Страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

6.38 Решите неравенство:

a) $\operatorname{ctg} 5 \cdot (x - 1) \ge 0;$

б) $\frac{\operatorname{tg} 7 \cos 1}{\sin 1} \cdot (2x^2 - 72) < 0;$

в) $(\operatorname{tg} 2 \sin 5) \cdot (7 - 5x) \le 0;$

г) $\operatorname{tg} 1 \operatorname{ctg} 2 \operatorname{tg} 3 \operatorname{ctg} 4 \cdot (x^2 + 2) > 0.$

а) Рассмотрим неравенство $\operatorname{ctg}5 \cdot (x - 1) \ge 0$.

Сначала определим знак коэффициента $\operatorname{ctg}5$. Угол 5 радиан находится в 4-й координатной четверти, так как $3\pi/2 \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$, то есть $3\pi/2 < 5 < 2\pi$. В 4-й четверти котангенс (отношение косинуса к синусу) отрицателен, так как косинус положителен, а синус отрицателен. Следовательно, $\operatorname{ctg}5 < 0$.

Поскольку мы имеем дело с произведением, один из множителей которого является отрицательной константой, мы можем разделить обе части неравенства на эту константу, изменив знак неравенства на противоположный:

$x - 1 \le 0$

$x \le 1$

Решением является промежуток $(-\infty, 1]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

б) Рассмотрим неравенство $\frac{\operatorname{tg}7 \cos1}{\sin1} \cdot (2x^2 - 72) < 0$.

Определим знак коэффициента $C = \frac{\operatorname{tg}7 \cos1}{\sin1}$. Этот коэффициент можно переписать как $C = \operatorname{tg}7 \cdot \operatorname{ctg}1$.

Оценим знаки тригонометрических функций:

• Угол 1 радиан: $0 < 1 < \pi/2 \approx 1.57$. Угол находится в 1-й четверти, где все тригонометрические функции положительны. Значит, $\operatorname{ctg}1 > 0$.
• Угол 7 радиан: $2\pi \approx 6.28$ и $2\pi + \pi/2 \approx 7.85$. Угол находится в 1-й четверти (после полного оборота), так как $2\pi < 7 < 2\pi + \pi/2$. Значит, $\operatorname{tg}7 > 0$.

Коэффициент $C$ является произведением двух положительных чисел, следовательно, $C > 0$.

Так как коэффициент положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака:

$2x^2 - 72 < 0$

$2(x^2 - 36) < 0$

$x^2 - 36 < 0$

$(x - 6)(x + 6) < 0$

Решением данного квадратного неравенства является интервал между корнями $x = -6$ и $x = 6$.
Ответ: $x \in (-6, 6)$.

в) Рассмотрим неравенство $(\operatorname{tg}2 \sin5) \cdot (7 - 5x) \le 0$.

Определим знак коэффициента $C = \operatorname{tg}2 \sin5$.

• Угол 2 радиана: $\pi/2 \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$. Угол находится во 2-й четверти, так как $\pi/2 < 2 < \pi$. Во 2-й четверти тангенс отрицателен. Значит, $\operatorname{tg}2 < 0$.
• Угол 5 радиан: $3\pi/2 \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$. Угол находится в 4-й четверти, так как $3\pi/2 < 5 < 2\pi$. В 4-й четверти синус отрицателен. Значит, $\sin5 < 0$.

Коэффициент $C$ является произведением двух отрицательных чисел, поэтому он положителен: $C = (\operatorname{tg}2) \cdot (\sin5) > 0$.

Так как коэффициент положителен, делим на него обе части неравенства, сохраняя знак:

$7 - 5x \le 0$

$7 \le 5x$

$\frac{7}{5} \le x$, или $x \ge 1.4$

Решением является промежуток $[1.4, +\infty)$.
Ответ: $x \in [1.4, +\infty)$.

г) Рассмотрим неравенство $\operatorname{tg}1 \operatorname{ctg}2 \operatorname{tg}3 \operatorname{ctg}4 \cdot (x^2 + 2) > 0$.

Определим знак коэффициента $C = \operatorname{tg}1 \operatorname{ctg}2 \operatorname{tg}3 \operatorname{ctg}4$.

• $\operatorname{tg}1$: $0 < 1 < \pi/2$ (1-я четверть), следовательно, $\operatorname{tg}1 > 0$.
• $\operatorname{ctg}2$: $\pi/2 < 2 < \pi$ (2-я четверть), следовательно, $\operatorname{ctg}2 < 0$.
• $\operatorname{tg}3$: $\pi/2 < 3 < \pi$ (2-я четверть), следовательно, $\operatorname{tg}3 < 0$.
• $\operatorname{ctg}4$: $\pi < 4 < 3\pi/2$ (3-я четверть), следовательно, $\operatorname{ctg}4 > 0$.

Знак коэффициента $C$ равен знаку произведения $(+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$. Таким образом, $C > 0$.

Теперь рассмотрим второй множитель $(x^2 + 2)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 2 \ge 2$. Это означает, что выражение $(x^2 + 2)$ всегда положительно.

Исходное неравенство имеет вид $(\text{положительное число}) \cdot (\text{положительное выражение}) > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно. Следовательно, неравенство выполняется для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Решите неравенство:

6.43 а) $sin t > 0$;

б) $sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $sin t < 0$;

г) $sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

а)

Для решения неравенства $ \sin t > 0 $ воспользуемся тригонометрической окружностью. Значение $ \sin t $ соответствует ординате (координате y) точки на окружности. Неравенство $ \sin t > 0 $ выполняется для точек, расположенных в верхней полуплоскости, то есть в I и II координатных четвертях.

Этим точкам соответствуют углы $ t $, находящиеся в интервале от $ 0 $ до $ \pi $. Поскольку функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, общее решение неравенства можно записать, прибавив к границам интервала $ 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число.

