Страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

10.9 а) $y = \sin x - 2;$

Б) $y = \sin x + 1;$

В) $y = \sin x + 2;$

Г) $y = \sin x - 3.$

а) Для нахождения области значений функции $y = \sin x - 2$ воспользуемся известной областью значений синуса: $E(\sin x) = [-1; 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le \sin x \le 1$. Вычитая 2 из всех частей этого неравенства, получаем: $-1 - 2 \le \sin x - 2 \le 1 - 2$, откуда следует, что $-3 \le y \le -1$. Следовательно, область значений данной функции есть отрезок $[-3; -1]$.
Ответ: $E(y) = [-3; -1]$

б) Область значений функции $y = \sin x$ есть отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$. Для функции $y = \sin x + 1$ прибавим 1 ко всем частям этого неравенства: $-1 + 1 \le \sin x + 1 \le 1 + 1$. Упрощая, получаем $0 \le y \le 2$. Таким образом, область значений функции — это отрезок $[0; 2]$.
Ответ: $E(y) = [0; 2]$

в) Исходная функция $y = \sin x$ имеет область значений $[-1; 1]$, что эквивалентно неравенству $-1 \le \sin x \le 1$. Для того чтобы найти область значений функции $y = \sin x + 2$, прибавим 2 к каждой части неравенства: $-1 + 2 \le \sin x + 2 \le 1 + 2$. В результате получаем $1 \le y \le 3$. Значит, искомая область значений — это отрезок $[1; 3]$.
Ответ: $E(y) = [1; 3]$

г) Возьмем за основу область значений функции $y = \sin x$, которая представляет собой отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что $-1 \le \sin x \le 1$. Для функции $y = \sin x - 3$ необходимо вычесть 3 из каждой части неравенства: $-1 - 3 \le \sin x - 3 \le 1 - 3$. После вычислений получаем $-4 \le y \le -2$. Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-4; -2]$.
Ответ: $E(y) = [-4; -2]$

10.14 Дано: $f(x) = 2x^2 - x + 1$. Докажите, что

$f(\sin x) = 3 - 2\cos^2 x - \sin x$.

Для доказательства данного утверждения найдем значение функции $f(x)$ при $x = \sin x$. Для этого подставим $\sin x$ в выражение $f(x) = 2x^2 - x + 1$:

$f(\sin x) = 2(\sin x)^2 - \sin x + 1 = 2\sin^2 x - \sin x + 1$.

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое связывает синус и косинус одного угла: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Из этого тождества выразим $\sin^2 x$:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим полученное выражение для $\sin^2 x$ в нашу формулу для $f(\sin x)$:

$f(\sin x) = 2(1 - \cos^2 x) - \sin x + 1$.

Далее раскроем скобки и упростим выражение:

$f(\sin x) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot \cos^2 x - \sin x + 1 = 2 - 2\cos^2 x - \sin x + 1$.

Приведем подобные слагаемые (сложим константы 2 и 1):

$f(\sin x) = (2 + 1) - 2\cos^2 x - \sin x = 3 - 2\cos^2 x - \sin x$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть доказываемого равенства и получили правую часть, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что при $f(x) = 2x^2 - x + 1$ выполняется равенство $f(\sin x) = 3 - 2\cos^2 x - \sin x$.

10.10 a) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1;$

б) $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 1.$

а) $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1$

График данной функции можно получить из графика основной функции $y = \sin(x)$ с помощью двух последовательных геометрических преобразований:

1. Параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{4}$ единиц вправо. В результате этого преобразования мы получаем график функции $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.
2. Параллельный перенос (сдвиг) полученного на первом шаге графика вдоль оси ординат (Oy) на 1 единицу вверх. В результате мы получаем график искомой функции $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1$.

Исследуем основные свойства функции:

• Область определения: Функция синус определена для любых действительных значений аргумента, поэтому область определения данной функции — все действительные числа. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Стандартная функция $y = \sin(x)$ имеет область значений $[-1; 1]$. Это означает, что для любого аргумента $-1 \le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \le 1$. Прибавляя 1 ко всем частям двойного неравенства, получаем: $-1+1 \le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1 \le 1+1$, что равносильно $0 \le y \le 2$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = [0; 2]$.
• Периодичность: Функция является периодической. Период функции $y = \sin(x)$ равен $2\pi$. Горизонтальные и вертикальные сдвиги не изменяют период функции, поэтому наименьший положительный период данной функции также равен $T = 2\pi$.
• Нули функции: Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$.
  $\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1 = 0$
  $\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = -1$
  Это уравнение имеет решения, когда аргумент синуса равен $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
  $x-\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
  $x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  Эти точки являются также точками минимума функции.
• Точки экстремума:
  • Максимумы: Максимальное значение функции равно 2. Оно достигается, когда $\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
    $x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
    $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Минимумы: Минимальное значение функции равно 0. Оно достигается, когда $\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = -1$.
    $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; 2]$; наименьший положительный период $T = 2\pi$. График функции получается сдвигом графика $y=\sin(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо по оси Ox и на 1 вверх по оси Oy.

б) $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1$

График этой функции получается из графика $y = \sin(x)$ при помощи следующих преобразований:

1. Параллельный перенос графика $y = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево (так как $x+\frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$). Это дает график функции $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$.
2. Параллельный перенос полученного графика вдоль оси ординат (Oy) на 1 единицу вниз. Это дает искомый график $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1$.

Свойства функции:

• Область определения: Аргумент синуса может быть любым действительным числом. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Известно, что $-1 \le \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) \le 1$. Вычитая 1 из всех частей неравенства, получаем: $-1-1 \le \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1 \le 1-1$, то есть $-2 \le y \le 0$. Область значений: $E(y) = [-2; 0]$.
• Периодичность: Сдвиги не влияют на период, поэтому наименьший положительный период функции $T = 2\pi$.
• Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
  $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1 = 0$
  $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = 1$
  Аргумент синуса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  $x+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
  $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi-2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  Эти точки являются также точками максимума функции.
• Точки экстремума:
  • Максимумы: Максимальное значение функции равно 0, и оно достигается при $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  • Минимумы: Минимальное значение функции равно -2. Оно достигается, когда $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = -1$.
    $x+\frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
    $x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{-3\pi-2\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [-2; 0]$; наименьший положительный период $T = 2\pi$. График функции получается сдвигом графика $y=\sin(x)$ на $\frac{\pi}{3}$ влево по оси Ox и на 1 вниз по оси Oy.

10.15 Постройте график функции $y = f(x)$, где:

а) $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ \sin x, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x < 0 \\ x^2, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$

а) $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ \sin x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Для построения графика этой кусочно-заданной функции необходимо построить график каждой из составляющих функций на заданном для неё интервале.

1. На промежутке $x < 0$ функция задаётся формулой $y = x^2$. Графиком этой функции является парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Так как нас интересует только часть графика при $x < 0$, мы строим левую ветвь этой параболы. Эта ветвь проходит через точки, например, $(-1, 1)$, $(-2, 4)$. При приближении $x$ к 0 слева ($x \to 0^-$), значение функции стремится к $0^2 = 0$. Таким образом, левая ветвь графика подходит к точке $(0, 0)$.

2. На промежутке $x \ge 0$ функция задаётся формулой $y = \sin x$. Графиком является синусоида. Мы строим её для всех неотрицательных значений $x$. График начинается в точке $(0, 0)$, поскольку $\sin(0) = 0$. Эта точка принадлежит графику, так как неравенство $x \ge 0$ нестрогое. Далее график проходит через ключевые точки: максимум в $(\frac{\pi}{2}, 1)$, пересечение с осью Ox в $(\pi, 0)$, минимум в $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, следующее пересечение с осью Ox в $(2\pi, 0)$ и так далее, совершая колебания в диапазоне от -1 до 1.

3. Объединяя эти две части, мы видим, что левая часть графика (ветвь параболы) и правая часть (синусоида) соединяются в точке $(0, 0)$. Это означает, что функция непрерывна в точке $x=0$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x < 0$ это левая ветвь параболы $y=x^2$, а для $x \ge 0$ это график функции $y=\sin x$. Обе части графика непрерывно соединяются в начале координат, точке $(0, 0)$.

б) $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x < 0 \\ x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика этой функции аналогично предыдущему пункту, но части функции меняются местами относительно оси Oy.

1. На промежутке $x < 0$ функция задаётся формулой $y = \sin x$. Мы строим график синусоиды для отрицательных значений $x$. График проходит через точки $(-\pi, 0)$, $(-2\pi, 0)$. Он имеет локальный минимум в точке $(-\frac{\pi}{2}, -1)$, локальный максимум в точке $(-\frac{3\pi}{2}, 1)$ и так далее. При приближении $x$ к 0 слева ($x \to 0^-$), значение функции стремится к $\sin(0) = 0$. График подходит к точке $(0, 0)$.

