Страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Задачник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 2

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

ч. 2. Cтраница 13

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13
№4.17 (с. 13)
Условие. №4.17 (с. 13)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.17, Условие

Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая числу:

4.17 а) $6$;

б) $2$;

в) $3$;

г) $4$?

Решение 1. №4.17 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.17, Решение 1
Решение 2. №4.17 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.17, Решение 2
Решение 3. №4.17 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.17, Решение 3
Решение 5. №4.17 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.17, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.17, Решение 5 (продолжение 2)
Решение 6. №4.17 (с. 13)

Для определения четверти числовой окружности, которой принадлежит точка, соответствующая данному числу, необходимо сравнить это число с граничными значениями четвертей. Границы четвертей выражаются в радианах через число $\pi$, где $\pi \approx 3,14$.

I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$

II четверть: от $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ до $\pi \approx 3,14$

III четверть: от $\pi \approx 3,14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$

IV четверть: от $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ до $2\pi \approx 6,28$

а) 6

Сравним число 6 с граничными значениями. Так как $4,71 < 6 < 6,28$, что соответствует неравенству $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, то точка, соответствующая числу 6, принадлежит IV четверти.

Ответ: IV четверть.

б) 2

Сравним число 2 с граничными значениями. Так как $1,57 < 2 < 3,14$, что соответствует неравенству $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, то точка, соответствующая числу 2, принадлежит II четверти.

Ответ: II четверть.

в) 3

Сравним число 3 с граничными значениями. Так как $1,57 < 3 < 3,14$, что соответствует неравенству $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, то точка, соответствующая числу 3, принадлежит II четверти.

Ответ: II четверть.

г) 4

Сравним число 4 с граничными значениями. Так как $3,14 < 4 < 4,71$, что соответствует неравенству $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, то точка, соответствующая числу 4, принадлежит III четверти.

Ответ: III четверть.

№4.22 (с. 13)
Условие. №4.22 (с. 13)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.22, Условие

4.22 а) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$

б) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k;$

в) $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k;$

г) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k.$

Решение 2. №4.22 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.22, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.22, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.22, Решение 2 (продолжение 3)
Решение 6. №4.22 (с. 13)

а) Данное множество решений $t$ задано неравенством $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Рассмотрим это неравенство на единичной окружности при $k=0$. Получаем интервал $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$.Угол $t = -\frac{\pi}{2}$ соответствует точке $(0, -1)$, а угол $t = \frac{\pi}{2}$ — точке $(0, 1)$. Интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ представляет собой дугу единичной окружности, расположенную в первой и четвертой координатных четвертях, то есть правую половину окружности.Для любой точки на этой дуге ее абсцисса (координата $x$) положительна. Так как на единичной окружности абсцисса точки, соответствующей углу $t$, равна $\cos(t)$, то для всех $t$ из данного интервала выполняется условие $\cos(t) > 0$.В граничных точках $t = -\frac{\pi}{2}$ и $t = \frac{\pi}{2}$ косинус равен нулю ($\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$). Строгое неравенство в условии соответствует тому, что эти точки не включены в решение.Следовательно, данное множество является решением неравенства $\cos(t) > 0$.

Ответ: $\cos(t) > 0$.

б) Данное множество решений $t$ задано неравенством $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Рассмотрим интервал при $k=0$: $-\frac{\pi}{6} < t < \frac{7\pi}{6}$.Найдем значения синуса в граничных точках интервала:$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.$\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.Обе граничные точки соответствуют ординате (координате $y$), равной $-\frac{1}{2}$.Интервал $(-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$ представляет собой дугу, которая начинается в четвертой четверти, проходит через первую и вторую четверти и заканчивается в третьей.Возьмем любую точку внутри этого интервала, например, $t=0$. $\sin(0)=0$. Так как $0 > -\frac{1}{2}$, можно предположить, что неравенство имеет вид $\sin(t) > -\frac{1}{2}$.Действительно, для всех углов $t$ в интервале $(-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$ ордината соответствующей точки на единичной окружности больше, чем $-\frac{1}{2}$.Таким образом, данное множество является решением неравенства $\sin(t) > -\frac{1}{2}$.

