Страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13.11 а) $y = 3 \sin \frac{x}{2}$;

б) $y = 2,5 \cos 2x$;

В) $y = -3 \cos 2x$;

Г) $y = 2 \sin \frac{x}{3}$.

а) Для функции $y = 3 \sin \frac{x}{2}$ мы имеем дело с функцией вида $y = A \sin(kx)$.
Коэффициент (амплитуда) $A = 3$. Область значений функции синус, $\sin(\alpha)$, это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений $E(y)$ для данной функции будет $[-1 \cdot 3, 1 \cdot 3]$, то есть $E(y) = [-3, 3]$.
Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$. Основной период для функции $y = A \sin(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Подставляем значение $k$: $T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$.
Ответ: область значений $E(y) = [-3, 3]$; основной период $T = 4\pi$.

б) Для функции $y = 2,5 \cos 2x$ мы имеем дело с функцией вида $y = A \cos(kx)$.
Коэффициент (амплитуда) $A = 2,5$. Область значений функции косинус, $\cos(\alpha)$, это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, область значений $E(y)$ для данной функции будет $[-1 \cdot 2,5, 1 \cdot 2,5]$, то есть $E(y) = [-2,5; 2,5]$.
Коэффициент при $x$ равен $k = 2$. Основной период для функции $y = A \cos(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Подставляем значение $k$: $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.
Ответ: область значений $E(y) = [-2,5; 2,5]$; основной период $T = \pi$.

в) Для функции $y = -3 \cos 2x$ мы имеем дело с функцией вида $y = A \cos(kx)$.
Коэффициент $A = -3$. Амплитуда колебаний равна $|A| = |-3| = 3$. Область значений функции косинус, $\cos(\alpha)$, это отрезок $[-1, 1]$. При умножении на $-3$ значения функции будут находиться в диапазоне от $-3 \cdot 1 = -3$ до $-3 \cdot (-1) = 3$. Таким образом, область значений $E(y) = [-3, 3]$.
Коэффициент при $x$ равен $k = 2$. Период функции не зависит от знака коэффициента $A$. Он вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Подставляем значение $k$: $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.
Ответ: область значений $E(y) = [-3, 3]$; основной период $T = \pi$.

г) Для функции $y = 2 \sin \frac{x}{3}$ мы имеем дело с функцией вида $y = A \sin(kx)$.
Коэффициент (амплитуда) $A = 2$. Область значений функции синус, $\sin(\alpha)$, это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений $E(y)$ для данной функции будет $[-1 \cdot 2, 1 \cdot 2]$, то есть $E(y) = [-2, 2]$.
Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{3}$. Основной период для функции $y = A \sin(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Подставляем значение $k$: $T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi$.
Ответ: область значений $E(y) = [-2, 2]$; основной период $T = 6\pi$.

13.12 a) $y = 3\sin(-x)$;

Б) $y = -2\cos(-3x)$;

В) $y = 2\sin(-2x)$;

Г) $y = -3\cos(-x)$.

а) Дана функция $y = 3\sin(-x)$.
Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством нечетности функции синус, согласно которому $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ для любого значения $\alpha$.
Применим это свойство к нашей функции:
$y = 3 \cdot \sin(-x) = 3 \cdot (-\sin(x)) = -3\sin(x)$.
Ответ: $y = -3\sin(x)$

б) Дана функция $y = -2\cos(-3x)$.
Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством четности функции косинус, согласно которому $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ для любого значения $\alpha$.
Применим это свойство к нашей функции, где $\alpha = 3x$:
$y = -2 \cdot \cos(-3x) = -2 \cdot \cos(3x) = -2\cos(3x)$.
Ответ: $y = -2\cos(3x)$

в) Дана функция $y = 2\sin(-2x)$.
Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
В данном случае $\alpha = 2x$. Подставим в исходное уравнение:
$y = 2 \cdot \sin(-2x) = 2 \cdot (-\sin(2x)) = -2\sin(2x)$.
Ответ: $y = -2\sin(2x)$

г) Дана функция $y = -3\cos(-x)$.
Воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.
В данном случае $\alpha = x$. Подставим в исходное уравнение:
$y = -3 \cdot \cos(-x) = -3 \cdot \cos(x) = -3\cos(x)$.
Ответ: $y = -3\cos(x)$

