Страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.6 а) $y = \sqrt{2x - 4} + \frac{2x + 3}{\sqrt{10 - 2.5x}}$;

б) $y = \sqrt{10x - 3x^2 - 3} + \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 4}} - \frac{1}{25 - 4x^2}$;

в) $y = \sqrt{2x^2 - 5x + 2} + \frac{2x^2 - 4}{\sqrt{10 - 2x}};

г) $y = \sqrt{x^2 - 36} + \frac{5x + 3}{\sqrt{11x - x^2 - 10}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{x^4 - 2401}$.

Для нахождения области определения функции необходимо найти множество всех значений переменной $x$, при которых функция имеет смысл. Это означает, что все операции, входящие в определение функции (извлечение корня, деление), должны быть выполнимы.

а) $y = \sqrt{2x - 4} + \frac{2x + 3}{\sqrt{10 - 2,5x}}$

Область определения данной функции находится из системы неравенств:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $2x - 4 \geq 0$.
2. Выражение под квадратным корнем в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку корень находится в знаменателе, значение не может быть равно нулю): $10 - 2,5x > 0$.

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x - 4 \geq 0 \\ 10 - 2,5x > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства: $2x \geq 4 \implies x \geq 2$.
Из второго неравенства: $10 > 2,5x \implies \frac{10}{2,5} > x \implies 4 > x$.

Объединяя условия, получаем: $2 \leq x < 4$.

Таким образом, область определения функции — это интервал $[2, 4)$.

Ответ: $D(y) = [2, 4)$.

б) $y = \sqrt{10x - 3x^2 - 3} + \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 4}} - \frac{1}{25 - 4x^2}$

Область определения данной функции находится из системы условий:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $10x - 3x^2 - 3 \geq 0$.
2. Выражение под квадратным корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $x^2 - 4 > 0$.
3. Знаменатель третьей дроби не должен быть равен нулю: $25 - 4x^2 \neq 0$.

Решим каждое условие по отдельности:

1. $-3x^2 + 10x - 3 \geq 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $3x^2 - 10x + 3 \leq 0$.
Найдём корни уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$. Дискриминант $D = 100 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 = 8^2$.
Корни: $x_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{10 + 8}{6} = 3$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $3x^2 - 10x + 3 \leq 0$ выполняется между корнями: $x \in [\frac{1}{3}, 3]$.

2. $x^2 - 4 > 0 \implies (x - 2)(x + 2) > 0$.
Решением является объединение интервалов $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

3. $25 - 4x^2 \neq 0 \implies 4x^2 \neq 25 \implies x^2 \neq \frac{25}{4} \implies x \neq \pm \frac{5}{2}$.

Теперь найдём пересечение всех полученных множеств:
$x \in [\frac{1}{3}, 3] \cap ((-\infty, -2) \cup (2, \infty))$ и $x \neq \pm 2,5$.
Пересечение $[\frac{1}{3}, 3]$ с $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ даёт интервал $(2, 3]$.
Из этого интервала нужно исключить точку $x = 2,5$. Точка $x = -2,5$ не входит в этот интервал.
Получаем объединение интервалов $(2, 2,5) \cup (2,5, 3]$.

Ответ: $D(y) = (2; 2,5) \cup (2,5; 3]$.

в) $y = \sqrt{2x^2 - 5x + 2} + \frac{2x^2 - 4}{\sqrt{10 - 2x}}$

Область определения функции находится из системы неравенств:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $2x^2 - 5x + 2 \geq 0$.
2. Выражение под квадратным корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $10 - 2x > 0$.

Решим каждое неравенство:

1. $2x^2 - 5x + 2 \geq 0$. Найдём корни уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 = 3^2$.
Корни: $x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется вне корней: $x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [2, \infty)$.

2. $10 - 2x > 0 \implies 10 > 2x \implies 5 > x$.

Найдём пересечение множеств $(-\infty, \frac{1}{2}] \cup [2, \infty)$ и $(-\infty, 5)$.
Пересечение $(-\infty, \frac{1}{2}]$ и $(-\infty, 5)$ даёт $(-\infty, \frac{1}{2}]$.
Пересечение $[2, \infty)$ и $(-\infty, 5)$ даёт $[2, 5)$.
Объединяя результаты, получаем область определения.

