Страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

6.28 a) $\sin^2 (1,5 + 2\pi k) + \cos^2 1,5 + \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right);$

б) $\cos^2 \left(\frac{\pi}{8} + 4\pi\right) + \sin^2 \left(\frac{\pi}{8} - 44\pi\right).$

а) Для упрощения выражения $\sin^2(1,5 + 2\pi k) + \cos^2 1,5 + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \sin(-\frac{\pi}{6})$ воспользуемся свойствами тригонометрических функций.

1. Функция синус является периодической с основным периодом $2\pi$. Это значит, что $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$ для любого целого числа $k$. Применяя это свойство к первому слагаемому, получаем:

$\sin(1,5 + 2\pi k) = \sin(1,5)$

Следовательно, $\sin^2(1,5 + 2\pi k) = \sin^2(1,5)$.

2. Теперь выражение выглядит так: $\sin^2(1,5) + \cos^2 1,5 + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \sin(-\frac{\pi}{6})$.

Первые два слагаемых образуют основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. В нашем случае $\alpha=1,5$, поэтому:

$\sin^2(1,5) + \cos^2 1,5 = 1$.

3. Далее рассмотрим оставшиеся слагаемые. Функция косинус является четной, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Поэтому:

$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Поэтому:

$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

5. Соберем все части вместе:

$(\sin^2(1,5) + \cos^2 1,5) + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \sin(-\frac{\pi}{6}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$.

б) Рассмотрим выражение $\cos^2(\frac{\pi}{8} + 4\pi) + \sin^2(\frac{\pi}{8} - 44\pi)$.

1. Функции синус и косинус имеют период $2\pi$. Это означает, что добавление к аргументу или вычитание из него целого числа оборотов ($2\pi n$, где $n$ - целое) не изменяет значения функции.

2. Упростим первый член. Так как $4\pi = 2 \cdot 2\pi$, мы можем отбросить $4\pi$ из аргумента косинуса:

$\cos(\frac{\pi}{8} + 4\pi) = \cos(\frac{\pi}{8})$.

Следовательно, $\cos^2(\frac{\pi}{8} + 4\pi) = \cos^2(\frac{\pi}{8})$.

3. Упростим второй член. Так как $44\pi = 22 \cdot 2\pi$, мы можем отбросить $44\pi$ из аргумента синуса:

$\sin(\frac{\pi}{8} - 44\pi) = \sin(\frac{\pi}{8})$.

Следовательно, $\sin^2(\frac{\pi}{8} - 44\pi) = \sin^2(\frac{\pi}{8})$.

4. Подставим упрощенные слагаемые обратно в выражение:

$\cos^2(\frac{\pi}{8}) + \sin^2(\frac{\pi}{8})$.

5. Это выражение является основным тригонометрическим тождеством $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ при $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Таким образом, $\cos^2(\frac{\pi}{8}) + \sin^2(\frac{\pi}{8}) = 1$.

Ответ: $1$.

6.33 Имеет ли смысл выражение:

a) $\sqrt{\sin 10,2\pi}$;

б) $\sqrt{\cos 1,3\pi}$;

в) $\sqrt{\sin (-3,4\pi)}$;

г) $\sqrt{\cos (-6,9\pi)}$?

Выражение $\sqrt{A}$ имеет смысл (определено в области действительных чисел) тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $A \ge 0$.

а) $\sqrt{\sin 10,2\pi}$

Выражение имеет смысл, если $\sin 10,2\pi \ge 0$.
Используем периодичность синуса (период $2\pi$):
$\sin 10,2\pi = \sin(10\pi + 0,2\pi) = \sin(5 \cdot 2\pi + 0,2\pi) = \sin 0,2\pi$.
Угол $0,2\pi$ находится в первой четверти, так как $0 < 0,2\pi < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $0,2 < 0,5$).
Синус в первой четверти положителен, следовательно, $\sin 0,2\pi > 0$.
Значит, $\sin 10,2\pi > 0$, и выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

б) $\sqrt{\cos 1,3\pi}$

Выражение имеет смысл, если $\cos 1,3\pi \ge 0$.
Определим, в какой четверти находится угол $1,3\pi$.
Сравним $1,3\pi$ с граничными значениями четвертей: $\frac{\pi}{2} = 0,5\pi$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$.
Так как $\pi < 1,3\pi < \frac{3\pi}{2}$, угол $1,3\pi$ находится в третьей четверти.
Косинус в третьей четверти отрицателен, следовательно, $\cos 1,3\pi < 0$.
Поскольку подкоренное выражение отрицательно, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

в) $\sqrt{\sin (-3,4\pi)}$

Выражение имеет смысл, если $\sin (-3,4\pi) \ge 0$.
Используем свойство нечетности синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin (-3,4\pi) = -\sin(3,4\pi)$.
Теперь используем периодичность синуса:
$\sin(3,4\pi) = \sin(2\pi + 1,4\pi) = \sin(1,4\pi)$.
Таким образом, нам нужно определить знак выражения $-\sin(1,4\pi)$.
Определим, в какой четверти находится угол $1,4\pi$.
Так как $\pi < 1,4\pi < \frac{3\pi}{2}$ (поскольку $1 < 1,4 < 1,5$), угол $1,4\pi$ находится в третьей четверти.
Синус в третьей четверти отрицателен: $\sin(1,4\pi) < 0$.
Следовательно, $-\sin(1,4\pi) > 0$.
Значит, $\sin(-3,4\pi) > 0$, и выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