13.8 a) $y = 2 \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right);$

б) $y = -3 \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right);$

в) $y = -\sin \left(x + \frac{2\pi}{3}\right);$

г) $y = 1{,}5 \cos \left(x - \frac{2\pi}{3}\right).$

а) Чтобы получить график функции $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$, нужно выполнить следующие преобразования над графиком базовой функции $y = \sin x$.
Функция имеет общий вид $y = A \sin(x - C)$, где в данном случае амплитуда $A=2$ и фазовый сдвиг $C=\frac{\pi}{3}$.
1. Растяжение вдоль оси ординат (оси Oy): коэффициент $A=2$ перед функцией синуса означает, что каждое значение функции $y = \sin x$ умножается на 2. Это соответствует растяжению графика от оси Ox в 2 раза. В результате получаем график функции $y = 2 \sin x$.
2. Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси абсцисс (оси Ox): вычитание числа $\frac{\pi}{3}$ из аргумента $x$ означает сдвиг графика вправо на $\frac{\pi}{3}$ единиц. Таким образом, график функции $y = 2 \sin x$ смещается вправо.

Ответ: График функции $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \sin x$ путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза с последующим сдвигом вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

б) Чтобы получить график функции $y = -3 \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$, нужно выполнить следующие преобразования над графиком базовой функции $y = \cos x$.
Функция имеет общий вид $y = A \cos(x - C)$, где $A=-3$ и $C=-\frac{\pi}{6}$ (поскольку $x+\frac{\pi}{6} = x-(-\frac{\pi}{6})$).
1. Растяжение и отражение: коэффициент $A=-3$ указывает на два преобразования. Во-первых, модуль $|-3|=3$ означает растяжение графика $y = \cos x$ вдоль оси Oy в 3 раза. Во-вторых, знак «минус» означает отражение графика относительно оси Ox. В результате этих двух преобразований получаем график функции $y = -3 \cos x$.
2. Параллельный перенос вдоль оси Ox: добавление числа $\frac{\pi}{6}$ к аргументу $x$ означает сдвиг графика влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц. Таким образом, график функции $y = -3 \cos x$ смещается влево.

Ответ: График функции $y = -3 \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика $y = \cos x$ путем растяжения вдоль оси Oy в 3 раза, отражения относительно оси Ox и последующего сдвига вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ влево.

в) Чтобы получить график функции $y = -\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$, нужно выполнить следующие преобразования над графиком базовой функции $y = \sin x$.
Функция имеет общий вид $y = A \sin(x - C)$, где $A=-1$ и $C=-\frac{2\pi}{3}$.
1. Отражение относительно оси Ox: коэффициент $A=-1$ перед функцией синуса означает, что график функции $y = \sin x$ отражается симметрично относительно оси Ox. В результате получаем график функции $y = -\sin x$.
2. Параллельный перенос вдоль оси Ox: добавление числа $\frac{2\pi}{3}$ к аргументу $x$ означает сдвиг графика влево на $\frac{2\pi}{3}$ единиц. Таким образом, график функции $y = -\sin x$ смещается влево.

Ответ: График функции $y = -\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \sin x$ путем отражения относительно оси Ox с последующим сдвигом вдоль оси Ox на $\frac{2\pi}{3}$ влево.

г) Чтобы получить график функции $y = 1,5 \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$, нужно выполнить следующие преобразования над графиком базовой функции $y = \cos x$.
Функция имеет общий вид $y = A \cos(x - C)$, где $A=1,5$ и $C=\frac{2\pi}{3}$.
1. Растяжение вдоль оси Oy: коэффициент $A=1,5$ перед функцией косинуса означает, что график функции $y = \cos x$ растягивается от оси Ox в 1,5 раза. В результате получаем график функции $y = 1,5 \cos x$.
2. Параллельный перенос вдоль оси Ox: вычитание числа $\frac{2\pi}{3}$ из аргумента $x$ означает сдвиг графика вправо на $\frac{2\pi}{3}$ единиц. Таким образом, график функции $y = 1,5 \cos x$ смещается вправо.

Ответ: График функции $y = 1,5 \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \cos x$ путем растяжения вдоль оси Oy в 1,5 раза с последующим сдвигом вдоль оси Ox на $\frac{2\pi}{3}$ вправо.

