Страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2.13 $y = \begin{cases} 4 - 2x^2, \text{ если } -1 \leq x \leq 1, \\ x + 1, \text{ если } 1 < x \leq 3. \end{cases}$

Для полного исследования данной кусочно-заданной функции проанализируем её свойства и построим график.

1. Область определения функции

Функция определена для всех значений $x$, указанных в условиях. Первое выражение $y = 4 - 2x^2$ определено на отрезке $[-1, 1]$. Второе выражение $y = x + 1$ определено на полуинтервале $(1, 3]$. Область определения функции $D(y)$ является объединением этих двух промежутков: $D(y) = [-1, 1] \cup (1, 3] = [-1, 3]$.

Ответ: $D(y) = [-1, 3]$.

2. Непрерывность и точки разрыва

Функции $y = 4 - 2x^2$ (парабола) и $y = x + 1$ (прямая) являются непрерывными на всей числовой оси. Поэтому данная функция непрерывна на интервалах $(-1, 1)$ и $(1, 3)$. Осталось исследовать непрерывность в точке "стыка" $x=1$. Найдем значение функции в этой точке. Так как $x=1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, используем первую формулу: $y(1) = 4 - 2(1)^2 = 4 - 2 = 2$. Теперь найдем односторонние пределы в точке $x=1$: - Левосторонний предел (когда $x$ стремится к 1 слева, $x < 1$): $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} (4 - 2x^2) = 4 - 2(1)^2 = 2$. - Правосторонний предел (когда $x$ стремится к 1 справа, $x > 1$): $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2$. Поскольку левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=1$ равны между собой, то есть $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^+} y(x) = y(1) = 2$, функция является непрерывной в точке $x=1$. Таким образом, функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: функция непрерывна на всей области определения $[-1, 3]$, точек разрыва нет.

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью ординат (Oy): Для этого подставим $x=0$ в функцию. Так как $0 \in [-1, 1]$, используем первую формулу: $y(0) = 4 - 2(0)^2 = 4$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 4)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox): Для этого решим уравнение $y(x)=0$ для каждого участка. 1) На отрезке $[-1, 1]$: $4 - 2x^2 = 0 \Rightarrow 2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$. Ни $x = \sqrt{2} \approx 1.414$, ни $x = -\sqrt{2} \approx -1.414$ не принадлежат отрезку $[-1, 1]$. 2) На полуинтервале $(1, 3]$: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$. Это значение не принадлежит полуинтервалу $(1, 3]$. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.

Ответ: точка пересечения с осью Oy: $(0, 4)$; точек пересечения с осью Ox нет.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем производную функции для каждого участка: $y' = \begin{cases} (4 - 2x^2)' = -4x, & \text{если } -1 < x < 1 \\ (x + 1)' = 1, & \text{если } 1 < x < 3 \end{cases}$ Критические точки - это точки, где производная равна нулю или не существует. - $y' = 0$: $-4x=0 \Rightarrow x=0$. Эта точка принадлежит интервалу $(-1, 1)$. - $y'$ не существует в точке $x=1$, так как левая производная $y'_-(1) = -4$ не равна правой производной $y'_+(1) = 1$. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения делится критическими точками $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, 3)$: - При $x \in (-1, 0)$: $y' = -4x > 0$, функция возрастает. - При $x \in (0, 1)$: $y' = -4x < 0$, функция убывает. - При $x \in (1, 3)$: $y' = 1 > 0$, функция возрастает. В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, $x=0$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 4$. В точке $x=1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, $x=1$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = 2$. Найдем значения на концах области определения: $y(-1) = 4 - 2(-1)^2 = 2$. $y(3) = 3 + 1 = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, 3]$, убывает на промежутке $[0, 1]$. Точка локального максимума $(0, 4)$, точка локального минимума $(1, 2)$.

5. Область значений функции

Из анализа на экстремумы следует, что наименьшее значение функции на всей области определения равно 2 (достигается в точках $x=-1$ и $x=1$), а наибольшее значение равно 4 (достигается в точках $x=0$ и $x=3$). Так как функция непрерывна, она принимает все значения между наименьшим и наибольшим.

Ответ: $E(y) = [2, 4]$.

