Страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

15.21 а) $ \sin \left( \arccos \frac{3}{5} \right); $

б) $ \sin(\arccos(-0,8)). $

а)

Для вычисления значения выражения $\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right)$ введем обозначение. Пусть $\alpha = \arccos\frac{3}{5}$.

По определению арккосинуса, это равенство означает, что $\cos(\alpha) = \frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.

Нам необходимо найти $\sin(\alpha)$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Подставим в тождество известное значение $\cos(\alpha)$: $\sin^2(\alpha) + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1$

Выполним вычисления: $\sin^2(\alpha) + \frac{9}{25} = 1$
$\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25}$
$\sin^2(\alpha) = \frac{25 - 9}{25}$
$\sin^2(\alpha) = \frac{16}{25}$

Отсюда $\sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.

Чтобы выбрать правильный знак, вернемся к области значений арккосинуса. Мы знаем, что $\alpha \in [0; \pi]$. На этом промежутке синус принимает неотрицательные значения, то есть $\sin(\alpha) \ge 0$. Поскольку $\cos(\alpha) = \frac{3}{5}$ — положительное число, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$), где синус также положителен.

Следовательно, выбираем значение со знаком плюс: $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

б)

Для вычисления значения выражения $\sin(\arccos(-0,8))$ поступим аналогично. Пусть $\beta = \arccos(-0,8)$.

По определению, это означает, что $\cos(\beta) = -0,8$ и угол $\beta$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.

Снова используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$.

Подставляем известное значение $\cos(\beta)$: $\sin^2(\beta) + (-0,8)^2 = 1$.

Вычисляем: $\sin^2(\beta) + 0,64 = 1$
$\sin^2(\beta) = 1 - 0,64$
$\sin^2(\beta) = 0,36$

Отсюда $\sin(\beta) = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$.

Определим знак синуса. Угол $\beta$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$. На этом промежутке $\sin(\beta) \ge 0$. Более точно, так как $\cos(\beta) = -0,8$ — отрицательное число, угол $\beta$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} \le \beta \le \pi$), где синус положителен.

Следовательно, выбираем положительное значение: $\sin(\beta) = 0,6$.

Ответ: $0,6$.

15.22 a) $ \text{tg} \left( \arccos \left( -\frac{5}{13} \right) \right); $

б) $ \text{ctg} \left( \arccos \frac{4}{5} \right). $

а) $tg\left(arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)$

Пусть $α = arccos\left(-\frac{5}{13}\right)$. По определению арккосинуса, это означает, что $cos(α) = -\frac{5}{13}$ и угол $α$ находится в промежутке $[0, π]$. Так как косинус отрицателен, угол $α$ лежит во второй четверти, то есть $α \in \left[\frac{π}{2}, π\right]$.

Для нахождения тангенса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$. Найдем синус угла $α$: $sin^2(α) = 1 - cos^2(α) = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.

Отсюда $sin(α) = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$. Поскольку угол $α$ находится во второй четверти, его синус положителен, следовательно, $sin(α) = \frac{12}{13}$. Теперь мы можем найти тангенс: $tg(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)} = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5}$.

Ответ: $-\frac{12}{5}$

б) $ctg\left(arccos\left(\frac{4}{5}\right)\right)$

Пусть $β = arccos\left(\frac{4}{5}\right)$. По определению арккосинуса, $cos(β) = \frac{4}{5}$ и угол $β$ находится в промежутке $[0, π]$. Так как косинус положителен, угол $β$ лежит в первой четверти, то есть $β \in \left[0, \frac{π}{2}\right]$.

Чтобы найти котангенс, нам нужен синус этого угла. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2(β) + cos^2(β) = 1$. $sin^2(β) = 1 - cos^2(β) = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$.

Отсюда $sin(β) = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$. Поскольку угол $β$ находится в первой четверти, его синус положителен, значит $sin(β) = \frac{3}{5}$. Теперь вычислим котангенс: $ctg(β) = \frac{cos(β)}{sin(β)} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

16.2 a) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

б) $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$;

в) $\arcsin (-1)$;

г) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

а) Требуется найти значение выражения $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

По определению, арксинус числа $a$ — это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, что $\sin(\alpha) = a$.

