Страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

19.25 Зная, что $\cos t = -\frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$, вычислите:

a) $\sin \left(t - \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $\cos \left(t - \frac{3\pi}{2}\right)$;

в) $\cos \left(t - \frac{\pi}{6}\right)$;

г) $\sin \left(t - \frac{3\pi}{2}\right)$.

По условию задачи дано $ \cos t = -\frac{5}{13} $ и $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $. Это означает, что угол $t$ находится во второй четверти координатной плоскости.

Для дальнейших вычислений нам понадобится значение $ \sin t $. Найдем его, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

$ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $

Так как угол $t$ находится во второй четверти, где синус является положительной функцией, мы выбираем положительное значение корня:

$ \sin t = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} $.

Теперь мы можем приступить к вычислению заданных выражений.

а) $ \sin\left(t - \frac{\pi}{6}\right) $

Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.

$ \sin\left(t - \frac{\pi}{6}\right) = \sin t \cos\frac{\pi}{6} - \cos t \sin\frac{\pi}{6} $

Подставляем известные значения $ \sin t = \frac{12}{13} $, $ \cos t = -\frac{5}{13} $, $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $:

$ \sin\left(t - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{12}{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{26} + \frac{5}{26} = \frac{12\sqrt{3} + 5}{26} $.

Ответ: $ \frac{12\sqrt{3} + 5}{26} $.

б) $ \cos\left(t - \frac{3\pi}{2}\right) $

Используем формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.

$ \cos\left(t - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos t \cos\frac{3\pi}{2} + \sin t \sin\frac{3\pi}{2} $

Подставляем известные значения $ \cos t = -\frac{5}{13} $, $ \sin t = \frac{12}{13} $, $ \cos\frac{3\pi}{2} = 0 $ и $ \sin\frac{3\pi}{2} = -1 $:

$ \cos\left(t - \frac{3\pi}{2}\right) = \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot 0 + \frac{12}{13} \cdot (-1) = 0 - \frac{12}{13} = -\frac{12}{13} $.

Ответ: $ -\frac{12}{13} $.

в) $ \cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right) $

Используем формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.

$ \cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right) = \cos t \cos\frac{\pi}{6} + \sin t \sin\frac{\pi}{6} $

Подставляем известные значения:

$ \cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{12}{13} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{5\sqrt{3}}{26} + \frac{12}{26} = \frac{12 - 5\sqrt{3}}{26} $.

Ответ: $ \frac{12 - 5\sqrt{3}}{26} $.

г) $ \sin\left(t - \frac{3\pi}{2}\right) $

Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.

$ \sin\left(t - \frac{3\pi}{2}\right) = \sin t \cos\frac{3\pi}{2} - \cos t \sin\frac{3\pi}{2} $

Подставляем известные значения:

$ \sin\left(t - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{12}{13} \cdot 0 - \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot (-1) = 0 - \frac{5}{13} = -\frac{5}{13} $.

Ответ: $ -\frac{5}{13} $.

Решите уравнение:

19.21 а) $\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)-\cos x=0,5$;

б) $\sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)+\sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4} - x) - \cos x = 0,5$.

Для решения применим формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Применим эту формулу к выражению $\cos(\frac{\pi}{4} - x)$:

$\cos(\frac{\pi}{4} - x) = \cos\frac{\pi}{4} \cos x + \sin\frac{\pi}{4} \sin x$.

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\cos(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) - \cos x = 0,5$.

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{2}{2}(\cos x + \sin x) - \cos x = 0,5$

$\cos x + \sin x - \cos x = 0,5$

$\sin x = 0,5$.

Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение $\sin x = 0,5$.

Корни этого уравнения находятся по формуле $x = (-1)^k \arcsin(0,5) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(0,5) = \frac{\pi}{6}$, то:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для решения применим формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Применим эту формулу к выражению $\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$:

$\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{\pi}{4} \sin\frac{x}{2}$.

Так как $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2})$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}) + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{2}{2}(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}) + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение. Пусть $t = \frac{x}{2}$, тогда $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Корни этого уравнения находятся по формуле $t = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то:

$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену $t = \frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = 2(\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

19.26 Зная, что $cos \alpha = \frac{15}{17}$, $cos \beta = \frac{4}{5}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, найдите значение выражения:

а) $sin(\alpha - \beta)$;

б) $cos(\alpha - \beta)$.

Для решения задачи нам понадобятся значения $\sin \alpha$ и $\sin \beta$. Мы можем найти их, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ принадлежат первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$), их синусы будут положительными.

1. Найдем $\sin \alpha$:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{225}{289}} = \sqrt{\frac{289 - 225}{289}} = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$

2. Найдем $\sin \beta$:

$\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Теперь, имея все необходимые значения, мы можем вычислить выражения.

а) Для нахождения $\sin(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой синуса разности:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

Подставим известные и найденные значения:

$\sin(\alpha - \beta) = \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} - \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{32}{85} - \frac{45}{85} = \frac{32 - 45}{85} = -\frac{13}{85}$

Ответ: $-\frac{13}{85}$

б) Для нахождения $\cos(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой косинуса разности:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Подставим известные и найденные значения:

$\cos(\alpha - \beta) = \frac{15}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{8}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{60 + 24}{85} = \frac{84}{85}$

Ответ: $\frac{84}{85}$

19.22 a) $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1;$

б) $\sin x - \cos x = 1;$

В) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1;$

Г) $\sqrt{3} \cos x + \sin x = 1.$

а)

Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$.