Ответ: $\sin(t) > -\frac{1}{2}$.

в) Данное множество решений $t$ задано неравенством $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Рассмотрим интервал при $k=0$: $-\frac{3\pi}{4} < t < \frac{3\pi}{4}$.Найдем значения косинуса в граничных точках интервала:$\cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.$\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Обе граничные точки соответствуют абсциссе (координате $x$), равной $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.Интервал $(-\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ представляет собой дугу, которая начинается в третьей четверти, проходит через четвертую и первую четверти и заканчивается во второй.Возьмем любую точку внутри этого интервала, например, $t=0$. $\cos(0)=1$. Так как $1 > -\frac{\sqrt{2}}{2}$, можно предположить, что неравенство имеет вид $\cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Действительно, для всех углов $t$ в интервале $(-\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ абсцисса соответствующей точки на единичной окружности больше, чем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.Таким образом, данное множество является решением неравенства $\cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Данное множество решений $t$ задано неравенством $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Рассмотрим интервал при $k=0$: $-\frac{\pi}{3} < t < \frac{2\pi}{3}$.Проверим значения синуса и косинуса в граничных точках.$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.Поскольку значения и синуса, и косинуса в конечных точках интервала различны, это решение не соответствует простому неравенству вида $\sin(t) > a$ или $\cos(t) > a$.Однако, найдем длину этого интервала: $L = \frac{2\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi$.Интервал решения длиной $\pi$ характерен для неравенств вида $\sin(u) > 0$, $\sin(u) < 0$, $\cos(u) > 0$ или $\cos(u) < 0$.Предположим, что исходное неравенство имело вид $\sin(t+\alpha) > 0$.Решением неравенства $\sin(u) > 0$ является интервал $2\pi k < u < \pi + 2\pi k$.Подставив $u = t+\alpha$, получаем: $2\pi k < t+\alpha < \pi + 2\pi k$.Выразим $t$: $-\alpha + 2\pi k < t < \pi - \alpha + 2\pi k$.Сравним этот результат с данным в условии интервалом $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.Приравнивая левые и правые границы, получаем систему:$-\alpha = -\frac{\pi}{3}$$\pi - \alpha = \frac{2\pi}{3}$Из первого уравнения следует, что $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Подставим это значение во второе уравнение для проверки: $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Равенство верное.Следовательно, исходное неравенство было $\sin(t + \frac{\pi}{3}) > 0$.

Ответ: $\sin(t + \frac{\pi}{3}) > 0$.

№4.18 (с. 13)
Условие. №4.18 (с. 13)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.18, Условие

4.18 a) $5$;

б) $-5$;

в) $8$;

г) $-8$?

Решение 1. №4.18 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.18, Решение 1
Решение 2. №4.18 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.18, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.18, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №4.18 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.18, Решение 3
Решение 5. №4.18 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.18, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.18, Решение 5 (продолжение 2)
Решение 6. №4.18 (с. 13)

Поскольку в изображении отсутствует сама задача и приведен лишь нумерованный список чисел, который, скорее всего, является вариантами ответа, дать единственно верное решение невозможно. Однако, можно предоставить развернутый анализ каждого из предложенных чисел. В качестве такого анализа найдем для каждого числа его противоположное значение и его модуль (абсолютную величину).

а)
Дано число 5.
Противоположное число — это число с таким же значением, но противоположным знаком. Для 5 это будет -5. Их сумма равна нулю: $5 + (-5) = 0$.
Модуль числа — это его значение без учета знака (или расстояние от нуля на числовой прямой). Модуль числа 5 обозначается как $|5|$ и равен 5.
Ответ: противоположное число -5, модуль 5.

