Страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

12.3 Постройте график периодической функции $y = f(x)$ с периодом $T = 4$, если известно, что $f(x) = \frac{x^2}{2}$ на отрезке $[-2; 2]$.

По условию задачи, нам нужно построить график периодической функции $y = f(x)$ с периодом $T = 4$. На отрезке $[-2; 2]$ функция задана формулой $f(x) = \frac{x^2}{2}$.

Шаг 1. Построение графика на основном отрезке $[-2; 2]$.

Сначала построим график функции $y = \frac{x^2}{2}$ на указанном отрезке. Этот график является частью параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат. Для построения найдем значения функции в нескольких ключевых точках этого отрезка. При $x = 0$ имеем $y = \frac{0^2}{2} = 0$. Это вершина параболы, точка $(0, 0)$. На концах отрезка: при $x = -2$ имеем $y = \frac{(-2)^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$, точка $(-2, 2)$. При $x = 2$ имеем $y = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$, точка $(2, 2)$. Также можно найти промежуточные точки для большей точности, например, при $x = \pm 1$, $y = \frac{(\pm 1)^2}{2} = 0.5$. Соединив эти точки плавной кривой, мы получим фрагмент параболы на отрезке $[-2; 2]$. Заметим, что длина этого отрезка $2 - (-2) = 4$, что в точности равно периоду функции $T$.

Шаг 2. Распространение графика на всю числовую ось с использованием периодичности.

Функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 4$. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$, то есть $f(x+4) = f(x)$. Чтобы получить полный график функции, необходимо повторить (продублировать) построенный на отрезке $[-2; 2]$ фрагмент на всю числовую ось. Это делается с помощью параллельных переносов этого фрагмента вдоль оси $Ox$ на $4k$ единиц, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Например, чтобы построить график на отрезке $[2; 6]$, мы сдвигаем основной фрагмент на 4 единицы вправо. Вершина параболы при этом переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0+4, 0) = (4, 0)$. Концы фрагмента будут в точках $(2, 2)$ и $(6, 2)$. Аналогично, для отрезка $[-6; -2]$ мы сдвигаем основной фрагмент на 4 единицы влево. Вершина параболы переместится в точку $(0-4, 0) = (-4, 0)$. Поскольку значения функции на концах основного отрезка совпадают ($f(-2) = f(2) = 2$), фрагменты графика будут плавно соединяться друг с другом в точках $x = \dots, -6, -2, 2, 6, 10, \dots$.

Ответ: Искомый график представляет собой бесконечную последовательность состыкованных друг с другом сегментов параболы. Один такой сегмент задан функцией $y = \frac{x^2}{2}$ на отрезке $[-2; 2]$. Он имеет вершину в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(-2, 2)$ и $(2, 2)$. Этот сегмент повторяется вдоль всей оси $Ox$ с периодом 4. Таким образом, вершины параболических сегментов находятся в точках с координатами $(4k, 0)$, а точки соединения сегментов — в точках $(2+4k, 2)$ для всех целых $k$.

12.4 Постройте график периодической функции $y = f(x)$ с периодом $T = 2$, если известно, что $f(x) = x^4$ на отрезке $[-1; 1]$.

Для построения графика периодической функции $y = f(x)$ с периодом $T = 2$, заданной на отрезке $[-1; 1]$ формулой $f(x) = x^4$, выполним следующие шаги.

Шаг 1. Построение графика на основном отрезке

Сначала построим график функции $y = x^4$ на отрезке $[-1; 1]$. Этот фрагмент будет являться "шаблоном", который будет периодически повторяться.

Исследуем функцию $y = x^4$ на данном отрезке:

• Функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$. Это означает, что ее график на этом отрезке симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).
• Найдем значения функции в нескольких ключевых точках отрезка $[-1; 1]$:
  • При $x = -1$, $y = (-1)^4 = 1$. Координаты точки: $(-1; 1)$.
  • При $x = 0$, $y = 0^4 = 0$. Координаты точки: $(0; 0)$. Это точка минимума на отрезке.
  • При $x = 1$, $y = 1^4 = 1$. Координаты точки: $(1; 1)$.
• График на отрезке $[-1; 1]$ представляет собой кривую, которая начинается в точке $(-1; 1)$, плавно спускается к началу координат $(0; 0)$, касаясь в этой точке оси абсцисс, а затем симметрично поднимается до точки $(1; 1)$. Внешне эта кривая напоминает параболу $y=x^2$, но она более "плоская" вблизи точки $(0;0)$ и растет быстрее при приближении $x$ к $1$ и $-1$.

