Страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Задачник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 2

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

ч. 2. Cтраница 26

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26
№8.14 (с. 26)
Условие. №8.14 (с. 26)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.14, Условие

8.14 Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. ($S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$)

Решение 1. №8.14 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.14, Решение 1
Решение 2. №8.14 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.14, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.14, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №8.14 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.14, Решение 3
Решение 5. №8.14 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.14, Решение 5
Решение 6. №8.14 (с. 26)

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Поскольку четырёхугольник является выпуклым, точка пересечения диагоналей лежит внутри него.

Обозначим длины диагоналей как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. Пусть угол между диагоналями $\angle AOB = \alpha$.

Диагонали разбивают четырёхугольник $ABCD$ на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Площадь четырёхугольника равна сумме площадей этих треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между ними.

Рассмотрим углы, образованные при пересечении диагоналей в точке $O$:

  • $\angle AOB = \alpha$
  • $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$ (как смежный с $\angle AOB$)
  • $\angle COD = \alpha$ (как вертикальный к $\angle AOB$)
  • $\angle DOA = 180^\circ - \alpha$ (как вертикальный к $\angle BOC$)

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, найдём площади каждого из четырёх треугольников:

  • $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha$
  • $S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin\alpha$
  • $S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin\alpha$
  • $S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin(\angle DOA) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin\alpha$

Теперь сложим эти площади, чтобы найти общую площадь четырёхугольника $S_{ABCD}$: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\sin\alpha$ за скобки: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha (AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO)$

Сгруппируем слагаемые в скобках и вынесем общие множители: $AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO = BO(AO + CO) + DO(CO + AO) = (AO + CO)(BO + DO)$

Так как $AO + CO = AC = d_1$ и $BO + DO = BD = d_2$, мы можем подставить эти значения в полученное выражение: $(AO + CO)(BO + DO) = AC \cdot BD = d_1 d_2$.

Таким образом, подставляя результат обратно в формулу для площади, получаем: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь выпуклого четырёхугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними. Утверждение доказано.

№8.15 (с. 26)
Условие. №8.15 (с. 26)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.15, Условие

8.15 В $\triangle ABC$ известно, что $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle A = 45^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$. Найдите $BC$, $AC$ и площадь $\triangle ABC$.

Решение 1. №8.15 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.15, Решение 1
Решение 2. №8.15 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.15, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.15, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №8.15 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.15, Решение 3
Решение 5. №8.15 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.15, Решение 5
Решение 6. №8.15 (с. 26)

В задаче дан треугольник ABC со стороной $AB = 4\sqrt{2}$ см и двумя углами $\angle A = 45^\circ$ и $\angle C = 30^\circ$. Требуется найти длины сторон BC, AC и площадь треугольника.

BC

Для нахождения стороны BC применим теорему синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла является величиной постоянной для данного треугольника: $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$.

В нашем случае это записывается как:

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим известные нам значения:

$\frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

Выразим BC из этого уравнения:

$BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$

Так как $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, подставим эти значения в формулу:

$BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{2})^2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{1} = 8$ см.

Ответ: $BC = 8$ см.

AC

Чтобы найти сторону AC, нам сначала нужно определить величину угла B, который лежит напротив этой стороны. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, следовательно:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$.

Теперь снова воспользуемся теоремой синусов, чтобы связать сторону AC с известной стороной AB:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим значения:

$\frac{AC}{\sin 105^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

Выразим AC:

$AC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}$

Значение $\sin 105^\circ$ можно вычислить, используя формулу синуса суммы: $\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$.

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Подставим все вычисленные значения в выражение для AC:

$AC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\frac{1}{2}} = 2(\sqrt{12} + 2) = 2(2\sqrt{3} + 2) = 4\sqrt{3} + 4 = 4(\sqrt{3} + 1)$ см.

Ответ: $AC = 4(\sqrt{3} + 1)$ см.

площадь $\triangle ABC$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. Для нашего расчета удобнее всего взять стороны AB и AC и угол A между ними, так как $\sin 45^\circ$ имеет простое табличное значение.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$

Подставим значения:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot (4\sqrt{3} + 4) \cdot \sin 45^\circ$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Упростим выражение:

$S_{ABC} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 4(\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{16 \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{16 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3} + 1)}{4} = 8(\sqrt{3} + 1)$ см$^2$.