б)
Дано число -5.
Противоположное число для -5 это 5. Их сумма равна нулю: $-5 + 5 = 0$.
Модуль числа -5 обозначается как $|-5|$ и равен 5.
Ответ: противоположное число 5, модуль 5.

в)
Дано число 8.
Противоположное число для 8 это -8. Их сумма равна нулю: $8 + (-8) = 0$.
Модуль числа 8 обозначается как $|8|$ и равен 8.
Ответ: противоположное число -8, модуль 8.

г)
Дано число -8.
Противоположное число для -8 это 8. Их сумма равна нулю: $-8 + 8 = 0$.
Модуль числа -8 обозначается как $|-8|$ и равен 8.
Ответ: противоположное число 8, модуль 8.

№4.14 (с. 13)
Условие. №4.14 (с. 13)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.14, Условие

4.14 Запишите одной формулой все числа, которым соответствуют на числовой окружности заданные точки (рис. 2):

а) A;

б) C;

в) A и C.

Решение 1. №4.14 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.14, Решение 1
Решение 2. №4.14 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.14, Решение 2
Решение 3. №4.14 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.14, Решение 3
Решение 5. №4.14 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.14, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.14, Решение 5 (продолжение 2)
Решение 6. №4.14 (с. 13)

а)

Точка A на числовой окружности обычно соответствует началу отсчета, то есть числу 0. Любая точка на числовой окружности повторяется через полный оборот, который равен $2\pi$ радиан. Следовательно, чтобы найти все числа, соответствующие точке A, нужно к начальному значению 0 прибавить целое число полных оборотов. Это можно выразить формулой:
$x = 0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).
Упрощая выражение, получаем окончательную формулу для точки A:
$x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Точка C на числовой окружности, как правило, диаметрально противоположна точке A. Это означает, что она соответствует повороту на половину окружности от начальной точки, то есть числу $\pi$. Аналогично пункту а), все остальные значения, соответствующие этой точке, получаются добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi$). Формула для всех чисел, соответствующих точке C, выглядит так:
$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Для того чтобы объединить все числа, соответствующие точкам A и C, в одну формулу, нужно заметить, что эти точки расположены на окружности через каждые пол-оборота, то есть через $\pi$ радиан.
Мы можем начать с точки A (значение 0) и прибавлять к ней целое число полуоборотов ($\pi k$).

  • Если $k$ — четное число ($k=2n$), то $x = \pi \cdot (2n) = 2\pi n$. Это формула для точки A.
  • Если $k$ — нечетное число ($k=2n+1$), то $x = \pi \cdot (2n+1) = \pi + 2\pi n$. Это формула для точки C.

Таким образом, формула $x = \pi k$ при всех целых $k$ описывает обе совокупности точек.
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

№4.19 (с. 13)
Условие. №4.19 (с. 13)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.19, Условие

4.19 а) $AM$;

б) $CM$;

в) $MA$;

г) $MC$.

($M$ – середина первой четверти.)

Решение 1. №4.19 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.19, Решение 1
Решение 2. №4.19 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.19, Решение 2
Решение 3. №4.19 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.19, Решение 3
Решение 5. №4.19 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.19, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.19, Решение 5 (продолжение 2)
Решение 6. №4.19 (с. 13)

Для решения данной задачи используется понятие единичной тригонометрической окружности. Это окружность с центром в начале координат и радиусом, равным $1$. Длина дуги на такой окружности численно равна величине центрального угла, который ее стягивает, выраженной в радианах.

В условии сказано, что "M — середина первой четверти". Первая четверть на тригонометрической окружности соответствует дуге от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан. Следовательно, точка M делит эту дугу пополам, и соответствующий ей угол равен $\alpha_M = \frac{0 + \pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$. Точка A является начальной точкой отсчета углов, ей соответствует угол $\alpha_A = 0$. Точка C находится на противоположной стороне окружности от точки A по горизонтали, ей соответствует угол $\alpha_C = \pi$. Обозначения AM, CM и т.д. в задаче представляют собой длины соответствующих дуг на единичной окружности.

