Страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

18.20 a) $\sin^2 \frac{3x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x - \cos^2 \frac{3x}{4} + 1;$

б) $\cos^2 2x - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin^2 2x.$

а) $\sin^2 \frac{3x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x - \cos^2 \frac{3x}{4} + 1$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\frac{3x}{4}$, в левой части уравнения, перенеся $-\cos^2 \frac{3x}{4}$ влево с противоположным знаком:

$\sin^2 \frac{3x}{4} + \cos^2 \frac{3x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x + 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Для $\alpha = \frac{3x}{4}$ оно выглядит так: $\sin^2 \frac{3x}{4} + \cos^2 \frac{3x}{4} = 1$.

Подставим 1 в уравнение вместо суммы квадратов синуса и косинуса:

$1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x + 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения, чтобы выделить $\sin x$:

$-\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x$

Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, значение арксинуса равно $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляя это значение в общую формулу, получаем:

$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Это можно переписать в виде $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 2x - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin^2 2x$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $2x$, в левой части уравнения, перенеся $-\sin^2 2x$ влево с противоположным знаком:

$\cos^2 2x + \sin^2 2x - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Для $\alpha = 2x$ оно выглядит так: $\cos^2 2x + \sin^2 2x = 1$.

Подставим 1 в уравнение вместо суммы квадратов синуса и косинуса:

$1 - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Упростим левую часть уравнения:

$-\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Умножим обе части на -1:

$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, значение арккосинуса равно $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляя это значение в общую формулу, получаем:

$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

18.21 a) $ \operatorname{tg} x - 2 \operatorname{ctg} x + 1 = 0; $

Б) $ \frac{\operatorname{tg} x + 5}{2} = \frac{1}{\cos^2 x}; $

В) $ 2 \operatorname{ctg} x - 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0; $

Г) $ \frac{7 - \operatorname{ctg} x}{4} = \frac{1}{\sin^2 x}. $

а) $ \tg x - 2 \ctg x + 1 = 0 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс не определен, когда $ \cos x = 0 $, а котангенс не определен, когда $ \sin x = 0 $. Следовательно, $ x \neq \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Используем тождество $ \ctg x = \frac{1}{\tg x} $. Уравнение принимает вид:

$ \tg x - \frac{2}{\tg x} + 1 = 0 $

Введем замену: пусть $ t = \tg x $. Тогда уравнение переписывается как:

$ t - \frac{2}{t} + 1 = 0 $

Умножим обе части на $ t $ (при условии $ t \neq 0 $, что соответствует ОДЗ):

$ t^2 - 2 + t = 0 $

$ t^2 + t - 2 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант.

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $

$ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 $

$ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 $

Вернемся к замене:

1) $ \tg x = 1 $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tg x = -2 $. Отсюда $ x = \arctg(-2) + \pi k = -\arctg(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi n, -\arctg(2) + \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \frac{\tg x + 5}{2} = \frac{1}{\cos^2 x} $

ОДЗ: $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tg^2 x $. Уравнение принимает вид:

$ \frac{\tg x + 5}{2} = 1 + \tg^2 x $

Введем замену: пусть $ t = \tg x $.

$ \frac{t + 5}{2} = 1 + t^2 $

Умножим обе части на 2:

$ t + 5 = 2(1 + t^2) $

$ t + 5 = 2 + 2t^2 $

$ 2t^2 - t - 3 = 0 $

Решим квадратное уравнение:

$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 $

$ t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $

$ t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 $

Вернемся к замене:

1) $ \tg x = \frac{3}{2} $. Отсюда $ x = \arctg\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tg x = -1 $. Отсюда $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: $ \arctg\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n, -\frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

в) $ 2 \ctg x - 3 \tg x + 5 = 0 $

ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Используем тождество $ \ctg x = \frac{1}{\tg x} $.

$ \frac{2}{\tg x} - 3 \tg x + 5 = 0 $

Введем замену: пусть $ t = \tg x $.