г) $\sqrt{\cos (-6,9\pi)}$

Выражение имеет смысл, если $\cos (-6,9\pi) \ge 0$.
Используем свойство четности косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$.
$\cos (-6,9\pi) = \cos(6,9\pi)$.
Теперь используем периодичность косинуса (период $2\pi$):
$\cos(6,9\pi) = \cos(6\pi + 0,9\pi) = \cos(3 \cdot 2\pi + 0,9\pi) = \cos(0,9\pi)$.
Определим, в какой четверти находится угол $0,9\pi$.
Сравним $0,9\pi$ с граничными значениями четвертей: $\frac{\pi}{2} = 0,5\pi$, $\pi$.
Так как $\frac{\pi}{2} < 0,9\pi < \pi$, угол $0,9\pi$ находится во второй четверти.
Косинус во второй четверти отрицателен, следовательно, $\cos 0,9\pi < 0$.
Значит, $\cos(-6,9\pi) < 0$, и выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

6.29 а) $ \tg 2,5 \cdot \ctg 2,5 + \cos^2 \pi - \sin^2 \frac{\pi}{8} - \cos^2 \frac{\pi}{8}; $

б) $ \sin^2 \frac{3\pi}{7} - 2 \tg 1 \cdot \ctg 1 + \cos^2 \left(-\frac{3\pi}{7}\right) + \sin^2 \frac{5\pi}{2}. $

а) $\text{tg } 2,5 \cdot \text{ctg } 2,5 + \text{cos}^2 \pi - \text{sin}^2 \frac{\pi}{8} - \text{cos}^2 \frac{\pi}{8}$

Для решения данного примера воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.
1. Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$.
В нашем случае $\text{tg } 2,5 \cdot \text{ctg } 2,5 = 1$.
2. Значение косинуса угла $\pi$ равно -1: $\text{cos } \pi = -1$.
Следовательно, $\text{cos}^2 \pi = (-1)^2 = 1$.
3. Вынесем знак минус за скобки в последних двух слагаемых: $- \text{sin}^2 \frac{\pi}{8} - \text{cos}^2 \frac{\pi}{8} = -(\text{sin}^2 \frac{\pi}{8} + \text{cos}^2 \frac{\pi}{8})$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице: $\text{sin}^2 \alpha + \text{cos}^2 \alpha = 1$.
Применяя это тождество, получаем: $-(\text{sin}^2 \frac{\pi}{8} + \text{cos}^2 \frac{\pi}{8}) = -1$.
4. Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:
$\text{tg } 2,5 \cdot \text{ctg } 2,5 + \text{cos}^2 \pi - (\text{sin}^2 \frac{\pi}{8} + \text{cos}^2 \frac{\pi}{8}) = 1 + 1 - 1 = 1$.

Ответ: 1

б) $\text{sin}^2 \frac{3\pi}{7} - 2 \text{ tg } 1 \cdot \text{ctg } 1 + \text{cos}^2 (-\frac{3\pi}{7}) + \text{sin}^2 \frac{5\pi}{2}$

Упростим выражение по частям, используя тригонометрические свойства и тождества.
1. Сгруппируем первое и третье слагаемые: $\text{sin}^2 \frac{3\pi}{7} + \text{cos}^2 (-\frac{3\pi}{7})$.
Функция косинуса является четной, то есть $\text{cos}(- \alpha) = \text{cos } \alpha$. Поэтому $\text{cos}^2 (-\frac{3\pi}{7}) = (\text{cos} (-\frac{3\pi}{7}))^2 = (\text{cos} \frac{3\pi}{7})^2 = \text{cos}^2 \frac{3\pi}{7}$.
Теперь сумма принимает вид: $\text{sin}^2 \frac{3\pi}{7} + \text{cos}^2 \frac{3\pi}{7}$.
По основному тригонометрическому тождеству $\text{sin}^2 \alpha + \text{cos}^2 \alpha = 1$, эта сумма равна 1.
2. Рассмотрим второе слагаемое: $- 2 \text{ tg } 1 \cdot \text{ctg } 1$.
Так как $\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$, то $\text{tg } 1 \cdot \text{ctg } 1 = 1$.
Следовательно, $- 2 \text{ tg } 1 \cdot \text{ctg } 1 = -2 \cdot 1 = -2$.
3. Вычислим последнее слагаемое: $\text{sin}^2 \frac{5\pi}{2}$.
Найдем значение $\text{sin} \frac{5\pi}{2}$. Учитывая периодичность синуса ($2\pi$), представим угол $\frac{5\pi}{2}$ как $\frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$.
Тогда $\text{sin} \frac{5\pi}{2} = \text{sin}(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \text{sin} \frac{\pi}{2} = 1$.
Таким образом, $\text{sin}^2 \frac{5\pi}{2} = 1^2 = 1$.
4. Соберем все части вместе:
$(\text{sin}^2 \frac{3\pi}{7} + \text{cos}^2 (-\frac{3\pi}{7})) - 2 \text{ tg } 1 \cdot \text{ctg } 1 + \text{sin}^2 \frac{5\pi}{2} = 1 - 2 + 1 = 0$.

Ответ: 0

Решите уравнение:

6.30 a) $10 \sin t = \sqrt{75}$;

б) $\sqrt{8} \sin t + 2 = 0$;

в) $8 \cos t - \sqrt{32} = 0$;

г) $8 \cos t = -\sqrt{48}$.