а) AM

Длина дуги AM равна модулю разности углов, соответствующих точкам M и A. Это кратчайшее расстояние по дуге окружности между этими точками.

Длина дуги $AM = |\alpha_M - \alpha_A| = |\frac{\pi}{4} - 0| = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

б) CM

Длина дуги CM равна модулю разности углов, соответствующих точкам C и M. Мы ищем наименьшую дугу, соединяющую эти точки.

Длина дуги $CM = |\alpha_C - \alpha_M| = |\pi - \frac{\pi}{4}| = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

в) MA

Длина дуги MA равна длине дуги AM, поскольку длина дуги между двумя точками не зависит от порядка точек (направления измерения).

Длина дуги $MA = \text{длина дуги } AM = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

г) MC

Аналогично, длина дуги MC равна длине дуги CM. Это та же самая дуга, просто названная в другом порядке.

Длина дуги $MC = \text{длина дуги } CM = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

№4.15 (с. 13)
Условие. №4.15 (с. 13)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.15, Условие

4.15 Запишите одной формулой все числа, которым соответствуют на числовой окружности заданные точки (см. рис. 2):

а) B;

б) D;

в) B и D.

Решение 1. №4.15 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.15, Решение 1
Решение 2. №4.15 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.15, Решение 2
Решение 3. №4.15 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.15, Решение 3
Решение 5. №4.15 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.15, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.15, Решение 5 (продолжение 2)
Решение 6. №4.15 (с. 13)

а) B

В стандартном представлении числовой окружности точка B находится в верхней части (на оси ординат) и соответствует углу $\frac{\pi}{2}$ радиан. Чтобы найти все числа, соответствующие этой точке, нужно учесть, что мы можем совершить любое целое число полных оборотов по окружности и вернуться в ту же точку. Один полный оборот составляет $2\pi$ радиан. Таким образом, к начальному значению угла $\frac{\pi}{2}$ нужно прибавить $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) D

Точка D на числовой окружности обычно расположена в нижней части (на оси ординат) и соответствует углу $-\frac{\pi}{2}$ радиан (или, что то же самое, $\frac{3\pi}{2}$ радиан). Аналогично пункту а), все числа, соответствующие точке D, получаются путем добавления целого числа полных оборотов ($2\pi k$) к одному из этих значений. Удобнее использовать значение $-\frac{\pi}{2}$ как основное.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

в) B и D

Требуется найти единую формулу для чисел, соответствующих обеим точкам: B ($\frac{\pi}{2}$) и D ($-\frac{\pi}{2}$). Эти точки расположены на вертикальной оси и являются диаметрально противоположными. Расстояние между ними вдоль окружности составляет половину оборота, то есть $\pi$ радиан. Это означает, что если мы начнем с точки B (которой соответствует число $\frac{\pi}{2}$) и будем последовательно прибавлять по половине оборота ($\pi$), мы будем поочередно попадать в точку D, затем снова в B, и так далее.

Математически это можно записать так: взяв за основу точку B, мы добавляем $k$ раз по $\pi$ радиан. При четных $k$ (например, $k=0, 2, -2, ...$) мы будем попадать в точку B (например, $\frac{\pi}{2} + 2\pi$), а при нечетных $k$ (например, $k=1, 3, -1, ...$) — в точку D (например, $\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$). Таким образом, формула охватывает обе серии точек.

Альтернативный способ рассуждения: точки B и D — это точки на единичной окружности, у которых абсцисса (координата x) равна нулю. Это соответствует решению тригонометрического уравнения $\cos(x) = 0$. Решениями этого уравнения являются все числа вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

№4.20 (с. 13)
Условие. №4.20 (с. 13)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.20, Условие

4.20 а) $DM$;

б) $BD$;

в) $MD$;

г) $DB$.

($M'$ - середина второй четверти.)