Данное уравнение имеет вид $a \sin x + b \cos x = c$, где коэффициенты уже являются значениями синуса и косинуса известного угла. Заметим, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = 1$

Левая часть уравнения является формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Применив эту формулу, получим:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x = \frac{2\pi + \pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $\sin x - \cos x = 1$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1$, $b=-1$. Для решения используем метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Заменим коэффициенты на тригонометрические функции: $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Применяем формулу синуса разности:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем это уравнение:

$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

Рассмотрим два случая для $n$:

1. Если $n=2k$ (четное), то $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

2. Если $n=2k+1$ (нечетное), то $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = \pi + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x = 1$.

Перепишем уравнение для удобства: $\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 1$.

Заметим, что $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} = 1$

Левая часть является формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = 1$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $\sqrt{3}\cos x + \sin x = 1$.

Применим метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

$\cos x \cos \frac{\pi}{6} + \sin x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Левая часть является формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Решаем это уравнение:

$x - \frac{\pi}{6} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Получаем две серии решений:

1. $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi+\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

2. $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{-2\pi+\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

19.23 a) $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1;$

б) $\sin x + \cos x = 1;$

в) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1;$

г) $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 1.$

а)

Дано уравнение: $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, для решения которого используется метод введения вспомогательного угла. Заметим, что коэффициенты $\frac{\sqrt{2}}{2}$ равны $\cos(\frac{\pi}{4})$ и $\sin(\frac{\pi}{4})$.

Заменим коэффициенты в уравнении: $\cos(\frac{\pi}{4}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = 1$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.

Применяя эту формулу, получаем: $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Синус равен единице, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

Следовательно, $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Выразим $x$: $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi - \pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение: $\sin x + \cos x = 1$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1$ и $b=1$. Применим метод вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Получаем: $\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, что то же самое, что и $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Заменим коэффициенты, зная, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $\cos(\frac{\pi}{4}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(A+B)$, получаем: $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решения этого уравнения распадаются на две серии:

1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1$.

Уравнение уже имеет вид, удобный для применения формулы косинуса суммы: $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение: $\cos(\frac{\pi}{6}) \cos x - \sin(\frac{\pi}{6}) \sin x = 1$.

Сворачиваем левую часть по формуле косинуса суммы: $\cos(x + \frac{\pi}{6}) = 1$.

Косинус равен единице, когда его аргумент равен $2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, $x + \frac{\pi}{6} = 2\pi n$.

Выразим $x$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение: $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 1$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=-1$ и $b=\sqrt{3}$. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Получаем: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{2}$.

Как и в предыдущем задании, левую часть можно свернуть, используя формулу косинуса суммы, так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

$\cos(\frac{\pi}{6}) \cos x - \sin(\frac{\pi}{6}) \sin x = \frac{1}{2}$.

Применяя формулу, получаем: $\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения распадаются на две серии:

1) $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

19.24 Зная, что $\sin t = \frac{3}{5}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$, вычислите:

а) $\sin \left(\frac{\pi}{3} + t\right);$

Б) $\cos \left(\frac{\pi}{2} + t\right);$

в) $\sin \left(\frac{\pi}{2} + t\right);$

Г) $\cos \left(\frac{\pi}{3} + t\right).$

Для решения всех пунктов задачи нам понадобится значение $ \cos t $. Мы можем найти его, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

По условию дано $ \sin t = \frac{3}{5} $. Подставим это значение в тождество:

$ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 t = 1 $

$ \frac{9}{25} + \cos^2 t = 1 $

$ \cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $

$ \cos t = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $

Так как по условию $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $, угол $ t $ находится в первой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $ \cos t = \frac{4}{5} $.

Теперь мы можем вычислить значения для каждого пункта.

а) $ \sin\left(\frac{\pi}{3} + t\right) $

Используем формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $.

$ \sin\left(\frac{\pi}{3} + t\right) = \sin\frac{\pi}{3}\cos t + \cos\frac{\pi}{3}\sin t $

Мы знаем, что $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $. Подставляем известные значения:

$ \sin\left(\frac{\pi}{3} + t\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4\sqrt{3}}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3 + 4\sqrt{3}}{10} $

Ответ: $ \frac{3 + 4\sqrt{3}}{10} $

б) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) $

Используем формулу приведения: $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $.

$ \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\sin t $

Подставляем известное значение $ \sin t = \frac{3}{5} $:

$ \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\frac{3}{5} $

Ответ: $ -\frac{3}{5} $

в) $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) $

Используем формулу приведения: $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $.

$ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos t $

Подставляем найденное значение $ \cos t = \frac{4}{5} $:

$ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \frac{4}{5} $

Ответ: $ \frac{4}{5} $

г) $ \cos\left(\frac{\pi}{3} + t\right) $

Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.

$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + t\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos t - \sin\frac{\pi}{3}\sin t $

Мы знаем, что $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Подставляем известные значения:

$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + t\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{10} - \frac{3\sqrt{3}}{10} = \frac{4 - 3\sqrt{3}}{10} $

Ответ: $ \frac{4 - 3\sqrt{3}}{10} $