Таким образом, $ 0 + 2\pi k < t < \pi + 2\pi k $.

Ответ: $ 2\pi k < t < \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б)

Рассмотрим неравенство $ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Сначала решим соответствующее уравнение $ \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Корни уравнения, которые являются границами искомых интервалов, имеют вид $ t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $ и $ t = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

На тригонометрической окружности неравенству $ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} $ соответствуют точки, лежащие ниже прямой $ y=\frac{\sqrt{3}}{2} $. Выберем один из непрерывных интервалов, удовлетворяющих этому условию. Например, интервал, содержащий точку $ t=0 $ (так как $ \sin 0 = 0 < \frac{\sqrt{3}}{2} $). Ближайшие к нулю корни уравнения — это $ t = \frac{\pi}{3} $ (справа) и $ t = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} $ (слева). Таким образом, один из интервалов решения — $ (-\frac{4\pi}{3}, \frac{\pi}{3}) $.

Поскольку функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, общее решение получаем, добавляя $ 2\pi k $ к границам этого интервала.

Ответ: $ -\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в)

Для решения неравенства $ \sin t < 0 $ снова обратимся к тригонометрической окружности. Значение $ \sin t $ отрицательно для точек, расположенных в нижней полуплоскости, то есть в III и IV координатных четвертях.

Этим точкам соответствуют углы $ t $, находящиеся в интервале от $ \pi $ до $ 2\pi $. С учетом периодичности функции синуса, общее решение неравенства: $ \pi + 2\pi k < t < 2\pi + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число.

Ответ: $ \pi + 2\pi k < t < 2\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г)

Рассмотрим неравенство $ \sin t > \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Как и в пункте б), сначала находим решения уравнения $ \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} $. На интервале $[0, 2\pi]$ это углы $ t_1 = \frac{\pi}{3} $ и $ t_2 = \frac{2\pi}{3} $.

Неравенство $ \sin t > \frac{\sqrt{3}}{2} $ выполняется для углов, точки которых на тригонометрической окружности лежат выше прямой $ y = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это соответствует дуге, заключенной между точками $ t_1 $ и $ t_2 $.

Таким образом, интервал решения — $ (\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}) $. Учитывая периодичность функции синуса ($ 2\pi $), получаем общее решение.

Ответ: $ \frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

6.34 Сравните числа $a$ и $b$, если:

а) $a = \sin \frac{7\pi}{10}$, $b = \sin \frac{5\pi}{6}$;

б) $a = \cos 2$, $b = \sin 2$;

В) $a = \cos \frac{\pi}{8}$, $b = \cos \frac{\pi}{3}$;

Г) $a = \sin 1$, $b = \cos 1$.

а) Чтобы сравнить $a = \sin \frac{7\pi}{10}$ и $b = \sin \frac{5\pi}{6}$, воспользуемся свойствами функции синус и приведем углы к первой четверти с помощью формулы приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$.

Для числа $a$: $a = \sin \frac{7\pi}{10} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{10}) = \sin \frac{3\pi}{10}$.

Для числа $b$: $b = \sin \frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\sin \frac{3\pi}{10}$ и $\sin \frac{\pi}{6}$. Оба угла, $\frac{3\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{6}$, находятся в первой четверти (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$), где функция синус возрастает. Это означает, что большему углу соответствует большее значение синуса.

Сравним углы $\frac{3\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$\frac{3\pi}{10} = \frac{9\pi}{30}$

$\frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{30}$

Так как $\frac{9\pi}{30} > \frac{5\pi}{30}$, то $\frac{3\pi}{10} > \frac{\pi}{6}$.

Поскольку синус в первой четверти возрастает, из $\frac{3\pi}{10} > \frac{\pi}{6}$ следует, что $\sin \frac{3\pi}{10} > \sin \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

б) Нужно сравнить $a = \cos 2$ и $b = \sin 2$.

Оценим величину угла в 2 радиана. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$

$\pi \approx 3.14159$

Поскольку $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол в 2 радиана находится во второй координатной четверти.

Во второй четверти косинус принимает отрицательные значения, а синус — положительные.

Таким образом, $a = \cos 2 < 0$, а $b = \sin 2 > 0$.

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому $a < b$.

Ответ: $a < b$.

в) Сравним числа $a = \cos \frac{\pi}{8}$ и $b = \cos \frac{\pi}{3}$.

Оба угла, $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{3}$, находятся в первой координатной четверти (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$).

В первой четверти функция косинус убывает. Это означает, что большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса.

Сравним углы $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{3}$.

Поскольку $8 > 3$, то $\frac{1}{8} < \frac{1}{3}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{3}$.

Так как функция косинус убывает на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, из неравенства $\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{3}$ следует, что $\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

г) Сравним числа $a = \sin 1$ и $b = \cos 1$.

Рассмотрим угол в 1 радиан. Сравним его с углом $\frac{\pi}{4}$.

$\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785$.

Так как $1 > 0.785$, то $1 > \frac{\pi}{4}$.

Также известно, что $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, поэтому угол в 1 радиан находится в первой четверти, в интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$.

На интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ значения синуса больше значений косинуса, то есть $\sin x > \cos x$ для $x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$.

Поскольку $1 \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$, то $\sin 1 > \cos 1$.

Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

6.39 Сравните числа a и b:

а) $a = \sin 1, b = \cos 6;$

б) $a = \sin 3, b = \cos 4;$

В) $a = \cos 2, b = \sin 4;$

Г) $a = \sin 3, b = \cos 5.$

а) $a = \sin 1, b = \cos 6$

Для сравнения чисел $a$ и $b$ определим их знаки. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3.14$, $\pi/2 \approx 1.57$, $3\pi/2 \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$.