Ответ: $D(y) = (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [2, 5)$.

г) $y = \sqrt{x^2 - 36} + \frac{5x + 3}{\sqrt{11x - x^2 - 10}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{x^4 - 2401}$

Область определения данной функции находится из системы условий:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 36 \geq 0$.
2. Выражение под квадратным корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $11x - x^2 - 10 > 0$.
3. Знаменатель третьей дроби не должен быть равен нулю: $x^4 - 2401 \neq 0$. (Кубический корень в числителе определён для любых $x$).

Решим каждое условие по отдельности:

1. $x^2 - 36 \geq 0 \implies (x-6)(x+6) \geq 0$. Решение: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

2. $-x^2 + 11x - 10 > 0$. Умножим на -1: $x^2 - 11x + 10 < 0$.
Найдём корни уравнения $x^2 - 11x + 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 10$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (1, 10)$.

3. $x^4 - 2401 \neq 0 \implies x^4 \neq 2401$. Так как $2401 = 7^4$, то $x^4 \neq 7^4$.
Следовательно, $x \neq 7$ и $x \neq -7$.

Найдём пересечение всех полученных множеств:
$x \in ((-\infty, -6] \cup [6, \infty)) \cap (1, 10)$ и $x \neq \pm 7$.
Пересечение $(-\infty, -6] \cup [6, \infty)$ и $(1, 10)$ даёт интервал $[6, 10)$.
Из этого интервала нужно исключить точки $x=7$ и $x=-7$. Точка $x=-7$ не входит в интервал $[6, 10)$. Точку $x=7$ необходимо исключить.
Получаем объединение интервалов $[6, 7) \cup (7, 10)$.

Ответ: $D(y) = [6, 7) \cup (7, 10)$.

1.11 a) $y = \frac{1}{x} + 3;$

б) $y = \frac{5}{x + 3};$

В) $y = \frac{-2}{x} - 1;$

Г) $y = \frac{4}{1 - x}.$

а) Дана функция $y = \frac{1}{x} + 3$.
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В случае дробно-рациональной функции, знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.
В данной функции есть дробь $\frac{1}{x}$, знаменатель которой равен $x$.
Найдем значение $x$, которое недопустимо. Для этого приравняем знаменатель к нулю:
$x = 0$
Таким образом, $x$ не может быть равен 0. Все остальные действительные числа являются допустимыми.
Область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме 0.
В виде числовых промежутков это записывается так: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

б) Дана функция $y = \frac{5}{x+3}$.
Эта функция является дробно-рациональной. Ее область определения — это все действительные числа, за исключением тех значений $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.
Знаменатель дроби в данной функции равен $x+3$.
Найдем недопустимое значение $x$, приравняв знаменатель к нулю:
$x + 3 = 0$
$x = -3$
Следовательно, значение $x = -3$ нужно исключить из области определения.
Область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме -3.
В виде числовых промежутков: $(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

в) Дана функция $y = \frac{-2}{x} - 1$.
Данная функция, как и в пункте а), содержит дробь со знаменателем $x$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.
Знаменатель дроби равен $x$.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимое значение:
$x = 0$
Это значение необходимо исключить из области определения.
Область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме 0.
В виде числовых промежутков: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

г) Дана функция $y = \frac{4}{1-x}$.
Это дробно-рациональная функция. Чтобы найти ее область определения, нужно найти значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, и исключить их.
Знаменатель дроби равен $1-x$.
Найдем недопустимое значение $x$, приравняв знаменатель к нулю:
$1 - x = 0$
$x = 1$
Следовательно, значение $x = 1$ нужно исключить из области определения.
Область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме 1.
В виде числовых промежутков: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Постройте график заданной функции, найдите область определения и область значений функции:

1.7 a) $y = 2x - 3$;

б) $y = 6 - 3x$;

в) $y = \frac{x}{2} + 4$;

г) $y = -\frac{2x}{3} - 3$.