$ \frac{2}{t} - 3t + 5 = 0 $

Умножим обе части на $ t $ (при $ t \neq 0 $):

$ 2 - 3t^2 + 5t = 0 $

$ 3t^2 - 5t - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение:

$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 $

$ t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 $

$ t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $

Вернемся к замене:

1) $ \tg x = 2 $. Отсюда $ x = \arctg(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tg x = -\frac{1}{3} $. Отсюда $ x = \arctg\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k = -\arctg\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: $ \arctg(2) + \pi n, -\arctg\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \frac{7 - \ctg x}{4} = \frac{1}{\sin^2 x} $

ОДЗ: $ \sin x \neq 0 $, то есть $ x \neq \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \ctg^2 x $. Уравнение принимает вид:

$ \frac{7 - \ctg x}{4} = 1 + \ctg^2 x $

Введем замену: пусть $ t = \ctg x $.

$ \frac{7 - t}{4} = 1 + t^2 $

Умножим обе части на 4:

$ 7 - t = 4(1 + t^2) $

$ 7 - t = 4 + 4t^2 $

$ 4t^2 + t - 3 = 0 $

Решим квадратное уравнение:

$ D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 $

$ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $

$ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1 $

Вернемся к замене:

1) $ \ctg x = \frac{3}{4} $. Отсюда $ x = \arcctg\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \ctg x = -1 $. Отсюда $ x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: $ \arcctg\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

18.22 a) $2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0;$

B) $\sqrt{3} \operatorname{tg}^2 3x - 3 \operatorname{tg} 3x = 0;$

б) $4 \cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 3 = 0;$

г) $4 \sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0.$

а) $2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $\cos \frac{x}{2}$. Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{2}$ за скобки:

$\cos \frac{x}{2} \left(2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3}\right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:

1) $\cos \frac{x}{2} = 0$

Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения.

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0$

Выразим $\cos \frac{x}{2}$:

$2 \cos \frac{x}{2} = -\sqrt{3}$

$\cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решаем это уравнение по общей формуле:

$\frac{x}{2} = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Так как $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, получаем:

$\frac{x}{2} = \pm \left(\pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 2:

$x = \pm \frac{5\pi}{3} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, \quad x = \pm \frac{5\pi}{3} + 4\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $4 \cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 3 = 0$

Выразим $\cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$:

$4 \cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 3$

$\cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение этого уравнения можно записать в более компактном виде. Пусть $t = x - \frac{\pi}{6}$. Тогда $\cos t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решениями являются $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену:

$x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

1) $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{2\pi}{6} + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi k = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sqrt{3} \text{tg}^2 3x - 3 \text{tg} 3x = 0$

Вынесем общий множитель $\text{tg} 3x$ за скобки:

$\text{tg} 3x (\sqrt{3} \text{tg} 3x - 3) = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для тангенса: его аргумент не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

$3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, следовательно $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $\text{tg} 3x = 0$

$3x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Данная серия корней удовлетворяет ОДЗ.

2) $\sqrt{3} \text{tg} 3x - 3 = 0$

$\sqrt{3} \text{tg} 3x = 3$

$\text{tg} 3x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$3x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$

$3x = \frac{\pi}{3} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi m}{3}, \quad m \in \mathbb{Z}$

Эта серия корней также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, \quad x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi m}{3}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

г) $4 \sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0$

Выразим $\sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$:

$4 \sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$

$\sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \pm \frac{1}{2}$

Пусть $t = 2x + \frac{\pi}{3}$. Уравнение принимает вид $\sin t = \pm \frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения можно записать как $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену:

$2x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

1) $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi k$

$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi k = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $2x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

$2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi k = -\frac{3\pi}{6} + \pi k = -\frac{\pi}{2} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

18.18 Решите уравнение $sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -1$ и найдите:

а) наименьший положительный корень;

б) корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$;

в) наибольший отрицательный корень;

г) корни, принадлежащие интервалу $(-\pi; \frac{\pi}{2})$.

Сначала решим исходное уравнение $\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = -1$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Аргумент синуса должен быть равен $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

$2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Выразим $x$:

$2x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$2x = -\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$2x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Разделив обе части на 2, получим общее решение уравнения:

$x = -\frac{\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь, используя эту формулу, ответим на вопросы.

а) наименьший положительный корень;

Для нахождения наименьшего положительного корня нужно найти наименьшее целое $k$, при котором $x > 0$.

$-\frac{\pi}{8} + \pi k > 0$

$\pi k > \frac{\pi}{8}$

$k > \frac{1}{8}$

Наименьшее целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=1$.

Подставим $k=1$ в общую формулу корней:

$x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 1 = \frac{-\pi + 8\pi}{8} = \frac{7\pi}{8}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{8}$.

б) корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$;

Для нахождения корней на заданном отрезке решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{8} + \pi k \le \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{8} + k \le \frac{3}{2}$

Прибавим $\frac{1}{8}$ ко всем частям:

$-\frac{1}{2} + \frac{1}{8} \le k \le \frac{3}{2} + \frac{1}{8}$

$-\frac{4}{8} + \frac{1}{8} \le k \le \frac{12}{8} + \frac{1}{8}$

$-\frac{3}{8} \le k \le \frac{13}{8}$

В этот промежуток попадают целые значения $k=0$ и $k=1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{8}$.

При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 1 = \frac{7\pi}{8}$.

Оба корня принадлежат отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

Ответ: $-\frac{\pi}{8}; \frac{7\pi}{8}$.

в) наибольший отрицательный корень;

Для нахождения наибольшего отрицательного корня нужно найти наибольшее целое $k$, при котором $x < 0$.

$-\frac{\pi}{8} + \pi k < 0$

$\pi k < \frac{\pi}{8}$

$k < \frac{1}{8}$

Наибольшее целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=0$.

Подставим $k=0$ в общую формулу корней:

$x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{8}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{8}$.

г) корни, принадлежащие интервалу $(-\pi; \frac{\pi}{2})$.

Для нахождения корней на заданном интервале решим двойное неравенство:

$-\pi < -\frac{\pi}{8} + \pi k < \frac{\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-1 < -\frac{1}{8} + k < \frac{1}{2}$

Прибавим $\frac{1}{8}$ ко всем частям:

$-1 + \frac{1}{8} < k < \frac{1}{2} + \frac{1}{8}$

$-\frac{7}{8} < k < \frac{5}{8}$

В этот промежуток попадает единственное целое значение $k=0$.

Найдем соответствующее значение $x$:

При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{8}$.

Этот корень принадлежит интервалу $(-\pi; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $-\frac{\pi}{8}$.

18.23 a) $\sin^2 x - \frac{12 - \sqrt{2}}{2}\sin x - 3\sqrt{2} = 0;$

б) $\cos^2 x - \frac{8 - \sqrt{3}}{2}\cos x - 2\sqrt{3} = 0.$

а) Решим уравнение $ \sin^2 x - \frac{12 - \sqrt{2}}{2}\sin x - 3\sqrt{2} = 0 $.
Это квадратное уравнение относительно $ \sin x $. Сделаем замену $ t = \sin x $, при условии $ |t| \le 1 $.
Уравнение примет вид: $ t^2 - \frac{12 - \sqrt{2}}{2}t - 3\sqrt{2} = 0 $.
Умножим все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$ 2t^2 - (12 - \sqrt{2})t - 6\sqrt{2} = 0 $.
Найдем дискриминант $ D $:
$ D = b^2 - 4ac = (-(12 - \sqrt{2}))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6\sqrt{2}) = (12 - \sqrt{2})^2 + 48\sqrt{2} $.
$ D = 144 - 24\sqrt{2} + 2 + 48\sqrt{2} = 146 + 24\sqrt{2} $.
Заметим, что $ 146 + 24\sqrt{2} = 144 + 2 \cdot 12 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (12 + \sqrt{2})^2 $.
Следовательно, $ \sqrt{D} = 12 + \sqrt{2} $.
Корни для $t$ находятся по формуле:
$ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{2} \pm (12 + \sqrt{2})}{4} $.
$ t_1 = \frac{12 - \sqrt{2} + 12 + \sqrt{2}}{4} = \frac{24}{4} = 6 $.
$ t_2 = \frac{12 - \sqrt{2} - (12 + \sqrt{2})}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Теперь вернемся к переменной $x$:
1. $ \sin x = t_1 = 6 $. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $ [-1; 1] $, а $ 6 > 1 $.
2. $ \sin x = t_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Общее решение этого уравнения:
$ x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим уравнение $ \cos^2 x - \frac{8 - \sqrt{3}}{2}\cos x - 2\sqrt{3} = 0 $.
Это квадратное уравнение относительно $ \cos x $. Сделаем замену $ y = \cos x $, при условии $ |y| \le 1 $.
Уравнение примет вид: $ y^2 - \frac{8 - \sqrt{3}}{2}y - 2\sqrt{3} = 0 $.
Умножим все члены уравнения на 2:
$ 2y^2 - (8 - \sqrt{3})y - 4\sqrt{3} = 0 $.
Найдем дискриминант $ D $:
$ D = b^2 - 4ac = (-(8 - \sqrt{3}))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4\sqrt{3}) = (8 - \sqrt{3})^2 + 32\sqrt{3} $.
$ D = 64 - 16\sqrt{3} + 3 + 32\sqrt{3} = 67 + 16\sqrt{3} $.
Заметим, что $ 67 + 16\sqrt{3} = 64 + 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (8 + \sqrt{3})^2 $.
Следовательно, $ \sqrt{D} = 8 + \sqrt{3} $.
Корни для $y$ находятся по формуле:
$ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{3} \pm (8 + \sqrt{3})}{4} $.
$ y_1 = \frac{8 - \sqrt{3} + 8 + \sqrt{3}}{4} = \frac{16}{4} = 4 $.
$ y_2 = \frac{8 - \sqrt{3} - (8 + \sqrt{3})}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Теперь вернемся к переменной $x$:
1. $ \cos x = y_1 = 4 $. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $ [-1; 1] $, а $ 4 > 1 $.
2. $ \cos x = y_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Общее решение этого уравнения:
$ x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n $.
Так как $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $, то:
$ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