а) $10 \sin t = \sqrt{75}$

Разделим обе части уравнения на 10, чтобы выразить $\sin t$:
$\sin t = \frac{\sqrt{75}}{10}$
Упростим корень в числителе: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.
Подставим упрощенное значение в уравнение:
$\sin t = \frac{5\sqrt{3}}{10}$
Сократим дробь:
$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения $\sin t = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, решение уравнения:
$t = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{8} \sin t + 2 = 0$

Сначала выразим $\sin t$ из уравнения:
$\sqrt{8} \sin t = -2$
$\sin t = -\frac{2}{\sqrt{8}}$
Упростим знаменатель: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Подставим это в уравнение:
$\sin t = -\frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Общее решение для уравнения $\sin t = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, и, используя свойство нечетности арксинуса, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, решение уравнения:
$t = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

в) $8 \cos t - \sqrt{32} = 0$

Выразим $\cos t$ из уравнения:
$8 \cos t = \sqrt{32}$
$\cos t = \frac{\sqrt{32}}{8}$
Упростим корень в числителе: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
Подставим упрощенное значение в уравнение:
$\cos t = \frac{4\sqrt{2}}{8}$
Сократим дробь:
$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, решение уравнения:
$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

г) $8 \cos t = -\sqrt{48}$

Разделим обе части уравнения на 8, чтобы выразить $\cos t$:
$\cos t = -\frac{\sqrt{48}}{8}$
Упростим корень в числителе: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
Подставим упрощенное значение в уравнение:
$\cos t = -\frac{4\sqrt{3}}{8}$
Сократим дробь:
$\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение для уравнения $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем свойство арккосинуса $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Следовательно, решение уравнения:
$t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

6.26 a) $\sin 1 \cdot \cos 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4;$

б) $\sin (-5) \cdot \cos (-6) \cdot \operatorname{tg} (-7) \cdot \operatorname{ctg} (-8).$

а) Для определения знака произведения необходимо определить знак каждого сомножителя. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

1. Определим знак $\sin 1$. Так как $0 < 1 < \pi/2 \approx 1,57$, угол в 1 радиан находится в I четверти. Синус в I четверти положителен, следовательно, $\sin 1 > 0$.

2. Определим знак $\cos 2$. Так как $\pi/2 \approx 1,57 < 2 < \pi \approx 3,14$, угол в 2 радиана находится во II четверти. Косинус во II четверти отрицателен, следовательно, $\cos 2 < 0$.

3. Определим знак $\tg 3$. Так как $\pi/2 \approx 1,57 < 3 < \pi \approx 3,14$, угол в 3 радиана находится во II четверти. Тангенс во II четверти отрицателен, следовательно, $\tg 3 < 0$.

4. Определим знак $\ctg 4$. Так как $\pi \approx 3,14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4,71$, угол в 4 радиана находится в III четверти. Котангенс в III четверти положителен, следовательно, $\ctg 4 > 0$.

Итоговый знак произведения равен произведению знаков сомножителей: $(+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$.

Ответ: Знак выражения — положительный (+).

б) Для определения знака произведения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: $\sin(-x) = -\sin x$, $\cos(-x) = \cos x$, $\tg(-x) = -\tg x$, $\ctg(-x) = -\ctg x$.

Исходное выражение можно переписать в виде:
$\sin(-5) \cdot \cos(-6) \cdot \tg(-7) \cdot \ctg(-8) = (-\sin 5) \cdot (\cos 6) \cdot (-\tg 7) \cdot (-\ctg 8) = - (\sin 5 \cdot \cos 6 \cdot \tg 7 \cdot \ctg 8)$.

Теперь определим знак произведения в скобках, находя знак каждого сомножителя. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

1. Знак $\sin 5$. Так как $3\pi/2 \approx 4,71 < 5 < 2\pi \approx 6,28$, угол в 5 радиан находится в IV четверти. Синус здесь отрицателен: $\sin 5 < 0$.

2. Знак $\cos 6$. Так как $3\pi/2 \approx 4,71 < 6 < 2\pi \approx 6,28$, угол в 6 радиан находится в IV четверти. Косинус здесь положителен: $\cos 6 > 0$.

3. Знак $\tg 7$. Так как $2\pi \approx 6,28 < 7 < 5\pi/2 \approx 7,85$, угол в 7 радиан находится в I четверти. Тангенс здесь положителен: $\tg 7 > 0$.

4. Знак $\ctg 8$. Так как $5\pi/2 \approx 7,85 < 8 < 3\pi \approx 9,42$, угол в 8 радиан находится во II четверти. Котангенс здесь отрицателен: $\ctg 8 < 0$.

Знак произведения в скобках $(\sin 5 \cdot \cos 6 \cdot \tg 7 \cdot \ctg 8)$ равен произведению знаков: $(-) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) = (+)$.

Так как перед скобками стоит знак минус, итоговый знак всего выражения будет отрицательным: $- (+) = (-)$.

Ответ: Знак выражения — отрицательный (-).