Угол 1 радиан находится в первой четверти, так как $0 < 1 < \pi/2$. В первой четверти синус положителен, следовательно, $a = \sin 1 > 0$.

Угол 6 радиан находится в четвертой четверти, так как $3\pi/2 < 6 < 2\pi$. В четвертой четверти косинус положителен, следовательно, $b = \cos 6 > 0$.

Поскольку оба числа положительны, приведем их к одной тригонометрической функции, например, к косинусу. Для этого воспользуемся формулами приведения.

Преобразуем $a = \sin 1$. Используя формулу $\sin x = \cos(\pi/2 - x)$, получаем $a = \sin 1 = \cos(\pi/2 - 1)$.

Преобразуем $b = \cos 6$. Используя четность косинуса ($\cos x = \cos(-x)$) и его периодичность ($T=2\pi$), получаем $b = \cos 6 = \cos(-6) = \cos(2\pi - 6)$.

Теперь нам нужно сравнить $a = \cos(\pi/2 - 1)$ и $b = \cos(2\pi - 6)$.

Оценим значения аргументов: $\pi/2 - 1 \approx 1.57 - 1 = 0.57$ и $2\pi - 6 \approx 6.28 - 6 = 0.28$. Оба аргумента, $0.57$ и $0.28$, находятся в первой четверти, то есть в интервале $(0, \pi/2)$.

На интервале $(0, \pi/2)$ функция косинуса убывает. Сравним аргументы: $0.28 < 0.57$, то есть $2\pi - 6 < \pi/2 - 1$. Так как функция $y = \cos x$ убывает на этом интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\cos(2\pi - 6) > \cos(\pi/2 - 1)$.

Таким образом, $b > a$.

Ответ: $a < b$.

б) $a = \sin 3, b = \cos 4$

Определим знаки чисел $a$ и $b$. Используем приближения $\pi/2 \approx 1.57$, $\pi \approx 3.14$ и $3\pi/2 \approx 4.71$.

Угол 3 радиана находится во второй четверти, так как $\pi/2 < 3 < \pi$. Синус во второй четверти положителен, значит, $a = \sin 3 > 0$.

Угол 4 радиана находится в третьей четверти, так как $\pi < 4 < 3\pi/2$. Косинус в третьей четверти отрицателен, значит, $b = \cos 4 < 0$.

Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому $a > b$.

Ответ: $a > b$.

в) $a = \cos 2, b = \sin 4$

Определим знаки чисел. Используем приближения $\pi/2 \approx 1.57$, $\pi \approx 3.14$ и $3\pi/2 \approx 4.71$.

Угол 2 радиана находится во второй четверти ($\pi/2 < 2 < \pi$), где косинус отрицателен. Итак, $a = \cos 2 < 0$.

Угол 4 радиана находится в третьей четверти ($\pi < 4 < 3\pi/2$), где синус отрицателен. Итак, $b = \sin 4 < 0$.

Оба числа отрицательны. Чтобы их сравнить, приведем их к одной функции с аргументами в первой четверти.

$a = \cos 2 = \cos(\pi/2 + (2 - \pi/2)) = -\sin(2 - \pi/2)$.

$b = \sin 4 = \sin(\pi + (4 - \pi)) = -\sin(4 - \pi)$.

Теперь нужно сравнить $-\sin(2 - \pi/2)$ и $-\sin(4 - \pi)$, что равносильно сравнению $\sin(4 - \pi)$ и $\sin(2 - \pi/2)$.

Оценим аргументы: $2 - \pi/2 \approx 2 - 1.57 = 0.43$ и $4 - \pi \approx 4 - 3.14 = 0.86$. Оба угла, $0.43$ и $0.86$, находятся в первой четверти, где синус возрастает.

Сравним аргументы $2 - \pi/2$ и $4 - \pi$. Неравенство $2 - \pi/2 < 4 - \pi$ равносильно неравенству $\pi/2 < 2$, или $\pi < 4$, что является верным. Значит, $2 - \pi/2 < 4 - \pi$.

Поскольку синус в первой четверти возрастает, из $2 - \pi/2 < 4 - \pi$ следует, что $\sin(2 - \pi/2) < \sin(4 - \pi)$.

Умножая обе части последнего неравенства на $-1$, мы меняем знак неравенства на противоположный: $-\sin(2 - \pi/2) > -\sin(4 - \pi)$.

Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

г) $a = \sin 3, b = \cos 5$

Определим знаки чисел. Используем приближения $\pi \approx 3.14$, $3\pi/2 \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$.

Угол 3 радиана находится во второй четверти ($\pi/2 < 3 < \pi$), где синус положителен. Итак, $a = \sin 3 > 0$.

Угол 5 радиан находится в четвертой четверти ($3\pi/2 < 5 < 2\pi$), где косинус положителен. Итак, $b = \cos 5 > 0$.

Оба числа положительны. Приведем их к одной функции (синусу) с аргументами в первой четверти.

$a = \sin 3 = \sin(\pi - 3)$. Аргумент $\pi - 3 \approx 3.14 - 3 = 0.14$ находится в первой четверти.

$b = \cos 5 = \cos(2\pi - 5)$. Чтобы привести к синусу, используем формулу $\cos x = \sin(\pi/2-x)$: $b = \cos(2\pi - 5) = \sin(\pi/2 - (2\pi - 5)) = \sin(5 - 3\pi/2)$. Аргумент $5 - 3\pi/2 \approx 5 - 4.71 = 0.29$ находится в первой четверти.

Теперь сравним $a = \sin(\pi-3)$ и $b = \sin(5 - 3\pi/2)$. В первой четверти функция синус возрастает, поэтому нам нужно сравнить аргументы: $\pi - 3$ и $5 - 3\pi/2$.