18.19 Решите уравнение $\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \frac{1}{2}$ и найдите:

Сначала решим исходное уравнение. Воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\cos(t) = a$ записывается как $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x - \frac{\pi}{3}$ и $a = \frac{1}{2}$. Значение арккосинуса: $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем значения и получаем совокупность уравнений:

$2x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) С положительным знаком:

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) С отрицательным знаком:

$2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = 2\pi n$

$x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Итак, мы получили две серии корней: $x_1 = \pi n$ и $x_2 = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Теперь найдем корни, удовлетворяющие заданным условиям.

а) наименьший положительный корень

Найдем наименьший положительный корень путем перебора целочисленных значений $n$.

Для серии $x = \pi n$: при $n=1$ получаем $x = \pi$. При $n=0$ корень $x=0$ не является положительным.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$: при $n=0$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$.

Сравниваем полученные положительные корни $\pi$ и $\frac{\pi}{3}$. Наименьшим из них является $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

б) корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$

Отберем корни для каждой серии, используя двойные неравенства.

Для серии $x = \pi n$:

$-\frac{\pi}{2} \le \pi n \le \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{1}{2} \le n \le \frac{3}{2}$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: $n=0$ и $n=1$.

При $n=0$, $x = 0$.

При $n=1$, $x = \pi$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} + \pi n \le \frac{3\pi}{2}$

Вычтем $\frac{\pi}{3}$: $-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} \le \pi n \le \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3}$

$-\frac{5\pi}{6} \le \pi n \le \frac{7\pi}{6}$

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{5}{6} \le n \le \frac{7}{6}$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: $n=0$ и $n=1$.

При $n=0$, $x = \frac{\pi}{3}$.

При $n=1$, $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.

Объединяя все найденные корни, получаем: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.

в) наибольший отрицательный корень

Найдем наибольший отрицательный корень, перебирая отрицательные целочисленные значения $n$.

Для серии $x = \pi n$: при $n=-1$ получаем $x = -\pi$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$: при $n=-1$ получаем $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.

Сравниваем полученные отрицательные корни $-\pi$ и $-\frac{2\pi}{3}$. Так как $-\frac{2\pi}{3} > -\pi$, наибольший отрицательный корень равен $-\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

г) корни, принадлежащие интервалу $\left(-\pi; \frac{\pi}{2}\right)$

Отберем корни для каждой серии, используя строгие двойные неравенства.

Для серии $x = \pi n$:

$-\pi < \pi n < \frac{\pi}{2}$

Разделим все части на $\pi$: $-1 < n < \frac{1}{2}$.

Единственное целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию: $n=0$.

При $n=0$, $x = 0$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$:

$-\pi < \frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{\pi}{2}$

Вычтем $\frac{\pi}{3}$: $-\pi - \frac{\pi}{3} < \pi n < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}$

$-\frac{4\pi}{3} < \pi n < \frac{\pi}{6}$

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{4}{3} < n < \frac{1}{6}$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: $n=-1$ и $n=0$.

При $n=-1$, $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.

При $n=0$, $x = \frac{\pi}{3}$.

Объединяя все найденные корни, получаем: $-\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$.