13.13 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin 2x$:

а) на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$;

б) на интервале $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$;

в) на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$;

г) на полуинтервале $(0; \pi]$.

а) на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sin(2x)$ на заданном отрезке, сначала определим, в каких пределах изменяется аргумент $2x$.

Если $x \in [-\frac{\pi}{2}; 0]$, то, умножив все части неравенства на 2, получим $2x \in [-\pi; 0]$. Обозначим $t = 2x$. Теперь задача сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sin(t)$ на отрезке $[-\pi; 0]$.

На отрезке $[-\pi; 0]$ функция $\sin(t)$ принимает следующие значения:

• В точке $t = -\pi$, $\sin(-\pi) = 0$.
• В точке $t = -\frac{\pi}{2}$, $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
• В точке $t = 0$, $\sin(0) = 0$.

На этом отрезке функция сначала убывает от 0 до -1 (на $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$), а затем возрастает от -1 до 0 (на $[-\frac{\pi}{2}; 0]$).

Таким образом, наименьшее значение функции равно -1 (достигается при $2x = -\frac{\pi}{2}$, т.е. $x = -\frac{\pi}{4}$), а наибольшее значение равно 0 (достигается при $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x=0$).

Ответ: наименьшее значение: $-1$, наибольшее значение: $0$.

б) на интервале $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$

Определим пределы для аргумента $2x$. Если $x \in (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$, то $2x \in (-\frac{\pi}{2}; \pi)$. Обозначим $t = 2x$.

Найдём значения функции $y = \sin(t)$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Наибольшее значение функции $\sin(t)$ равно 1 и достигается при $t = \frac{\pi}{2}$. Это соответствует $2x = \frac{\pi}{2}$, или $x = \frac{\pi}{4}$. Так как $x = \frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$, наибольшее значение функции равно 1.

Когда $t$ стремится к $-\frac{\pi}{2}$ (справа), значение $\sin(t)$ стремится к -1, но никогда не достигает этого значения, поскольку точка $t = -\frac{\pi}{2}$ не включена в интервал. Следовательно, наименьшее значение на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшее значение не существует, наибольшее значение: $1$.

в) на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$

Если $x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$, то аргумент $2x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Обозначим $t = 2x$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \sin(t)$ является монотонно возрастающей. Это означает, что наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{min} = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Это значение достигается при $2x = -\frac{\pi}{2}$, т.е. $x = -\frac{\pi}{4}$.

Наибольшее значение: $y_{max} = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Это значение достигается при $2x = \frac{\pi}{2}$, т.е. $x = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: наименьшее значение: $-1$, наибольшее значение: $1$.

г) на полуинтервале $(0; \pi]$

Если $x \in (0; \pi]$, то аргумент $2x \in (0; 2\pi]$. Обозначим $t = 2x$.

Рассмотрим поведение функции $y = \sin(t)$ на полуинтервале $(0; 2\pi]$. Этот интервал охватывает почти полный период функции синус.

Наибольшее значение функции $\sin(t)$, равное 1, достигается при $t = \frac{\pi}{2}$. Это соответствует $2x = \frac{\pi}{2}$, то есть $x = \frac{\pi}{4}$. Это значение $x$ входит в заданный полуинтервал $(0; \pi]$.

Наименьшее значение функции $\sin(t)$, равное -1, достигается при $t = \frac{3\pi}{2}$. Это соответствует $2x = \frac{3\pi}{2}$, то есть $x = \frac{3\pi}{4}$. Это значение $x$ также входит в заданный полуинтервал $(0; \pi]$.

Таким образом, на данном полуинтервале функция достигает как своего глобального максимума, так и глобального минимума.

Ответ: наименьшее значение: $-1$, наибольшее значение: $1$.

13.9 Постройте и прочитайте график функции $y = f(x):$

a) $f(x) = \begin{cases} 3 \sin x, \text{ если } x < \frac{\pi}{2}, \\ 2 \cos x + 3, \text{ если } x \ge \frac{\pi}{2}; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} -2 \cos x, \text{ если } x < 0, \\ \frac{1}{2}x^4, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

a)

Дана кусочно-заданная функция $f(x) = \begin{cases} 3 \sin x, & \text{если } x < \frac{\pi}{2} \\ 2 \cos x + 3, & \text{если } x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases}$.