Ответ: $S_{ABC} = 8(\sqrt{3} + 1)$ см$^2$.

№8.16 (с. 26)
Условие. №8.16 (с. 26)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.16, Условие

8.16 Высота треугольника составляет 5 см, а углы, прилегающие к основанию, равны $60^\circ$ и $45^\circ$. Найдите площадь треугольника.

Решение 1. №8.16 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.16, Решение 1
Решение 2. №8.16 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.16, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.16, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №8.16 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.16, Решение 3
Решение 5. №8.16 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.16, Решение 5
Решение 6. №8.16 (с. 26)

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – длина основания, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

Пусть нам дан треугольник $ABC$, в котором к основанию $AC$ проведена высота $BH$. По условию задачи, $h = BH = 5$ см. Углы, прилежащие к основанию, это $\angle A = 60^\circ$ и $\angle C = 45^\circ$.

Высота $BH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Основание $AC$ равно сумме отрезков $AH$ и $HC$. Найдем длины этих отрезков.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$

В этом треугольнике $\angle H = 90^\circ$, $\angle A = 60^\circ$ и катет $BH = 5$ см. Нам нужно найти второй катет $AH$. Связь между катетами и острым углом в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс:

$\tan A = \frac{BH}{AH}$

Выразим отсюда $AH$:

$AH = \frac{BH}{\tan A} = \frac{5}{\tan 60^\circ}$

Зная, что $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, получаем:

$AH = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBH$

В этом треугольнике $\angle H = 90^\circ$, $\angle C = 45^\circ$ и катет $BH = 5$ см. Найдем катет $HC$:

$\tan C = \frac{BH}{HC}$

Выразим отсюда $HC$:

$HC = \frac{BH}{\tan C} = \frac{5}{\tan 45^\circ}$

Зная, что $\tan 45^\circ = 1$, получаем:

$HC = \frac{5}{1} = 5$ см.

3. Найдем длину основания $AC$ и площадь треугольника

Теперь мы можем найти длину всего основания $AC$, сложив длины отрезков $AH$ и $HC$:

$a = AC = AH + HC = \frac{5\sqrt{3}}{3} + 5$ см.

Подставим значения основания $a$ и высоты $h$ в формулу площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5\sqrt{3}}{3} + 5) \cdot 5$

$S = \frac{5}{2} \cdot (\frac{5\sqrt{3}}{3} + 5) = \frac{25\sqrt{3}}{6} + \frac{25}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$S = \frac{25\sqrt{3}}{6} + \frac{25 \cdot 3}{6} = \frac{25\sqrt{3} + 75}{6}$

Вынесем общий множитель 25 за скобки в числителе для более красивой записи:

$S = \frac{25(3 + \sqrt{3})}{6}$ см$^2$.

Ответ: $S = \frac{25(3 + \sqrt{3})}{6}$ см$^2$.

№8.12 (с. 26)
Условие. №8.12 (с. 26)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.12, Условие

8.12 В прямоугольном треугольнике известны длина гипотенузы $c$ и острый угол $\alpha^\circ$. Найдите длины катетов, площадь треугольника и радиус описанной окружности, если:

a) $c = 12, \alpha = 60^\circ;$

б) $c = 6, \alpha = 45^\circ;$

в) $c = 4, \alpha = 30^\circ;$

г) $c = 60, \alpha = 60^\circ$.

Решение 1. №8.12 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.12, Решение 1
Решение 2. №8.12 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.12, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.12, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №8.12 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.12, Решение 3
Решение 5. №8.12 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.12, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.12, Решение 5 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.12, Решение 5 (продолжение 3)
Решение 6. №8.12 (с. 26)

Для решения задачи воспользуемся основными соотношениями в прямоугольном треугольнике. Пусть $c$ – гипотенуза, $a$ и $b$ – катеты, $\alpha$ – один из острых углов. Обозначим катет, противолежащий углу $\alpha$, как $a$, и катет, прилежащий к углу $\alpha$, как $b$.