6.31 a) $\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sqrt{2} \sin t = 0;$

б) $\sqrt{\frac{4}{3}} \cos t = \cos^2 1 + \sin^2 1.$

а)

Дано уравнение: $sin^2 \frac{\pi}{8} + cos^2 \frac{\pi}{8} - \sqrt{2} \sin t = 0$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 x + cos^2 x = 1$. Для любого значения угла $x$ эта сумма равна единице.
В данном случае $x = \frac{\pi}{8}$, следовательно, $sin^2 \frac{\pi}{8} + cos^2 \frac{\pi}{8} = 1$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$1 - \sqrt{2} \sin t = 0$
Теперь решим это уравнение относительно $\sin t$:
$\sqrt{2} \sin t = 1$
$\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin t = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$t = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение: $\sqrt{\frac{4}{3}} \cos t = \cos^2 1 + \sin^2 1$.
Как и в предыдущем пункте, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
В данном случае $x = 1$ (угол задан в радианах), поэтому $\cos^2 1 + \sin^2 1 = 1$.
Подставим это значение в правую часть уравнения:
$\sqrt{\frac{4}{3}} \cos t = 1$
Упростим коэффициент перед $\cos t$:
$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
Уравнение примет вид:
$\frac{2}{\sqrt{3}} \cos t = 1$
Выразим $\cos t$:
$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6.27 a) $ \cos 1 + \cos (1 + \pi) + \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right); $

б) $ \sin 2 + \sin (2 + \pi) + \cos^2 \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \sin^2 \frac{\pi}{12}. $

а) Для упрощения выражения $cos 1 + cos(1 + \pi) + sin(\frac{\pi}{3}) + cos(-\frac{\pi}{6})$ воспользуемся тригонометрическими свойствами и формулами.

1. Используем формулу приведения для косинуса: $cos(\alpha + \pi) = -cos(\alpha)$. Применительно к нашему выражению, это дает $cos(1 + \pi) = -cos(1)$.

2. Используем свойство четности функции косинус: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$. Таким образом, $cos(-\frac{\pi}{6}) = cos(\frac{\pi}{6})$.

3. Подставим эти результаты в исходное выражение:

$cos 1 + (-cos 1) + sin(\frac{\pi}{3}) + cos(\frac{\pi}{6})$

4. Упростим, сократив $cos 1$ и $-cos 1$:

$0 + sin(\frac{\pi}{3}) + cos(\frac{\pi}{6})$

5. Подставим известные табличные значения тригонометрических функций:

$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

6. Выполним сложение:

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

б) Для упрощения выражения $sin 2 + sin(2 + \pi) + cos^2(-\frac{\pi}{12}) + sin^2\frac{\pi}{12}$ воспользуемся тригонометрическими свойствами и тождествами.

1. Используем формулу приведения для синуса: $sin(\alpha + \pi) = -sin(\alpha)$. В нашем случае, $sin(2 + \pi) = -sin(2)$.

2. Косинус является четной функцией, поэтому $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$. Следовательно, $cos^2(-\frac{\pi}{12}) = (cos(-\frac{\pi}{12}))^2 = (cos(\frac{\pi}{12}))^2 = cos^2(\frac{\pi}{12})$.

3. Подставим полученные выражения в исходное:

$sin 2 + (-sin 2) + cos^2(\frac{\pi}{12}) + sin^2(\frac{\pi}{12})$

4. Сгруппируем слагаемые:

$(sin 2 - sin 2) + (sin^2(\frac{\pi}{12}) + cos^2(\frac{\pi}{12}))$

5. Первые два слагаемых в сумме дают ноль. Для второй группы слагаемых применим основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

$sin^2(\frac{\pi}{12}) + cos^2(\frac{\pi}{12}) = 1$

6. Таким образом, все выражение равно:

$0 + 1 = 1$

Ответ: $1$

6.32 a) $|\sin t| = 1;$

б) $\sqrt{1 - \sin^2 t} = \frac{1}{2};$

в) $|\cos t| = 1;$

г) $\sqrt{1 - \cos^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

а) Уравнение $|\sin t| = 1$ равносильно совокупности двух уравнений:

$ \sin t = 1 \quad $ или $ \quad \sin t = -1 $

Решением первого уравнения $ \sin t = 1 $ является серия корней:
$ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Решением второго уравнения $ \sin t = -1 $ является серия корней:
$ t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Эти две серии точек на тригонометрической окружности (верхняя и нижняя) можно объединить в одну. Расстояние между ними составляет $ \pi $, поэтому общая формула:
$ t = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

б) Решим уравнение $ \sqrt{1 - \sin^2 t} = \frac{1}{2} $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, из которого следует, что $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t $.

Подставим это в исходное уравнение:
$ \sqrt{\cos^2 t} = \frac{1}{2} $

Так как $ \sqrt{a^2} = |a| $, получаем:
$ |\cos t| = \frac{1}{2} $

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$ \cos t = \frac{1}{2} \quad $ или $ \quad \cos t = -\frac{1}{2} $

Решение для $ \cos t = \frac{1}{2} $: $ t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Решение для $ \cos t = -\frac{1}{2} $: $ t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Эти четыре точки на тригонометрической окружности ($ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} $) можно объединить в две серии корней: $ t = \frac{\pi}{3} + \pi k $ и $ t = \frac{2\pi}{3} + \pi k $. Также можно записать в более компактном виде.

Ответ: $ t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

в) Уравнение $ |\cos t| = 1 $ равносильно совокупности двух уравнений:

$ \cos t = 1 \quad $ или $ \quad \cos t = -1 $

Решением первого уравнения $ \cos t = 1 $ является серия корней:
$ t = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Решением второго уравнения $ \cos t = -1 $ является серия корней:
$ t = \pi + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Эти две серии точек на тригонометрической окружности (правая и левая) можно объединить в одну. Они повторяются через каждый полуоборот ($ \pi $), поэтому общая формула:
$ t = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = \pi k, k \in \mathbb{Z} $

г) Решим уравнение $ \sqrt{1 - \cos^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, из которого следует, что $ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t $.