Шаг 2. Использование свойства периодичности для построения полного графика

По условию, функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 2$. Это означает, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + 2) = f(x)$.

Длина основного отрезка $[-1; 1]$ равна $1 - (-1) = 2$, что в точности совпадает с периодом функции. Это значит, что для построения всего графика нам нужно просто повторить (скопировать) фрагмент, построенный на шаге 1, сдвигая его вдоль оси $Ox$ на целое число периодов, то есть на $2k$ единиц, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

• Например, чтобы получить график на отрезке $[1; 3]$, мы сдвигаем основной фрагмент на $T=2$ единицы вправо. Уравнение кривой на этом отрезке будет $y = (x-2)^4$.
• Чтобы получить график на отрезке $[-3; -1]$, мы сдвигаем основной фрагмент на $T=2$ единицы влево. Уравнение кривой на этом отрезке будет $y = (x+2)^4$.

Так как значения функции на концах основного отрезка совпадают ($f(-1) = 1$ и $f(1) = 1$), то при "стыковке" фрагментов разрывов не будет. Функция будет непрерывной на всей числовой прямой.

Шаг 3. Описание итогового графика

Итоговый график функции $y = f(x)$ представляет собой бесконечную последовательность одинаковых кривых, расположенных вплотную друг к другу.

• Минимумы функции (значения, равные 0) достигаются в точках с четными абсциссами: $x = \dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots$ (то есть в точках вида $x=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$).
• Максимальные значения на каждом "холме" (равные 1) достигаются в точках с нечетными абсциссами: $x = \dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots$ (то есть в точках вида $x=2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, график представляет собой волнообразную линию, которая периодически касается оси абсцисс и поднимается до высоты $y=1$.

Ответ: График функции $y=f(x)$ строится следующим образом: сначала на отрезке $[-1; 1]$ строится график функции $y=x^4$. Полученный фрагмент — это кривая, проходящая через точки $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$, симметричная относительно оси $Oy$. Затем этот фрагмент графика параллельно переносится вдоль оси $Ox$ на $2k$ единиц вправо и влево для всех целых $k$. В результате получается непрерывная периодическая кривая.

12.1 На рисунке 11 изображена часть графика периодической функции $y = f(x)$ на отрезке $[-1; 1]$, длина которого равна периоду функции. Постройте график функции:

а) на отрезке $[1; 3]$;

б) на отрезке $[-3; -1]$;

в) на отрезке $[3; 7]$;

г) на всей числовой прямой.

Из условия задачи следует, что функция $y = f(x)$ является периодической. График функции дан на отрезке $[-1; 1]$, и длина этого отрезка равна периоду функции $T$.

Найдем период $T$: $T = 1 - (-1) = 2$.

По определению периодической функции, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$, то есть $f(x + 2) = f(x)$. Это также означает, что $f(x + 2k) = f(x)$ для любого целого числа $k \in \mathbb{Z}$.

Для построения графика на других отрезках мы будем использовать параллельный перенос (сдвиг) известной части графика вдоль оси абсцисс на величину, кратную периоду.

а) на отрезке [1; 3]

Чтобы построить график на отрезке $[1; 3]$, заметим, что для любой точки $x \in [1; 3]$ можно найти соответствующую точку $x' = x - 2$ на отрезке $[-1; 1]$. Из свойства периодичности $f(x) = f((x-2)+2) = f(x-2)$.

Это означает, что для построения графика функции $y=f(x)$ на отрезке $[1; 3]$ необходимо взять часть графика, заданную на отрезке $[-1; 1]$, и сдвинуть ее вправо вдоль оси Ox на 2 единицы.

Ответ: График функции на отрезке $[1; 3]$ получается путем параллельного переноса графика с отрезка $[-1; 1]$ на вектор $(2, 0)$.