а) $y = 2x - 3$

Построение графика:
Функция $y = 2x - 3$ является линейной, её график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух её точек.
1. Найдём точку пересечения с осью OY (y-ось). Для этого подставим $x = 0$:
$y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$.
Первая точка имеет координаты $(0, -3)$.
2. Найдём точку пересечения с осью OX (x-ось). Для этого подставим $y = 0$:
$0 = 2x - 3$
$2x = 3$
$x = 1.5$.
Вторая точка имеет координаты $(1.5, 0)$.
Отмечаем точки $(0, -3)$ и $(1.5, 0)$ на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Область определения:
Выражение $2x - 3$ определено для любого действительного значения $x$. Никаких ограничений (деление на ноль, извлечение корня из отрицательного числа) нет. Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений:
Так как это линейная функция с угловым коэффициентом $k=2$, который не равен нулю, функция может принимать любое действительное значение. Следовательно, область значений функции — это множество всех действительных чисел.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: График функции — прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(1.5, 0)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 6 - 3x$

Построение графика:
Функция $y = 6 - 3x$ является линейной, её график — прямая. Для построения прямой найдём координаты двух её точек.
1. При $x = 0$:
$y = 6 - 3 \cdot 0 = 6$.
Первая точка — $(0, 6)$.
2. При $x = 2$:
$y = 6 - 3 \cdot 2 = 6 - 6 = 0$.
Вторая точка — $(2, 0)$.
Отмечаем точки $(0, 6)$ и $(2, 0)$ на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Область определения:
Выражение $6 - 3x$ определено для любого действительного значения $x$. Ограничений нет.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений:
Это линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом ($k=-3$). Она принимает все действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: График функции — прямая, проходящая через точки $(0, 6)$ и $(2, 0)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = \frac{x}{2} + 4$

Построение графика:
Функция $y = \frac{x}{2} + 4$ является линейной, её график — прямая. Найдём координаты двух точек для построения.
1. При $x = 0$:
$y = \frac{0}{2} + 4 = 4$.
Первая точка — $(0, 4)$.
2. При $x = 2$:
$y = \frac{2}{2} + 4 = 1 + 4 = 5$.
Вторая точка — $(2, 5)$.
Отмечаем точки $(0, 4)$ и $(2, 5)$ на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Область определения:
Выражение $\frac{x}{2} + 4$ определено для любого действительного значения $x$. Ограничений нет.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений:
Это линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом ($k=\frac{1}{2}$). Она принимает все действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: График функции — прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(2, 5)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

г) $y = -\frac{2x}{3} - 3$

Построение графика:
Функция $y = -\frac{2x}{3} - 3$ является линейной, её график — прямая. Найдём координаты двух точек. Для удобства вычислений будем выбирать значения $x$, кратные 3.
1. При $x = 0$:
$y = -\frac{2 \cdot 0}{3} - 3 = -3$.
Первая точка — $(0, -3)$.
2. При $x = 3$:
$y = -\frac{2 \cdot 3}{3} - 3 = -2 - 3 = -5$.
Вторая точка — $(3, -5)$.
Отмечаем точки $(0, -3)$ и $(3, -5)$ на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Область определения:
Выражение $-\frac{2x}{3} - 3$ определено для любого действительного значения $x$. Ограничений нет.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений:
Это линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом ($k=-\frac{2}{3}$). Она принимает все действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: График функции — прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(3, -5)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

1.12 a) $y = |x|$;

б) $y = |x - 2|$;

В) $y = -|x|$;

Г) $y = 3 - |x|$.

а) $y = |x|$

Функция $y = |x|$ называется модулем или абсолютным значением $x$. По определению модуля:

$y = |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Это означает, что график функции состоит из двух частей:

1. Для неотрицательных значений $x$ ($x \ge 0$), график совпадает с прямой $y = x$. Это биссектриса первого координатного угла. Она проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 2) и так далее.

2. Для отрицательных значений $x$ ($x < 0$), график совпадает с прямой $y = -x$. Это биссектриса второго координатного угла. Она проходит через точки (-1, 1), (-2, 2), (-3, 3) и так далее.

