -1. Следовательно, он является посторонним.

Рассмотрим корень $z_2 = \frac{1}{2}$:

$\cos 2x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются серии корней:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, удовлетворяющие неравенству $|x| < 4$, то есть $-4 < x < 4$.

Рассмотрим первую серию корней: $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$.

$-4 < \frac{\pi}{6} + k\pi < 4$

$-\frac{4}{\pi} < \frac{1}{6} + k < \frac{4}{\pi}$

$-1.27 \lesssim 0.17 + k \lesssim 1.27$

$-1.44 \lesssim k \lesssim 1.1$

Целые значения $k$: -1, 0, 1. Корни: $x_1 = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$, $x_2 = \frac{\pi}{6}$, $x_3 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$.

Рассмотрим вторую серию корней: $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$.

$-4 < -\frac{\pi}{6} + k\pi < 4$

$-\frac{4}{\pi} < -\frac{1}{6} + k < \frac{4}{\pi}$

$-1.27 \lesssim -0.17 + k \lesssim 1.27$

$-1.1 \lesssim k \lesssim 1.44$

Целые значения $k$: -1, 0, 1. Корни: $x_4 = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6}$, $x_5 = -\frac{\pi}{6}$, $x_6 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$.

Все найденные значения удовлетворяют условию $|x|<4$, так как $|\pm\frac{7\pi}{6}| \approx 3.67 < 4$.

Ответ: $-\frac{7\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$.

21.48 Докажите тождество:

a) $\sin x = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$;

б) $\cos x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$.

а) Для доказательства тождества $ \sin x = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} $ преобразуем его правую часть.

Для начала, выразим тангенс через синус и косинус, используя определение $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $:
$ \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

Теперь упростим знаменатель дроби, приведя его к общему знаменателю:
$ 1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} $

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, выражение в числителе знаменателя равно 1. Следовательно, знаменатель всей дроби равен $ \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} $. Подставим это обратно:
$ \frac{2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

Разделив числитель на знаменатель, получаем:
$ 2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \cdot \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, где $ \alpha = \frac{x}{2} $:
$ 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin \left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \sin x $

Мы преобразовали правую часть выражения к левой, таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ \cos x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} $ также преобразуем его правую часть.

Заменим тангенс на отношение синуса к косинусу:
$ \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю $ \cos^2 \frac{x}{2} $:
$ \frac{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $ в знаменателе, упростим выражение:
$ \frac{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

После деления и сокращения $ \cos^2 \frac{x}{2} $ получаем:
$ \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} $

Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $, где $ \alpha = \frac{x}{2} $:
$ \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \cos \left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \cos x $

Мы преобразовали правую часть выражения к левой, таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

21.49 Используя замену $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$ и тождества из упражнения 21.48, решите уравнение:

а) $\sin x + 7 \cos x = 5;$

б) $5 \sin x + 10 \cos x + 2 = 0.$

Для решения данных уравнений воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Пусть $u = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$. Тогда синус и косинус выражаются через тангенс половинного угла следующими формулами (тождества из упражнения 21.48):

$\sin x = \frac{2\operatorname{tg}\frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}} = \frac{2u}{1+u^2}$

$\cos x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}} = \frac{1-u^2}{1+u^2}$

Эта подстановка имеет ограничение: $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x \neq \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Поэтому необходимо проверять, не являются ли значения $x = \pi + 2\pi n$ корнями исходного уравнения.

Решим уравнение $\sin x + 7\cos x = 5$.

Проверим, является ли $x = \pi + 2\pi n$ решением. Подставим $x=\pi$ в уравнение:

$\sin(\pi) + 7\cos(\pi) = 0 + 7(-1) = -7$.

Поскольку $-7 \neq 5$, значения $x = \pi + 2\pi n$ не являются корнями уравнения.