6. Построение графика

На основе проведенного анализа построим график функции. - На отрезке $[-1, 1]$ график является частью параболы $y = 4 - 2x^2$, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 4)$. Крайние точки этого участка: $(-1, 2)$ и $(1, 2)$. - На полуинтервале $(1, 3]$ график является отрезком прямой $y = x + 1$, который соединяет точку $(1, 2)$ с точкой $(3, 4)$. - В точке $(1, 2)$ парабола плавно переходит в прямую, образуя "угол" (излом), так как функция непрерывна, но ее производная в этой точке не существует.
Краткое описание графика: График начинается в точке $(-1, 2)$, поднимается по кривой до своего максимума в точке $(0, 4)$, затем опускается до точки $(1, 2)$. Из этой точки он продолжает движение вверх уже по прямой линии до точки $(3, 4)$, где и заканчивается.

Ответ: График функции состоит из участка параболы $y=4-2x^2$ на отрезке $[-1, 1]$ и отрезка прямой $y=x+1$ на полуинтервале $(1, 3]$.

2.14 $y = \begin{cases} 2 & \text{если } -3 \le x \le 1 \\ \sqrt{x} + 1 & \text{если } 1 < x \le 4 \\ (x - 5)^2 + 2 & \text{если } 4 < x \le 6 \end{cases}$

Для решения данной задачи необходимо проанализировать каждый участок кусочно-заданной функции, на основе чего можно построить её график и найти основные свойства.

Функция задана в виде:

$y = \begin{cases} 2, & \text{если } -3 \le x \le 1 \\ \sqrt{x} + 1, & \text{если } 1 < x \le 4 \\ (x-5)^2 + 2, & \text{если } 4 < x \le 6 \end{cases}$

На этом участке функция является константой: $y = 2$. Её график — это горизонтальный отрезок прямой, соединяющий точки $(-3, 2)$ и $(1, 2)$. Обе точки включены в график (отмечаются закрашенными кружками), так как неравенства нестрогие.

Здесь функция задана формулой $y = \sqrt{x} + 1$. Это график функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы), смещённый на 1 единицу вверх. Вычислим значения на границах интервала:

• При $x \to 1$ (левая граница, не включается в интервал), значение функции стремится к $y = \sqrt{1} + 1 = 2$. Точка $(1, 2)$ будет выколотой (пустой).
• При $x = 4$ (правая граница, включается в интервал), значение функции равно $y = \sqrt{4} + 1 = 3$. Точка $(4, 3)$ будет сплошной (закрашенной).

На этом интервале график — это плавно возрастающая кривая от выколотой точки $(1, 2)$ до сплошной точки $(4, 3)$.

На данном участке функция имеет вид $y = (x-5)^2 + 2$. Это парабола $y = x^2$, смещённая на 5 единиц вправо и на 2 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(5, 2)$. Вычислим значения на границах:

• При $x \to 4$ (левая граница, не включается), значение функции стремится к $y = (4-5)^2 + 2 = (-1)^2 + 2 = 3$. Точка $(4, 3)$ будет выколотой.
• При $x = 6$ (правая граница, включается), значение функции равно $y = (6-5)^2 + 2 = 1^2 + 2 = 3$. Точка $(6, 3)$ будет сплошной.

Вершина параболы $x=5$ принадлежит данному интервалу. Значение функции в вершине: $y(5) = (5-5)^2 + 2 = 2$. Это минимальное значение функции на данном участке. График представляет собой часть параболы, идущую от выколотой точки $(4, 3)$, вниз до вершины $(5, 2)$ и затем вверх до сплошной точки $(6, 3)$.

Теперь определим свойства функции.

Область определения $D(y)$ — это объединение всех интервалов, на которых задана функция: $[-3, 1] \cup (1, 4] \cup (4, 6]$.

Ответ: $D(y) = [-3, 6]$.

Функция непрерывна на каждом из трёх интервалов как элементарная функция. Проверим непрерывность в точках "стыка" $x=1$ и $x=4$.