Сравним $\pi - 3$ и $5 - 3\pi/2$. Это неравенство равносильно $\pi + 3\pi/2$ vs $5+3$, то есть $5\pi/2$ vs $8$, или $5\pi$ vs $16$, что эквивалентно $\pi$ vs $16/5 = 3.2$.

Поскольку $\pi \approx 3.14159 < 3.2$, то $\pi - 3 < 5 - 3\pi/2$.

Так как синус в первой четверти возрастает, из меньшего аргумента следует меньшее значение функции: $\sin(\pi - 3) < \sin(5 - 3\pi/2)$.

Следовательно, $a < b$.

Ответ: $a < b$.

6.35 Определите знак разности:

a) $\sin \frac{2\pi}{9} - \sin \frac{10\pi}{9}$;

б) $\sin 1 - \sin 1,1$;

в) $\sin \frac{15\pi}{8} - \cos \frac{\pi}{4}$;

г) $\cos 1 - \cos 0,9.$

а) Чтобы определить знак разности $sin\frac{2\pi}{9} - sin\frac{10\pi}{9}$, определим знаки каждого из слагаемых.

Угол $\frac{2\pi}{9}$ находится в первой четверти, так как $0 < \frac{2\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$. В первой четверти синус положителен, следовательно, $sin\frac{2\pi}{9} > 0$.

Угол $\frac{10\pi}{9}$ можно представить как $\pi + \frac{\pi}{9}$. Этот угол находится в третьей четверти ($ \pi < \frac{10\pi}{9} < \frac{3\pi}{2}$), где синус отрицателен. Следовательно, $sin\frac{10\pi}{9} < 0$.

Разность положительного и отрицательного числа является положительным числом: $sin\frac{2\pi}{9} - sin\frac{10\pi}{9} = (\text{положительное}) - (\text{отрицательное}) = (\text{положительное}) + (\text{положительное}) > 0$.

Ответ: знак плюс (положительный).

б) Рассмотрим разность $sin 1 - sin 1,1$. Аргументы синуса даны в радианах.

Так как $\pi \approx 3,14$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Оба угла, 1 радиан и 1,1 радиана, принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, то есть находятся в первой четверти.

На промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ функция $y = sin x$ является возрастающей. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $sin(x_1) < sin(x_2)$.

Поскольку $1 < 1,1$, и оба значения находятся на промежутке возрастания синуса, то $sin 1 < sin 1,1$.

Следовательно, разность $sin 1 - sin 1,1$ отрицательна.

Ответ: знак минус (отрицательный).

в) Чтобы определить знак разности $sin\frac{15\pi}{8} - cos\frac{\pi}{4}$, определим знаки уменьшаемого и вычитаемого.

Угол $\frac{15\pi}{8}$ можно представить как $2\pi - \frac{\pi}{8}$. Этот угол находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Значит, $sin\frac{15\pi}{8} < 0$.

Угол $\frac{\pi}{4}$ находится в первой четверти, где косинус положителен. Значит, $cos\frac{\pi}{4} > 0$.

Разность отрицательного и положительного числа всегда является отрицательным числом: $sin\frac{15\pi}{8} - cos\frac{\pi}{4} = (\text{отрицательное}) - (\text{положительное}) < 0$.

Ответ: знак минус (отрицательный).

г) Рассмотрим разность $cos 1 - cos 0,9$. Аргументы косинуса даны в радианах.

Оба угла, 1 радиан и 0,9 радиана, принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$ (первая четверть), так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.

На промежутке $[0; \pi]$ функция $y = cos x$ является убывающей. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $cos(x_1) > cos(x_2)$.

Поскольку $0,9 < 1$, и оба значения находятся на промежутке убывания косинуса, то $cos 0,9 > cos 1$.

Следовательно, разность $cos 1 - cos 0,9$ отрицательна.

Ответ: знак минус (отрицательный).

Расположите в порядке возрастания числа:

6.40 a) $ \sin \frac{\pi}{7} $, $ \sin \frac{\pi}{5} $, $ \sin \frac{2\pi}{3} $, $ \sin \frac{7\pi}{6} $, $ \sin \frac{4\pi}{3} $;

б) $ \cos \frac{\pi}{8} $, $ \cos \frac{\pi}{3} $, $ \cos \frac{5\pi}{6} $, $ \cos \frac{5\pi}{4} $, $ \cos \frac{7\pi}{4} $.

а) Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, определим их значения или хотя бы знаки, а затем сравним их между собой. Для этого воспользуемся свойствами функции $y=\sin x$ и тригонометрическим кругом.
1. Сначала вычислим или упростим значения синусов, используя формулы приведения:
$ \sin \frac{2\pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ (положительное, II четверть).
$ \sin \frac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} $ (отрицательное, III четверть).
$ \sin \frac{4\pi}{3} = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ (отрицательное, III четверть).
Значения $ \sin \frac{\pi}{7} $ и $ \sin \frac{\pi}{5} $ являются положительными, так как углы $ \frac{\pi}{7} $ и $ \frac{\pi}{5} $ находятся в первой четверти.
2. Сравним отрицательные числа. У нас есть два отрицательных значения: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ -\frac{1}{2} $. Так как $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, то $ \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $. Поскольку $ \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2} $, то $ -\frac{\sqrt{3}}{2} < -\frac{1}{2} $. Следовательно, $ \sin \frac{4\pi}{3} < \sin \frac{7\pi}{6} $.
3. Сравним положительные числа. У нас есть три положительных значения: $ \sin \frac{\pi}{7} $, $ \sin \frac{\pi}{5} $ и $ \sin \frac{2\pi}{3} = \sin \frac{\pi}{3} $. На интервале $ [0, \frac{\pi}{2}] $ функция $ \sin x $ возрастает, то есть большему значению угла соответствует большее значение синуса. Сравним углы: $ \frac{1}{7} < \frac{1}{5} < \frac{1}{3} $, следовательно $ \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{3} $. Таким образом, $ \sin \frac{\pi}{7} < \sin \frac{\pi}{5} < \sin \frac{\pi}{3} $, то есть $ \sin \frac{\pi}{7} < \sin \frac{\pi}{5} < \sin \frac{2\pi}{3} $.
4. Объединим все значения. Отрицательные числа меньше положительных. Собирая все неравенства, получаем итоговый порядок:
$ \sin \frac{4\pi}{3} < \sin \frac{7\pi}{6} < \sin \frac{\pi}{7} < \sin \frac{\pi}{5} < \sin \frac{2\pi}{3} $.
Ответ: $ \sin \frac{4\pi}{3}, \sin \frac{7\pi}{6}, \sin \frac{\pi}{7}, \sin \frac{\pi}{5}, \sin \frac{2\pi}{3} $.

