Страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

15.4 a) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$;

б) $\operatorname{tg}\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

в) $\operatorname{ctg}(\arccos 0)$;

г) $\sin\left(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

а) Для вычисления $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$ сначала найдем значение внутреннего выражения.

По определению, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$. Этим углом является $\frac{2\pi}{3}$.

Следовательно, исходное выражение сводится к вычислению $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.

Используя формулу приведения, получаем: $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) Для вычисления $\tg\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ сначала найдем значение $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

По определению, $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$.

Теперь вычислим тангенс этого угла: $\tg\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

в) Для вычисления $\ctg(\arccos 0)$ найдем значение $\arccos(0)$.

По определению, $\arccos(0)$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = 0$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$.

Теперь вычислим котангенс этого угла: $\ctg\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

Ответ: $0$

г) Для вычисления $\sin\left(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ найдем значение $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

По определению, $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$.

Теперь вычислим синус этого угла: $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Вычислите:

15.1 a) $\arccos 0$;

б) $\arccos 1$;

в) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\arccos -\frac{1}{2}$.

Арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos a$) — это такое число $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

Другими словами, равенство $\arccos a = \alpha$ означает, что выполняются два условия одновременно: $\cos \alpha = a$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

а)

Требуется вычислить $\arccos 0$.
Пусть $\arccos 0 = \alpha$. Согласно определению, нам нужно найти такой угол $\alpha$, для которого:
1. $\cos \alpha = 0$
2. $0 \le \alpha \le \pi$
Общее решение уравнения $\cos \alpha = 0$ имеет вид $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.
Теперь выберем из этой серии решений то, которое принадлежит отрезку $[0; \pi]$.
Если $k=0$, то $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{2} \le \pi$.
Если $k=1$, то $\alpha = \frac{3\pi}{2}$, что больше $\pi$.
Если $k=-1$, то $\alpha = -\frac{\pi}{2}$, что меньше $0$.
Следовательно, единственное подходящее значение — это $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б)

Требуется вычислить $\arccos 1$.
Пусть $\arccos 1 = \alpha$. Тогда должны выполняться условия:
1. $\cos \alpha = 1$
2. $0 \le \alpha \le \pi$
Общее решение уравнения $\cos \alpha = 1$ имеет вид $\alpha = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Выберем из этой серии решений то, которое принадлежит отрезку $[0; \pi]$.
Если $k=0$, то $\alpha = 0$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le 0 \le \pi$.
При любых других целых $k$ значение $\alpha$ будет выходить за пределы отрезка $[0; \pi]$.
Следовательно, $\arccos 1 = 0$.

Ответ: $0$

в)

Требуется вычислить $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Пусть $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \alpha$. По определению:
1. $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. $0 \le \alpha \le \pi$
Это табличное значение косинуса. Общее решение уравнения $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет вид $\alpha = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Выберем из этой серии решений то, которое принадлежит отрезку $[0; \pi]$.
При $k=0$ получаем два значения: $\alpha = \frac{\pi}{6}$ и $\alpha = -\frac{\pi}{6}$.
Значение $\alpha = \frac{\pi}{6}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{6} \le \pi$.
Значение $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ не принадлежит отрезку $[0; \pi]$.
При других целых $k$ решения также не попадают в искомый отрезок.
Таким образом, $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

г)

Требуется вычислить $\arccos \frac{1}{2}$.
Пусть $\arccos \frac{1}{2} = \alpha$. По определению:
1. $\cos \alpha = \frac{1}{2}$
2. $0 \le \alpha \le \pi$
Это также табличное значение. Общее решение уравнения $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ имеет вид $\alpha = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Выберем из этой серии решений то, которое принадлежит отрезку $[0; \pi]$.
При $k=0$ получаем два значения: $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\alpha = -\frac{\pi}{3}$.
Значение $\alpha = \frac{\pi}{3}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{3} \le \pi$.
Значение $\alpha = -\frac{\pi}{3}$ не принадлежит отрезку $[0; \pi]$.
При других целых $k$ решения также не попадают в искомый отрезок.
Следовательно, $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

15.2 а) $arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

б) $arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

в) $arccos(-1)$;

г) $arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$.

а) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

По определению, арккосинус числа $x$, обозначаемый как $\arccos(x)$, — это угол $\alpha$ в радианах из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = x$.

Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используется тождество: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

Применим это тождество к данному выражению, где $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что косинус угла $\frac{\pi}{4}$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, то $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Теперь подставим это значение в наше выражение:

$\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Значение $\frac{3\pi}{4}$ находится в отрезке $[0; \pi]$, следовательно, это и есть искомый результат.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

б) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Воспользуемся тем же тождеством, что и в предыдущем пункте: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

В данном случае $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Мы знаем, что $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Значит, $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение:

$\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

Значение $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

в) $\arccos(-1)$

Нам нужно найти такой угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, что его косинус равен $-1$.

Обратившись к единичной окружности или графику функции косинуса, мы видим, что $\cos(\alpha) = -1$ при $\alpha = \pi$.

Значение $\pi$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Ответ: $\pi$

г) $\arccos\left(\frac{1}{2}\right)$

Нам нужно найти такой угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, что его косинус равен $\frac{1}{2}$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, поэтому это и есть искомое значение.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

15.3 a) $\arccos(-1) + \arccos 0;$

Б) $\arccos \frac{1}{2} - \arccos \frac{\sqrt{3}}{2};$

В) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2};$

Г) $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) - \arccos \frac{1}{2}.$

а) $\arccos(-1) + \arccos(0)$

По определению арккосинуса, $\arccos(a)$ – это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, что $\cos(\alpha) = a$.
Найдем значение каждого слагаемого:

1. $\arccos(-1)$. Нам нужно найти угол $\alpha \in [0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -1$. Этим углом является $\pi$. Таким образом, $\arccos(-1) = \pi$.

2. $\arccos(0)$. Нам нужно найти угол $\beta \in [0; \pi]$, для которого $\cos(\beta) = 0$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

Теперь сложим полученные значения:
$\arccos(-1) + \arccos(0) = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$

б) $\arccos\frac{1}{2} - \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем определение арккосинуса для нахождения значений табличных углов.

1. $\arccos\frac{1}{2}$. Угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, это $\frac{\pi}{3}$. Следовательно, $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

2. $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $\frac{\pi}{6}$. Следовательно, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Теперь выполним вычитание:
$\arccos\frac{1}{2} - \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

в) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$

Для решения этого примера можно использовать свойство арккосинуса: $\arccos(-x) + \arccos(x) = \pi$ для любого $x \in [-1; 1]$.

В нашем случае $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, что принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
Следовательно, $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \pi$.

Можно также решить, вычисляя каждое слагаемое по отдельности:

1. $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

2. Для нахождения $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Складываем результаты:
$\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

Ответ: $\pi$

г) $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) - \arccos\frac{1}{2}$

Для решения этого примера используем значения арккосинусов и свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

1. Найдем значение $\arccos\frac{1}{2}$. Угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, это $\frac{\pi}{3}$.
$\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

2. Найдем значение $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ с помощью формулы:
$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\frac{1}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь выполним вычитание:
$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) - \arccos\frac{1}{2} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$