• В точке $x=1$: значение функции $y(1)=2$. Предел слева $\lim_{x\to1^-}y(x)=\lim_{x\to1^-}2=2$. Предел справа $\lim_{x\to1^+}y(x)=\lim_{x\to1^+}(\sqrt{x}+1)=\sqrt{1}+1=2$. Поскольку пределы слева и справа равны значению функции в точке, функция непрерывна в $x=1$.
• В точке $x=4$: значение функции $y(4)=\sqrt{4}+1=3$. Предел слева $\lim_{x\to4^-}y(x)=\lim_{x\to4^-}(\sqrt{x}+1)=\sqrt{4}+1=3$. Предел справа $\lim_{x\to4^+}y(x)=\lim_{x\to4^+}((x-5)^2+2)=(4-5)^2+2=3$. Функция также непрерывна в $x=4$.

Таким образом, функция является непрерывной на всей своей области определения.

Для нахождения области значений $E(y)$ проанализируем значения, которые принимает $y$ на каждом участке:

• На отрезке $[-3, 1]$: $y$ принимает единственное значение $2$.
• На полуинтервале $(1, 4]$: $y$ возрастает от $2$ (не включая) до $3$ (включая), то есть $y \in (2, 3]$.
• На полуинтервале $(4, 6]$: $y$ убывает от $3$ (не включая) до $2$ (включительно, в вершине при $x=5$), а затем возрастает до $3$ (включительно, при $x=6$). Значения покрывают отрезок $[2, 3]$.

Объединение всех этих множеств значений $\{2\} \cup (2, 3] \cup [2, 3]$ дает итоговую область значений.

Ответ: $E(y) = [2, 3]$.

2.15 $y = \begin{cases} x^3, & \text{если } x < 0, \\ -x^2 + 2x + 2, & \text{если } 0 \le x \le 2, \\ x, & \text{если } 2 < x \le 4. \end{cases}$

Для полного анализа данной кусочно-заданной функции выполним следующие действия: найдем область определения и область значений, исследуем на непрерывность, найдем промежутки монотонности и точки экстремума, а также опишем построение графика.

1. Область определения функции

Функция определена на трех интервалах: $x < 0$, $0 \le x \le 2$ и $2 < x \le 4$. Область определения функции $D(y)$ является объединением этих промежутков.

$D(y) = (-\infty, 0) \cup [0, 2] \cup (2, 4]$

Объединяя эти множества, получаем:

$D(y) = (-\infty, 4]$

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty, 4]$.

2. Исследование на непрерывность

Функция задана тремя элементарными функциями, каждая из которых непрерывна на своем интервале. Поэтому разрывы могут произойти только в точках, где меняется аналитическое выражение функции, то есть в точках $x = 0$ и $x = 2$.

Проверка в точке $x = 0$:

Найдем левосторонний предел (при $x \to 0^-$ используется формула $y=x^3$):

$\lim_{x\to 0^-} y = \lim_{x\to 0^-} x^3 = 0^3 = 0$

Найдем значение функции в точке $x=0$ (при $x=0$ используется формула $y=-x^2+2x+2$):

$y(0) = -(0)^2 + 2(0) + 2 = 2$

Так как левосторонний предел не равен значению функции в точке ($0 \ne 2$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=0$.

Проверка в точке $x = 2$:

Найдем значение функции в точке $x=2$ и левосторонний предел (при $x \le 2$ используется формула $y=-x^2+2x+2$):

$y(2) = \lim_{x\to 2^-} y = -(2)^2 + 2(2) + 2 = -4 + 4 + 2 = 2$

Найдем правосторонний предел (при $x > 2$ используется формула $y=x$):

$\lim_{x\to 2^+} y = \lim_{x\to 2^+} x = 2$

Так как левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=2$ равны, функция непрерывна в этой точке.

Ответ: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty, 4]$, за исключением точки $x=0$, в которой она терпит разрыв первого рода (скачок).

3. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума

Исследуем монотонность функции на каждом интервале с помощью производной $y'$.

1) Интервал $x < 0$:

$y = x^3 \Rightarrow y' = 3x^2$.

Поскольку $y' = 3x^2 > 0$ для всех $x < 0$, функция строго возрастает на интервале $(-\infty, 0)$.

2) Интервал $0 \le x \le 2$:

$y = -x^2 + 2x + 2 \Rightarrow y' = -2x + 2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-2x + 2 = 0$, откуда $x = 1$. Эта точка принадлежит отрезку $[0, 2]$.

Если $0 < x < 1$, то $y' > 0$, значит функция возрастает.

