Страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

21.16 a) $ (1 - \operatorname{tg}^2 t) \cos^2 t; $

б) $ 2 \cos^2 \frac{\pi + t}{4} - 2 \sin^2 \frac{\pi + t}{4}. $

а)

Чтобы упростить выражение $(1 - \text{tg}^2 t) \cos^2 t$, воспользуемся определением тангенса $\text{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$.

Подставим это определение в исходное выражение:

$(1 - \text{tg}^2 t) \cos^2 t = (1 - (\frac{\sin t}{\cos t})^2) \cos^2 t = (1 - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}) \cos^2 t$.

Теперь раскроем скобки, умножив $\cos^2 t$ на каждый член внутри скобок:

$1 \cdot \cos^2 t - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} \cdot \cos^2 t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2t) = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Следовательно, исходное выражение равно $\cos(2t)$.

Ответ: $\cos(2t)$.

б)

Рассмотрим выражение $2 \cos^2 \frac{\pi + t}{4} - 2 \sin^2 \frac{\pi + t}{4}$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2 \left(\cos^2 \frac{\pi + t}{4} - \sin^2 \frac{\pi + t}{4}\right)$.

Выражение в скобках представляет собой формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, где $\alpha = \frac{\pi + t}{4}$.

Применяя эту формулу, получаем:

$2 \cos\left(2 \cdot \frac{\pi + t}{4}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi + t}{2}\right)$.

Далее, представим аргумент косинуса в виде суммы: $2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{t}{2}\right)$.

Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x$. В нашем случае $x = \frac{t}{2}$.

Таким образом, $2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{t}{2}\right) = 2\left(-\sin\frac{t}{2}\right) = -2 \sin\frac{t}{2}$.

Ответ: $-2 \sin\frac{t}{2}$.

21.12 а) Дано: $ \sin 2x = -\frac{3}{5}, \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4} $.

Вычислите: $ \cos x; \sin x; \operatorname{tg} x; \operatorname{ctg} x $.

б) Дано: $ \operatorname{tg} 2x = \frac{3}{4}, \pi < x < \frac{5\pi}{4} $.

Вычислите: $ \cos x; \sin x; \operatorname{tg} x; \operatorname{ctg} x $.

Упростите выражение:

а) Дано: $\sin 2x = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$.

1. Определим знаки тригонометрических функций для угла $x$. Неравенство $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$ означает, что угол $x$ находится во второй четверти. Во второй четверти $\sin x > 0$, а $\cos x < 0$.

2. Определим четверть для угла $2x$. Умножив неравенство для $x$ на 2, получим $\pi < 2x < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $2x$ находится в третьей четверти. В третьей четверти $\cos 2x < 0$.

3. Найдем $\cos 2x$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\cos^2 2x = 1 - \sin^2 2x = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Так как $2x$ находится в третьей четверти, $\cos 2x$ отрицателен, поэтому $\cos 2x = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

4. Используем формулы понижения степени (или формулы двойного угла для косинуса):
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1 + (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{2} = \frac{1}{10}$.
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{\frac{9}{5}}{2} = \frac{9}{10}$.

5. Найдем $\cos x$ и $\sin x$, учитывая их знаки во второй четверти:
$\cos x = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.
$\sin x = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

6. Вычислим $\tg x$ и $\ctg x$:
$\tg x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{-\frac{1}{\sqrt{10}}} = -3$.
$\ctg x = \frac{1}{\tg x} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $\cos x = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\sin x = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\tg x = -3$, $\ctg x = -\frac{1}{3}$.

б) Дано: $\tg 2x = \frac{3}{4}$ и $\pi < x < \frac{5\pi}{4}$.

1. Определим знаки тригонометрических функций для угла $x$. Неравенство $\pi < x < \frac{5\pi}{4}$ означает, что угол $x$ находится в третьей четверти. В третьей четверти $\sin x < 0$, $\cos x < 0$, а $\tg x > 0$.