Соединив эти две части, мы получим график в виде "галочки" или буквы "V", вершина которой находится в начале координат (0, 0), а ветви направлены вверх.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" с вершиной в точке (0, 0), состоящую из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$.

б) $y = |x - 2|$

Этот график можно получить из графика базовой функции $y = |x|$ с помощью геометрических преобразований. Преобразование вида $f(x) \rightarrow f(x - a)$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox).

В данном случае $a = 2$, поэтому мы сдвигаем график $y = |x|$ на 2 единицы вправо. Вершина "галочки", которая была в точке (0, 0), переместится в точку (2, 0).

Альтернативно, можно раскрыть модуль:

$y = |x - 2| = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 \\ -(x - 2) = 2 - x, & \text{если } x - 2 < 0 \implies x < 2 \end{cases}$

Ключевые точки для построения: вершина (2, 0); точка пересечения с осью Oy (при $x = 0$, $y = |0-2| = 2$) - (0, 2); другие точки, например (1, 1), (3, 1), (4, 2).

Ответ: График функции $y = |x - 2|$ — это "галочка", полученная сдвигом графика $y = |x|$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина графика находится в точке (2, 0).

в) $y = -|x|$

Этот график также можно получить из графика $y = |x|$. Преобразование вида $f(x) \rightarrow -f(x)$ соответствует симметричному отражению графика функции $f(x)$ относительно оси абсцисс (Ox).

Таким образом, график $y = -|x|$ является отражением графика $y = |x|$ относительно оси Ox. "Галочка", которая была направлена ветвями вверх, теперь будет направлена ветвями вниз. Вершина останется в той же точке (0, 0).

Раскрывая модуль:

$y = -|x| = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -(-x) = x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График состоит из двух лучей: $y = -x$ для $x \ge 0$ (биссектриса четвертого координатного угла) и $y = x$ для $x < 0$ (часть биссектрисы второго координатного угла, но лежащая в третьей четверти). Ключевые точки: (0, 0), (1, -1), (2, -2), (-1, -1), (-2, -2).

Ответ: График функции $y = -|x|$ — это "галочка", симметричная графику $y = |x|$ относительно оси Ox. Вершина находится в точке (0, 0), а ветви направлены вниз.

г) $y = 3 - |x|$

Этот график можно получить из графика $y = |x|$ в два шага. Удобнее представить функцию как $y = -|x| + 3$.

1. Сначала строим график $y = -|x|$. Как мы выяснили в пункте в), это "галочка" с вершиной в (0, 0), ветвями вниз.

2. Затем выполняем преобразование вида $f(x) \rightarrow f(x) + b$. В нашем случае это $y = (-|x|) + 3$. Это соответствует сдвигу графика $y = -|x|$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy).

Таким образом, вершина графика, которая была в точке (0, 0) для $y = -|x|$, переместится в точку (0, 3). Ветви по-прежнему будут направлены вниз.

Раскрывая модуль:

$y = 3 - |x| = \begin{cases} 3 - x, & \text{если } x \ge 0 \\ 3 - (-x) = 3 + x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ключевые точки: вершина (0, 3); точки пересечения с осью Ox (при $y = 0$, $3 - |x| = 0 \implies |x| = 3 \implies x = \pm 3$) - это точки (-3, 0) и (3, 0).

Ответ: График функции $y = 3 - |x|$ — это "галочка" с ветвями, направленными вниз, полученная сдвигом графика $y = -|x|$ на 3 единицы вверх. Вершина графика находится в точке (0, 3).

1.8 a) $y = x^2 + 2;$

б) $y = 3 - 2x^2;$

В) $y = \frac{1}{2}x^2 - 4;$

Г) $y = -1.5x^2 - 2.$

а) $y = x^2 + 2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = 0$ и $c = 2$. Графиком этой функции является парабола. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ можно найти по формуле для абсциссы вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и последующей подстановкой $x_0$ в уравнение для нахождения ординаты $y_0$.

Найдем абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0 = 0$ в уравнение функции:
$y_0 = (0)^2 + 2 = 2$.

Таким образом, координаты вершины параболы: $(0; 2)$.
Также можно заметить, что график функции $y = x^2 + 2$ получается из графика базовой параболы $y = x^2$ путем сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Поскольку вершина параболы $y = x^2$ находится в точке $(0; 0)$, то вершина параболы $y = x^2 + 2$ будет в точке $(0; 2)$.

Ответ: $(0; 2)$.

б) $y = 3 - 2x^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -2x^2 + 3$. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -2$, $b = 0$ и $c = 3$. Графиком является парабола.

Найдем абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_0 = 0$ в уравнение функции:
$y_0 = 3 - 2 \cdot (0)^2 = 3$.

Координаты вершины параболы: $(0; 3)$.
График этой функции получается из графика параболы $y = -2x^2$ (вершина которой в точке $(0; 0)$) сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси ординат. Следовательно, вершина находится в точке $(0; 3)$.

Ответ: $(0; 3)$.

в) $y = \frac{1}{2}x^2 - 4$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = \frac{1}{2}$, $b = 0$ и $c = -4$. Графиком является парабола.

Найдем абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 0$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_0 = 0$ в уравнение функции:
$y_0 = \frac{1}{2}(0)^2 - 4 = -4$.

Координаты вершины параболы: $(0; -4)$.
График этой функции получается из графика параболы $y = \frac{1}{2}x^2$ (вершина в $(0; 0)$) сдвигом на 4 единицы вниз вдоль оси ординат. Следовательно, вершина находится в точке $(0; -4)$.

Ответ: $(0; -4)$.

г) $y = -1,5x^2 - 2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -1,5$, $b = 0$ и $c = -2$. Графиком является парабола.

Найдем абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1,5)} = 0$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_0 = 0$ в уравнение функции:
$y_0 = -1,5 \cdot (0)^2 - 2 = -2$.

Координаты вершины параболы: $(0; -2)$.
График этой функции получается из графика параболы $y = -1,5x^2$ (вершина в $(0; 0)$) сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. Следовательно, вершина находится в точке $(0; -2)$.

Ответ: $(0; -2)$.

1.13 Найдите область определения и область значений функции:

a) $y = \frac{1}{16x^2 - 49}$;

в) $y = \frac{1}{9 - 25x^2}$;

б) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 3}$;

г) $y = \sqrt{3x - x^2 + 18}$.

а) $y = \frac{1}{16x^2 - 49}$

Область определения:

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$16x^2 - 49 = 0$

$16x^2 = 49$

$x^2 = \frac{49}{16}$

$x = \pm\sqrt{\frac{49}{16}}$

$x = \pm\frac{7}{4}$

Таким образом, область определения функции ($D(y)$) — это все действительные числа, кроме $x = -\frac{7}{4}$ и $x = \frac{7}{4}$.

$D(y): x \in (-\infty; -\frac{7}{4}) \cup (-\frac{7}{4}; \frac{7}{4}) \cup (\frac{7}{4}; +\infty)$.

Область значений:

Чтобы найти область значений ($E(y)$), исследуем, какие значения может принимать знаменатель $z = 16x^2 - 49$. Это парабола с ветвями вверх, ее вершина находится в точке $x=0$, где $z = 16(0)^2 - 49 = -49$. Это минимальное значение знаменателя. Таким образом, знаменатель может принимать значения в диапазоне $[-49, +\infty)$. Однако, мы уже установили, что $z \neq 0$. Следовательно, множество значений знаменателя: $[-49, 0) \cup (0, +\infty)$.

Рассмотрим, какие значения принимает $y = \frac{1}{z}$:

• Если $z$ принимает значения из интервала $(0, +\infty)$, то $y$ принимает значения $(0, +\infty)$.
• Если $z$ принимает значения из интервала $[-49, 0)$, то $y$ принимает значения $(-\infty, -\frac{1}{49}]$.

Объединяя эти два случая, получаем область значений функции.