Если $1 < x < 2$, то $y' < 0$, значит функция убывает.

В точке $x=1$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, $x=1$ является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 2 = 3$.

3) Интервал $2 < x \le 4$:

$y = x \Rightarrow y' = 1$.

Поскольку $y' = 1 > 0$, функция строго возрастает на интервале $(2, 4]$.

Итоги по экстремумам:

Точка локального максимума: $(1, 3)$.

В точке $x=2$ функция убывала до значения $y(2)=2$ и начинает возрастать после нее, значит $x=2$ — точка локального минимума. Значение: $y_{min} = y(2) = 2$.

Для определения глобальных экстремумов сравним значения в точках локальных экстремумов и на концах области определения. Глобального минимума нет, так как $y \to -\infty$ при $x \to -\infty$. Глобальный максимум находится сравнением $y(1)=3$ и $y(4)=4$. Наибольшее значение функции равно 4.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$, $[0, 1]$ и $(2, 4]$. Функция убывает на промежутке $[1, 2]$. Точка локального максимума: $(1, 3)$. Точка локального минимума: $(2, 2)$. Глобальный максимум $y_{max}=4$ достигается в точке $x=4$. Глобального минимума не существует.

4. Область значений функции

Найдем множество всех значений, которые принимает функция $y$.

На $(-\infty, 0)$, функция $y=x^3$ принимает значения из $(-\infty, 0)$.

На $[0, 2]$, функция $y = -x^2 + 2x + 2$ имеет минимум в точках $y(0)=2$ и $y(2)=2$, а максимум в точке $y(1)=3$. Значения на этом отрезке принадлежат $[2, 3]$.

На $(2, 4]$, функция $y=x$ принимает значения из $(2, 4]$.

Объединим полученные множества: $E(y) = (-\infty, 0) \cup [2, 3] \cup (2, 4] = (-\infty, 0) \cup [2, 4]$.

Ответ: Область значений функции: $E(y) = (-\infty, 0) \cup [2, 4]$.

5. Построение графика

График функции состоит из трех частей:

1. При $x < 0$ — это график функции $y=x^3$ (кубическая парабола), проходящий через точки $(-1, -1)$, $(-2, -8)$ и приближающийся к точке $(0, 0)$, которая является выколотой.

2. При $0 \le x \le 2$ — это дуга параболы $y=-x^2+2x+2$ с ветвями вниз. График начинается в точке $(0, 2)$ (закрашенная), достигает вершины (максимума) в точке $(1, 3)$ и опускается до точки $(2, 2)$ (закрашенная).

3. При $2 < x \le 4$ — это отрезок прямой $y=x$, который начинается в точке $(2, 2)$ (которая уже включена предыдущим участком) и заканчивается в точке $(4, 4)$ (закрашенная).

Ответ: График представляет собой комбинацию ветви кубической параболы, дуги параболы и отрезка прямой, с разрывом-скачком в точке $x=0$ от $y=0$ до $y=2$. В точке $x=2$ график непрерывен.

3.2 a) $y = \frac{x+1}{2x-3}$;

б) $y = \frac{4-3x}{1+x}$;

В) $y = \frac{3-2x}{5x+1}$;

Г) $y = \frac{2x-5}{1+2x}$.

а) Рассматривается функция $y = \frac{x+1}{2x-3}$.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через переменную $y$. Для этого выполним следующие преобразования:

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2x - 3)$, предполагая, что он не равен нулю:

$y(2x - 3) = x + 1$

Раскроем скобки в левой части:

$2xy - 3y = x + 1$

Сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$2xy - x = 3y + 1$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2y - 1) = 3y + 1$

Разделим обе части на $(2y - 1)$, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{3y + 1}{2y - 1}$

Мы получили выражение $x$ через $y$. Чтобы записать обратную функцию в стандартном виде, принято менять переменные местами: $x$ на $y$ и $y$ на $x$.

