Страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.16 Решите графически уравнение:

а) $x^3 = 3 - 2x$;

б) $\sqrt{x} = 2x - 6$;

в) $|x - 2| = \frac{3}{x}$;

г) $x^{-2} = 5x - 4$.

Для графического решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ необходимо построить графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения этих графиков являются решениями (корнями) исходного уравнения.

а) $x^3 = 3 - 2x$

Решим это уравнение, построив графики двух функций: $y = x^3$ и $y = 3 - 2x$.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат. Она возрастает на всей числовой оси. Построим ее по точкам: (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8).

2. График функции $y = 3 - 2x$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y = 3 - 2(0) = 3$. Точка (0, 3).
• при $x=1.5$, $y = 3 - 2(1.5) = 0$. Точка (1.5, 0).

Построим оба графика в одной системе координат. Мы видим, что графики пересекаются в одной точке. По построению легко определить координаты этой точки — (1, 1). Абсцисса этой точки $x=1$ и является решением уравнения.

Проверка: $1^3 = 3 - 2(1) \implies 1 = 1$. Равенство верное.

Так как функция $y = x^3$ является строго возрастающей, а функция $y = 3 - 2x$ — строго убывающей, их графики могут пересечься не более чем в одной точке.

Ответ: $x=1$.

б) $\sqrt{x} = 2x - 6$

Решим это уравнение, построив графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения функции: $x \ge 0$. Построим ее по точкам: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3).

2. График функции $y = 2x - 6$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=3$, $y = 2(3) - 6 = 0$. Точка (3, 0).
• при $x=4$, $y = 2(4) - 6 = 2$. Точка (4, 2).

Построим оба графика в одной системе координат. Графики пересекаются в одной точке с координатами (4, 2). Абсцисса этой точки $x=4$ является решением уравнения.

Проверка: $\sqrt{4} = 2(4) - 6 \implies 2 = 8 - 6 \implies 2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: $x=4$.

в) $|x - 2| = \frac{3}{x}$

Решим это уравнение, построив графики двух функций: $y = |x - 2|$ и $y = \frac{3}{x}$.

1. График функции $y = |x - 2|$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 2 единицы вправо по оси Ox. "Вершина" графика находится в точке (2, 0).

2. График функции $y = \frac{3}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Область определения: $x \ne 0$.

Построим оба графика. Так как функция $y = |x - 2|$ всегда неотрицательна ($y \ge 0$), то точки пересечения могут существовать только там, где $y = \frac{3}{x}$ также неотрицательна, то есть при $x > 0$. Следовательно, нас интересует только ветвь гиперболы в первом квадранте.

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Построим по точкам:

• Для $y=|x-2|$: (0, 2), (1, 1), (2, 0), (3, 1).
• Для $y=\frac{3}{x}$: (1, 3), (3, 1).

Из точек видно, что общая точка — (3, 1). Абсцисса этой точки $x=3$ и есть решение.

Проверка: $|3 - 2| = \frac{3}{3} \implies |1| = 1 \implies 1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $x=3$.

г) $x^{-2} = 5x - 4$

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{x^2} = 5x - 4$. Решим его, построив графики функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = 5x - 4$.

1. График функции $y = \frac{1}{x^2}$ симметричен относительно оси Oy и его ветви находятся в первом и втором квадрантах. Функция всегда положительна. Асимптоты — оси координат. Построим по точкам: (-2, 1/4), (-1, 1), (1, 1), (2, 1/4), (0.5, 4).

2. График функции $y = 5x - 4$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=1$, $y = 5(1) - 4 = 1$. Точка (1, 1).
• при $x=0.8$, $y = 5(0.8) - 4 = 0$. Точка (0.8, 0).

Построим оба графика в одной системе координат. Так как $y=\frac{1}{x^2}$ всегда положительна, пересечения могут быть только там, где $y=5x-4$ положительна, то есть при $x > 0.8$.

Из построения видно, что графики пересекаются в одной точке (1, 1). Абсцисса этой точки $x=1$ является решением уравнения.