Решение 1. №4.20 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.20, Решение 1
Решение 2. №4.20 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.20, Решение 2
Решение 3. №4.20 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.20, Решение 3
Решение 5. №4.20 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.20, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.20, Решение 5 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.20, Решение 5 (продолжение 3)
Решение 6. №4.20 (с. 13)

Для решения задачи будем рассматривать точки B, D и M как точки на единичной тригонометрической окружности. Длина дуги на такой окружности численно равна величине центрального угла в радианах, который на нее опирается. Положительным направлением обхода окружности считается движение против часовой стрелки.

Определим углы, соответствующие заданным точкам в радианах:

Точка B, как правило, соответствует концу первой четверти (угол $90^\circ$), поэтому ее угловая координата $t_B = \frac{\pi}{2}$.

Точка D, как правило, соответствует концу третьей четверти (угол $270^\circ$), поэтому ее угловая координата $t_D = \frac{3\pi}{2}$.

По условию, точка M — середина второй четверти. Вторая четверть — это дуга от угла $\frac{\pi}{2}$ до угла $\pi$. Угол, соответствующий середине этой дуги, равен среднему арифметическому ее концов: $t_M = \frac{\frac{\pi}{2} + \pi}{2} = \frac{\frac{3\pi}{2}}{2} = \frac{3\pi}{4}$.

Длина дуги, например, от точки X к точке Y (обозначается как XY), вычисляется как разность их угловых координат $(t_Y - t_X)$. Если результат отрицательный, к нему нужно прибавить $2\pi$ (полный оборот), чтобы получить положительную длину дуги в пределах от $0$ до $2\pi$.

а) DM

Находим длину дуги от точки D до точки M, двигаясь против часовой стрелки. Угол начальной точки D: $t_D = \frac{3\pi}{2}$. Угол конечной точки M: $t_M = \frac{3\pi}{4}$. Длина дуги DM равна разности углов $t_M - t_D$: $L_{DM} = \frac{3\pi}{4} - \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} - \frac{6\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$. Так как длина дуги не может быть отрицательной, прибавляем $2\pi$: $L_{DM} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = -\frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{4}$

б) BD

Находим длину дуги от точки B до точки D, двигаясь против часовой стрелки. Угол начальной точки B: $t_B = \frac{\pi}{2}$. Угол конечной точки D: $t_D = \frac{3\pi}{2}$. Длина дуги BD равна разности углов $t_D - t_B$: $L_{BD} = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Это половина окружности.

Ответ: $\pi$

в) MD

Находим длину дуги от точки M до точки D, двигаясь против часовой стрелки. Угол начальной точки M: $t_M = \frac{3\pi}{4}$. Угол конечной точки D: $t_D = \frac{3\pi}{2}$. Длина дуги MD равна разности углов $t_D - t_M$: $L_{MD} = \frac{3\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

г) DB

Находим длину дуги от точки D до точки B, двигаясь против часовой стрелки. Угол начальной точки D: $t_D = \frac{3\pi}{2}$. Угол конечной точки B: $t_B = \frac{\pi}{2}$. Длина дуги DB равна разности углов $t_B - t_D$: $L_{DB} = \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{2} = -\frac{2\pi}{2} = -\pi$. Прибавляем $2\pi$ для получения положительного значения: $L_{DB} = -\pi + 2\pi = \pi$. Это также половина окружности.

Ответ: $\pi$

№4.16 (с. 13)
Условие. №4.16 (с. 13)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.16, Условие

4.16 Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует числу:

а) $1$;

б) $-5$;

в) $4,5$;

г) $-3$.

Решение 1. №4.16 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.16, Решение 1
Решение 2. №4.16 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.16, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.16, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.16, Решение 2 (продолжение 3)
Решение 3. №4.16 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.16, Решение 3
Решение 5. №4.16 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.16, Решение 5
Решение 6. №4.16 (с. 13)

Для определения положения точки на числовой окружности мы будем отталкиваться от начальной точки, соответствующей числу 0, которая расположена справа на горизонтальном диаметре. Положительные числа откладываются движением против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке. Длина дуги, которую мы проходим от начальной точки, равна модулю заданного числа. Для удобства будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

Ключевые точки на окружности (при движении против часовой стрелки):

  • 0 – начальная точка.
  • $\pi/2 \approx 1.57$ – конец первой четверти.
  • $\pi \approx 3.14$ – конец второй четверти.
  • $3\pi/2 \approx 4.71$ – конец третьей четверти.
  • $2\pi \approx 6.28$ – конец четвертой четверти (полный оборот).