Длины катетов можно найти с помощью тригонометрических функций:
$a = c \cdot \sin(\alpha)$
$b = c \cdot \cos(\alpha)$

Площадь прямоугольного треугольника $S$ равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab$

Радиус $R$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины гипотенузы:
$R = \frac{c}{2}$


а) c = 12, α = 60°

1. Длины катетов:
$a = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$
$b = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$

2. Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}$

3. Радиус описанной окружности:
$R = \frac{12}{2} = 6$

Ответ: длины катетов равны $6$ и $6\sqrt{3}$, площадь треугольника равна $18\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $6$.


б) c = 6, α = 45°

1. Длины катетов:
$a = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$
$b = 6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$
(Треугольник является равнобедренным, так как второй острый угол также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$).

2. Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2 = 9$

3. Радиус описанной окружности:
$R = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: длины катетов равны $3\sqrt{2}$ и $3\sqrt{2}$, площадь треугольника равна $9$, радиус описанной окружности равен $3$.


в) c = 4, α = 30°

1. Длины катетов:
$a = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$
$b = 4 \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

2. Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

3. Радиус описанной окружности:
$R = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: длины катетов равны $2$ и $2\sqrt{3}$, площадь треугольника равна $2\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $2$.


г) c = 60, α = 60°

1. Длины катетов:
$a = 60 \cdot \sin(60^\circ) = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$
$b = 60 \cdot \cos(60^\circ) = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$

2. Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 30\sqrt{3} \cdot 30 = 450\sqrt{3}$

3. Радиус описанной окружности:
$R = \frac{60}{2} = 30$

Ответ: длины катетов равны $30$ и $30\sqrt{3}$, площадь треугольника равна $450\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $30$.

№8.13 (с. 26)
Условие. №8.13 (с. 26)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.13, Условие

8.13 Хорда $AB$ образует с диаметром $AC$ окружности угол $\alpha^{\circ}$. Найдите длину хорды $AB$, если радиус окружности равен $R$.

Решение 1. №8.13 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.13, Решение 1
Решение 2. №8.13 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.13, Решение 2
Решение 3. №8.13 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.13, Решение 3
Решение 5. №8.13 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 8.13, Решение 5
Решение 6. №8.13 (с. 26)

Рассмотрим треугольник $ABC$, образованный хордой $AB$ и диаметром $AC$. Все три вершины этого треугольника ($A$, $B$ и $C$) лежат на окружности.

Угол $\angle ABC$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AC$. Согласно свойству вписанных углов, угол, опирающийся на диаметр (или на дугу в $180^\circ$), является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABC$ является прямоугольным, где $AC$ — гипотенуза, а $AB$ и $BC$ — катеты.

Длина гипотенузы $AC$ равна диаметру окружности. Так как радиус окружности равен $R$, то диаметр равен $2R$. Таким образом, $AC = 2R$.

По условию задачи, угол между хордой $AB$ и диаметром $AC$ равен $\alpha$, то есть $\angle BAC = \alpha$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB$ является прилежащим к углу $\alpha$.

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике, он равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC}$

Подставив в формулу известные нам обозначения, получим:

$\cos(\alpha) = \frac{AB}{2R}$

Выразим из этого равенства длину хорды $AB$:

$AB = 2R \cos(\alpha)$

Ответ: $2R \cos(\alpha)$

№9.3 (с. 26)
Условие. №9.3 (с. 26)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.3, Условие

9.3 а) $\cos(90^\circ - \alpha);$

б) $\sin(360^\circ - \alpha);$

В) $\sin(270^\circ - \alpha);$

Г) $\cos(180^\circ - \alpha).$

Решение 1. №9.3 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.3, Решение 1
Решение 2. №9.3 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.3, Решение 2
Решение 3. №9.3 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.3, Решение 3
Решение 5. №9.3 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.3, Решение 5
Решение 6. №9.3 (с. 26)

Для решения данных задач используются формулы приведения. Общее правило для их применения состоит из двух шагов:

  1. Определение знака исходной функции. Знак определяется по четверти, в которой находится угол, предполагая, что угол $\alpha$ является острым и положительным.
  2. Определение названия итоговой функции. Если в формуле присутствуют углы $180^\circ$ или $360^\circ$ (или $\pi, 2\pi$), то название функции не меняется. Если же в формуле присутствуют углы $90^\circ$ или $270^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$), то название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, косинус на синус и т.д.).