$E(y): y \in (-\infty; -\frac{1}{49}] \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -\frac{7}{4}) \cup (-\frac{7}{4}; \frac{7}{4}) \cup (\frac{7}{4}; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; -\frac{1}{49}] \cup (0; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 3}$

Область определения:

Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$x^2 + 4x + 3 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

График функции $f(x) = x^2 + 4x + 3$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на промежутках, где парабола находится выше или на оси абсцисс, то есть вне интервала между корнями.

$D(y): x \in (-\infty; -3] \cup [-1; +\infty)$.

Область значений:

По определению, арифметический квадратный корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$.

Рассмотрим подкоренное выражение $u(x) = x^2 + 4x + 3$ на области определения. Минимальное значение этого выражения достигается на границах области определения, то есть в точках $x=-3$ и $x=-1$. В этих точках $u(-3) = u(-1) = 0$. При $x \to \pm\infty$, $u(x) \to +\infty$.

Таким образом, подкоренное выражение принимает значения из промежутка $[0, +\infty)$. Следовательно, функция $y = \sqrt{u}$ будет принимать значения от $\sqrt{0}$ до $+\infty$.

$E(y): y \in [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -3] \cup [-1; +\infty)$. Область значений: $y \in [0; +\infty)$.

в) $y = \frac{1}{9 - 25x^2}$

Область определения:

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$9 - 25x^2 \neq 0$

$25x^2 \neq 9$

$x^2 \neq \frac{9}{25}$

$x \neq \pm\frac{3}{5}$

$D(y): x \in (-\infty; -\frac{3}{5}) \cup (-\frac{3}{5}; \frac{3}{5}) \cup (\frac{3}{5}; +\infty)$.

Область значений:

Рассмотрим знаменатель $z = 9 - 25x^2$. Это парабола с ветвями вниз, ее вершина находится в точке $x=0$, где $z = 9 - 25(0)^2 = 9$. Это максимальное значение знаменателя. Таким образом, знаменатель принимает значения в диапазоне $(-\infty, 9]$. Так как $z \neq 0$, множество значений знаменателя: $(-\infty, 0) \cup (0, 9]$.

Рассмотрим, какие значения принимает $y = \frac{1}{z}$:

• Если $z$ принимает значения из интервала $(0, 9]$, то $y$ принимает значения $[\frac{1}{9}, +\infty)$.
• Если $z$ принимает значения из интервала $(-\infty, 0)$, то $y$ принимает значения $(-\infty, 0)$.

Объединяя эти два случая, получаем область значений функции.

$E(y): y \in (-\infty; 0) \cup [\frac{1}{9}; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -0.6) \cup (-0.6; 0.6) \cup (0.6; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0) \cup [\frac{1}{9}; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{3x - x^2 + 18}$

Область определения:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательно:

$-x^2 + 3x + 18 \ge 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:

$x^2 - 3x - 18 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$.

График функции $f(x) = x^2 - 3x - 18$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

$D(y): x \in [-3; 6]$.

Область значений:

Функция $y$ принимает неотрицательные значения, $y \ge 0$. Чтобы найти максимальное значение $y$, нужно найти максимальное значение подкоренного выражения $u(x) = -x^2 + 3x + 18$ на отрезке $[-3; 6]$.

График $u(x)$ — парабола с ветвями вниз. Максимальное значение достигается в вершине. Координата вершины по оси $x$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2(-1)} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Так как $1.5 \in [-3; 6]$, то максимальное значение подкоренного выражения будет в этой точке:

$u_{max} = -(1.5)^2 + 3(1.5) + 18 = -2.25 + 4.5 + 18 = 20.25 = \frac{81}{4}$.

Минимальное значение подкоренного выражения на области определения равно 0 (в точках $x=-3$ и $x=6$).

Следовательно, подкоренное выражение принимает значения из отрезка $[0; 20.25]$. Тогда функция $y$ принимает значения от $\sqrt{0}$ до $\sqrt{20.25}$.

$y_{min} = 0$

$y_{max} = \sqrt{20.25} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4.5$

$E(y): y \in [0; 4.5]$.

Ответ: Область определения: $x \in [-3; 6]$. Область значений: $y \in [0; 4.5]$.