б) на отрезке [-3; -1]

Чтобы построить график на отрезке $[-3; -1]$, воспользуемся тем же принципом. Для любой точки $x \in [-3; -1]$ соответствующая точка $x' = x + 2$ будет лежать на отрезке $[-1; 1]$. Из свойства периодичности $f(x) = f(x+2)$.

Следовательно, для построения графика функции $y=f(x)$ на отрезке $[-3; -1]$ необходимо взять часть графика, заданную на отрезке $[-1; 1]$, и сдвинуть ее влево вдоль оси Ox на 2 единицы.

Ответ: График функции на отрезке $[-3; -1]$ получается путем параллельного переноса графика с отрезка $[-1; 1]$ на вектор $(-2, 0)$.

в) на отрезке [3; 7]

Отрезок $[3; 7]$ имеет длину $7-3=4$, что равно двум периодам функции ($2T = 2 \cdot 2 = 4$). Можно разбить этот отрезок на два отрезка длиной в один период: $[3; 5]$ и $[5; 7]$.

Для отрезка $[3; 5]$: для любой точки $x \in [3; 5]$ имеем $f(x) = f(x - 2 \cdot 2) = f(x-4)$. Аргумент $(x-4)$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Это означает, что график на отрезке $[3; 5]$ является копией графика на отрезке $[-1; 1]$, сдвинутой на 4 единицы вправо.

Для отрезка $[5; 7]$: для любой точки $x \in [5; 7]$ имеем $f(x) = f(x - 3 \cdot 2) = f(x-6)$. Аргумент $(x-6)$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Это означает, что график на отрезке $[5; 7]$ является копией графика на отрезке $[-1; 1]$, сдвинутой на 6 единиц вправо.

Ответ: График на отрезке $[3; 7]$ состоит из двух последовательных копий исходного графика: первая на отрезке $[3; 5]$ является результатом сдвига графика с отрезка $[-1; 1]$ на 4 единицы вправо; вторая на отрезке $[5; 7]$ — результатом сдвига графика с отрезка $[-1; 1]$ на 6 единиц вправо.

г) на всей числовой прямой

Чтобы построить график на всей числовой прямой, нужно использовать свойство периодичности $f(x+2k) = f(x)$ для любого целого числа $k$. Это означает, что график функции представляет собой бесконечное повторение основного фрагмента, заданного на отрезке $[-1; 1]$.

Мы берем график с отрезка $[-1; 1]$ и осуществляем его параллельные переносы на векторы вида $(2k, 0)$, где $k$ принимает все целые значения ($k = \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$). То есть, мы "размножаем" исходный график, сдвигая его вправо и влево на расстояния, кратные периоду $T=2$.

Ответ: График функции на всей числовой прямой получается путем бесконечного повторения части графика с отрезка $[-1; 1]$ с шагом, равным периоду $T=2$, влево и вправо вдоль всей оси абсцисс.

12.2 На рисунке 12 изображена часть графика периодической функции $y = f(x)$ на отрезке $[0; 3]$, длина которого равна периоду функции. Постройте график функции:

а) на отрезке $[3; 6];$

б) на отрезке $[-3; 0];$

в) на отрезке $[6; 12];$

Рис. 11

Рис. 12

г) на всей числовой прямой.

Из условия задачи следует, что функция $y = f(x)$ является периодической. Нам дан ее график на отрезке $[0; 3]$. Длина этого отрезка равна $3 - 0 = 3$. Поскольку длина отрезка равна периоду функции, то период функции $T = 3$.

Основное свойство периодической функции с периодом $T$ выражается формулой $f(x + T) = f(x)$. В нашем случае $f(x + 3) = f(x)$. Это означает, что для построения графика на других отрезках мы можем сдвигать заданный участок графика вдоль оси абсцисс на расстояние, кратное периоду. В общем виде: $f(x + 3n) = f(x)$, где $n$ — любое целое число.

а) на отрезке [3; 6]

Отрезок $[3; 6]$ можно представить как $[0+3; 3+3]$. Это означает, что для построения графика на этом отрезке нужно взять исходный график с отрезка $[0; 3]$ и сдвинуть его на 3 единицы вправо (соответствует $n=1$ в формуле $f(x) = f(x-3)$).

Таким образом, ключевые точки на новом отрезке будут:

• Начальная точка: $f(3) = f(0) = 0$. Координаты: $(3, 0)$.
• Точка максимума: $f(1.5 + 3) = f(4.5) = f(1.5) = 1$. Координаты: $(4.5, 1)$.
• Конечная точка: $f(3 + 3) = f(6) = f(3) = 0$. Координаты: $(6, 0)$.

Ответ: График функции на отрезке $[3; 6]$ является точной копией графика на отрезке $[0; 3]$, смещенной на 3 единицы вправо. Это дуга, начинающаяся в точке $(3, 0)$, достигающая максимума в точке $(4.5, 1)$ и заканчивающаяся в точке $(6, 0)$.

б) на отрезке [–3; 0]

Отрезок $[-3; 0]$ можно представить как $[0-3; 3-3]$. Для построения графика на этом отрезке нужно взять исходный график с отрезка $[0; 3]$ и сдвинуть его на 3 единицы влево (соответствует $n=-1$ в формуле $f(x) = f(x+3)$).

Ключевые точки на этом отрезке:

• Начальная точка: $f(-3) = f(-3+3) = f(0) = 0$. Координаты: $(-3, 0)$.
• Точка максимума: $f(-1.5) = f(-1.5+3) = f(1.5) = 1$. Координаты: $(-1.5, 1)$.
• Конечная точка: $f(0) = f(0+3) = f(3) = 0$. Координаты: $(0, 0)$.

Ответ: График функции на отрезке $[-3; 0]$ является точной копией графика на отрезке $[0; 3]$, смещенной на 3 единицы влево. Это дуга, начинающаяся в точке $(-3, 0)$, достигающая максимума в точке $(-1.5, 1)$ и заканчивающаяся в точке $(0, 0)$.

в) на отрезке [6; 12]

Длина этого отрезка равна $12-6=6$, что составляет два периода функции ($2T = 2 \cdot 3 = 6$). Этот отрезок состоит из двух частей: $[6; 9]$ и $[9; 12]$.

На отрезке $[6; 9]$ график является сдвигом исходного графика на $2T=6$ единиц вправо ($n=2$). Он начинается в точке $(6,0)$, достигает максимума в $(7.5, 1)$ и заканчивается в $(9,0)$.

На отрезке $[9; 12]$ график является сдвигом исходного графика на $3T=9$ единиц вправо ($n=3$). Он начинается в точке $(9,0)$, достигает максимума в $(10.5, 1)$ и заканчивается в $(12,0)$.

Ответ: График функции на отрезке $[6; 12]$ состоит из двух одинаковых дуг, являющихся копиями графика на отрезке $[0; 3]$. Первая дуга на отрезке $[6; 9]$ начинается в $(6, 0)$, имеет максимум в $(7.5, 1)$ и заканчивается в $(9, 0)$. Вторая дуга на отрезке $[9; 12]$ является ее продолжением, начинается в $(9, 0)$, имеет максимум в $(10.5, 1)$ и заканчивается в $(12, 0)$.

г) на всей числовой прямой

Так как функция периодическая с периодом $T=3$, ее график на всей числовой прямой получается путем бесконечного повторения исходного фрагмента с отрезка $[0; 3]$ влево и вправо.

В общем виде, для любого целого числа $k$, на отрезке $[3k; 3(k+1)]$ график будет представлять собой дугу, аналогичную исходной.

• Нули функции (точки пересечения с осью $x$) находятся в точках $x = 3k$.
• Максимумы функции, равные 1, достигаются в точках $x = 1.5 + 3k$.

Ответ: График функции на всей числовой прямой представляет собой бесконечную последовательность одинаковых дуг. Для любого целого числа $k$, на отрезке $[3k; 3(k+1)]$ график представляет собой дугу, начинающуюся в точке $(3k, 0)$, достигающую максимума $y=1$ в точке $(1.5 + 3k, 1)$ и заканчивающуюся в точке $(3(k+1), 0)$.