2. Используем формулу тангенса двойного угла: $\tg 2x = \frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x}$.
Пусть $t = \tg x$. Тогда получаем уравнение:
$\frac{3}{4} = \frac{2t}{1 - t^2}$.
$3(1 - t^2) = 4(2t)$
$3 - 3t^2 = 8t$
$3t^2 + 8t - 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.
$t_1 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$.
$t_2 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

3. Так как угол $x$ находится в третьей четверти, $\tg x$ должен быть положительным. Следовательно, выбираем корень $t_2 = \frac{1}{3}$.
Итак, $\tg x = \frac{1}{3}$.
Отсюда сразу находим $\ctg x = \frac{1}{\tg x} = 3$.

4. Найдем $\cos x$, используя тождество $1 + \tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.
$\cos^2 x = \frac{1}{1 + \tg^2 x} = \frac{1}{1 + (\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{10}$.
Так как $x$ находится в третьей четверти, $\cos x$ отрицателен:
$\cos x = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

5. Найдем $\sin x$, используя определение тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
$\sin x = \tg x \cdot \cos x = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\cos x = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\sin x = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\tg x = \frac{1}{3}$, $\ctg x = 3$.

21.17 a) $(\sin t - \cos t)^2 = 1 - \sin 2t;$

Б) $2\cos^2 t = 1 + \cos 2t;$

В) $(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t;$

Г) $2\sin^2 t = 1 - \cos 2t.$

а) Докажем тождество $(\sin t - \cos t)^2 = 1 - \sin 2t$.

Преобразуем левую часть равенства. Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, раскроем скобки:

$(\sin t - \cos t)^2 = \sin^2 t - 2\sin t \cos t + \cos^2 t$

Сгруппируем слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$(\sin^2 t + \cos^2 t) - 2\sin t \cos t = 1 - 2\sin t \cos t$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2\sin t \cos t$:

$1 - 2\sin t \cos t = 1 - \sin 2t$

В результате преобразований мы получили правую часть исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $2\cos^2 t = 1 + \cos 2t$.

Преобразуем правую часть равенства. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$:

$1 + \cos 2t = 1 + (\cos^2 t - \sin^2 t)$

Из основного тригонометрического тождества выразим $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$ и подставим в выражение:

$1 + \cos^2 t - (1 - \cos^2 t) = 1 + \cos^2 t - 1 + \cos^2 t = 2\cos^2 t$

В результате преобразований мы получили левую часть исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Докажем тождество $(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t$.

Преобразуем левую часть равенства. Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, раскроем скобки:

$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t$

Сгруппируем слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$(\sin^2 t + \cos^2 t) + 2\sin t \cos t = 1 + 2\sin t \cos t$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2\sin t \cos t$:

$1 + 2\sin t \cos t = 1 + \sin 2t$

В результате преобразований мы получили правую часть исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Докажем тождество $2\sin^2 t = 1 - \cos 2t$.

Преобразуем правую часть равенства. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$:

$1 - \cos 2t = 1 - (\cos^2 t - \sin^2 t) = 1 - \cos^2 t + \sin^2 t$

Из основного тригонометрического тождества выразим $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$ и подставим в выражение:

$1 - (1 - \sin^2 t) + \sin^2 t = 1 - 1 + \sin^2 t + \sin^2 t = 2\sin^2 t$

В результате преобразований мы получили левую часть исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

21.13 a) $\frac{\sin t}{2 \cos^2 \frac{t}{2}}$;

б) $\frac{\cos t}{\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}}$;

В) $\frac{\sin 4t}{\cos 2t}$;

Г) $\frac{\cos 2t - \sin 2t}{\cos 4t}$.

а)

Упростим выражение $\frac{\sin t}{2 \cos^2 \frac{t}{2}}$.

Для числителя применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. В нашем случае, представив $t$ как $2 \cdot \frac{t}{2}$, получим:

$\sin t = \sin(2 \cdot \frac{t}{2}) = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$.

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}}$

Сократим общий множитель 2 в числителе и знаменателе. Также сократим $\cos \frac{t}{2}$ (при условии, что $\cos \frac{t}{2} \neq 0$):

$\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}$

Используя определение тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получаем:

$\tan \frac{t}{2}$

Ответ: $\tan \frac{t}{2}$.

б)

Упростим выражение $\frac{\cos t}{\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}}$.