Подставим это в исходное уравнение:
$ \sqrt{\sin^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Так как $ \sqrt{a^2} = |a| $, получаем:
$ |\sin t| = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad $ или $ \quad \sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Решениями являются углы, для которых синус по модулю равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это углы $ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} $ и все углы, отличающиеся от них на $ 2\pi k $.

Все эти четыре точки на тригонометрической окружности расположены на концах диаметров, образующих угол 45 градусов с осями координат. Они повторяются через каждые $ \frac{\pi}{2} $. Следовательно, все решения можно записать одной формулой, взяв первую точку $ \frac{\pi}{4} $ и добавляя к ней $ \frac{\pi}{2} $ целое число раз.

Ответ: $ t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

1. Какую функцию называют возрастающей? убывающей?

Возрастающей называют функцию $y = f(x)$ на некотором промежутке, если для любых двух различных значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Иными словами, большему значению аргумента из данного промежутка соответствует большее значение функции. Графически это означает, что при движении по оси абсцисс ($x$) слева направо, график функции на этом промежутке "поднимается" вверх.

Пример возрастающей функции: $y=3x-1$. Эта функция является возрастающей на всей числовой прямой. Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$, где $x_2 > x_1$. Например, $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Найдем значения функции: $f(x_1) = 3 \cdot 2 - 1 = 5$ и $f(x_2) = 3 \cdot 4 - 1 = 11$. Так как $11 > 5$, то $f(x_2) > f(x_1)$, что соответствует определению возрастающей функции.

Ответ: Возрастающей называют функцию, у которой на заданном промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Убывающей называют функцию $y = f(x)$ на некотором промежутке, если для любых двух различных значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Иными словами, большему значению аргумента из данного промежутка соответствует меньшее значение функции. Графически это означает, что при движении по оси абсцисс ($x$) слева направо, график функции на этом промежутке "опускается" вниз.

Пример убывающей функции: $y=-2x+5$. Эта функция является убывающей на всей числовой прямой. Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$, где $x_2 > x_1$. Например, $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Найдем значения функции: $f(x_1) = -2 \cdot 1 + 5 = 3$ и $f(x_2) = -2 \cdot 3 + 5 = -1$. Так как $-1 < 3$, то $f(x_2) < f(x_1)$, что соответствует определению убывающей функции.

Ответ: Убывающей называют функцию, у которой на заданном промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

2. Как, глядя на график функции, найти промежутки её монотонности? Проиллюстрируйте свой ответ с помощью графика какой-нибудь кусочной функции.

Промежутки монотонности функции — это интервалы, на которых функция либо возрастает, либо убывает, либо является постоянной. Чтобы найти их по графику, нужно мысленно двигаться по оси x слева направо и смотреть, как при этом ведёт себя график функции (значение y).

• Промежуток возрастания: Если при движении слева направо график функции идёт вверх, то на этом промежутке функция возрастает. Формально, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то и $f(x_1) < f(x_2)$.
• Промежуток убывания: Если при движении слева направо график функции идёт вниз, то на этом промежутке функция убывает. Формально, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
• Промежуток постоянства: Если при движении слева направо график функции представляет собой горизонтальную прямую, то на этом промежутке функция постоянна. Формально, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, $f(x_1) = f(x_2)$.

Точки, в которых характер монотонности меняется (например, с возрастания на убывание), называются точками экстремума (максимума или минимума). Эти точки являются границами промежутков монотонности. Принято включать эти точки в промежутки монотонности, если функция в них определена и непрерывна.

Алгоритм поиска промежутков монотонности по графику:

1. Просмотрите график функции слева направо.
2. Найдите все участки, где график "поднимается". Запишите соответствующие им промежутки по оси x — это будут промежутки возрастания.
3. Найдите все участки, где график "опускается". Запишите соответствующие им промежутки по оси x — это будут промежутки убывания.
4. Найдите все участки, где график является горизонтальной линией. Это будут промежутки постоянства.
5. Точки, разделяющие эти участки (вершины и впадины), будут границами промежутков.

Ответ: Чтобы найти промежутки монотонности по графику, необходимо определить интервалы по оси x, на которых график функции непрерывно поднимается (возрастание), опускается (убывание) или остается на одном уровне (постоянство). Границами этих промежутков служат точки экстремумов или точки, где изменяется характер поведения функции.

Проиллюстрируем на примере графика кусочной функции.

Рассмотрим график функции $y=f(x)$. Для наглядности участки убывания отмечены красным цветом, участок возрастания — зелёным, а участок постоянства — синим.

Анализ графика:

1. При движении от $x = -\infty$ до $x = -3$ график идёт вниз. Следовательно, на промежутке $(-\infty, -3]$ функция убывает.
2. При $x = -3$ происходит смена поведения (точка локального минимума).
3. На промежутке от $x = -3$ до $x = 1$ график идёт вверх. Следовательно, на промежутке $[-3, 1]$ функция возрастает.
4. При $x=1$ возрастание сменяется постоянством.
5. На промежутке от $x = 1$ до $x = 4$ график представляет собой горизонтальный отрезок. Следовательно, на промежутке $[1, 4]$ функция постоянна.
6. При $x = 4$ постоянство сменяется убыванием.
7. При движении от $x = 4$ до $x = +\infty$ график снова идёт вниз. Следовательно, на промежутке $[4, +\infty)$ функция убывает.

Ответ:

• Промежутки убывания: $(-\infty, -3]$ и $[4, +\infty)$.
• Промежуток возрастания: $[-3, 1]$.
• Промежуток постоянства: $[1, 4]$.

3. Какую функцию называют ограниченной снизу? ограниченной сверху?