2. На промежутке $x \ge 0$ функция задаётся формулой $y = x^2$. Это правая ветвь параболы с вершиной в начале координат. График начинается в точке $(0, 0)$, так как $0^2 = 0$, и эта точка принадлежит графику. Далее ветвь параболы проходит через точки $(1, 1)$, $(2, 4)$ и уходит вверх.

3. Объединяя графики, мы видим, что левая часть (синусоида) и правая часть (ветвь параболы) также соединяются в точке $(0, 0)$, образуя непрерывный график.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x < 0$ это график функции $y=\sin x$, а для $x \ge 0$ это правая ветвь параболы $y=x^2$. Обе части графика непрерывно соединяются в точке $(0, 0)$.

10.11 a) $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right);$

б) $y = -\sin x + 3.$

а) $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$

Для построения графика данной функции необходимо выполнить последовательные геометрические преобразования графика основной функции $y = \sin x$.

Шаг 1. Построить график функции $y = \sin x$.

Шаг 2. Сдвинуть график $y = \sin x$ влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ единиц. В результате этого преобразования получится график функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$. Это называется фазовым сдвигом.

Шаг 3. Отразить график, полученный на втором шаге, симметрично относительно оси Ox. Это даст искомый график функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Проанализируем основные свойства функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$:

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция синус определена для любого действительного аргумента.

Область значений: Известно, что $-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \le 1$. При умножении всех частей неравенства на $-1$ знаки неравенства меняются на противоположные, но сам диапазон остается прежним: $-1 \le -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \le 1$. Таким образом, область значений функции $E(y) = [-1; 1]$.

Период: Горизонтальный сдвиг и отражение относительно оси Ox не влияют на период функции. Следовательно, основной период $T$ равен периоду функции $y = \sin x$, то есть $T = 2\pi$.

Нули функции: Точки пересечения с осью Ox находятся из условия $y=0$:
$-\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0 \implies \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0$
$x + \frac{\pi}{6} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика $y = \sin x$ путем сдвига влево на $\frac{\pi}{6}$ и последующего симметричного отражения относительно оси Ox. Область значений функции: $[-1, 1]$, период: $2\pi$, нули функции: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -\sin x + 3$

Для построения графика этой функции также выполним преобразования графика $y = \sin x$.

Шаг 1. Построить график функции $y = \sin x$.

Шаг 2. Отразить график $y = \sin x$ симметрично относительно оси абсцисс (Ox). В результате этого преобразования получится график функции $y = -\sin x$.

Шаг 3. Сдвинуть полученный график вверх вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы. Это даст искомый график функции $y = -\sin x + 3$. Это преобразование является вертикальным сдвигом.

Проанализируем основные свойства функции $y = -\sin x + 3$:

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: Исходная функция $y = \sin x$ имеет область значений $[-1, 1]$. Функция $y = -\sin x$ имеет ту же область значений $[-1, 1]$. После сдвига на 3 единицы вверх, каждая точка графика поднимается на 3, поэтому область значений становится $[-1+3, 1+3]$, то есть $E(y) = [2; 4]$.

Период: Отражение и вертикальный сдвиг не влияют на период функции, поэтому он остается таким же, как у $y = \sin x$, то есть $T = 2\pi$.

Нули функции: Найдем точки пересечения с осью Ox из условия $y=0$:
$-\sin x + 3 = 0 \implies \sin x = 3$
Данное уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$, и значение 3 в нее не входит. Следовательно, у функции нет нулей, и ее график не пересекает ось Ox.

Ответ: График функции $y = -\sin x + 3$ получается из графика $y = \sin x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox и последующего сдвига вверх на 3 единицы. Область значений функции: $[2, 4]$, период: $2\pi$, нулей у функции нет.

10.16 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \sin x, \text{ если } -\pi \le x \le 0, \\ \sqrt{x}, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

а) Вычислите: $f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(\pi^2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

а) Вычислите: $f\left(-\frac{\pi}{2}\right), f(0), f(1), f(\pi^2)$

Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из интервалов области определения принадлежит аргумент x, и использовать соответствующую формулу.

1. Для $f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$: аргумент $x = -\frac{\pi}{2}$ удовлетворяет условию $-\pi \le x \le 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = \sin x$.
$f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

2. Для $f(0)$: аргумент $x = 0$ удовлетворяет условию $-\pi \le x \le 0$. Используем ту же формулу $f(x) = \sin x$.
$f(0) = \sin(0) = 0$.

3. Для $f(1)$: аргумент $x = 1$ удовлетворяет условию $x > 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(1) = \sqrt{1} = 1$.

4. Для $f(\pi^2)$: аргумент $x = \pi^2$. Поскольку $\pi \approx 3.14$, то $\pi^2 \approx 9.86 > 0$, что удовлетворяет условию $x > 0$. Используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(\pi^2) = \sqrt{\pi^2} = \pi$.

Ответ: $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$; $f(0) = 0$; $f(1) = 1$; $f(\pi^2) = \pi$.

б) постройте график функции $y = f(x)$

График функции $y = f(x)$ строится из двух частей, соответствующих двум аналитическим выражениям функции на разных промежутках.

1. На отрезке $[-\pi, 0]$ строим график функции $y = \sin x$. Это известная кривая (синусоида). На данном отрезке она представляет собой одну "впадину", которая начинается в точке $(-\pi, 0)$, достигает своего минимума в точке $\left(-\frac{\pi}{2}, -1\right)$ и возвращается к оси абсцисс в точке $(0, 0)$.

2. На промежутке $(0, +\infty)$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная относительно прямой $y=x$ ветви параболы $y=x^2$ при $x \ge 0$. График начинается в точке $(0, 0)$ и плавно возрастает, проходя через контрольные точки $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$ и так далее.

Поскольку значение функции в точке $x=0$ по первому правилу ($f(0)=\sin(0)=0$) совпадает с пределом функции по второму правилу справа ($\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x} = 0$), обе части графика плавно соединяются в начале координат. В итоге получается непрерывная кривая.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную кривую, состоящую из арки синусоиды на отрезке $[-\pi, 0]$ (от точки $(-\pi, 0)$ до $(0, 0)$ через минимум в $\left(-\frac{\pi}{2}, -1\right)$) и графика квадратного корня на луче $(0, +\infty)$ (начинается в $(0, 0)$ и идет вправо-вверх).

в) прочитайте график функции $y = f(x)$

Прочитать график функции означает описать её основные свойства.

1. Область определения: $D(f) = [-\pi, +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = [-1, +\infty)$.

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $f(x)=0$ при $x = -\pi$ и $x = 0$.

4. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (-\pi, 0)$;
$f(x) > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (0, +\infty)$.

5. Промежутки монотонности:
Функция убывает на промежутке $\left[-\pi, -\frac{\pi}{2}\right]$;
Функция возрастает на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}, +\infty\right)$.

6. Экстремумы:
$x_{min} = -\frac{\pi}{2}$ — точка минимума.
$y_{min} = -1$ — наименьшее значение функции (глобальный минимум).

7. Четность, нечетность: Функция является функцией общего вида, так как ее область определения $D(f) = [-\pi, +\infty)$ несимметрична относительно начала координат.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Основные свойства функции:
- Область определения: $[-\pi, +\infty)$.
- Область значений: $[-1, +\infty)$.
- Нули: $x=-\pi$, $x=0$.
- $f(x) < 0$ на $(-\pi, 0)$; $f(x) > 0$ на $(0, +\infty)$.
- Убывает на $\left[-\pi, -\frac{\pi}{2}\right]$, возрастает на $\left[-\frac{\pi}{2}, +\infty\right)$.
- Глобальный минимум $y_{min}=-1$ в точке $x=-\frac{\pi}{2}$.
- Функция общего вида, непрерывная.

10.12 Докажите, что функция $y = f(x)$ является нечётной, если:

а) $f(x) = x + \sin x;$

б) $f(x) = x^3 \cdot \sin x^2;$

в) $f(x) = \frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 - 9};$

г) $f(x) = x^3 - \sin x.$

Для доказательства того, что функция является нечётной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. 1. Область определения функции, $D(f)$, должна быть симметрична относительно нуля (если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. 2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$.

а) $f(x) = x + \sin x$

1. Область определения данной функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как и функция $y=x$, и функция $y=\sin x$ определены для всех действительных чисел. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим второе условие. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x) + \sin(-x)$

Используя свойство нечётности функции синус, $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$f(-x) = -x - \sin x = -(x + \sin x) = -f(x)$

Оба условия выполняются, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = x + \sin x$ является нечётной.

б) $f(x) = x^3 \cdot \sin^2 x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функции $y=x^3$ и $y=\sin^2 x$ определены для всех действительных чисел. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим второе условие. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 \cdot \sin^2(-x)$

Так как степенная функция с нечётным показателем является нечётной, то $(-x)^3 = -x^3$. Функция синус — нечётная, но она возводится в квадрат: $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$.

Тогда:

$f(-x) = (-x^3) \cdot (\sin^2 x) = - (x^3 \cdot \sin^2 x) = -f(x)$

Оба условия выполняются, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = x^3 \cdot \sin^2 x$ является нечётной.