Таким образом, обратная функция имеет вид:

$y = \frac{3x + 1}{2x - 1}$

Ответ: $y = \frac{3x + 1}{2x - 1}$

б) Рассматривается функция $y = \frac{4-3x}{1+x}$.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через переменную $y$. Для этого выполним следующие преобразования:

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1+x)$, предполагая, что он не равен нулю:

$y(1 + x) = 4 - 3x$

Раскроем скобки в левой части:

$y + yx = 4 - 3x$

Сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$yx + 3x = 4 - y$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(y + 3) = 4 - y$

Разделим обе части на $(y+3)$, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{4 - y}{y + 3}$

Мы получили выражение $x$ через $y$. Чтобы записать обратную функцию в стандартном виде, принято менять переменные местами: $x$ на $y$ и $y$ на $x$.

Таким образом, обратная функция имеет вид:

$y = \frac{4 - x}{x + 3}$

Ответ: $y = \frac{4 - x}{x + 3}$

в) Рассматривается функция $y = \frac{3-2x}{5x+1}$.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через переменную $y$. Для этого выполним следующие преобразования:

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(5x+1)$, предполагая, что он не равен нулю:

$y(5x + 1) = 3 - 2x$

Раскроем скобки в левой части:

$5xy + y = 3 - 2x$

Сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$5xy + 2x = 3 - y$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(5y + 2) = 3 - y$

Разделим обе части на $(5y+2)$, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{3 - y}{5y + 2}$

Мы получили выражение $x$ через $y$. Чтобы записать обратную функцию в стандартном виде, принято менять переменные местами: $x$ на $y$ и $y$ на $x$.

Таким образом, обратная функция имеет вид:

$y = \frac{3 - x}{5x + 2}$

Ответ: $y = \frac{3 - x}{5x + 2}$

г) Рассматривается функция $y = \frac{2x-5}{1+2x}$.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через переменную $y$. Для этого выполним следующие преобразования:

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1+2x)$, предполагая, что он не равен нулю:

$y(1 + 2x) = 2x - 5$

Раскроем скобки в левой части:

$y + 2xy = 2x - 5$

Сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$y + 5 = 2x - 2xy$

Вынесем $x$ за скобки в правой части:

$y + 5 = x(2 - 2y)$

Разделим обе части на $(2-2y)$, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{y + 5}{2 - 2y}$

Мы получили выражение $x$ через $y$. Чтобы записать обратную функцию в стандартном виде, принято менять переменные местами: $x$ на $y$ и $y$ на $x$.

Таким образом, обратная функция имеет вид:

$y = \frac{x + 5}{2 - 2x}$

Ответ: $y = \frac{x + 5}{2 - 2x}$

Для заданной функции найдите обратную; постройте график заданной функции и обратной функции:

3.3 а) $y = x^2, x \ge 0;$

б) $y = \sqrt{x};$

в) $y = (x - 1)^2, x \le 1;$

г) $y = \sqrt{-x}.$

а) Для функции $y = x^2$ с областью определения $x \ge 0$ найдем обратную функцию и построим графики.

1. Нахождение обратной функции.
Исходная функция задана как $y = x^2$.
Область определения $D(f) = [0, +\infty)$.
На этой области функция является монотонно возрастающей, а значит, обратимой.
Область значений $E(f)$: поскольку $x \geq 0$, то $y = x^2 \geq 0$. Следовательно, $E(f) = [0, +\infty)$.
Чтобы найти обратную функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$x = y^2$
Теперь выразим $y$ из этого уравнения:
$y = \pm\sqrt{x}$
Область значений обратной функции должна совпадать с областью определения исходной функции, то есть $E(f^{-1}) = D(f) = [0, +\infty)$. Это означает, что $y$ должен быть неотрицательным. Поэтому мы выбираем знак "плюс":
$y = \sqrt{x}$.
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$.

2. Построение графиков.
График функции $y = x^2$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке (0, 0).
График обратной функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричная исходной относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \sqrt{x}$.

б) Для функции $y = \sqrt{x}$ найдем обратную функцию и построим графики.

1. Нахождение обратной функции.
Исходная функция: $y = \sqrt{x}$.
Область определения $D(f)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0, +\infty)$.
Область значений $E(f)$: арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. $E(f) = [0, +\infty)$.
Функция монотонно возрастает на своей области определения, значит, она обратима.
Поменяем местами $x$ и $y$:
$x = \sqrt{y}$
Выразим $y$, возведя обе части в квадрат:
$y = x^2$
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ равна области значений исходной $E(f)$, то есть $D(f^{-1}) = [0, +\infty)$. Таким образом, обратная функция: $y = x^2$ при $x \ge 0$.