Построение графика:

1. Для $x < \frac{\pi}{2}$ строим график функции $y = 3 \sin x$. Это график синусоиды с периодом $2\pi$, растянутый в 3 раза вдоль оси ординат. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(-\frac{\pi}{2}, -3)$, $(-\pi, 0)$, $(-\frac{3\pi}{2}, 3)$. В граничной точке $x = \frac{\pi}{2}$ имеем $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-} 3\sin x = 3(1) = 3$. На графике это будет выколотая точка $(\frac{\pi}{2}, 3)$.

2. Для $x \ge \frac{\pi}{2}$ строим график функции $y = 2 \cos x + 3$. Это график косинусоиды с периодом $2\pi$, растянутый в 2 раза вдоль оси ординат и смещенный на 3 единицы вверх вдоль той же оси. Ключевые точки: $(\pi, 1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 3)$, $(2\pi, 5)$. В граничной точке $x = \frac{\pi}{2}$ имеем $f(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) + 3 = 2(0) + 3 = 3$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 3)$ принадлежит графику.

Так как предел функции слева в точке $x = \frac{\pi}{2}$ равен значению функции в этой точке, функция непрерывна на всей числовой прямой. График состоит из двух частей тригонометрических функций, "сшитых" в точке $(\frac{\pi}{2}, 3)$.

Чтение графика (свойства функции):

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [-3; 5]$. Для $x < \frac{\pi}{2}$ значения $3\sin x$ лежат в $[-3, 3]$. Для $x \ge \frac{\pi}{2}$ значения $2\cos x + 3$ лежат в $[1, 5]$. Объединение этих множеств дает $[-3, 5]$.
3. Четность: функция ни четная, ни нечетная (общего вида). Например, $f(\pi) = 1$, а $f(-\pi) = 0$.
4. Периодичность: функция не является периодической.
5. Нули функции ($f(x)=0$): Для $x < \frac{\pi}{2}$: $3\sin x = 0 \Rightarrow x=k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $k\pi < \frac{\pi}{2}$, т.е. $k \le 0$. Для $x \ge \frac{\pi}{2}$: $2\cos x + 3 = 0 \Rightarrow \cos x = -1.5$, решений нет. Нули функции: $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}, k \le 0$.
6. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in \bigcup_{k \le -1} (2k\pi, (2k+1)\pi) \cup (0, +\infty)$. $f(x) < 0$ при $x \in \bigcup_{k \le 0} ((2k-1)\pi, 2k\pi)$.
7. Промежутки монотонности: Функция возрастает на каждом из промежутков: $\dots, [-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}], [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\pi, 2\pi], [3\pi, 4\pi], \dots$ Функция убывает на каждом из промежутков: $\dots, [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \pi], [2\pi, 3\pi], \dots$
8. Экстремумы: Точки максимума: $x = \frac{\pi}{2}+2k\pi$ при $k \le 0$ (значение $y=3$); $x=2k\pi$ при $k \ge 1$ (значение $y=5$). Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2}+2k\pi$ при $k \le 0$ (значение $y=-3$); $x=(2k+1)\pi$ при $k \ge 0$ (значение $y=1$). Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = 5$. Наименьшее значение функции: $y_{наим} = -3$.
9. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $\mathbb{R}$.

Ответ: График функции построен и его свойства проанализированы.

б)

Дана кусочно-заданная функция $f(x) = \begin{cases} -2 \cos x, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{2}x^4, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

Построение графика:

1. Для $x < 0$ строим график функции $y = -2 \cos x$. Это график косинусоиды с периодом $2\pi$, отраженный относительно оси абсцисс и растянутый в 2 раза вдоль оси ординат. Ключевые точки: $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(-\pi, 2)$, $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(-2\pi, -2)$. В граничной точке $x = 0$ имеем $\lim_{x\to 0^-} -2\cos x = -2(1) = -2$. На графике это будет выколотая точка $(0, -2)$.

2. Для $x \ge 0$ строим график функции $y = \frac{1}{2}x^4$. Это степенная функция, график которой похож на параболу, но более "плоский" у вершины и круче идет вверх. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, \frac{1}{2})$, $(2, 8)$. В граничной точке $x = 0$ имеем $f(0) = \frac{1}{2}(0)^4 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

Так как предел функции слева в точке $x = 0$ (равный -2) не равен значению функции в этой точке (равному 0), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=0$.

Чтение графика (свойства функции):

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [-2; +\infty)$. Для $x < 0$ значения $-2\cos x$ лежат в $[-2, 2]$. Для $x \ge 0$ значения $\frac{1}{2}x^4$ лежат в $[0, +\infty)$. Объединение этих множеств дает $[-2, +\infty)$.
3. Четность: функция ни четная, ни нечетная (общего вида). Например, $f(\pi) = \frac{1}{2}\pi^4$, а $f(-\pi) = 2$.
4. Периодичность: функция не является периодической.
5. Нули функции ($f(x)=0$): Для $x < 0$: $-2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $x < 0$. Это точки $x = \dots, -\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}$. Для $x \ge 0$: $\frac{1}{2}x^4 = 0 \Rightarrow x=0$. Нули функции: $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}, k < 0$.
6. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in \bigcup_{k \le -1} (\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi) \cup (0, +\infty)$. $f(x) < 0$ при $x \in \bigcup_{k \le 0} (-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi)$ с учетом $x<0$, то есть $\dots \cup (-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{2}, 0)$.
7. Промежутки монотонности: Функция возрастает на каждом из промежутков: $\dots, [-4\pi, -3\pi], [-2\pi, -\pi]$ и на $[0, +\infty)$. Функция убывает на каждом из промежутков: $\dots, [-5\pi, -4\pi], [-3\pi, -2\pi], [-\pi, 0)$.
8. Экстремумы: Точки максимума: $x = (2k+1)\pi$ при $k \le -1$ (значение $y=2$). Точки минимума: $x = 2k\pi$ при $k \le -1$ (значение $y=-2$). Наибольшего значения функция не имеет. Наименьшее значение функции: $y_{наим} = -2$.
9. Непрерывность: функция непрерывна на $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. В точке $x=0$ имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: График функции построен и его свойства проанализированы.

Постройте график функции:

13.10 а) $y = \sin \frac{x}{3}$;

б) $y = \cos 2x$;

в) $y = \cos \frac{x}{2}$;

г) $y = \sin 3x$.

а) Для построения графика функции $y = \sin\frac{x}{3}$ воспользуемся графиком основной функции $y = \sin x$.
Данная функция является синусоидой. Преобразование вида $y = f(kx)$ при $0 < |k| < 1$ соответствует растяжению графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) в $\frac{1}{k}$ раз.
В нашем случае $k = \frac{1}{3}$, следовательно, график функции $y = \sin x$ нужно растянуть вдоль оси Ox в $1 / (1/3) = 3$ раза.
Период основной функции $y = \sin x$ равен $T_0 = 2\pi$.
Период функции $y = \sin\frac{x}{3}$ будет равен $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.
Ключевые точки для одного периода:
- Начало периода: $x=0, y = \sin(0) = 0$. Точка (0, 0).
- Максимум: $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{3\pi}{2}, y = 1$. Точка $(\frac{3\pi}{2}, 1)$.
- Пересечение с осью Ox (середина периода): $\frac{x}{3} = \pi \implies x = 3\pi, y = 0$. Точка $(3\pi, 0)$.
- Минимум: $\frac{x}{3} = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{9\pi}{2}, y = -1$. Точка $(\frac{9\pi}{2}, -1)$.
- Конец периода: $\frac{x}{3} = 2\pi \implies x = 6\pi, y = 0$. Точка $(6\pi, 0)$.
Область значений функции: $[-1, 1]$.

Ответ: График функции $y = \sin\frac{x}{3}$ получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения вдоль оси Ox в 3 раза. Период функции равен $6\pi$.

б) Для построения графика функции $y = \cos 2x$ воспользуемся графиком основной функции $y = \cos x$.
Данная функция является косинусоидой. Преобразование вида $y = f(kx)$ при $|k| > 1$ соответствует сжатию графика функции $y=f(x)$ к оси ординат (оси Oy) в $k$ раз.
В нашем случае $k = 2$, следовательно, график функции $y = \cos x$ нужно сжать к оси Oy в 2 раза.
Период основной функции $y = \cos x$ равен $T_0 = 2\pi$.
Период функции $y = \cos 2x$ будет равен $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ключевые точки для одного периода:
- Начало периода (максимум): $x=0, y = \cos(0) = 1$. Точка (0, 1).
- Пересечение с осью Ox: $2x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}, y = 0$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 0)$.
- Минимум: $2x = \pi \implies x = \frac{\pi}{2}, y = -1$. Точка $(\frac{\pi}{2}, -1)$.
- Пересечение с осью Ox: $2x = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{3\pi}{4}, y = 0$. Точка $(\frac{3\pi}{4}, 0)$.
- Конец периода (максимум): $2x = 2\pi \implies x = \pi, y = 1$. Точка $(\pi, 1)$.
Область значений функции: $[-1, 1]$.

Ответ: График функции $y = \cos 2x$ получается из графика $y = \cos x$ путем его сжатия к оси Oy в 2 раза. Период функции равен $\pi$.

в) Для построения графика функции $y = \cos\frac{x}{2}$ воспользуемся графиком основной функции $y = \cos x$.
Преобразование вида $y = f(kx)$ при $0 < |k| < 1$ соответствует растяжению графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) в $\frac{1}{k}$ раз.
В нашем случае $k = \frac{1}{2}$, следовательно, график функции $y = \cos x$ нужно растянуть вдоль оси Ox в $1 / (1/2) = 2$ раза.
Период основной функции $y = \cos x$ равен $T_0 = 2\pi$.
Период функции $y = \cos\frac{x}{2}$ будет равен $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
Ключевые точки для одного периода:
- Начало периода (максимум): $x=0, y = \cos(0) = 1$. Точка (0, 1).
- Пересечение с осью Ox: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} \implies x = \pi, y = 0$. Точка $(\pi, 0)$.
- Минимум: $\frac{x}{2} = \pi \implies x = 2\pi, y = -1$. Точка $(2\pi, -1)$.
- Пересечение с осью Ox: $\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{2} \implies x = 3\pi, y = 0$. Точка $(3\pi, 0)$.
- Конец периода (максимум): $\frac{x}{2} = 2\pi \implies x = 4\pi, y = 1$. Точка $(4\pi, 1)$.
Область значений функции: $[-1, 1]$.

Ответ: График функции $y = \cos\frac{x}{2}$ получается из графика $y = \cos x$ путем его растяжения вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции равен $4\pi$.

г) Для построения графика функции $y = \sin 3x$ воспользуемся графиком основной функции $y = \sin x$.
Преобразование вида $y = f(kx)$ при $|k| > 1$ соответствует сжатию графика функции $y=f(x)$ к оси ординат (оси Oy) в $k$ раз.
В нашем случае $k = 3$, следовательно, график функции $y = \sin x$ нужно сжать к оси Oy в 3 раза.
Период основной функции $y = \sin x$ равен $T_0 = 2\pi$.
Период функции $y = \sin 3x$ будет равен $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{3}$.
Ключевые точки для одного периода:
- Начало периода: $x=0, y = \sin(0) = 0$. Точка (0, 0).
- Максимум: $3x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, y = 1$. Точка $(\frac{\pi}{6}, 1)$.
- Пересечение с осью Ox (середина периода): $3x = \pi \implies x = \frac{\pi}{3}, y = 0$. Точка $(\frac{\pi}{3}, 0)$.
- Минимум: $3x = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{2}, y = -1$. Точка $(\frac{\pi}{2}, -1)$.
- Конец периода: $3x = 2\pi \implies x = \frac{2\pi}{3}, y = 0$. Точка $(\frac{2\pi}{3}, 0)$.
Область значений функции: $[-1, 1]$.

Ответ: График функции $y = \sin 3x$ получается из графика $y = \sin x$ путем его сжатия к оси Oy в 3 раза. Период функции равен $\frac{2\pi}{3}$.

1. Что такое числовая окружность?

1. Что такое числовая окружность?

Числовая окружность — это окружность единичного радиуса с центром в начале координат, на которой установлено соответствие между действительными числами и точками окружности. Это ключевое понятие в тригонометрии, позволяющее наглядно представить тригонометрические функции.

Построение и принцип работы числовой окружности:

1. В декартовой системе координат $xOy$ рассматривается окружность, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 1$. Её центр находится в точке $(0, 0)$, а радиус равен 1.

2. Выбирается начальная точка отсчета. По соглашению, это самая правая точка окружности — $A(1, 0)$.

3. Устанавливается соответствие между действительными числами и точками окружности. Для этого можно представить, что числовая прямая "наматывается" на окружность. Точка 0 на прямой совмещается с начальной точкой $A(1, 0)$.

4. Положительная часть числовой прямой (числа $t > 0$) наматывается на окружность в направлении против часовой стрелки. Каждому положительному числу $t$ соответствует точка на окружности, в которую мы попадем, пройдя от точки $A$ путь длиной $t$ против часовой стрелки.

5. Отрицательная часть числовой прямой (числа $t < 0$) наматывается на окружность в направлении по часовой стрелке. Каждому отрицательному числу $t$ соответствует точка, в которую мы попадем, пройдя от точки $A$ путь длиной $|t|$ по часовой стрелке.

Основные свойства и применение:

• Периодичность. Длина единичной окружности равна $2\pi R = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$. Это означает, что если мы пройдем по окружности путь, равный $2\pi$, мы вернемся в исходную точку. Поэтому, если точке $M$ на окружности соответствует число $t$, то ей также соответствуют все числа вида $t + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

• Ключевые точки. Наиболее важные точки на окружности соответствуют числам, кратным $\pi/2$ и $\pi/4$:
  - числу 0 соответствует точка $(1, 0)$;
  - числу $\pi/2$ соответствует точка $(0, 1)$;
  - числу $\pi$ соответствует точка $(-1, 0)$;
  - числу $3\pi/2$ соответствует точка $(0, -1)$;
  - числу $2\pi$ снова соответствует точка $(1, 0)$.

• Основа тригонометрии. Числовая окружность позволяет определить тригонометрические функции для любого действительного числа (угла в радианах). Если числу $t$ соответствует точка $M$ с координатами $(x, y)$, то по определению:
  - косинус числа $t$ — это абсцисса точки $M$: $\cos(t) = x$;
  - синус числа $t$ — это ордината точки $M$: $\sin(t) = y$.
  Отсюда следуют и определения других функций: $\tan(t) = y/x$ и $\cot(t) = x/y$.

Ответ: Числовая окружность — это модель, представляющая собой окружность радиуса 1 с центром в начале координат, которая используется для установления соответствия между множеством действительных чисел и точками на этой окружности. Каждому числу $t$ ставится в соответствие точка, полученная движением из начальной точки $(1, 0)$ на расстояние $|t|$ вдоль окружности (против часовой стрелки для $t>0$ и по часовой для $t<0$). Эта модель служит основой для определения тригонометрических функций.

2. Чему равна длина числовой окружности? её полуокружности?

Длина числовой окружности

Числовая окружность (также известная как единичная окружность в тригонометрии) — это окружность, радиус которой по определению равен единице ($R=1$). Длина любой окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2 \pi R$, где $R$ — это радиус.

Чтобы найти длину числовой окружности, мы подставляем в эту формулу значение её радиуса, то есть $R=1$:

$C = 2 \pi \cdot 1 = 2\pi$

Таким образом, длина всей числовой окружности равна $2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

Длина её полуокружности

Полуокружность — это ровно половина окружности. Следовательно, её длина равна половине длины всей окружности.

Зная, что длина всей числовой окружности составляет $2\pi$, мы можем вычислить длину её полуокружности, разделив это значение на 2:

$\text{Длина полуокружности} = \frac{2\pi}{2} = \pi$

Таким образом, длина полуокружности числовой окружности равна $\pi$.

Ответ: $\pi$.

3. Чему равна длина второй четверти числовой окружности?

Числовая окружность, также известная как единичная окружность, — это окружность, радиус которой равен 1. Длина всей окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ — это радиус.

Для числовой окружности, где $r=1$, полная длина составляет $C = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$.

Эта окружность делится осями координат на четыре равные по длине дуги, которые называются четвертями. Чтобы найти длину одной четверти, необходимо общую длину окружности разделить на 4.

Длина дуги одной четверти равна:$L_{четверти} = \frac{C}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Все четыре четверти имеют одинаковую длину. Следовательно, длина второй четверти числовой окружности также равна $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$