Для арксинуса справедливо свойство нечетности: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Теперь найдем значение $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Нам нужен угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что таким углом является $\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляя это значение обратно, получаем:

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

б) Требуется найти значение выражения $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$.

Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$.

Нам нужно найти угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Таким углом является $\frac{\pi}{6}$.

Значит, $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Отсюда следует, что:

$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

в) Требуется найти значение выражения $\arcsin(-1)$.

Используем свойство нечетности: $\arcsin(-1) = -\arcsin(1)$.

Нам нужно найти угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $1$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

Тогда:

$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Проверим по определению: мы ищем угол $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, такой что $\sin(\alpha) = -1$. Этому условию удовлетворяет угол $\alpha = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

г) Требуется найти значение выражения $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Снова применяем свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Найдем угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким углом является $\frac{\pi}{4}$.

Значит, $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Тогда получаем:

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

16.3 a) $ \arcsin 0 + \arccos 0; $

б) $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}; $

В) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos \frac{1}{2}; $

Г) $ \arcsin (-1) + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}. $

а) Найдем значение выражения $ \arcsin 0 + \arccos 0 $.

Для решения этого примера можно воспользоваться тождеством $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $, которое справедливо для всех $ x \in [-1, 1] $.

Так как $ x=0 $ принадлежит этому отрезку, то:

$ \arcsin 0 + \arccos 0 = \frac{\pi}{2} $.

Также можно вычислить каждое слагаемое по отдельности:

$ \arcsin 0 $ — это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен 0. Этот угол равен 0.

$ \arccos 0 $ — это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен 0. Этот угол равен $ \frac{\pi}{2} $.

Следовательно, $ \arcsin 0 + \arccos 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $

б) Найдем значение выражения $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Воспользуемся тождеством $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $.

В данном случае $ x = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Так как $ -1 \le \frac{\sqrt{3}}{2} \le 1 $, тождество применимо.

$ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2} $.

Можно также вычислить каждое значение отдельно:

$ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $, так как $ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.

$ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} $, так как $ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{6} \in [0, \pi] $.

Тогда $ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $

в) Найдем значение выражения $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \arccos \frac{1}{2} $.

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) $ — это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Используя свойство нечетности арксинуса $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $, получаем:

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $.

$ \arccos \frac{1}{2} $ — это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ \frac{1}{2} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{3} $.

Теперь сложим полученные значения:

$ -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = -\frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{12} $

г) Найдем значение выражения $ \arcsin(-1) + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

$ \arcsin(-1) $ — это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен -1. Этот угол равен $ -\frac{\pi}{2} $.

$ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $ — это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{6} $.

Сложим полученные значения:

$ -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{-3\pi + \pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{3} $

16.4 a) $arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + arcsin\left(-\frac{1}{2}\right);$

б) $arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - arcsin(-1);$

в) $arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

г) $arccos\frac{\sqrt{2}}{2} - arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

а) Для вычисления значения выражения $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) $ воспользуемся тождеством $ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} $, которое справедливо для всех $ x \in [-1, 1] $. Так как $ x = -\frac{1}{2} $ принадлежит этому отрезку, то значение всего выражения равно $ \frac{\pi}{2} $.
Для проверки решим по действиям:
1. Найдём значение $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) $. По определению, это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ -\frac{1}{2} $. Используя формулу $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $, получаем:
$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
2. Найдём значение $ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) $. По определению, это угол из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, синус которого равен $ -\frac{1}{2} $. Используя свойство нечетности арксинуса $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $, получаем:
$ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} $.
3. Сложим полученные значения:
$ \frac{2\pi}{3} + \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.

б) Вычислим значение выражения $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arcsin(-1) $ по действиям.
1. Найдём значение $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $. Это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.
2. Найдём значение $ \arcsin(-1) $. Это угол из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, синус которого равен $ -1 $.
$ \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} $.
3. Выполним вычитание:
$ \frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $.
Ответ: $ \frac{5\pi}{4} $.