Для числителя применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. В нашем случае, представив $t$ как $2 \cdot \frac{t}{2}$, получим:

$\cos t = \cos(2 \cdot \frac{t}{2}) = \cos^2 \frac{t}{2} - \sin^2 \frac{t}{2}$.

Подставим это выражение в числитель дроби:

$\frac{\cos^2 \frac{t}{2} - \sin^2 \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}}$

Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\cos^2 \frac{t}{2} - \sin^2 \frac{t}{2} = (\cos \frac{t}{2} - \sin \frac{t}{2})(\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2})$

Подставим разложение в дробь и сократим общий множитель $(\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2})$ (при условии, что он не равен нулю):

$\frac{(\cos \frac{t}{2} - \sin \frac{t}{2})(\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2})}{\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}} = \cos \frac{t}{2} - \sin \frac{t}{2}$

Ответ: $\cos \frac{t}{2} - \sin \frac{t}{2}$.

в)

Упростим выражение $\frac{\sin 4t}{\cos 2t}$.

Представим аргумент в числителе как $4t = 2 \cdot (2t)$ и применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$\sin 4t = \sin(2 \cdot 2t) = 2 \sin 2t \cos 2t$

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{2 \sin 2t \cos 2t}{\cos 2t}$

Сократим общий множитель $\cos 2t$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\cos 2t \neq 0$):

$2 \sin 2t$

Ответ: $2 \sin 2t$.

г)

Упростим выражение $\frac{\cos 2t - \sin 2t}{\cos 4t}$.

Представим аргумент в знаменателе как $4t = 2 \cdot (2t)$ и применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$:

$\cos 4t = \cos(2 \cdot 2t) = \cos^2 2t - \sin^2 2t$

Знаменатель является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\cos^2 2t - \sin^2 2t = (\cos 2t - \sin 2t)(\cos 2t + \sin 2t)$

Подставим разложенное выражение в знаменатель исходной дроби:

$\frac{\cos 2t - \sin 2t}{(\cos 2t - \sin 2t)(\cos 2t + \sin 2t)}$

Сократим общий множитель $(\cos 2t - \sin 2t)$ в числителе и знаменателе (при условии, что он не равен нулю):

$\frac{1}{\cos 2t + \sin 2t}$

Ответ: $\frac{1}{\cos 2t + \sin 2t}$.

21.18 a) $ \cos^4 t - \sin^4 t = \cos 2t; $

б) $ \cos^4 t + \sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t. $

а)

Требуется доказать тождество $cos^4 t - sin^4 t = cos 2t$. Для этого преобразуем левую часть равенства.

Выражение $cos^4 t - sin^4 t$ можно рассматривать как разность квадратов, так как $cos^4 t = (cos^2 t)^2$ и $sin^4 t = (sin^2 t)^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где в нашем случае $a = cos^2 t$ и $b = sin^2 t$:
$cos^4 t - sin^4 t = (cos^2 t - sin^2 t)(cos^2 t + sin^2 t)$.

Теперь воспользуемся двумя известными тригонометрическими тождествами:
1. Основное тригонометрическое тождество: $cos^2 t + sin^2 t = 1$.
2. Формула косинуса двойного угла: $cos 2t = cos^2 t - sin^2 t$.

Подставим значения этих тождеств в наше преобразованное выражение:
$(cos^2 t - sin^2 t)(cos^2 t + sin^2 t) = (cos 2t) \cdot 1 = cos 2t$.

В результате преобразований мы получили, что левая часть исходного равенства равна $cos 2t$, что совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $cos^4 t - sin^4 t = cos 2t$ доказано.

б)

Требуется доказать тождество $cos^4 t + sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}sin^2 2t$. Снова преобразуем левую часть.

Рассмотрим выражение $cos^4 t + sin^4 t$. Мы можем дополнить его до полного квадрата суммы, прибавив и вычтя удвоенное произведение $2 sin^2 t cos^2 t$:
$cos^4 t + sin^4 t = (cos^4 t + 2 sin^2 t cos^2 t + sin^4 t) - 2 sin^2 t cos^2 t$.