Проверка: $1^{-2} = 5(1) - 4 \implies \frac{1}{1^2} = 5 - 4 \implies 1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $x=1$.

1.17 Функция $y = f(x)$ задана следующим правилом: каждому неотрицательному числу ставится в соответствие вторая цифра после запятой в записи числа в виде бесконечной десятичной дроби.

Найдите:

а) $f\left(\frac{1}{4}\right)$;

б) $f(\sqrt{2})$;

в) $f\left(1\frac{1}{6}\right)$;

г) $f\left((\sqrt{5})^2\right)$.

По условию задачи, функция $y = f(x)$ для любого неотрицательного числа $x$ равна второй цифре после запятой в десятичной записи числа $x$. Чтобы найти значение функции, необходимо представить аргумент в виде бесконечной десятичной дроби и найти вторую цифру после запятой.

а) Найдем $f(\frac{1}{4})$. Сначала представим число $x = \frac{1}{4}$ в виде десятичной дроби. $\frac{1}{4} = 0,25$. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной, дописав справа бесконечное количество нулей. Таким образом, $0,25 = 0,25000...$. В этой записи первая цифра после запятой — это 2, а вторая цифра после запятой — это 5. Следовательно, $f(\frac{1}{4}) = 5$.
Ответ: 5

б) Найдем $f(\sqrt{2})$. Аргумент функции $x = \sqrt{2}$. Это иррациональное число, его десятичная запись является бесконечной и непериодической. Приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1,41421356...$. В этой записи первая цифра после запятой — это 4, а вторая цифра после запятой — это 1. Следовательно, $f(\sqrt{2}) = 1$.
Ответ: 1

в) Найдем $f(1\frac{1}{6})$. Представим число $x = 1\frac{1}{6}$ в виде десятичной дроби. Для этого преобразуем дробную часть $\frac{1}{6}$. $\frac{1}{6} = 1 \div 6 = 0,1666... = 0,1(6)$. Таким образом, $1\frac{1}{6} = 1,1666...$. В этой записи первая цифра после запятой — это 1, а вторая цифра после запятой — это 6. Следовательно, $f(1\frac{1}{6}) = 6$.
Ответ: 6

г) Найдем $f((\sqrt{5})^2)$. Сначала упростим выражение в аргументе функции: $(\sqrt{5})^2 = 5$. Таким образом, нам нужно найти $f(5)$. Представим целое число 5 в виде бесконечной десятичной дроби, добавив десятичную запятую и нули: $5 = 5,0000...$. В этой записи первая цифра после запятой — это 0, и вторая цифра после запятой — тоже 0. Следовательно, $f((\sqrt{5})^2) = 0$.
Ответ: 0

1.18 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } 0 < x < 1 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \geq 1 \end{cases}$

a) Найдите $f(6,25); f(0,01); f(-3);$

б) постройте график функции;

в) найдите $D(f);$

г) найдите $E(f).$

а) Для нахождения значений функции необходимо определить, какому из двух промежутков принадлежит аргумент $x$.

1. Найдем $f(6,25)$. Так как $6,25 \ge 1$, используем вторую формулу: $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(6,25) = \sqrt{6,25} = 2,5$.

2. Найдем $f(0,01)$. Так как $0 < 0,01 < 1$, используем первую формулу: $f(x) = \frac{1}{x}$.
$f(0,01) = \frac{1}{0,01} = 100$.

3. Найдем $f(-3)$. Аргумент $x = -3$ не удовлетворяет ни одному из условий: ни $0 < -3 < 1$, ни $-3 \ge 1$. Следовательно, значение функции в этой точке не определено.

Ответ: $f(6,25) = 2,5$; $f(0,01) = 100$; $f(-3)$ не определено.

б) График функции состоит из двух частей.