ограниченной снизу

Функцию $y = f(x)$ называют ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Это означает, что все значения функции не опускаются ниже определённого уровня. Геометрически график такой функции целиком лежит выше или на некоторой горизонтальной прямой $y=m$. Число $m$ называют нижней границей (или оценкой снизу) для множества значений функции.

Пример: Функция $f(x) = x^2 + 5$. Наименьшее значение этой функции равно 5 (при $x=0$). Для всех действительных чисел $x$ справедливо неравенство $x^2+5 \ge 5$. Следовательно, эта функция ограничена снизу числом $m=5$.

Ответ: Функцию называют ограниченной снизу, если существует число $m$, такое, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

ограниченной сверху

Функцию $y = f(x)$ называют ограниченной сверху на множестве $X$, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Это означает, что все значения функции не поднимаются выше определённого уровня. Геометрически график такой функции целиком лежит ниже или на некоторой горизонтальной прямой $y=M$. Число $M$ называют верхней границей (или оценкой сверху) для множества значений функции.

Пример: Функция $f(x) = -x^2 - 2$. Наибольшее значение этой функции равно -2 (при $x=0$). Для всех действительных чисел $x$ справедливо неравенство $-x^2-2 \le -2$. Следовательно, эта функция ограничена сверху числом $M=-2$.

Ответ: Функцию называют ограниченной сверху, если существует число $M$, такое, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.

4. Как, глядя на график функции, установить, является ли она:

а) ограниченной снизу;

б) ограниченной сверху;

в) ограниченной?

Чтобы по графику функции определить её ограниченность, необходимо проанализировать поведение её значений (координат по оси ординат $y$) на всей области определения.

а) ограниченной снизу;

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что все значения функции больше или равны этому числу. Формально это записывается как: существует $m \in \mathbb{R}$ такое, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

С геометрической точки зрения это означает, что можно провести горизонтальную прямую с уравнением $y=m$, относительно которой весь график функции будет находиться выше или на ней самой. То есть, не существует ни одной точки графика, которая лежала бы ниже этой прямой.

Пример: График параболы $y=x^2$ ограничен снизу, так как все его точки лежат выше или на прямой $y=0$.

Ответ: Чтобы по графику установить, что функция ограничена снизу, нужно убедиться, что можно провести горизонтальную прямую, ниже которой нет ни одной точки графика функции.

б) ограниченной сверху;

Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что все значения функции меньше или равны этому числу. Формально: существует $M \in \mathbb{R}$ такое, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.

С геометрической точки зрения это означает, что можно провести горизонтальную прямую с уравнением $y=M$, относительно которой весь график функции будет находиться ниже или на ней самой. То есть, не существует ни одной точки графика, которая лежала бы выше этой прямой.

Пример: График параболы $y=-x^2$ ограничен сверху, так как все его точки лежат ниже или на прямой $y=0$.

Ответ: Чтобы по графику установить, что функция ограничена сверху, нужно убедиться, что можно провести горизонтальную прямую, выше которой нет ни одной точки графика функции.

в) ограниченной?

Функция называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху одновременно. Это означает, что существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется двойное неравенство $m \le f(x) \le M$.

С геометрической точки зрения это означает, что весь график функции можно заключить в горизонтальную полосу конечной ширины, ограниченную двумя прямыми $y=m$ и $y=M$.

Пример: График функции $y=\sin(x)$ ограничен, так как все его значения лежат в отрезке $[-1, 1]$. Весь график можно заключить в полосу между прямыми $y=-1$ и $y=1$.

Ответ: Чтобы по графику установить, что функция является ограниченной, нужно убедиться, что её график можно полностью поместить в горизонтальную полосу, то есть найти одну горизонтальную прямую, которая проходит ниже всего графика, и другую, которая проходит выше всего графика.

5. Дайте определение наименьшего (наибольшего) значения функции на некотором промежутке из области определения функции.

Определение наименьшего значения функции

Пусть функция $y = f(x)$ определена на некотором промежутке $X$, который является подмножеством её области определения ($X \subseteq D(f)$).

Число $m$ называется наименьшим значением функции $f(x)$ на промежутке $X$, если выполняются два условия:

1. Существует точка $x_0$ в промежутке $X$ (то есть $x_0 \in X$), для которой значение функции равно $m$. Математически это записывается как $f(x_0) = m$.
2. Для любой точки $x$ из промежутка $X$ значение функции не меньше, чем $m$. Математически это означает, что для любого $x \in X$ справедливо неравенство $f(x) \ge m$.

Иными словами, наименьшее значение — это такое значение, которое функция реально достигает в одной или нескольких точках заданного промежутка, и ни в какой другой точке этого промежутка функция не принимает меньшего значения. Наименьшее значение функции на промежутке $X$ также называют глобальным минимумом на этом промежутке и обозначают как $\min_{x \in X} f(x)$ или $y_{наим}$.

Ответ: Число $m$ называется наименьшим значением функции $y=f(x)$ на промежутке $X$, если существует точка $x_0 \in X$ такая, что $f(x_0) = m$, и для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Определение наибольшего значения функции

Пусть функция $y = f(x)$ определена на некотором промежутке $X$, который является подмножеством её области определения ($X \subseteq D(f)$).

Число $M$ называется наибольшим значением функции $f(x)$ на промежутке $X$, если выполняются два условия:

1. Существует точка $x_0$ в промежутке $X$ (то есть $x_0 \in X$), для которой значение функции равно $M$. Математически это записывается как $f(x_0) = M$.
2. Для любой точки $x$ из промежутка $X$ значение функции не больше, чем $M$. Математически это означает, что для любого $x \in X$ справедливо неравенство $f(x) \le M$.