Выражение в скобках является полным квадратом суммы $(cos^2 t + sin^2 t)^2$. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $cos^2 t + sin^2 t = 1$.
Следовательно, выражение можно переписать так:
$(cos^2 t + sin^2 t)^2 - 2 sin^2 t cos^2 t = 1^2 - 2 sin^2 t cos^2 t = 1 - 2 sin^2 t cos^2 t$.

Теперь преобразуем член $2 sin^2 t cos^2 t$. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin 2t = 2 sin t cos t$.

Возведем эту формулу в квадрат:
$sin^2 2t = (2 sin t cos t)^2 = 4 sin^2 t cos^2 t$.

Отсюда можно выразить $2 sin^2 t cos^2 t$:
$2 sin^2 t cos^2 t = \frac{1}{2} (4 sin^2 t cos^2 t) = \frac{1}{2} sin^2 2t$.

Подставим это выражение обратно в нашу формулу:
$cos^4 t + sin^4 t = 1 - 2 sin^2 t cos^2 t = 1 - \frac{1}{2} sin^2 2t$.

Мы преобразовали левую часть к виду правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $cos^4 t + sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}sin^2 2t$ доказано.

21.14 a) $\frac{\sin 2t - 2 \sin t}{\cos t - 1}$

б) $\frac{\cos 2t - \cos^2 t}{1 - \cos^2 t}$

в) $\sin 2t \operatorname{ctg} t - 1$

г) $(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)\sin 2t$

а) Упростим выражение $\frac{\sin 2t - 2 \sin t}{\cos t - 1}$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ в числителе:

$\frac{2 \sin t \cos t - 2 \sin t}{\cos t - 1}$

Вынесем общий множитель $2 \sin t$ за скобки в числителе:

$\frac{2 \sin t (\cos t - 1)}{\cos t - 1}$

Сократим дробь на $(\cos t - 1)$, при условии, что $\cos t - 1 \neq 0$, то есть $\cos t \neq 1$:

$2 \sin t$

Ответ: $2 \sin t$.

б) Упростим выражение $\frac{\cos 2t - \cos^2 t}{1 - \cos^2 t}$.

В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.

В числителе применим одну из формул косинуса двойного угла: $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{(\cos^2 t - \sin^2 t) - \cos^2 t}{\sin^2 t}$

Упростим числитель:

$\frac{-\sin^2 t}{\sin^2 t}$

Сократим дробь на $\sin^2 t$, при условии, что $\sin^2 t \neq 0$, то есть $\sin t \neq 0$:

$-1$

Ответ: $-1$.

в) Упростим выражение $\sin 2t \operatorname{ctg} t - 1$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ и определение котангенса $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$.

Подставим их в выражение:

$(2 \sin t \cos t) \cdot \frac{\cos t}{\sin t} - 1$

Сократим на $\sin t$ (это возможно, так как для существования $\operatorname{ctg} t$ необходимо, чтобы $\sin t \neq 0$):

$2 \cos t \cdot \cos t - 1 = 2 \cos^2 t - 1$

Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла: $2 \cos^2 t - 1 = \cos 2t$.

Ответ: $\cos 2t$.

г) Упростим выражение $(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t) \sin 2t$.

Сначала преобразуем сумму в скобках, используя определения тангенса $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и котангенса $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$:

$\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t = \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin t \cos t$:

$\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем:

$\frac{1}{\sin t \cos t}$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$\frac{1}{\sin t \cos t} \cdot \sin 2t$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$:

$\frac{1}{\sin t \cos t} \cdot (2 \sin t \cos t)$

Сократим дробь на $\sin t \cos t$ (это возможно, так как для существования $\operatorname{tg} t$ и $\operatorname{ctg} t$ необходимо, чтобы $\sin t \neq 0$ и $\cos t \neq 0$):

$2$

Ответ: $2$.