б) Действуем аналогично предыдущему пункту, используя свойства функции $y=\cos x$.
1. Определим знаки и значения:
$ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ (положительное, I четверть).
$ \cos \frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ (отрицательное, II четверть).
$ \cos \frac{5\pi}{4} = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ (отрицательное, III четверть).
$ \cos \frac{7\pi}{4} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ (положительное, IV четверть).
Значение $ \cos \frac{\pi}{8} $ является положительным, так как угол $ \frac{\pi}{8} $ находится в первой четверти.
2. Сравним отрицательные числа: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Так как $ \sqrt{3} > \sqrt{2} $, то $ \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2} $, а значит $ -\frac{\sqrt{3}}{2} < -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Таким образом, $ \cos \frac{5\pi}{6} < \cos \frac{5\pi}{4} $.
3. Сравним положительные числа: $ \cos \frac{\pi}{8} $, $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \cos \frac{7\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. На интервале $ [0, \pi] $ функция $ \cos x $ убывает, то есть большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса. Сравним аргументы: $ \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} $ (так как $ \frac{1}{8} < \frac{1}{4} < \frac{1}{3} $). Поскольку функция убывающая, порядок значений будет обратным: $ \cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{\pi}{4} > \cos \frac{\pi}{3} $. В порядке возрастания: $ \cos \frac{\pi}{3} < \cos \frac{\pi}{4} < \cos \frac{\pi}{8} $. Заменив $ \cos \frac{\pi}{4} $ на $ \cos \frac{7\pi}{4} $, получаем $ \cos \frac{\pi}{3} < \cos \frac{7\pi}{4} < \cos \frac{\pi}{8} $.
4. Объединим все сравнения и получим итоговый ряд в порядке возрастания:
$ \cos \frac{5\pi}{6} < \cos \frac{5\pi}{4} < \cos \frac{\pi}{3} < \cos \frac{7\pi}{4} < \cos \frac{\pi}{8} $.
Ответ: $ \cos \frac{5\pi}{6}, \cos \frac{5\pi}{4}, \cos \frac{\pi}{3}, \cos \frac{7\pi}{4}, \cos \frac{\pi}{8} $.

Решите неравенство (относительно переменной $x$):

6.36 a) $\cos 2 \cdot (2x - 1) < 0$;

б) $\cos 3 \cos 5 \cdot (x^2 - 4) < 0$.

а) $ \cos2 \cdot (2x - 1) < 0 $

Это линейное неравенство относительно переменной $x$. Множитель $ \cos2 $ является константой. Чтобы решить неравенство, нужно определить знак этой константы. Аргумент косинуса (2) задан в радианах.

Вспомним значения $ \pi $: $ \pi \approx 3.14 $. Тогда $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $ и $ \pi \approx 3.14 $. Поскольку $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $, угол в 2 радиана лежит во второй координатной четверти. В этой четверти косинус принимает отрицательные значения, следовательно, $ \cos2 < 0 $.

Мы имеем произведение двух множителей, которое должно быть отрицательным. Так как первый множитель ($ \cos2 $) отрицателен, то второй множитель ($ 2x - 1 $) должен быть положительным, чтобы их произведение было отрицательным. $ 2x - 1 > 0 $

Можно прийти к этому же выводу, разделив обе части исходного неравенства на $ \cos2 $. Так как $ \cos2 < 0 $, то при делении на это число знак неравенства изменится на противоположный: $ \frac{\cos2 \cdot (2x - 1)}{\cos2} > \frac{0}{\cos2} $ $ 2x - 1 > 0 $

Решим полученное простое линейное неравенство: $ 2x > 1 $ $ x > \frac{1}{2} $

Решением является числовой промежуток $ (\frac{1}{2}; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (\frac{1}{2}; +\infty) $.

б) $ \cos3 \cos5 \cdot (x^2 - 4) < 0 $

Это квадратичное неравенство относительно $x$. Множитель $ \cos3 \cos5 $ является постоянным коэффициентом. Для решения неравенства определим знак этого коэффициента. Аргументы косинусов (3 и 5) заданы в радианах.

1. Определим знак $ \cos3 $. Поскольку $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $ и $ \pi \approx 3.14 $, то $ \frac{\pi}{2} < 3 < \pi $. Угол в 3 радиана лежит во второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Значит, $ \cos3 < 0 $.

2. Определим знак $ \cos5 $. Поскольку $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $ и $ 2\pi \approx 6.28 $, то $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $. Угол в 5 радиан лежит в четвертой координатной четверти, где косинус положителен. Значит, $ \cos5 > 0 $.

3. Определим знак произведения $ \cos3 \cos5 $. $ \cos3 \cdot \cos5 = (\text{отрицательное число}) \cdot (\text{положительное число}) < 0 $. Итак, коэффициент $ \cos3 \cos5 $ отрицателен.

Разделим обе части исходного неравенства на отрицательный коэффициент $ \cos3 \cos5 $. При этом знак неравенства изменится на противоположный: $ \frac{\cos3 \cos5 \cdot (x^2 - 4)}{\cos3 \cos5} > \frac{0}{\cos3 \cos5} $ $ x^2 - 4 > 0 $

Решим полученное квадратичное неравенство. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $ (x - 2)(x + 2) > 0 $

Применим метод интервалов. Корни левой части: $ x = 2 $ и $ x = -2 $. Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ее на три промежутка: $ (-\infty; -2) $, $ (-2; 2) $, $ (2; +\infty) $. Определим знак выражения $ (x - 2)(x + 2) $ в каждом промежутке:

• При $ x \in (2; +\infty) $, например $ x=3 $: $ (3-2)(3+2) = 1 \cdot 5 = 5 > 0 $. Промежуток подходит.
• При $ x \in (-2; 2) $, например $ x=0 $: $ (0-2)(0+2) = -2 \cdot 2 = -4 < 0 $. Промежуток не подходит.
• При $ x \in (-\infty; -2) $, например $ x=-3 $: $ (-3-2)(-3+2) = -5 \cdot (-1) = 5 > 0 $. Промежуток подходит.

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух промежутков.

Ответ: $ x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) $.

6.41 a) $sin 2$, $sin 3$, $cos 4$, $cos 5$;

б) $cos 3$, $cos 4$, $cos 6$, $cos 7$;

В) $sin 3$, $sin 4$, $sin 6$, $sin 7$;

Г) $cos 2$, $cos 3$, $sin 4$, $sin 5$.

а) Расположим в порядке возрастания числа $\sin 2, \sin 3, \cos 4, \cos 5$.

Для определения знаков и сравнения значений тригонометрических функций воспользуемся единичной окружностью и приближенными значениями: $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.

1. Определим знаки чисел:

Угол 2 радиана: $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, это II четверть. Здесь синус положителен: $\sin 2 > 0$.

Угол 3 радиана: $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, это II четверть. Здесь синус положителен: $\sin 3 > 0$.

Угол 4 радиана: $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, это III четверть. Здесь косинус отрицателен: $\cos 4 < 0$.

Угол 5 радиан: $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, это IV четверть. Здесь косинус положителен: $\cos 5 > 0$.

Таким образом, $\cos 4$ — единственное отрицательное число, следовательно, оно наименьшее.

2. Сравним положительные числа: $\sin 2, \sin 3, \cos 5$.

Сравним $\sin 2$ и $\sin 3$. В II четверти функция $y = \sin x$ убывает. Так как $2 < 3$, то $\sin 2 > \sin 3$.

Сравним $\sin 3$ и $\cos 5$. Приведем их к значениям функций в I четверти.$\sin 3 = \sin(\pi - 3)$. Так как $\pi \approx 3.1416$, то $\pi - 3 \approx 0.1416$.$\cos 5 = \cos(2\pi - 5)$. Так как $2\pi \approx 6.2832$, то $2\pi - 5 \approx 1.2832$.Нам нужно сравнить $\sin(\pi-3)$ и $\cos(5)$. Используем формулу приведения $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.$\cos 5 = \sin(\frac{\pi}{2} - 5)$. Это угол не в I четверти. Воспользуемся другой формулой $\cos x = \sin(x - \frac{3\pi}{2})$ для $x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.$\cos 5 = \sin(5 - \frac{3\pi}{2}) \approx \sin(5 - 4.7124) \approx \sin(0.2876)$.Теперь сравним $\sin(\pi - 3) \approx \sin(0.1416)$ и $\sin(5 - \frac{3\pi}{2}) \approx \sin(0.2876)$.В I четверти синус возрастает. Так как $0.1416 < 0.2876$, то $\sin(0.1416) < \sin(0.2876)$, следовательно $\sin 3 < \cos 5$.

Теперь сравним $\sin 2$ и $\cos 5$.$\sin 2 = \sin(\pi - 2) \approx \sin(3.1416 - 2) = \sin(1.1416)$.$\cos 5 \approx \sin(0.2876)$.В I четверти синус возрастает. Так как $1.1416 > 0.2876$, то $\sin(1.1416) > \sin(0.2876)$, следовательно $\sin 2 > \cos 5$.

3. Собираем все вместе:

$\cos 4 < 0$ и $0 < \sin 3 < \cos 5 < \sin 2$.

Итоговый порядок: $\cos 4, \sin 3, \cos 5, \sin 2$.

Ответ: $\cos 4, \sin 3, \cos 5, \sin 2$.

б) Расположим в порядке возрастания числа $\cos 3, \cos 4, \cos 6, \cos 7$.

1. Определим знаки чисел:

Угол 3 радиана: $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, это II четверть. Косинус отрицателен: $\cos 3 < 0$.

Угол 4 радиана: $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, это III четверть. Косинус отрицателен: $\cos 4 < 0$.

Угол 6 радиан: $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, это IV четверть. Косинус положителен: $\cos 6 > 0$.

Угол 7 радиан: $2\pi < 7 < 2\pi + \frac{\pi}{2}$, это I четверть. Косинус положителен: $\cos 7 > 0$.

2. Сравним отрицательные числа: $\cos 3$ и $\cos 4$.

На промежутке $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ функция $y = \cos x$ достигает своего минимума, равного -1, в точке $x = \pi$. Чем ближе аргумент к $\pi$, тем меньше значение косинуса.Сравним расстояния от 3 и 4 до $\pi$:$|\pi - 3| \approx |3.1416 - 3| = 0.1416$.$|4 - \pi| \approx |4 - 3.1416| = 0.8584$.Поскольку $0.1416 < 0.8584$, угол 3 ближе к $\pi$, чем угол 4. Следовательно, $\cos 3 < \cos 4$.

3. Сравним положительные числа: $\cos 6$ и $\cos 7$.

Приведем их к значениям функции в I четверти.$\cos 6 = \cos(2\pi - 6) \approx \cos(6.2832 - 6) = \cos(0.2832)$.$\cos 7 = \cos(7 - 2\pi) \approx \cos(7 - 6.2832) = \cos(0.7168)$.Нам нужно сравнить $\cos(0.2832)$ и $\cos(0.7168)$. В I четверти функция $y = \cos x$ убывает. Так как $0.2832 < 0.7168$, то $\cos(0.2832) > \cos(0.7168)$, следовательно $\cos 6 > \cos 7$.

4. Собираем все вместе:

$\cos 3 < \cos 4 < 0 < \cos 7 < \cos 6$.

Итоговый порядок: $\cos 3, \cos 4, \cos 7, \cos 6$.

Ответ: $\cos 3, \cos 4, \cos 7, \cos 6$.

в) Расположим в порядке возрастания числа $\sin 3, \sin 4, \sin 6, \sin 7$.

1. Определим знаки чисел:

Угол 3 радиана: $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, это II четверть. Синус положителен: $\sin 3 > 0$.

Угол 4 радиана: $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, это III четверть. Синус отрицателен: $\sin 4 < 0$.

Угол 6 радиан: $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, это IV четверть. Синус отрицателен: $\sin 6 < 0$.

Угол 7 радиан: $2\pi < 7 < 2\pi + \frac{\pi}{2}$, это I четверть. Синус положителен: $\sin 7 > 0$.

2. Сравним отрицательные числа: $\sin 4$ и $\sin 6$.

Приведем их к значениям функции в I четверти, учитывая знак.$\sin 4 = -\sin(4 - \pi) \approx -\sin(0.8584)$.$\sin 6 = -\sin(2\pi - 6) \approx -\sin(0.2832)$.В I четверти функция $y = \sin x$ возрастает. Так как $0.2832 < 0.8584$, то $\sin(0.2832) < \sin(0.8584)$.Умножая на -1, меняем знак неравенства: $-\sin(0.2832) > -\sin(0.8584)$.Следовательно, $\sin 6 > \sin 4$.

3. Сравним положительные числа: $\sin 3$ и $\sin 7$.

Приведем их к значениям функции в I четверти.$\sin 3 = \sin(\pi - 3) \approx \sin(0.1416)$.$\sin 7 = \sin(7 - 2\pi) \approx \sin(0.7168)$.В I четверти функция $y = \sin x$ возрастает. Так как $0.1416 < 0.7168$, то $\sin(0.1416) < \sin(0.7168)$.Следовательно, $\sin 3 < \sin 7$.

4. Собираем все вместе:

$\sin 4 < \sin 6 < 0 < \sin 3 < \sin 7$.

Итоговый порядок: $\sin 4, \sin 6, \sin 3, \sin 7$.

Ответ: $\sin 4, \sin 6, \sin 3, \sin 7$.

г) Расположим в порядке возрастания числа $\cos 2, \cos 3, \sin 4, \sin 5$.

1. Определим знаки чисел:

Угол 2 радиана: $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, это II четверть. Косинус отрицателен: $\cos 2 < 0$.

Угол 3 радиана: $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, это II четверть. Косинус отрицателен: $\cos 3 < 0$.

Угол 4 радиана: $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, это III четверть. Синус отрицателен: $\sin 4 < 0$.

Угол 5 радиан: $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, это IV четверть. Синус отрицателен: $\sin 5 < 0$.

Все четыре числа отрицательны. Чтобы их сравнить, сравним их модули. Чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше.

2. Найдем модули чисел и приведем их к значениям функций от углов в I четверти:

$|\cos 2| = |-\cos(\pi - 2)| = \cos(\pi - 2) \approx \cos(1.1416)$.

$|\cos 3| = |-\cos(\pi - 3)| = \cos(\pi - 3) \approx \cos(0.1416)$.

$|\sin 4| = |-\sin(4 - \pi)| = \sin(4 - \pi) \approx \sin(0.8584)$.

$|\sin 5| = |-\sin(2\pi - 5)| = \sin(2\pi - 5) \approx \sin(1.2832)$.

3. Сравним модули. Для этого приведем все значения к одной функции, например, к синусу, используя формулу $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

$\cos(1.1416) = \sin(\frac{\pi}{2} - 1.1416) \approx \sin(1.5708 - 1.1416) = \sin(0.4292)$.

$\cos(0.1416) = \sin(\frac{\pi}{2} - 0.1416) \approx \sin(1.5708 - 0.1416) = \sin(1.4292)$.

Теперь нам нужно сравнить четыре значения синуса от углов в I четверти: $\sin(0.4292)$, $\sin(1.4292)$, $\sin(0.8584)$, $\sin(1.2832)$.

В I четверти функция $y = \sin x$ возрастает. Сравним аргументы: $0.4292 < 0.8584 < 1.2832 < 1.4292$.

Следовательно, $\sin(0.4292) < \sin(0.8584) < \sin(1.2832) < \sin(1.4292)$.

Возвращаясь к модулям исходных чисел, получаем:$|\cos 2| < |\sin 4| < |\sin 5| < |\cos 3|$.

4. Так как все числа отрицательные, порядок для них будет обратным порядку их модулей:$\cos 3 < \sin 5 < \sin 4 < \cos 2$.

Ответ: $\cos 3, \sin 5, \sin 4, \cos 2$.

6.37 a) $(cost - 5) \cdot (3x - 1) \ge 0;$

б) $(2 + sint) \cdot (9 - x^2) \ge 0.$

a) $(\cos t - 5) \cdot (3x - 1) \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, оценим знак первого множителя $(\cos t - 5)$. Область значений функции косинус: $-1 \le \cos t \le 1$ для любого действительного $t$. Вычтем 5 из всех частей двойного неравенства: $-1 - 5 \le \cos t - 5 \le 1 - 5$ $-6 \le \cos t - 5 \le -4$ Это означает, что выражение $(\cos t - 5)$ всегда отрицательно, так как его значения лежат в промежутке $[-6, -4]$.

Исходное неравенство представляет собой произведение двух множителей. Чтобы это произведение было неотрицательным $(\ge 0)$, а один из множителей, как мы выяснили, всегда строго отрицателен, необходимо, чтобы второй множитель был неположительным (то есть меньше или равен нулю). Таким образом, неравенство равносильно следующему: $3x - 1 \le 0$

Решим это простое линейное неравенство: $3x \le 1$ $x \le \frac{1}{3}$ Решением является промежуток $(-\infty, \frac{1}{3}]$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}]$.

б) $(2 + \sin t) \cdot (9 - x^2) \ge 0$

Аналогично предыдущему пункту, оценим знак первого множителя $(2 + \sin t)$. Область значений функции синус: $-1 \le \sin t \le 1$ для любого действительного $t$. Прибавим 2 ко всем частям двойного неравенства: $-1 + 2 \le \sin t + 2 \le 1 + 2$ $1 \le 2 + \sin t \le 3$ Это означает, что выражение $(2 + \sin t)$ всегда положительно, так как его значения лежат в промежутке $[1, 3]$.

Поскольку первый множитель $(2 + \sin t)$ всегда строго положителен, для того чтобы произведение было неотрицательным $(\ge 0)$, необходимо, чтобы второй множитель $(9 - x^2)$ был также неотрицательным. Таким образом, неравенство равносильно следующему: $9 - x^2 \ge 0$

Решим это квадратное неравенство. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(3 - x)(3 + x) \ge 0$ Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(3 - x)(3 + x) = 0$. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала. График функции $y = 9 - x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-3, 3]$.

Ответ: $x \in [-3, 3]$.

6.42 a) 1, $ \sin 1 $, $ \cos 1 $, $ \tg 1 $;

б) 2, $ \sin 2 $, $ \cos 2 $, $ \ctg 2 $.

а)

Для того чтобы сравнить числа $1$, $\sin 1$, $\cos 1$, $\text{tg } 1$, сначала определим, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол в 1 радиан.

Мы знаем, что $\pi \approx 3.14159$. Отсюда получаем значения для границ четвертей: $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$.Так как выполняется неравенство $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, угол в 1 радиан расположен в I координатной четверти.

В I четверти все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) принимают положительные значения.

1. Сравним $\sin 1$ и $\cos 1$. В I четверти на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $y = \sin x$ возрастает, а функция $y = \cos x$ убывает. Они равны при $x = \frac{\pi}{4}$. Поскольку $1 > \frac{\pi}{4}$, значение синуса будет больше значения косинуса. Таким образом, $\sin 1 > \cos 1$.

2. Сравним $1$ с $\sin 1$ и $\text{tg } 1$. Существует известное неравенство для углов $x$ в I четверти ($0 < x < \frac{\pi}{2}$): $\sin x < x < \text{tg } x$. Применив это неравенство для $x = 1$, мы получаем $\sin 1 < 1 < \text{tg } 1$.

3. Сравним $1$ и $\cos 1$. Максимальное значение косинуса равно 1 и достигается при $x=0$. Для любого другого угла в I четверти, $\cos x < 1$. Следовательно, $\cos 1 < 1$.

Объединяя все полученные неравенства ($\cos 1 < \sin 1$ и $\sin 1 < 1 < \text{tg } 1$), мы можем расположить числа в порядке возрастания.

Ответ: $\cos 1 < \sin 1 < 1 < \text{tg } 1$.

б)

Для сравнения чисел $2$, $\sin 2$, $\cos 2$, $\text{ctg } 2$, определим положение угла в 2 радиана на тригонометрической окружности.

Используя приближения $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$, мы видим, что $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$. Это означает, что угол в 2 радиана находится во II координатной четверти.

Определим знаки тригонометрических функций для угла во II четверти:
- синус положителен: $\sin 2 > 0$;
- косинус отрицателен: $\cos 2 < 0$;
- котангенс, как отношение $\frac{\cos 2}{\sin 2}$, также отрицателен: $\text{ctg } 2 < 0$.
Число $2$ само по себе положительное.

Следовательно, отрицательные числа ($\cos 2$ и $\text{ctg } 2$) меньше положительных ($\sin 2$ и $2$).

1. Сравним положительные числа $2$ и $\sin 2$. Значение синуса любого угла не может быть больше 1. Таким образом, $\sin 2 \le 1$. Так как $1 < 2$, то $\sin 2 < 2$.

2. Сравним отрицательные числа $\cos 2$ и $\text{ctg } 2$. Запишем котангенс через синус и косинус: $\text{ctg } 2 = \frac{\cos 2}{\sin 2}$. Во II четверти $0 < \sin 2 < 1$. Когда мы делим отрицательное число $\cos 2$ на положительное число $\sin 2$, которое меньше единицы, абсолютное значение частного становится больше абсолютного значения делимого: $|\text{ctg } 2| = \frac{|\cos 2|}{\sin 2} > |\cos 2|$. Среди двух отрицательных чисел меньше то, у которого больше модуль. Значит, $\text{ctg } 2 < \cos 2$.

3. Теперь мы можем упорядочить все четыре числа. Сначала идут отрицательные в порядке возрастания, затем положительные.

Ответ: $\text{ctg } 2 < \cos 2 < \sin 2 < 2$.