а) Упростим выражение $\cos(90^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Если считать $\alpha$ острым углом, то угол $90^\circ - \alpha$ находится в I координатной четверти. Косинус в I четверти положителен (имеет знак "+").

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $90^\circ$, функция $\cos$ меняется на кофункцию, то есть на $\sin$.

Таким образом, $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.
Это также можно проверить по формуле косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$.
$\cos(90^\circ - \alpha) = \cos(90^\circ)\cos(\alpha) + \sin(90^\circ)\sin(\alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) + 1 \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha)$.

Ответ: $\sin(\alpha)$

б) Упростим выражение $\sin(360^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Угол $360^\circ - \alpha$ находится в IV координатной четверти. Синус в IV четверти отрицателен (имеет знак "−").

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $360^\circ$, функция $\sin$ не меняется.

Таким образом, $\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Это также можно проверить по формуле синуса разности: $\sin(x - y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$.
$\sin(360^\circ - \alpha) = \sin(360^\circ)\cos(\alpha) - \cos(360^\circ)\sin(\alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) - 1 \cdot \sin(\alpha) = -\sin(\alpha)$.

Ответ: $-\sin(\alpha)$

в) Упростим выражение $\sin(270^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Угол $270^\circ - \alpha$ находится в III координатной четверти. Синус в III четверти отрицателен (имеет знак "−").

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $270^\circ$, функция $\sin$ меняется на кофункцию, то есть на $\cos$.

Таким образом, $\sin(270^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Это также можно проверить по формуле синуса разности: $\sin(x - y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$.
$\sin(270^\circ - \alpha) = \sin(270^\circ)\cos(\alpha) - \cos(270^\circ)\sin(\alpha) = (-1) \cdot \cos(\alpha) - 0 \cdot \sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$.

Ответ: $-\cos(\alpha)$

г) Упростим выражение $\cos(180^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Угол $180^\circ - \alpha$ находится во II координатной четверти. Косинус во II четверти отрицателен (имеет знак "−").

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $180^\circ$, функция $\cos$ не меняется.

Таким образом, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Это также можно проверить по формуле косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$.
$\cos(180^\circ - \alpha) = \cos(180^\circ)\cos(\alpha) + \sin(180^\circ)\sin(\alpha) = (-1) \cdot \cos(\alpha) + 0 \cdot \sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$.

Ответ: $-\cos(\alpha)$

№9.4 (с. 26)
Условие. №9.4 (с. 26)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.4, Условие

9.4 a) $tg\left(\frac{\pi}{2} - t\right);$

б) $ctg(180^\circ - \alpha);$

в) $tg\left(\frac{3\pi}{2} + t\right);$

г) $ctg(360^\circ - \alpha).$

Решение 1. №9.4 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.4, Решение 1
Решение 2. №9.4 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.4, Решение 2
Решение 3. №9.4 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.4, Решение 3
Решение 5. №9.4 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.4, Решение 5
Решение 6. №9.4 (с. 26)

Для решения данных задач используются формулы приведения. Общее правило для их применения состоит из двух шагов. Шаг 1: Определение знака. Мысленно помещаем угол в соответствующую четверть тригонометрического круга (считая, что острый угол, например $t$ или $\alpha$, мал и положителен) и определяем знак исходной функции в этой четверти. Шаг 2: Определение итоговой функции. Если в формуле присутствуют углы $\frac{\pi}{2}$ (90°) или $\frac{3\pi}{2}$ (270°), то есть "вертикальные" углы, функция меняется на кофункцию ($\text{tg}$ на $\text{ctg}$, $\sin$ на $\cos$, и наоборот). Если же в формуле углы $\pi$ (180°) или $2\pi$ (360°), то есть "горизонтальные" углы, то название функции не меняется.

а) Необходимо упростить выражение $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - t)$.

1. Определяем знак. Считая $t$ острым углом из первой четверти, угол $(\frac{\pi}{2} - t)$ также находится в первой четверти. Тангенс в первой четверти имеет знак «+».

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $\frac{\pi}{2}$, функция тангенс ($\text{tg}$) меняется на кофункцию, то есть на котангенс ($\text{ctg}$).

Совмещая эти два пункта, получаем: $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - t) = \text{ctg}(t)$.

Ответ: $\text{ctg}(t)$

б) Необходимо упростить выражение $\text{ctg}(180^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Считая $\alpha$ острым углом из первой четверти, угол $(180^\circ - \alpha)$ находится во второй четверти. Котангенс во второй четверти имеет знак «–».

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $180^\circ$, функция котангенс ($\text{ctg}$) не меняется.

Совмещая эти два пункта, получаем: $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.

Ответ: $-\text{ctg}(\alpha)$

в) Необходимо упростить выражение $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + t)$.

1. Определяем знак. Считая $t$ острым углом из первой четверти, угол $(\frac{3\pi}{2} + t)$ находится в четвертой четверти. Тангенс в четвертой четверти имеет знак «–».

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $\frac{3\pi}{2}$, функция тангенс ($\text{tg}$) меняется на кофункцию, то есть на котангенс ($\text{ctg}$).

Совмещая эти два пункта, получаем: $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + t) = -\text{ctg}(t)$.

Ответ: $-\text{ctg}(t)$

г) Необходимо упростить выражение $\text{ctg}(360^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Считая $\alpha$ острым углом из первой четверти, угол $(360^\circ - \alpha)$ находится в четвертой четверти. Котангенс в четвертой четверти имеет знак «–».

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $360^\circ$, функция котангенс ($\text{ctg}$) не меняется.

Совмещая эти два пункта, получаем: $\text{ctg}(360^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.

Ответ: $-\text{ctg}(\alpha)$

№9.1 (с. 26)
Условие. №9.1 (с. 26)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.1, Условие

9.1 а) $\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)$;

б) $\cos(2\pi-t)$;

в) $\cos\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)$;

г) $\sin(\pi+t)$.

Решение 1. №9.1 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.1, Решение 1
Решение 2. №9.1 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.1, Решение 2
Решение 3. №9.1 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.1, Решение 3
Решение 5. №9.1 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.1, Решение 5
Решение 6. №9.1 (с. 26)

a) Для упрощения выражения $sin(\frac{\pi}{2} - t)$ воспользуемся формулами приведения.
1. Определим знак исходной функции. Для этого представим угол $t$ как острый угол из первой четверти. Тогда угол $\frac{\pi}{2} - t$ также будет находиться в I четверти. Синус в I четверти имеет знак "+".
2. Определим, меняется ли функция на кофункцию. Так как в аргументе присутствует $\frac{\pi}{2}$, по правилу приведения функция $sin$ меняется на $cos$.
Объединяя эти два пункта, получаем: $sin(\frac{\pi}{2} - t) = cos(t)$.
Ответ: $cos(t)$

б) Для упрощения выражения $cos(2\pi - t)$ воспользуемся формулами приведения.
1. Определим знак исходной функции. Угол $2\pi - t$ находится в IV четверти. Косинус в IV четверти имеет знак "+".
2. Определим, меняется ли функция на кофункцию. Так как в аргументе присутствует $2\pi$, функция $cos$ не меняется.
Объединяя эти два пункта, получаем: $cos(2\pi - t) = cos(t)$.
Ответ: $cos(t)$

в) Для упрощения выражения $cos(\frac{3\pi}{2} + t)$ воспользуемся формулами приведения.
1. Определим знак исходной функции. Угол $\frac{3\pi}{2} + t$ находится в IV четверти. Косинус в IV четверти имеет знак "+".
2. Определим, меняется ли функция на кофункцию. Так как в аргументе присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция $cos$ меняется на кофункцию, то есть на $sin$.
Объединяя эти два пункта, получаем: $cos(\frac{3\pi}{2} + t) = sin(t)$.
Ответ: $sin(t)$

г) Для упрощения выражения $sin(\pi + t)$ воспользуемся формулами приведения.
1. Определим знак исходной функции. Угол $\pi + t$ находится в III четверти. Синус в III четверти имеет знак "−".
2. Определим, меняется ли функция на кофункцию. Так как в аргументе присутствует $\pi$, функция $sin$ не меняется.
Объединяя эти два пункта, получаем: $sin(\pi + t) = -sin(t)$.
Ответ: $-sin(t)$

№9.2 (с. 26)
Условие. №9.2 (с. 26)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.2, Условие

9.2 a) $\sin(\pi - t)$;

б) $\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$;

В) $\cos(2\pi + t)$;

г) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - t\right)$.