21.19 a) $\text{ctg}t - \sin 2t = \text{ctg}t \cos 2t;$

б) $\sin 2t - \text{tg}t = \cos 2t \text{tg}t.$

а) $ctg t - \sin 2t = ctg t \cos 2t$

Для решения данного уравнения сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенса $ctg t$ определена, если $sin t \neq 0$. Следовательно, ОДЗ: $t \neq \pi k$, где $k \in Z$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ctg t - \sin 2t - ctg t \cos 2t = 0$

Сгруппируем члены, содержащие $ctg t$, и вынесем его за скобку:

$ctg t (1 - \cos 2t) - \sin 2t = 0$

Воспользуемся известными тригонометрическими тождествами:

• Формула двойного угла для синуса: $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$
• Формула понижения степени (или следствие из формулы двойного угла для косинуса): $1 - \cos 2t = 2 \sin^2 t$
• Определение котангенса: $ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$

Подставим эти выражения в наше уравнение:

$\frac{\cos t}{\sin t} \cdot (2 \sin^2 t) - 2 \sin t \cos t = 0$

Так как по ОДЗ $\sin t \neq 0$, мы можем сократить $\sin t$ в первом члене:

$\cos t \cdot (2 \sin t) - 2 \sin t \cos t = 0$

$2 \sin t \cos t - 2 \sin t \cos t = 0$

$0 = 0$

Мы получили верное равенство, которое не зависит от переменной $t$. Это означает, что исходное уравнение является тождеством, то есть оно справедливо для всех значений $t$ из области допустимых значений.

Ответ: $t \neq \pi k, k \in Z$.

б) $\sin 2t - tg t = \cos 2t tg t$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Функция тангенса $tg t$ определена, если $\cos t \neq 0$. Следовательно, ОДЗ: $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

Перенесем члены, содержащие $tg t$, в правую часть уравнения:

$\sin 2t = \cos 2t tg t + tg t$

Вынесем $tg t$ за скобку в правой части:

$\sin 2t = tg t ( \cos 2t + 1)$

Применим тригонометрические тождества:

• Формула двойного угла для синуса: $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$
• Формула понижения степени (или следствие из формулы двойного угла для косинуса): $1 + \cos 2t = 2 \cos^2 t$
• Определение тангенса: $tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$2 \sin t \cos t = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot (2 \cos^2 t)$

Так как по ОДЗ $\cos t \neq 0$, мы можем сократить $\cos t$ в правой части:

$2 \sin t \cos t = \sin t \cdot (2 \cos t)$

$2 \sin t \cos t = 2 \sin t \cos t$

$0 = 0$

Мы снова получили верное равенство, не зависящее от $t$. Это значит, что исходное уравнение является тождеством и справедливо для всех значений $t$ из области допустимых значений.

Ответ: $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

21.15 a) $\frac{2}{\text{tg } t + \text{ctg } t}$

б) $\frac{2}{\text{tg } t - \text{ctg } t}$

а) Упростим выражение $ \frac{2}{\text{tg } t + \text{ctg } t} $. Для этого представим тангенс и котангенс через синус и косинус, используя формулы $ \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} $ и $ \text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t} $. Подставим эти определения в знаменатель дроби: $ \text{tg } t + \text{ctg } t = \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} $. Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin t \cos t $: $ \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t} $. Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $: $ \frac{1}{\sin t \cos t} $. Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь: $ \frac{2}{\frac{1}{\sin t \cos t}} = 2 \sin t \cos t $. Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2t) = 2 \sin t \cos t $, получаем итоговый результат.

Ответ: $ \sin(2t) $.

б) Упростим выражение $ \frac{2}{\text{tg } t - \text{ctg } t} $. Так же, как и в предыдущем пункте, заменим тангенс и котангенс: $ \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} $ и $ \text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t} $. Подставим в знаменатель: $ \text{tg } t - \text{ctg } t = \frac{\sin t}{\cos t} - \frac{\cos t}{\sin t} $. Приведем к общему знаменателю $ \sin t \cos t $: $ \frac{\sin^2 t - \cos^2 t}{\sin t \cos t} $. Вынесем минус за скобки в числителе: $ -(\cos^2 t - \sin^2 t) $. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos(2t) = \cos^2 t - \sin^2 t $. Тогда числитель равен $ -\cos(2t) $, а весь знаменатель: $ \frac{-\cos(2t)}{\sin t \cos t} $. Подставим это в исходное выражение: $ \frac{2}{\frac{-\cos(2t)}{\sin t \cos t}} = -\frac{2 \sin t \cos t}{\cos(2t)} $. В числителе используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2t) = 2 \sin t \cos t $: $ -\frac{\sin(2t)}{\cos(2t)} $. Используя определение тангенса $ \text{tg}(2t) = \frac{\sin(2t)}{\cos(2t)} $, получаем окончательный результат.