в) Для вычисления значения выражения $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ можно, как и в пункте а), использовать тождество $ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} $.
В данном случае $ x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, что принадлежит отрезку $ [-1, 1] $, поэтому значение выражения равно $ \frac{\pi}{2} $.
Проверим вычислением по действиям:
1. Найдём значение $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $. Это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
2. Найдём значение $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $. Это угол из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, синус которого равен $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $.
3. Сложим полученные результаты:
$ \frac{5\pi}{6} + \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.

г) Вычислим значение выражения $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ по действиям.
1. Найдём значение $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $. Это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.
2. Найдём значение $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $. Это угол из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, синус которого равен $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $.
3. Выполним вычитание:
$ \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} $.
Ответ: $ \frac{7\pi}{12} $.

16.1 a) $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} $;

б) $ \arcsin 1 $;

в) $ \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} $;

г) $ \arcsin 0 $.

а) Чтобы найти значение выражения $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$, необходимо найти такой угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Согласно определению арксинуса, мы ищем угол $\alpha$, для которого выполняются два условия:

1. $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку значение $\frac{\pi}{3}$ входит в промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, оно и является искомым значением арксинуса.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

б) Чтобы найти значение выражения $\arcsin 1$, необходимо найти такой угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1.

Мы ищем угол $\alpha$, для которого:

1. $\sin\alpha = 1$
2. $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

Известно, что синус равен 1 при угле $\alpha = \frac{\pi}{2}$.

Это значение принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, следовательно, оно является решением.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

в) Чтобы найти значение выражения $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}$, необходимо найти такой угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ищем угол $\alpha$, для которого:

1. $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$
2. $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

Это табличное значение. Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, поэтому это и есть искомое значение.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

г) Чтобы найти значение выражения $\arcsin 0$, необходимо найти такой угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 0.

Ищем угол $\alpha$, для которого:

1. $\sin\alpha = 0$
2. $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

Уравнение $\sin\alpha = 0$ имеет решения $\alpha = \pi k$, где $k$ – любое целое число. Например, $...-\pi, 0, \pi, 2\pi...$

Из всех этих решений нам нужно выбрать то, которое лежит в отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Этому условию удовлетворяет только $\alpha = 0$.

Ответ: $0$

1. Мысленно расположите числовую окружность, представленную на рисунке 32 (§4), в прямоугольной декартовой системе координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а горизонтальный и вертикальный диаметры принадлежали осям координат. Назовите:

а) декартовы координаты точек $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$;

б) декартовы координаты точек, отмеченных чёрточками.

Задача состоит в том, чтобы определить декартовы координаты некоторых точек на числовой окружности. Числовая окружность — это окружность единичного радиуса ($R=1$), центр которой совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат $(0, 0)$. Каждой точке на этой окружности соответствует число $t$, равное длине дуги от начальной точки $(1, 0)$ до данной точки. Декартовы координаты $(x, y)$ такой точки определяются тригонометрическими функциями: $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$.

а) декартовы координаты точек $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$;

Эти точки являются "основными" и лежат на пересечении окружности с осями координат.

- Для точки, соответствующей числу 0, мы находимся в начальной точке на оси Ox.
Координаты вычисляются как $(\cos 0, \sin 0)$.
$x = \cos 0 = 1$
$y = \sin 0 = 0$
Координаты точки 0: $(1, 0)$.

- Для точки, соответствующей числу $\frac{\pi}{2}$, мы проходим четверть окружности против часовой стрелки и оказываемся на оси Oy.
Координаты вычисляются как $(\cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2})$.
$x = \cos \frac{\pi}{2} = 0$
$y = \sin \frac{\pi}{2} = 1$
Координаты точки $\frac{\pi}{2}$: $(0, 1)$.

- Для точки, соответствующей числу $\pi$, мы проходим половину окружности и оказываемся на отрицательной части оси Ox.
Координаты вычисляются как $(\cos \pi, \sin \pi)$.
$x = \cos \pi = -1$
$y = \sin \pi = 0$
Координаты точки $\pi$: $(-1, 0)$.