а) 1

Число 1 положительное, значит, мы движемся от начальной точки против часовой стрелки на дугу длиной 1. Сравним число 1 с границами первой четверти: $0 < 1 < \pi/2$, так как $1 < 1.57$. Следовательно, точка, соответствующая числу 1, находится в первой четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу 1, находится в первой четверти числовой окружности.

б) -5

Число -5 отрицательное, значит, мы движемся от начальной точки по часовой стрелке на дугу длиной 5. Чтобы определить положение точки, можно найти соответствующее ей положительное число, прибавив полный оборот $2\pi$. Положение точки на окружности при этом не изменится.

$-5 + 2\pi \approx -5 + 2 \times 3.14 = -5 + 6.28 = 1.28$.

Теперь найдем положение точки, соответствующей числу 1.28. Сравним это число с границами первой четверти: $0 < 1.28 < \pi/2$, так как $1.28 < 1.57$. Таким образом, точка, соответствующая числу -5, находится в первой четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу -5, находится в первой четверти числовой окружности.

в) 4,5

Число 4.5 положительное, поэтому мы движемся против часовой стрелки. Сравним это число с границами четвертей:

$\pi \approx 3.14$

$3\pi/2 \approx 4.71$

Поскольку выполняется неравенство $\pi < 4.5 < 3\pi/2$ (то есть $3.14 < 4.5 < 4.71$), точка прошла вторую четверть, но не достигла конца третьей. Следовательно, точка, соответствующая числу 4.5, находится в третьей четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу 4,5, находится в третьей четверти числовой окружности.

г) -3

Число -3 отрицательное, мы движемся по часовой стрелке на дугу длиной 3. Рассмотрим границы четвертей при движении в отрицательном направлении:

$-\pi/2 \approx -1.57$ (конец четвертой четверти)

$-\pi \approx -3.14$ (конец третьей четверти)

Так как выполняется неравенство $-\pi < -3 < -\pi/2$ (то есть $-3.14 < -3 < -1.57$), точка прошла по часовой стрелке дальше точки $-\pi/2$, но не достигла точки $-\pi$. Следовательно, она находится в третьей четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу -3, находится в третьей четверти числовой окружности.

№4.21 (с. 13)
Условие. №4.21 (с. 13)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.21, Условие

4.21 а) $\frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq t \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$;

б) $2\pi k \leq t \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$;

В) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k \leq t \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$;

Г) $\pi + 2\pi k \leq t \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$.

Решение 2. №4.21 (с. 13)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.21, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.21, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 13, номер 4.21, Решение 2 (продолжение 3)
Решение 6. №4.21 (с. 13)

a)

Данное двойное неравенство $ \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $k \in Z$ (k — любое целое число), задает множество решений для переменной $t$. Слагаемое $2\pi k$ указывает на то, что множество решений является периодическим с периодом $2\pi$. Это означает, что решения повторяются через каждый полный оборот на единичной окружности.

Чтобы понять, какую именно дугу на единичной окружности описывает это неравенство, рассмотрим основной промежуток, который получается при $k=0$:

$ \frac{\pi}{6} \le t \le \frac{2\pi}{3} $.

Начальная точка дуги соответствует углу $t_1 = \frac{\pi}{6}$ (30°). Эта точка находится в первой координатной четверти. Конечная точка дуги соответствует углу $t_2 = \frac{2\pi}{3}$ (120°). Эта точка находится во второй координатной четверти.