Ответ: $ -\text{tg}(2t) $.

21.20 а) $\sin^2 2t = \frac{1 - \cos 4t}{2}$;

б) $2 \sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = 1$;

в) $2 \sin^2 2t = 1 + \sin \left( \frac{3\pi}{2} - 4t \right)$;

г) $2 \cos^2 t - \cos 2t = 1$.

а) Докажем, что данное равенство является тождеством. Воспользуемся формулой понижения степени для синуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла ($\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$): $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$. Применим эту формулу, подставив в нее $x = 2t$. Тогда левая часть формулы станет $\sin^2(2t)$, а правая — $\frac{1 - \cos(2 \cdot 2t)}{2} = \frac{1 - \cos 4t}{2}$. Таким образом, мы получаем тождество $\sin^2 2t = \frac{1 - \cos 4t}{2}$, которое совпадает с исходным уравнением. Следовательно, данное равенство верно для любого действительного значения $t$. Ответ: $t \in \mathbb{R}$.

б) Преобразуем левую часть уравнения $2 \sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = 1$, используя формулу понижения степени для синуса: $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$. В нашем случае $x = \frac{t}{2}$, тогда $2x = t$. Подставим это в формулу: $2\sin^2 \frac{t}{2} = 1 - \cos t$. Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение: $(1 - \cos t) + \cos t = 1$. Упрощая, получаем $1 = 1$. Это верное равенство, которое не зависит от переменной $t$. Следовательно, исходное уравнение является тождеством и справедливо для всех действительных чисел $t$. Ответ: $t \in \mathbb{R}$.

в) Рассмотрим уравнение $2 \sin^2 2t = 1 + \sin(\frac{3\pi}{2} - 4t)$. Сначала упростим правую часть, используя формулу приведения: $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha$. В нашем случае $\alpha = 4t$, поэтому $\sin(\frac{3\pi}{2} - 4t) = -\cos 4t$. Исходное уравнение принимает вид: $2 \sin^2 2t = 1 - \cos 4t$. Теперь воспользуемся формулой понижения степени для синуса $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$. Положим $x = 2t$, тогда $2x=4t$. Формула принимает вид $2\sin^2 2t = 1 - \cos 4t$. Мы видим, что преобразованное уравнение является известным тригонометрическим тождеством. Значит, исходное уравнение также является тождеством и выполняется для всех действительных значений $t$. Ответ: $t \in \mathbb{R}$.

г) Рассмотрим уравнение $2 \cos^2 t - \cos 2t = 1$. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2t = 2 \cos^2 t - 1$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $2 \cos^2 t - (2 \cos^2 t - 1) = 1$. Раскроем скобки: $2 \cos^2 t - 2 \cos^2 t + 1 = 1$. После приведения подобных членов получаем верное равенство $1 = 1$. Это равенство не зависит от переменной $t$. Следовательно, исходное уравнение является тождеством и справедливо для всех действительных чисел $t$. Ответ: $t \in \mathbb{R}$.

1. С помощью рисунков 32 и 33 на с. 34 вычислите $ \sin 45^\circ $, $ \cos 120^\circ $, $ \operatorname{tg} 225^\circ $, $ \operatorname{ctg} 300^\circ $.

Для вычисления значений тригонометрических функций воспользуемся тригонометрической (единичной) окружностью. Это окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат. Для любого угла $\alpha$ точка $P(x, y)$ на окружности, соответствующая этому углу, имеет координаты $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$. Тангенс угла $\alpha$ определяется как отношение синуса к косинусу: $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, а котангенс — как отношение косинуса к синусу: $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

sin 45°

Угол $\alpha = 45°$ находится в первой четверти. Точка $P$, соответствующая этому углу на единичной окружности, лежит на прямой $y=x$. Координаты $(x, y)$ этой точки удовлетворяют уравнению окружности $x^2 + y^2 = 1$.