2. Построение графиков.
Графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x^2, x \ge 0$ являются взаимно обратными. Их построение аналогично предыдущему пункту, только теперь $y = \sqrt{x}$ является исходной функцией, а $y = x^2, x \ge 0$ - обратной. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = x^2, x \geq 0$.

в) Для функции $y = (x - 1)^2$ с областью определения $x \le 1$ найдем обратную функцию и построим графики.

1. Нахождение обратной функции.
Исходная функция: $y = (x - 1)^2$.
Область определения $D(f) = (-\infty, 1]$.
На этой области функция является монотонно убывающей, а значит, обратимой.
Область значений $E(f)$: так как $(x-1)^2$ всегда неотрицательно, $E(f) = [0, +\infty)$.
Поменяем местами $x$ и $y$ для нахождения обратной функции:
$x = (y - 1)^2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\sqrt{x} = |y - 1|$
Область значений обратной функции должна совпадать с областью определения исходной: $E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty, 1]$. Это значит, что $y \le 1$, следовательно $y - 1 \le 0$.
Поэтому $|y - 1| = -(y - 1) = 1 - y$.
$\sqrt{x} = 1 - y$
Выражаем $y$:
$y = 1 - \sqrt{x}$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$.

2. Построение графиков.
График функции $y = (x - 1)^2$ при $x \le 1$ — это левая ветвь параболы с вершиной в точке (1, 0).
График обратной функции $y = 1 - \sqrt{x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ отражением относительно оси Ох и сдвигом на 1 единицу вверх. Его начальная точка — (0, 1).
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = 1 - \sqrt{x}$.

г) Для функции $y = \sqrt{-x}$ найдем обратную функцию и построим графики.

1. Нахождение обратной функции.
Исходная функция: $y = \sqrt{-x}$.
Область определения $D(f)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$. Итак, $D(f) = (-\infty, 0]$.
Область значений $E(f) = [0, +\infty)$.
Функция является монотонно убывающей на своей области определения, значит, она обратима.
Поменяем местами $x$ и $y$:
$x = \sqrt{-y}$
Возведем в квадрат:
$x^2 = -y$
$y = -x^2$
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ равна области значений исходной $E(f)$, то есть $D(f^{-1}) = [0, +\infty)$.
Таким образом, обратная функция: $y = -x^2$ при $x \ge 0$.

2. Построение графиков.
График функции $y = \sqrt{-x}$ — это ветвь параболы, симметричная графику $y=\sqrt{x}$ относительно оси Оу. Её вершина в (0,0), и она идет влево и вверх.
График обратной функции $y = -x^2, x \ge 0$ — это правая ветвь параболы, направленной ветвями вниз, с вершиной в точке (0, 0).
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = -x^2, x \geq 0$.

3.4 а) $y = x^3$;

б) $y = (x - 2)^3$;

В) $y = 1 - x^3$;

Г) $y = (x + 3)^3 - 1.$

а) $y = x^3$

Это основная функция, график которой называется кубической параболой. Для построения и анализа графика рассмотрим его основные свойства:
1. Область определения функции — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений функции — также все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Функция является нечетной, поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат, точки $O(0;0)$.
4. Функция является строго возрастающей на всей своей области определения.
5. Для построения графика можно найти несколько ключевых точек: если $x=0$, то $y=0$; если $x=1$, то $y=1$; если $x=-1$, то $y=-1$; если $x=2$, то $y=8$; если $x=-2$, то $y=-8$. График проходит через точки $(-2; -8)$, $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 8)$.

Ответ: Графиком функции является кубическая парабола, которая проходит через начало координат, симметрична относительно него и возрастает на всей числовой оси.