- Для точки, соответствующей числу $\frac{3\pi}{2}$, мы проходим три четверти окружности и оказываемся на отрицательной части оси Oy.
Координаты вычисляются как $(\cos \frac{3\pi}{2}, \sin \frac{3\pi}{2})$.
$x = \cos \frac{3\pi}{2} = 0$
$y = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$
Координаты точки $\frac{3\pi}{2}$: $(0, -1)$.

Ответ: Координаты точек $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ равны соответственно $(1, 0), (0, 1), (-1, 0)$ и $(0, -1)$.

б) декартовы координаты точек, отмеченных чёрточками.

Так как в условии задачи отсутствует рисунок 32, мы предположим, что под "чёрточками" имеются в виду стандартные отметки на числовой окружности, которые соответствуют углам, кратным $\frac{\pi}{6}$ (30°) и $\frac{\pi}{4}$ (45°), не лежащим на осях координат.

I четверть:
- Точка $\frac{\pi}{6}$: $(\cos\frac{\pi}{6}, \sin\frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$
- Точка $\frac{\pi}{4}$: $(\cos\frac{\pi}{4}, \sin\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$
- Точка $\frac{\pi}{3}$: $(\cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

II четверть (координата $x$ отрицательна, $y$ положительна):
- Точка $\frac{2\pi}{3}$: $(\cos\frac{2\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{3}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
- Точка $\frac{3\pi}{4}$: $(\cos\frac{3\pi}{4}, \sin\frac{3\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$
- Точка $\frac{5\pi}{6}$: $(\cos\frac{5\pi}{6}, \sin\frac{5\pi}{6}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

III четверть (координаты $x$ и $y$ отрицательны):
- Точка $\frac{7\pi}{6}$: $(\cos\frac{7\pi}{6}, \sin\frac{7\pi}{6}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$
- Точка $\frac{5\pi}{4}$: $(\cos\frac{5\pi}{4}, \sin\frac{5\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$
- Точка $\frac{4\pi}{3}$: $(\cos\frac{4\pi}{3}, \sin\frac{4\pi}{3}) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

IV четверть (координата $x$ положительна, $y$ отрицательна):
- Точка $\frac{5\pi}{3}$: $(\cos\frac{5\pi}{3}, \sin\frac{5\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$
- Точка $\frac{7\pi}{4}$: $(\cos\frac{7\pi}{4}, \sin\frac{7\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$
- Точка $\frac{11\pi}{6}$: $(\cos\frac{11\pi}{6}, \sin\frac{11\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$

Ответ: Координаты точек, отмеченных чёрточками (предположительно), следующие:
$\frac{\pi}{6}: (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$; $\frac{\pi}{4}: (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$; $\frac{\pi}{3}: (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$; $\frac{2\pi}{3}: (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$; $\frac{3\pi}{4}: (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$; $\frac{5\pi}{6}: (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$; $\frac{7\pi}{6}: (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$; $\frac{5\pi}{4}: (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$; $\frac{4\pi}{3}: (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$; $\frac{5\pi}{3}: (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$; $\frac{7\pi}{4}: (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$; $\frac{11\pi}{6}: (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.

2. Можно ли утверждать, что имеют одинаковые декартовы координаты точки $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{5\pi}{3}$? точки $\pi$ и $-177\pi$?

точки $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{5\pi}{3}$

Чтобы определить, имеют ли две точки, заданные углами на единичной окружности, одинаковые декартовы координаты, необходимо проверить, отличаются ли эти углы на величину, кратную $2\pi$ (полный оборот). Иными словами, если разность углов $\alpha$ и $\beta$ равна $2\pi k$, где $k$ — любое целое число, то точки совпадают.

Пусть $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = -\frac{5\pi}{3}$. Найдем их разность:
$\alpha - \beta = \frac{\pi}{3} - \left(-\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$.

Разность равна $2\pi$, что соответствует условию $2\pi k$ при $k=1$. Следовательно, точки имеют одинаковые декартовы координаты.

Для проверки найдем декартовы координаты $(x; y)$ для каждого угла по формулам $x = \cos(\theta)$ и $y = \sin(\theta)$.

Для угла $\theta_1 = \frac{\pi}{3}$:
$x_1 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
$y_1 = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Для угла $\theta_2 = -\frac{5\pi}{3}$:
$x_2 = \cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
$y_2 = \sin\left(-\frac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = - \left(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Координаты обеих точек совпадают: $\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Ответ: да, можно утверждать, что точки $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{5\pi}{3}$ имеют одинаковые декартовы координаты.

точки $\pi$ и $-177\pi$

Применим тот же подход для второй пары точек. Пусть $\alpha = \pi$ и $\beta = -177\pi$.

Найдем разность углов:
$\alpha - \beta = \pi - (-177\pi) = \pi + 177\pi = 178\pi$.

Теперь проверим, кратна ли эта разность $2\pi$:
$\frac{178\pi}{2\pi} = 89$.

Так как 89 — целое число, разность углов составляет 89 полных оборотов ($178\pi = 89 \cdot 2\pi$). Следовательно, эти точки также имеют одинаковые декартовы координаты.

Найдем их координаты для проверки.

Для угла $\theta_1 = \pi$:
$x_1 = \cos(\pi) = -1$
$y_1 = \sin(\pi) = 0$

Для угла $\theta_2 = -177\pi$:
Любой угол вида $(2k+1)\pi$, где $k$ — целое, соответствует точке $(-1; 0)$ на единичной окружности. Так как $-177$ является нечетным числом, то:
$x_2 = \cos(-177\pi) = \cos(177\pi) = -1$
$y_2 = \sin(-177\pi) = -\sin(177\pi) = 0$

Координаты обеих точек совпадают: $(-1; 0)$.

Ответ: да, можно утверждать, что точки $\pi$ и $-177\pi$ имеют одинаковые декартовы координаты.

3. Составьте общую формулу для всех чисел, которым на числовой окружности соответствуют точки с абсциссой:

а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

б) $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

в) $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

На числовой окружности абсцисса (координата $x$) точки равна косинусу числа $t$, соответствующего этой точке. Таким образом, задача сводится к решению простейших тригонометрических уравнений $\cos(t) = a$ для заданных значений $a$.

а) Нам нужно найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки с абсциссой 0. Это эквивалентно решению уравнения: $ \cos(t) = 0 $ На единичной окружности абсцисса равна нулю у точек, лежащих на оси ординат (оси OY). Это верхняя точка окружности, соответствующая углу $\frac{\pi}{2}$, и нижняя точка, соответствующая углу $-\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$). Поскольку функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, все решения можно записать в виде двух серий: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ Эти две серии можно объединить в одну, так как точки диаметрально противоположны, и углы, им соответствующие, повторяются через каждый полуоборот ($\pi$ радиан). Общая формула имеет вид: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) Нам нужно найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки с абсциссой 1. Это эквивалентно решению уравнения: $ \cos(t) = 1 $ На единичной окружности этому условию удовлетворяет только одна точка — самая правая, с координатами (1, 0). Эта точка соответствует начальному углу, равному 0. Учитывая периодичность функции косинуса, все числа, соответствующие этой точке, можно найти, прибавляя к 0 целое число полных оборотов ($2\pi$). Общая формула имеет вид: $t = 0 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

в) Нам нужно найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки с абсциссой -1. Это эквивалентно решению уравнения: $ \cos(t) = -1 $ На единичной окружности этому условию удовлетворяет только одна точка — самая левая, с координатами (-1, 0). Эта точка соответствует углу, равному $\pi$. Учитывая периодичность функции косинуса, все числа, соответствующие этой точке, можно найти, прибавляя к $\pi$ целое число полных оборотов ($2\pi$). Общая формула имеет вид: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

4. Составьте общую формулу для всех чисел, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой:

а) 0;

б) 1;

в) -1.

На числовой (тригонометрической) окружности, каждой точке с координатами $(x, y)$ соответствует число $t$ (угол в радианах), такое что $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$. Ордината точки — это ее координата $y$. Следовательно, задача состоит в том, чтобы найти все числа $t$, для которых $\sin(t)$ принимает заданные значения.

а) Найдем общую формулу для всех чисел, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой 0. Это эквивалентно решению уравнения $\sin(t) = 0$. На единичной окружности ординату, равную нулю, имеют две точки: правая точка $(1, 0)$ и левая точка $(-1, 0)$. Правой точке соответствуют числа (углы) $0, 2\pi, 4\pi, \dots$, то есть $t = 2\pi n$, где $n \in Z$. Левой точке соответствуют числа (углы) $\pi, 3\pi, 5\pi, \dots$, то есть $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$. Эти две серии решений можно объединить в одну общую формулу, так как точки повторяются через каждый полуоборот (через $\pi$). Общая формула для всех таких чисел: $t = \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $t = \pi n, n \in Z$.

б) Найдем общую формулу для всех чисел, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой 1. Это эквивалентно решению уравнения $\sin(t) = 1$. На единичной окружности ординату, равную единице, имеет только одна точка — самая верхняя точка с координатами $(0, 1)$. Этой точке соответствует число $\frac{\pi}{2}$. Поскольку полный оборот по окружности составляет $2\pi$, все остальные числа, соответствующие этой точке, получаются добавлением целого числа полных оборотов. Общая формула для всех таких чисел: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

в) Найдем общую формулу для всех чисел, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой -1. Это эквивалентно решению уравнения $\sin(t) = -1$. На единичной окружности ординату, равную минус единице, имеет только одна точка — самая нижняя точка с координатами $(0, -1)$. Этой точке соответствует число $-\frac{\pi}{2}$ (или, что то же самое, $\frac{3\pi}{2}$). Все остальные числа, соответствующие этой точке, получаются добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi$). Общая формула для всех таких чисел: $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

окружности соответствует a) 0, 0, 1, 0)

5. Можно ли на числовой окружности найти точки с абсциссой $\sqrt{2}$; с ординатой $\frac{\sqrt{5}}{3}$? Если можно, то сколько имеется таких точек?

Уравнение числовой (единичной) окружности, с центром в начале координат, в декартовой системе координат имеет вид $x^2 + y^2 = 1$. Здесь $x$ — это абсцисса, а $y$ — ордината точки, лежащей на окружности. Важным свойством точек на единичной окружности является то, что их координаты (абсцисса и ордината) должны находиться в пределах отрезка $[-1, 1]$. То есть, для любой точки $(x, y)$ на окружности должны выполняться условия: $-1 \le x \le 1$ и $-1 \le y \le 1$.

с абсциссой $\sqrt{2}$

Рассмотрим возможность существования точки на числовой окружности с абсциссой $x = \sqrt{2}$.
Приблизительное значение $\sqrt{2}$ составляет $1.414...$.
Поскольку $\sqrt{2} > 1$, это значение не принадлежит отрезку $[-1, 1]$, которому должны принадлежать абсциссы всех точек числовой окружности. Следовательно, точки с такой абсциссой на ней не существует.
Это можно также проверить алгебраически. Подставим $x = \sqrt{2}$ в уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$:
$(\sqrt{2})^2 + y^2 = 1$
$2 + y^2 = 1$
$y^2 = -1$
Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Ответ: нет, нельзя найти точку с абсциссой $\sqrt{2}$.

с ординатой $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Рассмотрим возможность существования точки с ординатой $y = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Сначала проверим, принадлежит ли это значение отрезку $[-1, 1]$. Для этого сравним $\frac{\sqrt{5}}{3}$ с $1$.
Сравним их квадраты (так как оба числа положительны):
$\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}$
$1^2 = 1$
Так как $\frac{5}{9} < 1$, то и $\frac{\sqrt{5}}{3} < 1$. Значение ординаты находится в допустимом диапазоне $[-1, 1]$, следовательно, такие точки существуют.
Теперь найдем количество таких точек, подставив $y = \frac{\sqrt{5}}{3}$ в уравнение окружности:
$x^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1$
$x^2 + \frac{5}{9} = 1$
$x^2 = 1 - \frac{5}{9}$
$x^2 = \frac{4}{9}$
Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы:
$x_1 = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$
$x_2 = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3}$
Таким образом, существуют две точки с ординатой $\frac{\sqrt{5}}{3}$: это точки с координатами $\left(\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right)$ и $\left(-\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right)$.
Ответ: да, можно; имеются две такие точки.