Подставив $y=x$ в уравнение, получим: $x^2 + x^2 = 1$, что равносильно $2x^2 = 1$, откуда $x^2 = \frac{1}{2}$. Так как точка находится в первой четверти, ее координаты положительны: $x = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $y = x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Синус угла равен ординате (координате $y$) этой точки. Таким образом, $\sin 45° = y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

cos 120°

Угол $\alpha = 120°$ находится во второй четверти. Найдем соответствующую точку $P(x, y)$ на единичной окружности. Смежный угол (угол приведения к первой четверти) равен $180° - 120° = 60°$.

Значения для угла $60°$: $\cos 60° = \frac{1}{2}$ и $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Во второй четверти косинус (координата $x$) отрицателен, а синус (координата $y$) положителен.

Следовательно, координаты точки $P$ для угла $120°$ равны $x = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$ и $y = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Косинус угла равен абсциссе (координате $x$) этой точки.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

tg 225°

Угол $\alpha = 225°$ находится в третьей четверти. Угол приведения равен $225° - 180° = 45°$.

В третьей четверти и синус, и косинус отрицательны. Поэтому $\sin 225° = -\sin 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos 225° = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тангенс вычисляется по формуле $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Подставим найденные значения: $\tg 225° = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.

Ответ: $1$

ctg 300°

Угол $\alpha = 300°$ находится в четвертой четверти. Угол приведения равен $360° - 300° = 60°$.

В четвертой четверти косинус (координата $x$) положителен, а синус (координата $y$) отрицателен. Значит, $\cos 300° = \cos 60° = \frac{1}{2}$ и $\sin 300° = -\sin 60° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Котангенс вычисляется по формуле $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. Подставим найденные значения: $\ctg 300° = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\ctg 300° = -\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. Объясните, почему $ \sin 390^{\circ} = \frac{1}{2} $, а $ \cos 540^{\circ} = -1 $.

sin 390° = 1/2

Тригонометрическая функция синус является периодической с периодом $360^\circ$. Это означает, что значения функции повторяются через каждый полный оборот. Свойство периодичности можно записать в виде формулы: $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin(\alpha)$, где $k$ — любое целое число.

Чтобы найти значение $\sin(390^\circ)$, представим угол $390^\circ$ как сумму одного полного оборота ($360^\circ$) и некоторого остаточного угла:

$390^\circ = 360^\circ + 30^\circ$

Применяя свойство периодичности, мы можем отбросить полный оборот ($360^\circ$):

$\sin(390^\circ) = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin(30^\circ)$

Значение синуса для угла $30^\circ$ является табличным и хорошо известным:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Таким образом, мы показали, что $\sin(390^\circ) = \frac{1}{2}$.

Ответ: Равенство верно, так как функция синус имеет период $360^\circ$, поэтому $\sin(390^\circ) = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin(30^\circ)$, а значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$.

cos 540° = -1

Аналогично синусу, функция косинус также является периодической с периодом $360^\circ$. Ее свойство периодичности выражается формулой: $\cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \cos(\alpha)$, где $k$ — любое целое число.

Представим угол $540^\circ$ в виде суммы полного оборота и остаточного угла:

$540^\circ = 360^\circ + 180^\circ$

Используя свойство периодичности функции косинус, отбрасываем полный оборот:

$\cos(540^\circ) = \cos(360^\circ + 180^\circ) = \cos(180^\circ)$

Значение косинуса для угла $180^\circ$ также является табличным. На единичной окружности угол в $180^\circ$ соответствует точке с координатами $(-1, 0)$. Косинус угла по определению равен абсциссе (координате x) этой точки.

$\cos(180^\circ) = -1$

Следовательно, мы доказали, что $\cos(540^\circ) = -1$.

Ответ: Равенство верно, так как функция косинус имеет период $360^\circ$, поэтому $\cos(540^\circ) = \cos(360^\circ + 180^\circ) = \cos(180^\circ)$, а значение $\cos(180^\circ)$ равно $-1$.