б) $y = (x - 2)^3$

График данной функции получается из графика базовой функции $y = x^3$ с помощью геометрических преобразований.
Преобразование имеет вид $y = f(x - a)$. В данном случае $f(x) = x^3$ и $a = 2$.
Такое преобразование соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = x^3$ вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $a$ единиц. Поскольку $a = 2 > 0$, сдвиг выполняется на 2 единицы вправо.
Каждая точка графика $y = x^3$ смещается на 2 единицы вправо. Например, центр симметрии из точки $(0; 0)$ перемещается в точку $(2; 0)$.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^3$ получается путем сдвига графика функции $y = x^3$ на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

в) $y = 1 - x^3$

График этой функции можно получить из графика $y = x^3$ путем выполнения последовательности преобразований. Удобнее представить функцию в виде $y = -x^3 + 1$.
1. Первое преобразование: $y_1 = -x^3$. Это преобразование вида $y = -f(x)$. Оно означает симметричное отражение графика функции $y = x^3$ относительно оси абсцисс ($Ox$). Если график $y = x^3$ был возрастающим, то график $y = -x^3$ будет убывающим.
2. Второе преобразование: $y = y_1 + 1$ или $y = -x^3 + 1$. Это преобразование вида $y = g(x) + b$, где $g(x) = -x^3$ и $b = 1$. Оно соответствует параллельному переносу графика $y_1 = -x^3$ вдоль оси ординат ($Oy$) на $b$ единиц. Так как $b=1>0$, сдвиг выполняется на 1 единицу вверх.
Таким образом, центр симметрии из точки $(0; 0)$ после отражения остается на месте, а после сдвига вверх перемещается в точку $(0; 1)$.

Ответ: График функции $y = 1 - x^3$ получается в результате двух преобразований графика $y = x^3$: сначала симметричное отражение относительно оси $Ox$, а затем сдвиг полученного графика на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

г) $y = (x + 3)^3 - 1$

График данной функции получается из графика $y = x^3$ с помощью двух параллельных переносов.
Преобразование имеет общий вид $y = f(x - a) + b$. В нашем случае $f(x) = x^3$, $a = -3$ (поскольку $x+3 = x - (-3)$) и $b = -1$.
1. Сначала выполним сдвиг по горизонтали: $y_1 = (x+3)^3$. Это соответствует параллельному переносу графика $y=x^3$ вдоль оси $Ox$ на 3 единицы влево (так как $a = -3 < 0$).
2. Затем выполним сдвиг по вертикали: $y = y_1 - 1$ или $y = (x + 3)^3 - 1$. Это соответствует параллельному переносу графика $y_1=(x+3)^3$ вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вниз (так как $b = -1 < 0$).
В результате этих двух сдвигов центр симметрии графика переместится из точки $(0; 0)$ в точку $(-3; -1)$.

Ответ: График функции $y = (x + 3)^3 - 1$ получается путем сдвига графика функции $y = x^3$ на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$ и на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

Для заданной функции найдите обратную функцию:

3.1 a) $y = 3x - 1;$

б) $y = 2 + 4x;$

в) $y = 5x + 2;$

г) $y = 3 - x.$

а) Для нахождения обратной функции к $y = 3x - 1$, необходимо выразить $x$ через $y$. В полученном выражении мы затем меняем переменные $x$ и $y$ местами.

1. Исходная функция: $y = 3x - 1$.

2. Поменяем местами переменные $x$ и $y$: $x = 3y - 1$.

3. Теперь решим это уравнение относительно $y$:

$x + 1 = 3y$

$y = \frac{x + 1}{3}$

Это и есть обратная функция.

Ответ: $y = \frac{x+1}{3}$

б) Найдем обратную функцию для $y = 2 + 4x$. Алгоритм тот же: меняем переменные местами и выражаем $y$.

1. Исходная функция: $y = 2 + 4x$.

2. Меняем $x$ и $y$: $x = 2 + 4y$.

3. Выражаем $y$:

$x - 2 = 4y$

$y = \frac{x - 2}{4}$

Это обратная функция.

Ответ: $y = \frac{x-2}{4}$

в) Найдем обратную функцию для $y = 5x + 2$.

1. Исходная функция: $y = 5x + 2$.

2. Поменяем переменные местами: $x = 5y + 2$.

3. Решим уравнение относительно $y$:

$x - 2 = 5y$

$y = \frac{x - 2}{5}$

Получили обратную функцию.

Ответ: $y = \frac{x-2}{5}$

г) Найдем обратную функцию для $y = 3 - x$.

1. Исходная функция: $y = 3 - x$.

2. Меняем местами $x$ и $y$: $x = 3 - y$.

3. Выражаем $y$ из полученного уравнения:

$y = 3 - x$

В этом случае обратная функция совпадает с исходной.

Ответ: $y = 3 - x$