Иными словами, наибольшее значение — это такое значение, которое функция реально достигает в одной или нескольких точках заданного промежутка, и ни в какой другой точке этого промежутка функция не принимает большего значения. Наибольшее значение функции на промежутке $X$ также называют глобальным максимумом на этом промежутке и обозначают как $\max_{x \in X} f(x)$ или $y_{наиб}$.

Ответ: Число $M$ называется наибольшим значением функции $y=f(x)$ на промежутке $X$, если существует точка $x_0 \in X$ такая, что $f(x_0) = M$, и для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

6. Известно, что у функции есть наименьшее значение. Является ли она ограниченной снизу? сверху?

ограниченной снизу?
Да, функция, имеющая наименьшее значение, всегда является ограниченной снизу.

По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

По условию задачи, у функции есть наименьшее значение. Обозначим это значение как $y_{min}$. Это означает, что существует точка $x_0$ в области определения функции, такая что $f(x_0) = y_{min}$, и для любого другого значения $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \ge y_{min}$.

Сравнивая определение ограниченности снизу и свойство наименьшего значения, мы видим, что неравенство $f(x) \ge y_{min}$ полностью удовлетворяет определению функции, ограниченной снизу. В качестве числа $m$ (нижней границы) можно взять само наименьшее значение $y_{min}$.

Следовательно, наличие у функции наименьшего значения гарантирует, что она ограничена снизу.

Ответ: Да, является.

ограниченной сверху?
Нет, не обязательно. Функция, имеющая наименьшее значение, может быть не ограниченной сверху.

По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Наличие наименьшего значения не накладывает никаких условий на максимальные значения функции. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример — функцию, которая имеет наименьшее значение, но не ограничена сверху.

Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = x^2$:

1. Наличие наименьшего значения: Эта функция имеет наименьшее значение, равное 0, которое достигается в точке $x=0$. Для любого действительного $x$ выполняется $f(x) = x^2 \ge 0$. Таким образом, условие задачи выполнено.

2. Ограниченность сверху: Эта функция не является ограниченной сверху. Ее значения могут быть сколь угодно большими. Например, если мы предположим, что существует некоторое число $M$, ограничивающее функцию сверху, мы всегда можем найти такое значение $x$ (например, $x = \sqrt{|M| + 1}$), что $f(x) = x^2 > M$. Это противоречит определению ограниченности сверху.

Поскольку мы привели пример функции, которая имеет наименьшее значение, но не ограничена сверху, можно сделать вывод, что в общем случае это неверно.

Ответ: Нет, не обязательно.

7. Известно, что у функции есть наибольшее значение. Является ли она ограниченной снизу? сверху?

сверху?
Да, функция является ограниченной сверху.
По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.
По условию задачи, у функции есть наибольшее значение. Обозначим его $y_{наиб}$. Это означает, что по определению для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le y_{наиб}$.
Сравнивая определение ограниченности сверху и определение наибольшего значения, мы видим, что в качестве числа $M$ можно взять само наибольшее значение функции, то есть $M = y_{наиб}$. Следовательно, если у функции есть наибольшее значение, она всегда будет ограничена сверху.
Ответ: да, является.

ограниченной снизу?
Нет, не обязательно. Функция, имеющая наибольшее значение, может быть как ограниченной снизу, так и не ограниченной снизу.
По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Наличие у функции наибольшего значения не гарантирует существования такого числа $m$.
Чтобы это показать, достаточно привести контрпример. Рассмотрим функцию $y = -x^2$.
Эта функция имеет наибольшее значение $y_{наиб} = 0$, которое достигается при $x=0$. Таким образом, условие задачи выполнено. Однако эта функция не ограничена снизу. Её область значений $E(y) = (-\infty; 0]$. Это значит, что функция может принимать сколь угодно малые (отрицательные и большие по модулю) значения. Например, $f(-100) = -10000$. Не существует числа $m$, которое было бы меньше или равно всем значениям функции.
В то же время, существуют функции, которые имеют наибольшее значение и при этом ограничены снизу. Например, функция $y=\sin(x)$ имеет наибольшее значение $1$ и ограничена снизу числом $-1$.
Таким образом, из того, что у функции есть наибольшее значение, нельзя сделать однозначный вывод о её ограниченности снизу.
Ответ: не обязательно.

8. Какую функцию называют чётной?

Функцию $y = f(x)$ называют чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняются два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля. Это означает, что если число $x$ принадлежит области определения, то и противоположное ему число $-x$ также принадлежит этой области.

2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство: $$f(-x) = f(x)$$

Свойство графика чётной функции
График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что если точка $(x_0; y_0)$ принадлежит графику, то и симметричная ей относительно оси $Oy$ точка $(-x_0; y_0)$ также принадлежит этому графику.

Примеры чётных функций
- $y = x^2$, $y = x^4$, $y=x^6$ (и в общем виде $y = x^{2n}$, где $n$ - натуральное число). Проверка для $y=x^2$: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.
- $y = |x|$ (модуль числа). Проверка: $f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$.
- $y = \cos(x)$ (косинус). Это следует из свойства косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$.
- $y = C$ (постоянная функция, где $C$ - некоторое число). Проверка: $f(-x) = C$ и $f(x) = C$, следовательно $f(-x) = f(x)$.