Решение 1. №9.2 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.2, Решение 1
Решение 2. №9.2 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.2, Решение 2
Решение 3. №9.2 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.2, Решение 3
Решение 5. №9.2 (с. 26)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 26, номер 9.2, Решение 5
Решение 6. №9.2 (с. 26)

а) Для упрощения выражения $sin(\pi - t)$ используются формулы приведения. Существует простое мнемоническое правило для их применения:

1. Определение знака. Угол $(\pi - t)$ находится во второй координатной четверти (если считать $t$ малым положительным углом). В этой четверти синус имеет знак «+». Следовательно, у результата будет знак «+».

2. Определение функции. Если в исходном угле есть $\pi$ или $2\pi$ (то есть $k\pi$), то название функции (синус) не меняется. Если же в угле есть $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (то есть $\frac{(2k+1)\pi}{2}$), то функция меняется на кофункцию (синус на косинус, и наоборот).

В данном случае у нас $\pi$, поэтому функция не меняется.

Собирая всё вместе, получаем: $sin(\pi - t) = sin(t)$.

Также можно проверить результат по формуле синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
$sin(\pi - t) = sin(\pi)cos(t) - cos(\pi)sin(t) = 0 \cdot cos(t) - (-1) \cdot sin(t) = sin(t)$.

Ответ: $sin(t)$

б) Упростим выражение $cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$, используя то же правило формул приведения.

1. Определение знака. Угол $\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$ находится во второй четверти. В этой четверти косинус имеет знак «–». Значит, у результата будет знак «–».

2. Определение функции. Так как в исходном угле присутствует $\frac{\pi}{2}$, название функции (косинус) меняется на кофункцию (синус).

Объединяя эти два пункта, получаем: $cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -sin(t)$.

Проверка по формуле косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
$cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = cos\left(\frac{\pi}{2}\right)cos(t) - sin\left(\frac{\pi}{2}\right)sin(t) = 0 \cdot cos(t) - 1 \cdot sin(t) = -sin(t)$.

Ответ: $-sin(t)$

в) Выражение $cos(2\pi + t)$ упрощается с помощью свойства периодичности функции косинус.

Период функции $y = cos(x)$ равен $2\pi$. Это означает, что $cos(x + 2\pi k) = cos(x)$ для любого целого числа $k$. В нашем случае $k=1$, поэтому мы можем просто отбросить слагаемое $2\pi$ из аргумента функции.

Таким образом, $cos(2\pi + t) = cos(t)$.

Применяя формулы приведения, мы бы получили тот же результат:
1. Знак: Угол $(2\pi + t)$ находится в первой четверти, косинус там положителен («+»).
2. Функция: В угле есть $2\pi$, значит, функция (косинус) не меняется.

Ответ: $cos(t)$

г) Упростим выражение $sin\left(\frac{3\pi}{2} - t\right)$ по правилу формул приведения.

1. Определение знака. Угол $\left(\frac{3\pi}{2} - t\right)$ находится в третьей четверти. В этой четверти синус имеет знак «–».

2. Определение функции. Так как в исходном угле есть $\frac{3\pi}{2}$, название функции (синус) меняется на кофункцию (косинус).

Собирая всё вместе, получаем: $sin\left(\frac{3\pi}{2} - t\right) = -cos(t)$.

Проверка по формуле синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
$sin\left(\frac{3\pi}{2} - t\right) = sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)cos(t) - cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)sin(t) = (-1) \cdot cos(t) - 0 \cdot sin(t) = -cos(t)$.

Ответ: $-cos(t)$

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться