Страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

17.16 Постройте график функции:

а) $y = \sin(\arcsin x);$

б) $y = \operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg}(-x);$

в) $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x);$

г) $y = \arcsin x + \arcsin(-x).$

а) $y = \sin(\arcsin x)$

Для решения этой задачи необходимо использовать определение арксинуса. По определению, $\arcsin x$ — это такое число $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.

1. Область определения функции. Функция $\arcsin x$ определена для $x \in [-1; 1]$. Следовательно, область определения всей функции $y = \sin(\arcsin x)$ также $D(y) = [-1; 1]$.

2. Упрощение выражения. По основному тригонометрическому тождеству для обратных функций, для любого $x$ из области определения арксинуса, справедливо равенство $\sin(\arcsin x) = x$.

3. Построение графика. Таким образом, нам нужно построить график функции $y = x$ при условии, что $x \in [-1; 1]$.

Графиком этой функции является отрезок прямой $y=x$, концы которого находятся в точках с координатами $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-1; -1)$ и $(1; 1)$.

б) $y = \operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg}(-x)$

1. Область определения функции. Функция $\operatorname{arctg} x$ определена для всех действительных чисел, то есть $D(\operatorname{arctg}) = (-\infty; +\infty)$. Следовательно, область определения для данной функции $D(y)$ также $(-\infty; +\infty)$.

2. Упрощение выражения. Используем свойство нечетности функции арктангенс: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$.

Подставим это свойство в исходное уравнение:

$y = \operatorname{arctg} x + (-\operatorname{arctg} x) = \operatorname{arctg} x - \operatorname{arctg} x = 0$.

3. Построение графика. Мы получили, что для любого действительного значения $x$ значение функции $y$ равно 0. Таким образом, нам нужно построить график функции $y = 0$.

Графиком этой функции является прямая, совпадающая с осью абсцисс (осью Ox).

Ответ: Графиком функции является прямая $y=0$ (ось Ox).

в) $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x)$

1. Область определения функции. Функция $\operatorname{arctg} x$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty; +\infty)$. Значения $\operatorname{arctg} x$ лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, на котором функция $\operatorname{tg}$ определена. Таким образом, область определения функции $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x)$ есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Упрощение выражения. По определению обратной функции, для любого $x$ из области определения арктангенса справедливо тождество $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x) = x$.

3. Построение графика. Нам необходимо построить график функции $y = x$ на всей числовой прямой.

Графиком этой функции является прямая линия, проходящая через начало координат под углом 45° к положительному направлению оси Ox, то есть биссектриса первого и третьего координатных углов.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=x$.

г) $y = \arcsin x + \arcsin(-x)$

1. Область определения функции. Функция $\arcsin x$ определена на отрезке $[-1; 1]$. Функция $\arcsin(-x)$ определена, когда $-1 \le -x \le 1$, что эквивалентно $1 \ge x \ge -1$, то есть $x \in [-1; 1]$. Область определения всей функции является пересечением областей определения слагаемых, то есть $D(y) = [-1; 1]$.

2. Упрощение выражения. Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Подставим это свойство в исходное уравнение:

$y = \arcsin x + (-\arcsin x) = \arcsin x - \arcsin x = 0$.

3. Построение графика. Мы получили, что для любого $x$ из отрезка $[-1; 1]$ значение функции $y$ равно 0. Таким образом, нам нужно построить график функции $y=0$ на отрезке $[-1; 1]$.

Графиком этой функции является отрезок оси абсцисс (оси Ox) от точки $(-1; 0)$ до точки $(1; 0)$, включая концы.

Ответ: Графиком функции является отрезок оси Ox с концами в точках $(-1; 0)$ и $(1; 0)$.

17.13 a) $tg^2 x - 3 = 0$;

Б) $2 tg^2 x + 3 tg x = 0$;

В) $4 tg^2 x - 9 = 0$;

Г) $3 tg^2 x - 2 tg x = 0$.

а) $\text{tg}^2 x - 3 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\text{tg} x$.
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$\text{tg}^2 x = 3$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\text{tg} x = \pm\sqrt{3}$
Это приводит к двум независимым уравнениям:
1) $\text{tg} x = \sqrt{3}$. Решением является серия корней $x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$, что равно $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{tg} x = -\sqrt{3}$. Решением является серия корней $x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi k$, что равно $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии можно объединить в одну формулу.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\text{tg}^2 x + 3\text{tg} x = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $\text{tg} x$. Вынесем общий множитель $\text{tg} x$ за скобки:
$\text{tg} x (2\text{tg} x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\text{tg} x = 0$. Решением является серия корней $x = \text{arctg}(0) + \pi n$, что равно $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\text{tg} x + 3 = 0$. Решим это уравнение: $2\text{tg} x = -3$, откуда $\text{tg} x = -\frac{3}{2}$. Решением является серия корней $x = \text{arctg}(-\frac{3}{2}) + \pi k$. Так как арктангенс - нечетная функция, можно записать $x = -\text{arctg}(\frac{3}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\text{arctg}(\frac{3}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $4\text{tg}^2 x - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $\text{tg} x$.
Перенесем свободный член в правую часть и разделим на коэффициент при старшем члене:
$4\text{tg}^2 x = 9$
$\text{tg}^2 x = \frac{9}{4}$
Извлечем квадратный корень:
$\text{tg} x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}} = \pm\frac{3}{2}$
Это приводит к двум уравнениям:
1) $\text{tg} x = \frac{3}{2}$. Решение: $x = \text{arctg}(\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{tg} x = -\frac{3}{2}$. Решение: $x = \text{arctg}(-\frac{3}{2}) + \pi k = -\text{arctg}(\frac{3}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяем два семейства решений в одну запись.
Ответ: $x = \pm \text{arctg}(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $3\text{tg}^2 x - 2\text{tg} x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем $\text{tg} x$ за скобки:
$\text{tg} x (3\text{tg} x - 2) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $\text{tg} x = 0$. Решение: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $3\text{tg} x - 2 = 0$. Отсюда $3\text{tg} x = 2$, и $\text{tg} x = \frac{2}{3}$. Решение: $x = \text{arctg}(\frac{2}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \text{arctg}(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

17.14 Постройте график функции:

а) $y = \arccos 2x + \arccos(-2x);$

б) $y = \arccos \frac{1}{x} + \arccos\left(-\frac{1}{x}\right);$

в) $y = \operatorname{arcctg} x + \operatorname{arcctg}(-x);$

г) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{x}).$

а) Дана функция $y = \arccos(2x) + \arccos(-2x)$.

1. Область определения. Аргумент функции $\arccos(t)$ должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Поэтому должны одновременно выполняться два условия:
- $-1 \le 2x \le 1 \implies -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$
- $-1 \le -2x \le 1 \implies 1 \ge 2x \ge -1 \implies -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$
Пересечение этих условий дает область определения функции: $D(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

2. Упрощение функции. Воспользуемся тождеством для обратных тригонометрических функций: $\arccos(t) + \arccos(-t) = \pi$, которое справедливо для всех $t \in [-1, 1]$.
В данном случае $t = 2x$. Так как для любого $x$ из области определения выполняется условие $2x \in [-1, 1]$, мы можем применить это тождество.
Таким образом, для всех $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ функция принимает постоянное значение: $y = \pi$.

3. Построение графика. Графиком функции является отрезок горизонтальной прямой $y=\pi$, концами которого являются точки с координатами $(-\frac{1}{2}, \pi)$ и $(\frac{1}{2}, \pi)$.

Ответ: График функции — это отрезок прямой $y=\pi$, где $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

б) Дана функция $y = \arccos\left(\frac{1}{x}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{x}\right)$.

1. Область определения. Аргумент функции $\arccos(t)$ должен лежать в пределах от -1 до 1. Следовательно, $-1 \le \frac{1}{x} \le 1$.
Это неравенство равносильно условию $|\frac{1}{x}| \le 1$, что в свою очередь означает $|x| \ge 1$ (при $x \ne 0$).
Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Упрощение функции. Используем тождество $\arccos(t) + \arccos(-t) = \pi$.
В данном случае $t = \frac{1}{x}$. На всей области определения $\frac{1}{x} \in [-1, 1]$, поэтому тождество применимо.
Следовательно, для всех $x$ из $D(y)$ функция равна $y = \pi$.

3. Построение графика. График функции состоит из двух лучей, лежащих на прямой $y=\pi$. Первый луч начинается в точке $(-1, \pi)$ и направлен влево (для $x \le -1$). Второй луч начинается в точке $(1, \pi)$ и направлен вправо (для $x \ge 1$).

Ответ: График функции — это объединение двух лучей на прямой $y=\pi$: один для $x \in (-\infty, -1]$ и другой для $x \in [1, \infty)$.

в) Дана функция $y = \text{arcctg}(x) + \text{arcctg}(-x)$.

1. Область определения. Функция $\text{arcctg}(t)$ определена для всех действительных чисел $t$. Поэтому область определения данной функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Упрощение функции. Воспользуемся тождеством $\text{arcctg}(t) + \text{arcctg}(-t) = \pi$, которое справедливо для любого действительного $t$.
Полагая $t=x$, получаем, что для любого $x \in \mathbb{R}$ функция равна $y = \pi$.

3. Построение графика. Графиком функции является горизонтальная прямая $y=\pi$, определенная на всей числовой оси.

Ответ: График функции — это прямая $y=\pi$.

г) Дана функция $y = \text{arcctg}(\sqrt{x}) + \text{arcctg}(-\sqrt{x})$.

1. Область определения. Выражение $\sqrt{x}$ определено при $x \ge 0$. Функция $\text{arcctg}(t)$ определена для любых действительных значений аргумента, поэтому $\text{arcctg}(\sqrt{x})$ и $\text{arcctg}(-\sqrt{x})$ определены, если $x \ge 0$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = [0, \infty)$.

2. Упрощение функции. Применяя тождество $\text{arcctg}(t) + \text{arcctg}(-t) = \pi$ для $t = \sqrt{x}$ (что допустимо, так как $\sqrt{x}$ — действительное число для всех $x$ из области определения), получаем, что $y = \pi$.

3. Построение графика. График функции представляет собой луч, начинающийся в точке $(0, \pi)$ (включая эту точку) и идущий вправо вдоль прямой $y=\pi$.

Ответ: График функции — это луч прямой $y=\pi$, где $x \in [0, \infty)$.

17.15 Вычислите:

а) $ \sin \left( \text{arcctg} \frac{3}{4} \right) $;

б) $ \cos \left( \text{arcctg} \frac{12}{5} \right) $;

в) $ \sin \left( \text{arcctg} \left( -\frac{4}{3} \right) \right) $;

г) $ \cos \left( \text{arcctg} \left( -\frac{5}{12} \right) \right) $.

а) $ \sin\left(\operatorname{arctg}\frac{3}{4}\right) $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arctg}\frac{3}{4} $. По определению арктангенса, это означает, что $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4} $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $.

Поскольку $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4} > 0 $, угол $ \alpha $ лежит в первой четверти: $ \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) $. В этой четверти синус положителен ($ \sin\alpha > 0 $).

Воспользуемся тригонометрическим тождеством $ 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $.

Сначала найдем котангенс: $ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3} $.

Теперь подставим значение в тождество:

$ \frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{9+16}{9} = \frac{25}{9} $

Отсюда следует, что $ \sin^2\alpha = \frac{9}{25} $, а значит $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5} $.

Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, выбираем положительное значение: $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $.

Ответ: $ \frac{3}{5} $

б) $ \cos\left(\operatorname{arcctg}\frac{12}{5}\right) $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arcctg}\frac{12}{5} $. По определению арккотангенса, $ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{12}{5} $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ (0; \pi) $.

Поскольку $ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{12}{5} > 0 $, угол $ \alpha $ лежит в первой четверти: $ \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) $. В этой четверти косинус положителен ($ \cos\alpha > 0 $).

Воспользуемся тригонометрическим тождеством $ 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $.

Найдем тангенс: $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12} $.

Подставим значение в тождество:

$ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \left(\frac{5}{12}\right)^2 = 1 + \frac{25}{144} = \frac{144+25}{144} = \frac{169}{144} $

Отсюда $ \cos^2\alpha = \frac{144}{169} $, а значит $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $.

Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, выбираем положительное значение: $ \cos\alpha = \frac{12}{13} $.

Ответ: $ \frac{12}{13} $

в) $ \sin\left(\operatorname{arcctg}\left(-\frac{4}{3}\right)\right) $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arcctg}\left(-\frac{4}{3}\right) $. По определению арккотангенса, $ \operatorname{ctg}\alpha = -\frac{4}{3} $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ (0; \pi) $.

Поскольку $ \operatorname{ctg}\alpha < 0 $, угол $ \alpha $ лежит во второй четверти: $ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) $. В этой четверти синус положителен ($ \sin\alpha > 0 $).

Воспользуемся тождеством $ 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $.

$ \frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{9+16}{9} = \frac{25}{9} $

Отсюда $ \sin^2\alpha = \frac{9}{25} $, а значит $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5} $.

Так как $ \alpha $ находится во второй четверти, выбираем положительное значение: $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $.

Ответ: $ \frac{3}{5} $

г) $ \cos\left(\operatorname{arctg}\left(-\frac{5}{12}\right)\right) $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arctg}\left(-\frac{5}{12}\right) $. По определению арктангенса, $ \operatorname{tg}\alpha = -\frac{5}{12} $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $.

Поскольку $ \operatorname{tg}\alpha < 0 $, угол $ \alpha $ лежит в четвертой четверти: $ \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right) $. В этой четверти косинус положителен ($ \cos\alpha > 0 $).

Воспользуемся тождеством $ 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $.

$ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \left(-\frac{5}{12}\right)^2 = 1 + \frac{25}{144} = \frac{144+25}{144} = \frac{169}{144} $

Отсюда $ \cos^2\alpha = \frac{144}{169} $, а значит $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $.

Так как $ \alpha $ находится в четвертой четверти, выбираем положительное значение: $ \cos\alpha = \frac{12}{13} $.

Ответ: $ \frac{12}{13} $

Решите уравнение:

18.1 a) $sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$;

в) $sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$;

г) $cos 4x = 0$.

а) Дано уравнение $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin t = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арксинуса является табличным: $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Подставим эти значения в общую формулу для нахождения $2x$:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, разделим обе части полученного выражения на 2:

$x = \frac{(-1)^n \pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $\cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos t = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{1}{2}$. Значение арккосинуса является табличным: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Подставим эти значения в общую формулу для нахождения $\frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, умножим обе части полученного выражения на 3:

$x = 3 \cdot \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm 2\pi + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm 2\pi + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin t = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{4}$ и $a = \frac{1}{2}$. Значение арксинуса является табличным: $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Подставим эти значения в общую формулу для нахождения $\frac{x}{4}$:

$\frac{x}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, умножим обе части полученного выражения на 4:

$x = 4 \cdot \left( (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \frac{4\pi}{6} + 4\pi n = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $\cos 4x = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения $\cos t = 0$. Его решение записывается формулой $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 4x$.

Подставим это значение в формулу для частного случая:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, разделим обе части полученного выражения на 4:

$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

18.2 a) $sin \left(-\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$

б) $cos (-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

В) $tg (-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}};$

Г) $ctg \left(-\frac{x}{2}\right) = 1.$

а) $\sin(-\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Так как синус — нечетная функция, то $\sin(-a) = -\sin(a)$. Поэтому уравнение можно переписать в виде:

$-\sin(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части на -1:

$\sin(\frac{x}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение уравнения $\sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\frac{x}{3} = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k$

Поскольку $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:

$\frac{x}{3} = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$

$\frac{x}{3} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$

Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3 \cdot ((-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k) = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos(-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как косинус — четная функция, то $\cos(-a) = \cos(a)$. Поэтому уравнение можно переписать в виде:

$\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$

Поскольку $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$, получаем:

$2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\tg(-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Так как тангенс — нечетная функция, то $\tg(-a) = -\tg(a)$. Поэтому уравнение можно переписать в виде:

$-\tg(4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tg(4x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение уравнения $\tg(t) = a$ имеет вид $t = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 4x$ и $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

$4x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi k$

Поскольку $\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$4x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\ctg(-\frac{x}{2}) = 1$

Так как котангенс — нечетная функция, то $\ctg(-a) = -\ctg(a)$. Поэтому уравнение можно переписать в виде:

$-\ctg(\frac{x}{2}) = 1$

$\ctg(\frac{x}{2}) = -1$

Общее решение уравнения $\ctg(t) = a$ имеет вид $t = \text{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{2}$ и $a = -1$.

$\frac{x}{2} = \text{arcctg}(-1) + \pi k$

Поскольку $\text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$, получаем:

$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi k$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot (\frac{3\pi}{4} + \pi k) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.