Теперь выполним замену:

$\frac{2u}{1+u^2} + 7 \cdot \frac{1-u^2}{1+u^2} = 5$

Умножим обе части уравнения на $1+u^2$ (это выражение не равно нулю):

$2u + 7(1-u^2) = 5(1+u^2)$

$2u + 7 - 7u^2 = 5 + 5u^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$12u^2 - 2u - 2 = 0$

Разделим на 2:

$6u^2 - u - 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

$u_1 = \frac{1+5}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$u_2 = \frac{1-5}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Вернемся к исходной переменной $x$.

1) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{2} + 2\pi n$

2) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = -\frac{1}{3}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = -2\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + 2\pi k$

Ответ: $x = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{2} + 2\pi n$, $x = -2\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Решим уравнение $5\sin x + 10\cos x + 2 = 0$.

Проверим, является ли $x = \pi + 2\pi n$ решением. Подставим $x=\pi$ в уравнение:

$5\sin(\pi) + 10\cos(\pi) + 2 = 5(0) + 10(-1) + 2 = -8$.

Поскольку $-8 \neq 0$, значения $x = \pi + 2\pi n$ не являются корнями уравнения.

Выполним замену $u = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$:

$5\frac{2u}{1+u^2} + 10\frac{1-u^2}{1+u^2} + 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $1+u^2$:

$5(2u) + 10(1-u^2) + 2(1+u^2) = 0$

$10u + 10 - 10u^2 + 2 + 2u^2 = 0$

Приведем подобные члены:

$-8u^2 + 10u + 12 = 0$

Разделим уравнение на -2:

$4u^2 - 5u - 6 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

$u_1 = \frac{5+11}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$

$u_2 = \frac{5-11}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Вернемся к исходной переменной $x$.

1) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = 2$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg}(2) + 2\pi n$

2) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = -\frac{3}{4}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(-\frac{3}{4}) + \pi k = -\operatorname{arctg}\frac{3}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = -2\operatorname{arctg}\frac{3}{4} + 2\pi k$

Ответ: $x = 2\operatorname{arctg}(2) + 2\pi n$, $x = -2\operatorname{arctg}\frac{3}{4} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

21.45 Сколько корней имеет уравнение $2 \cos^2 \frac{x}{2} - \cos \frac{\pi}{9} = 1$ на отрезке $[-2\pi; 2\pi]$? Найдите эти корни.

Дано уравнение $2 \cos^2 \frac{x}{2} - \cos \frac{\pi}{9} = 1$.

Для решения уравнения воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $2 \cos^2 \alpha = 1 + \cos(2\alpha)$. В данном уравнении $\alpha = \frac{x}{2}$, следовательно, $2 \cos^2 \frac{x}{2} = 1 + \cos x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(1 + \cos x) - \cos \frac{\pi}{9} = 1$

Упростим полученное выражение, вычтя 1 из обеих частей уравнения:
$\cos x - \cos \frac{\pi}{9} = 0$
$\cos x = \cos \frac{\pi}{9}$

Общее решение этого тригонометрического уравнения представляет собой совокупность двух серий корней:
$x = \pm \frac{\pi}{9} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо найти корни, принадлежащие заданному отрезку $[-2\pi; 2\pi]$. Рассмотрим каждую серию отдельно.

1. Для серии корней $x = \frac{\pi}{9} + 2\pi k$:
Составим и решим двойное неравенство:
$-2\pi \le \frac{\pi}{9} + 2\pi k \le 2\pi$
Разделив все части на $\pi$, получим:
$-2 \le \frac{1}{9} + 2k \le 2$
$-\frac{19}{9} \le 2k \le \frac{17}{9}$
$-\frac{19}{18} \le k \le \frac{17}{18}$
Целочисленные значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству, это $k = -1$ и $k = 0$.
При $k = -1$ получаем корень: $x = \frac{\pi}{9} - 2\pi = -\frac{17\pi}{9}$.
При $k = 0$ получаем корень: $x = \frac{\pi}{9}$.