1.9 a) $y = \sqrt{x};$

б) $y = \sqrt{x-3};$

В) $y = -\sqrt{x};$

Г) $y = -\sqrt{x} + 2.$

а) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x}$.

Область определения функции (D(y)) — это множество всех допустимых значений аргумента x. Так как выражение под знаком арифметического квадратного корня должно быть неотрицательным, получаем условие:

$x \ge 0$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений функции (E(y)) — это множество всех значений, которые может принимать функция y. По определению, арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, поэтому:

$y = \sqrt{x} \ge 0$

Следовательно, область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x-3}$.

Область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x - 3 \ge 0$

$x \ge 3$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [3; +\infty)$.

Область значений функции. Арифметический квадратный корень всегда возвращает неотрицательное значение:

$y = \sqrt{x-3} \ge 0$

Следовательно, область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [3; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

в) Рассмотрим функцию $y = -\sqrt{x}$.

Область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений функции. Мы знаем, что $\sqrt{x} \ge 0$. Умножим обе части этого неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$-\sqrt{x} \le 0$

Так как $y = -\sqrt{x}$, получаем $y \le 0$.

Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

г) Рассмотрим функцию $y = -\sqrt{x} + 2$.

Область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений функции. Начнем с известного свойства корня:

$\sqrt{x} \ge 0$

Умножим на -1:

$-\sqrt{x} \le 0$

Прибавим 2 к обеим частям неравенства:

$-\sqrt{x} + 2 \le 2$

Так как $y = -\sqrt{x} + 2$, получаем $y \le 2$.

Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 2]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 2]$.

1.10 a) $y = x^2 + 3x - 28$;

б) $y = -x^2 - 2x + 24$.

а) $y = x^2 + 3x - 28$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1, b=3, c=-28$. Графиком является парабола. Проведем ее полный анализ.

1. Направление ветвей параболы.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Точки пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$, подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 + 3 \cdot 0 - 28 = -28$.

Следовательно, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0; -28)$.

Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$ (также называемых нулями функции), решим уравнение $y = 0$:

$x^2 + 3x - 28 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Таким образом, точки пересечения с осью $Ox$ — это $(-7; 0)$ и $(4; 0)$.

3. Координаты вершины параболы.

Абсцисса вершины $x_в$ вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.

Для нахождения ординаты вершины $y_в$, подставим значение $x_в$ в уравнение функции:

$y_в = (-1.5)^2 + 3 \cdot (-1.5) - 28 = 2.25 - 4.5 - 28 = -2.25 - 28 = -30.25$.

Координаты вершины параболы — $(-1.5; -30.25)$.

Ответ: для функции $y = x^2 + 3x - 28$: нули функции $x = -7$ и $x = 4$; координаты вершины $(-1.5; -30.25)$; точка пересечения с осью $Oy$ — $(0; -28)$; ветви параболы направлены вверх.

б) $y = -x^2 - 2x + 24$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-1, b=-2, c=24$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей параболы.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Точки пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$, подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y(0) = -0^2 - 2 \cdot 0 + 24 = 24$.

Следовательно, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0; 24)$.

Для нахождения нулей функции решим уравнение $y = 0$:

$-x^2 - 2x + 24 = 0$.

Для удобства умножим все члены уравнения на $-1$:

$x^2 + 2x - 24 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$ (для нового уравнения $a=1, b=2, c=-24$):

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Точки пересечения с осью $Ox$ — это $(-6; 0)$ и $(4; 0)$.

3. Координаты вершины параболы.

Абсцисса вершины $x_в$ вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$ (используем исходные коэффициенты $a=-1, b=-2$):

$x_в = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1$.

Для нахождения ординаты вершины $y_в$, подставим $x_в = -1$ в исходное уравнение функции:

$y_в = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 24 = -1 + 2 + 24 = 25$.

Координаты вершины параболы — $(-1; 25)$.

Ответ: для функции $y = -x^2 - 2x + 24$: нули функции $x = -6$ и $x = 4$; координаты вершины $(-1; 25)$; точка пересечения с осью $Oy$ — $(0; 24)$; ветви параболы направлены вниз.