1. На интервале $(0, 1)$ график совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x}$ (ветвь гиперболы).
При $x \to 0^+$, значение $y \to +\infty$. Это означает, что ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.
В точке $x=1$ значение функции стремится к $1$. Точка $(1, 1)$ не принадлежит этой части графика (она является "выколотой").
Некоторые контрольные точки для этой части: $(0,5; 2)$, $(0,25; 4)$, $(0,1; 10)$.

2. На промежутке $[1, +\infty)$ график совпадает с графиком функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$).
График начинается в точке $(1, \sqrt{1}) = (1, 1)$. Эта точка принадлежит графику.
Некоторые контрольные точки для этой части: $(1; 1)$, $(4; 2)$, $(9; 3)$.

Объединяя эти две части, мы получаем, что в точке $(1, 1)$ происходит "склейка" графика: выколотая точка от гиперболы заполняется точкой от графика корня. График представляет собой непрерывную кривую, которая сначала убывает на интервале $(0, 1)$ от $+\infty$ до 1, а затем возрастает на луче $[1, +\infty)$ от 1 до $+\infty$.

Ответ: График функции построен на основе анализа его частей: ветви гиперболы $y=1/x$ на $(0,1)$ и ветви параболы $y=\sqrt{x}$ на $[1, \infty)$, которые соединяются в точке $(1,1)$.

в) Область определения функции $D(f)$ — это множество всех значений $x$, для которых функция определена. Согласно условию, функция определена для $x$, удовлетворяющих либо неравенству $0 < x < 1$, либо неравенству $x \ge 1$.

Область определения является объединением этих двух множеств:
$D(f) = (0, 1) \cup [1, +\infty)$.

Это объединение дает нам все положительные числа.
$D(f) = (0, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (0, +\infty)$.

г) Область значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция $y=f(x)$. Найдем область значений для каждой части функции.

1. На интервале $x \in (0, 1)$ функция $f(x) = \frac{1}{x}$ является убывающей.
При $x \to 0^+$, $f(x) \to +\infty$.
При $x \to 1^-$, $f(x) \to 1$.
Следовательно, на этом интервале значения функции принадлежат промежутку $(1, +\infty)$.

2. На промежутке $x \in [1, +\infty)$ функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей.
Минимальное значение достигается в точке $x=1$: $f(1) = \sqrt{1} = 1$.
При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$.
Следовательно, на этом промежутке значения функции принадлежат промежутку $[1, +\infty)$.

Общая область значений функции является объединением областей значений ее частей:
$E(f) = (1, +\infty) \cup [1, +\infty)$.

Это объединение равно $[1, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [1, +\infty)$.

1.14 Используя график функции $y = f(x)$, изображённый на рис. 1, по-стройте график функции:

а) $y = f(-x)$

б) $y = -f(x)$

в) $y = -f(-x)$

г) $y = f(x - 1) + 2$

Рис. 1

Для построения графиков функций будем использовать правила преобразования графиков.

Определим ключевые точки исходного графика функции $y=f(x)$:

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $x = -6, x = -2, x = 4$. Точки: $(-6, 0), (-2, 0), (4, 0)$.
• Точка локального максимума: $(-4, 4)$.
• Точка локального минимума: $(1, -2)$.

График функции $y = f(-x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси ординат (оси OY). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(-x, y)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Нули функции: $(-(-6), 0) \rightarrow (6, 0)$; $(-(-2), 0) \rightarrow (2, 0)$; $(-(4), 0) \rightarrow (-4, 0)$. Новые нули: $x = -4, x = 2, x = 6$.
• Точка максимума: $(-(-4), 4) \rightarrow (4, 4)$.
• Точка минимума: $(-(1), -2) \rightarrow (-1, -2)$.

Ответ: Для построения графика $y=f(-x)$ нужно отразить исходный график симметрично относительно оси OY. Новый локальный максимум будет в точке $(4, 4)$, а локальный минимум — в точке $(-1, -2)$. Нули функции будут в точках $x = -4, x = 2, x = 6$.

График функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси OX). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(x, -y)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Нули функции: $(-6, -0) \rightarrow (-6, 0)$; $(-2, -0) \rightarrow (-2, 0)$; $(4, -0) \rightarrow (4, 0)$. Нули функции остаются на тех же местах: $x = -6, x = -2, x = 4$.
• Точка максимума $(-4, 4)$ переходит в точку локального минимума $(-4, -4)$.
• Точка минимума $(1, -2)$ переходит в точку локального максимума $(1, 2)$.

Ответ: Для построения графика $y=-f(x)$ нужно отразить исходный график симметрично относительно оси OX. Нули функции не изменятся ($x = -6, x = -2, x = 4$). Локальный максимум станет локальным минимумом в точке $(-4, -4)$, а локальный минимум — локальным максимумом в точке $(1, 2)$.

График функции $y = -f(-x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем центральной симметрии относительно начала координат (поворота на $180^\circ$). Это равносильно последовательному отражению относительно оси OY, а затем оси OX. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(-x, -y)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Нули функции: $(-(-6), -0) \rightarrow (6, 0)$; $(-(-2), -0) \rightarrow (2, 0)$; $(-(4), -0) \rightarrow (-4, 0)$. Новые нули: $x = -4, x = 2, x = 6$.
• Точка максимума $(-4, 4)$ переходит в точку локального минимума $(-(-4), -4) \rightarrow (4, -4)$.
• Точка минимума $(1, -2)$ переходит в точку локального максимума $(-(1), -(-2)) \rightarrow (-1, 2)$.

Ответ: Для построения графика $y=-f(-x)$ нужно отразить исходный график симметрично относительно начала координат. Новый локальный максимум будет в точке $(-1, 2)$, а локальный минимум — в точке $(4, -4)$. Нули функции будут в точках $x = -4, x = 2, x = 6$.

График функции $y = f(x-1) + 2$ получается из графика $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вправо вдоль оси OX и на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(x+1, y+2)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Бывшие нули функции: $(-6, 0) \rightarrow (-6+1, 0+2) = (-5, 2)$; $(-2, 0) \rightarrow (-2+1, 0+2) = (-1, 2)$; $(4, 0) \rightarrow (4+1, 0+2) = (5, 2)$.
• Точка максимума: $(-4, 4) \rightarrow (-4+1, 4+2) = (-3, 6)$.
• Точка минимума: $(1, -2) \rightarrow (1+1, -2+2) = (2, 0)$.

Новая точка локального минимума $(2, 0)$ лежит на оси OX. Это означает, что график касается оси абсцисс в этой точке, и это единственный нуль новой функции.

Ответ: Для построения графика $y = f(x-1) + 2$ нужно сдвинуть исходный график на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх. Новый локальный максимум будет в точке $(-3, 6)$, а локальный минимум — в точке $(2, 0)$. Функция будет иметь один нуль: $x=2$.

1.15 Используя график функции $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$, постройте график функции:

а) $y = f(|x|)$;

б) $y = |f(x)|$;

в) $y = |f(|x|)|$;

г) $y = -|f(|x|)|$.

Для построения требуемых графиков сначала проанализируем и построим базовый график функции $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

1. Найдем вершину параболы. Координата $x_0$ вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
   $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
   Координата $y_0$ вершины: $y_0 = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.
2. Найдем точки пересечения с осями координат.
   С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения — $(0, 3)$.
   С осью $Ox$ (при $y=0$): $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Теперь, имея ключевые точки, мы можем построить графики для каждого из подпунктов.

а) $y = f(|x|)$

Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, необходимо:

1. Построить график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$.
2. Удалить часть графика для $x < 0$.
3. Отобразить часть графика для $x \ge 0$ симметрично относительно оси $Oy$.

Применяем это правило к нашему графику $y = x^2 - 4x + 3$:

1. Мы оставляем часть исходной параболы, которая находится в правой полуплоскости (где $x \ge 0$). Эта часть проходит через точки $(0, 3)$, $(1, 0)$, имеет вершину в $(2, -1)$ и проходит через $(3, 0)$.
2. Отображаем эту часть симметрично относительно оси $Oy$.
   • Точка $(0, 3)$ останется на месте.
   • Точка $(1, 0)$ отобразится в $(-1, 0)$.
   • Вершина $(2, -1)$ отобразится в точку $(-2, -1)$.
   • Точка $(3, 0)$ отобразится в $(-3, 0)$.