2. Для серии корней $x = -\frac{\pi}{9} + 2\pi k$:
Составим и решим двойное неравенство:
$-2\pi \le -\frac{\pi}{9} + 2\pi k \le 2\pi$
Разделив все части на $\pi$, получим:
$-2 \le -\frac{1}{9} + 2k \le 2$
$-\frac{17}{9} \le 2k \le \frac{19}{9}$
$-\frac{17}{18} \le k \le \frac{19}{18}$
Целочисленные значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству, это $k = 0$ и $k = 1$.
При $k = 0$ получаем корень: $x = -\frac{\pi}{9}$.
При $k = 1$ получаем корень: $x = -\frac{\pi}{9} + 2\pi = \frac{17\pi}{9}$.

Таким образом, на отрезке $[-2\pi; 2\pi]$ уравнение имеет четыре различных корня.
Ответ: уравнение имеет 4 корня; корни: $-\frac{17\pi}{9}; -\frac{\pi}{9}; \frac{\pi}{9}; \frac{17\pi}{9}$.

Решите уравнение:

21.50 a) $\cos \frac{1}{x^2 - \pi^2} \cdot \sin 2x = 8 \sin x \cos x;$

б) $16 \sin x \cos x + \sin 2x \sin \frac{1}{x} = 0.$

а)
Исходное уравнение: $ \cos \frac{1}{x^2 - \pi^2} \cdot \sin 2x = 8 \sin x \cos x $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби в аргументе косинуса не должен быть равен нулю:
$ x^2 - \pi^2 \neq 0 $
$ x^2 \neq \pi^2 $
$ x \neq \pm \pi $

Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $:
$ 8 \sin x \cos x = 4 \cdot (2 \sin x \cos x) = 4 \sin 2x $

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$ \cos \frac{1}{x^2 - \pi^2} \cdot \sin 2x = 4 \sin 2x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $ \sin 2x $ за скобки:
$ \cos \frac{1}{x^2 - \pi^2} \cdot \sin 2x - 4 \sin 2x = 0 $
$ \sin 2x \left( \cos \frac{1}{x^2 - \pi^2} - 4 \right) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:

1) $ \sin 2x = 0 $
Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решения:
$ 2x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $ (множество целых чисел).
$ x = \frac{k\pi}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Теперь нужно исключить из этой серии корней те, которые не входят в ОДЗ ($ x \neq \pm \pi $).
Если $ x = \pi $, то $ \frac{k\pi}{2} = \pi \implies k = 2 $.
Если $ x = -\pi $, то $ \frac{k\pi}{2} = -\pi \implies k = -2 $.
Значит, из набора решений нужно исключить случаи, когда $ k = 2 $ и $ k = -2 $.

2) $ \cos \frac{1}{x^2 - \pi^2} - 4 = 0 $
$ \cos \frac{1}{x^2 - \pi^2} = 4 $
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $ [-1, 1] $, а $ 4 $ не входит в этот промежуток.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $ x = \frac{k\pi}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}, k \neq \pm 2 $.

б)
Исходное уравнение: $ 16 \sin x \cos x + \sin 2x \sin \frac{1}{x} = 0 $.

Определим ОДЗ. Знаменатель дроби в аргументе синуса не должен быть равен нулю:
$ x \neq 0 $

Преобразуем первое слагаемое с помощью формулы синуса двойного угла:
$ 16 \sin x \cos x = 8 \cdot (2 \sin x \cos x) = 8 \sin 2x $

Подставим преобразованное выражение в уравнение:
$ 8 \sin 2x + \sin 2x \sin \frac{1}{x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin 2x $ за скобки:
$ \sin 2x \left( 8 + \sin \frac{1}{x} \right) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $ \sin 2x = 0 $
$ 2x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ x = \frac{k\pi}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Сверим эти решения с ОДЗ ($ x \neq 0 $).
Если $ x = 0 $, то $ \frac{k\pi}{2} = 0 \implies k = 0 $.
Следовательно, из серии решений необходимо исключить случай, когда $ k = 0 $.

2) $ 8 + \sin \frac{1}{x} = 0 $
$ \sin \frac{1}{x} = -8 $
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $ [-1, 1] $, а $ -8 $ не входит в этот промежуток.

Таким образом, решениями являются только корни из первого случая с учетом ОДЗ.

Ответ: $ x = \frac{k\pi}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}, k \neq 0 $.