Ответ: Чётной называют функцию $y=f(x)$, у которой область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

9. Какую функцию называют нечётной?

Функцию $y = f(x)$ называют нечётной, если она одновременно удовлетворяет двум условиям:

1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля. Это означает, что для любого числа $x$, принадлежащего области определения, число $-x$ также принадлежит этой области.

2. Для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Это равенство означает, что при изменении знака аргумента на противоположный, значение функции также меняет свой знак на противоположный.

Свойство нечётности имеет наглядное геометрическое представление. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат — точки $O(0, 0)$. Таким образом, если точка с координатами $(a, b)$ лежит на графике нечётной функции, то и точка с координатами $(-a, -b)$ также обязательно будет лежать на этом графике.

Название «нечётная» связано со свойством степенных функций $y = x^n$. Такая функция является нечётной в том и только в том случае, когда показатель степени $n$ — нечётное целое число. Например, функции $y = x^1$, $y = x^3$, $y = x^5$ являются нечётными.

Примеры других нечётных функций:

• $y = \sin(x)$, так как область определения — все действительные числа (симметрична), и $\sin(-x) = -\sin(x)$.
• $y = \tan(x)$, так как область определения симметрична, и $\tan(-x) = -\tan(x)$.
• $y = \frac{k}{x}$ (при $k \neq 0$), так как область определения $x \neq 0$ симметрична, и $f(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -f(x)$.

Ответ: Нечётной называют функцию $y=f(x)$, определённую на симметричном относительно нуля множестве, для любого $x$ из которого выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

10. В каком случае числовое множество называют симметричным?

Числовое множество $D$ называют симметричным (или симметричным относительно начала координат), если оно вместе с каждым своим элементом $x$ содержит и противоположный ему элемент $-x$.

Формально это записывается так: множество $D$ симметрично, если для любого $x \in D$ выполняется условие $-x \in D$.

Геометрически это означает, что точки множества на числовой прямой расположены симметрично относительно точки 0.

Рассмотрим несколько примеров.

Примеры симметричных множеств:

• Отрезок $[-a, a]$ или интервал $(-a, a)$, где $a > 0$. Например, множество $[-3, 3]$. Какое бы число из этого отрезка мы ни взяли (например, $2.5$), противоположное ему число ($-2.5$) также будет лежать на этом отрезке.
• Вся числовая прямая $R$ (или $(-\infty, +\infty)$). Для любого действительного числа $x$ существует и противоположное ему число $-x$.
• Объединение симметричных промежутков, например, $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. Если число $x$ принадлежит этому множеству (например, $x=5$), то и $-x$ (то есть $-5$) также принадлежит ему.
• Конечное множество, содержащее для каждого элемента противоположный, например, $\{-5, -2, 0, 2, 5\}$.

Примеры несимметричных множеств:

• Отрезок $[1, 5]$. Он содержит, например, число $3$, но не содержит число $-3$.
• Полуинтервал $[-2, 4)$. Он содержит число $3$, но не содержит $-3$. Кроме того, он содержит $-2$, но не содержит $2$.
• Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$. В нем нет отрицательных чисел.

Понятие симметричного множества является фундаментальным при изучении свойств функций, в частности, при определении чётности и нечётности. Функция может быть чётной ($f(-x) = f(x)$) или нечётной ($f(-x) = -f(x)$) только в том случае, если её область определения является симметричным множеством.

Ответ: Числовое множество называют симметричным, если для любого числа, принадлежащего этому множеству, противоположное ему число также принадлежит этому множеству.

11. Как, глядя на график некоторой функции, установить, является ли она чётной или нечётной?

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Важным условием является то, что область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.

Геометрическое свойство графика чётной функции — симметрия относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что если мысленно согнуть плоскость чертежа по оси $Oy$, то части графика, расположенные справа и слева от этой оси, совпадут. Иными словами, для любой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей графику, точка $(-x_0, y_0)$ также принадлежит этому графику.

Таким образом, чтобы по графику определить, является ли функция чётной, нужно посмотреть, является ли ось $Oy$ осью симметрии для её графика.

Примеры чётных функций: $y = x^2$, $y = |x|$, $y = \cos(x)$.

Ответ: Функция является чётной, если её график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения нечётной функции также должна быть симметрична относительно нуля.

Геометрическое свойство графика нечётной функции — симметрия относительно начала координат (точки $O(0, 0)$). Эту симметрию можно представить как поворот графика на $180^\circ$ вокруг начала координат. Если после такого поворота график совпадает сам с собой, то функция нечётная. Для любой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей графику, точка $(-x_0, -y_0)$ также принадлежит этому графику.

Таким образом, чтобы по графику определить, является ли функция нечётной, нужно проверить наличие у её графика центральной симметрии относительно начала координат.

Примеры нечётных функций: $y = x^3$, $y = \sin(x)$, $y = 1/x$.

Ответ: Функция является нечётной, если её график симметричен относительно начала координат.

Если график функции не обладает ни одним из перечисленных видов симметрии (ни относительно оси $Oy$, ни относительно начала координат), то такая функция называется функцией общего вида, то есть она не является ни чётной, ни нечётной. Это самый распространённый случай.

Также стоит помнить, что функция не может быть чётной или нечётной, если её область определения несимметрична относительно нуля, например, $D(f) = [0; +\infty)$ или $D(f) = (-2; 3)$.

Примеры функций общего вида: $y = x+1$, $y = e^x$, $y = \sqrt{x}$.

Ответ: Если график функции не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат, то функция не является ни чётной, ни нечётной.