в) $f(x) = \frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 - 9}$

1. Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0$, что означает $x \neq \pm 3$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. Данная область определения симметрична относительно нуля.

2. Проверим второе условие. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^2 \cdot \sin(-x)}{(-x)^2 - 9}$

Используем свойства чётности и нечётности: $(-x)^2 = x^2$ и $\sin(-x) = -\sin x$.

Получаем:

$f(-x) = \frac{x^2 \cdot (-\sin x)}{x^2 - 9} = - \frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 - 9} = -f(x)$

Оба условия выполняются, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = \frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 - 9}$ является нечётной.

г) $f(x) = x^3 - \sin x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как и $y=x^3$, и $y=\sin x$ определены для всех действительных чисел. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим второе условие. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 - \sin(-x)$

Функции $y=x^3$ и $y=\sin x$ являются нечётными, поэтому $(-x)^3 = -x^3$ и $\sin(-x) = -\sin x$.

Тогда:

$f(-x) = (-x^3) - (-\sin x) = -x^3 + \sin x = -(x^3 - \sin x) = -f(x)$

Оба условия выполняются, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = x^3 - \sin x$ является нечётной.

10.13 Докажите, что функция $y = f(x)$ является чётной, если:

a) $f(x) = x^5 \cdot \sin \frac{x}{2};$

б) $f(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1};$

в) $f(x) = \frac{2 \sin \frac{x}{2}}{x^3};$

г) $f(x) = \sin^2 x - x^4.$

а) Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = x^5 \cdot \sin \frac{x}{2}$ является чётной, необходимо проверить два условия: симметричность области определения и выполнение равенства $f(-x) = f(x)$.

1. Область определения. Функция $x^5$ и функция $\sin \frac{x}{2}$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, их произведение также определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

2. Проверка равенства $f(-x) = f(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^5 \cdot \sin\left(\frac{-x}{2}\right)$.

Так как степенная функция с нечётным показателем является нечётной ($(-a)^5 = -a^5$), а функция синус также является нечётной ($\sin(-t) = -\sin(t)$), получаем:

$f(-x) = (-x^5) \cdot \left(-\sin\frac{x}{2}\right) = x^5 \cdot \sin\frac{x}{2}$.

Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

б) Для доказательства, что функция $f(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$ является чётной, проверим выполнение двух условий: симметричность области определения и равенство $f(-x) = f(x)$.

1. Область определения. Функция определена, если её знаменатель не равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, что означает $x^2 \neq 1$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Эта область является симметричной относительно нуля, так как если $x$ принадлежит $D(f)$, то и $-x$ также принадлежит $D(f)$.

2. Проверка равенства $f(-x) = f(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2 - 1}$.

Упростим выражение. В числителе, используя свойство нечётности синуса: $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$. В знаменателе: $(-x)^2 - 1 = x^2 - 1$.

Следовательно:

$f(-x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$.

Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

в) Для доказательства, что функция $f(x) = \frac{2 \sin \frac{x}{2}}{x^3}$ является чётной, проверим выполнение двух условий: симметричность области определения и равенство $f(-x) = f(x)$.

1. Область определения. Функция определена, если её знаменатель не равен нулю: $x^3 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область является симметричной относительно нуля.

2. Проверка равенства $f(-x) = f(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{2 \sin\left(\frac{-x}{2}\right)}{(-x)^3}$.

Упростим выражение, используя свойство нечётности функции синус ($\sin(-t) = -\sin(t)$) и нечётности степенной функции с нечётным показателем ($(-a)^3 = -a^3$):

Числитель: $2 \sin\left(\frac{-x}{2}\right) = 2 \left(-\sin\frac{x}{2}\right) = -2 \sin\frac{x}{2}$.

Знаменатель: $(-x)^3 = -x^3$.

Следовательно:

$f(-x) = \frac{-2 \sin\frac{x}{2}}{-x^3} = \frac{2 \sin\frac{x}{2}}{x^3}$.

Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

г) Для доказательства, что функция $f(x) = \sin^2 x - x^4$ является чётной, проверим выполнение двух условий: симметричность области определения и равенство $f(-x) = f(x)$.

1. Область определения. Функции $\sin^2 x$ и $x^4$ определены для всех действительных чисел. Их разность также определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

2. Проверка равенства $f(-x) = f(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \sin^2(-x) - (-x)^4$.

Упростим выражение. Функция $\sin^2 x$ является чётной, так как $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$. Функция $x^4$ также является чётной, так как $(-x)^4 = x^4$.

Следовательно:

$f(-x) = \sin^2 x - x^4$.

Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.