В результате получается график, симметричный относительно оси $Oy$, похожий на букву "W".

Ответ: График функции $y = f(|x|)$ симметричен относительно оси $Oy$. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y = x^2 - 4x + 3$. Он имеет две вершины в точках $(2, -1)$ и $(-2, -1)$ и пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 3)$.

б) $y = |f(x)|$

Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, необходимо:

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Часть графика, которая находится выше или на оси $Ox$ (где $f(x) \ge 0$), оставить без изменений.
3. Часть графика, которая находится ниже оси $Ox$ (где $f(x) < 0$), отобразить симметрично относительно оси $Ox$.

Применяем это правило к нашему графику $y = x^2 - 4x + 3$:

1. Исходная парабола находится ниже оси $Ox$ на интервале между корнями, то есть при $x \in (1, 3)$.
2. Части параболы для $x \le 1$ и $x \ge 3$ остаются без изменений.
3. Часть параболы на интервале $(1, 3)$ симметрично отображается относительно оси $Ox$. В частности, вершина $(2, -1)$ переходит в точку $(2, 1)$.

Ответ: График функции $y = |f(x)|$ расположен полностью не ниже оси $Ox$. Он совпадает с исходной параболой при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$ и является отражением исходной параболы относительно оси $Ox$ при $x \in (1, 3)$. Вершина изначальной параболы $(2, -1)$ переходит в точку $(2, 1)$.

в) $y = |f(|x|)|$

Этот график можно получить, последовательно применив два предыдущих преобразования. Проще всего взять уже построенный график $y = f(|x|)$ из пункта а) и применить к нему преобразование модуля, как в пункте б).

1. Берем график из пункта а). Он имеет форму "W" с вершинами в $(2, -1)$ и $(-2, -1)$.
2. Части этого графика, находящиеся ниже оси $Ox$, — это участки между $x \in (-3, -1)$ и $x \in (1, 3)$.
3. Отображаем эти участки симметрично относительно оси $Ox$.
   • Вершина $(2, -1)$ переходит в точку $(2, 1)$.
   • Вершина $(-2, -1)$ переходит в точку $(-2, 1)$.

Весь график теперь будет находиться выше или на оси $Ox$.

Ответ: График функции $y = |f(|x|)|$ симметричен относительно оси $Oy$ и расположен не ниже оси $Ox$. Он имеет пики (локальные максимумы) в точках $(-2, 1)$, $(0, 3)$ и $(2, 1)$. Пересечения с осью $Ox$ (локальные минимумы) находятся в точках $(-3, 0), (-1, 0), (1, 0), (3, 0)$.

г) $y = -|f(|x|)|$

Чтобы построить этот график, нужно взять график из пункта в), то есть $y = |f(|x|)|$, и отобразить его симметрично относительно оси $Ox$.

1. Берем график $y = |f(|x|)|$, который мы построили в предыдущем пункте.
2. Знак "минус" перед всей функцией означает, что весь график нужно зеркально отразить относительно оси $Ox$.

В результате все точки с положительной координатой $y$ получат отрицательную координату $y$.

• Точка $(0, 3)$ перейдет в $(0, -3)$.
• Точки $(2, 1)$ и $(-2, 1)$ перейдут в $(2, -1)$ и $(-2, -1)$.
• Точки пересечения с осью $Ox$ останутся на месте: $(-3, 0), (-1, 0), (1, 0), (3, 0)$.

Получится перевернутая "W".

Ответ: График функции $y = -|f(|x|)|$ симметричен относительно оси $Oy$ и расположен не выше оси $Ox$. Он имеет локальные максимумы в точках $(-2, -1)$ и $(2, -1)$ и локальный минимум в точке $(0, -3)$.