Таким образом, неравенство описывает дугу на единичной окружности, которая начинается в точке, соответствующей углу $\frac{\pi}{6}$, и продолжается против часовой стрелки до точки, соответствующей углу $\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: Множество всех точек на единичной окружности, расположенных на дуге от точки $\frac{\pi}{6}$ до точки $\frac{2\pi}{3}$ включительно (при движении против часовой стрелки), а также всех точек, получаемых из них добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k, k \in Z$). Эта дуга охватывает часть I и часть II координатных четвертей.

б)

Данное двойное неравенство $ 2\pi k \le t \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $, где $k \in Z$, задает периодическое множество решений с периодом $2\pi$.

Рассмотрим основной промежуток при $k=0$:

$ 0 \le t \le \frac{5\pi}{4} $.

Начальная точка дуги соответствует углу $t_1 = 0$ (0°). Эта точка находится на положительной части оси Ox, на границе I и IV четвертей. Конечная точка дуги соответствует углу $t_2 = \frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$ (225°). Эта точка находится в третьей координатной четверти.

Таким образом, неравенство описывает дугу на единичной окружности, которая начинается в точке, соответствующей углу $0$, и продолжается против часовой стрелки до точки, соответствующей углу $\frac{5\pi}{4}$. Эта дуга проходит через всю первую, всю вторую и часть третьей четверти.

Ответ: Множество всех точек на единичной окружности, расположенных на дуге от точки $0$ до точки $\frac{5\pi}{4}$ включительно (при движении против часовой стрелки), а также всех точек, получаемых из них добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k, k \in Z$). Эта дуга охватывает I, II и часть III координатных четвертей.

в)

Данное двойное неравенство $ \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le t \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k $, где $k \in Z$, задает периодическое множество решений с периодом $2\pi$.

Рассмотрим основной промежуток при $k=0$:

$ \frac{\pi}{2} \le t \le \frac{3\pi}{2} $.

Начальная точка дуги соответствует углу $t_1 = \frac{\pi}{2}$ (90°). Эта точка находится на положительной части оси Oy, на границе I и II четвертей. Конечная точка дуги соответствует углу $t_2 = \frac{3\pi}{2}$ (270°). Эта точка находится на отрицательной части оси Oy, на границе III и IV четвертей.

Неравенство описывает дугу, которая начинается в точке $\frac{\pi}{2}$ и идет против часовой стрелки до точки $\frac{3\pi}{2}$. Эта дуга представляет собой левую половину единичной окружности и полностью покрывает вторую и третью координатные четверти.

Ответ: Множество всех точек на единичной окружности, расположенных на дуге от точки $\frac{\pi}{2}$ до точки $\frac{3\pi}{2}$ включительно (при движении против часовой стрелки), а также всех точек, получаемых из них добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k, k \in Z$). Эта дуга представляет собой левую половину окружности и охватывает II и III координатные четверти.

г)

Данное двойное неравенство $ \pi + 2\pi k \le t \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi k $, где $k \in Z$, задает периодическое множество решений с периодом $2\pi$.

Рассмотрим основной промежуток при $k=0$:

$ \pi \le t \le \frac{5\pi}{3} $.

Начальная точка дуги соответствует углу $t_1 = \pi$ (180°). Эта точка находится на отрицательной части оси Ox, на границе II и III четвертей. Конечная точка дуги соответствует углу $t_2 = \frac{5\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$ (300°). Эта точка находится в четвертой координатной четверти.

Неравенство описывает дугу, которая начинается в точке $\pi$ и идет против часовой стрелки до точки $\frac{5\pi}{3}$. Эта дуга полностью покрывает третью четверть и часть четвертой четверти.

Ответ: Множество всех точек на единичной окружности, расположенных на дуге от точки $\pi$ до точки $\frac{5\pi}{3}$ включительно (при движении против часовой стрелки), а также всех точек, получаемых из них добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k, k \in Z$). Эта дуга охватывает III и часть IV координатных четвертей.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться