Страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4.2 Первая четверть разделена на две равные части точкой $M$, а четвёртая — на три равные части точками $K$ и $P$. Чему равна длина дуги: $AM$, $BD$, $CK$, $MP$, $DM$, $MK$, $CP$, $PC$?

Для решения задачи будем использовать модель единичной окружности, на которой длина дуги измеряется в радианах. Полный оборот по окружности составляет $2\pi$ радиан. Четверть окружности имеет длину дуги, равную $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Примем стандартное расположение точек на координатных осях, которые делят окружность на четыре четверти:

• Точка A соответствует началу отсчета, угол $0$ радиан.
• Точка B — конец первой четверти, угол $\frac{\pi}{2}$ радиан.
• Точка C — конец второй четверти, угол $\pi$ радиан.
• Точка D — конец третьей четверти, угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан.

Длину дуги XY будем находить как расстояние от точки X до точки Y при движении против часовой стрелки.

Согласно условию:

1. Первая четверть (дуга AB) разделена точкой M на две равные части. Это значит, что M — середина дуги AB. Её угол равен $\alpha_M = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$ радиан.

2. Четвертая четверть (дуга DA, от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$) разделена точками K и P на три равные части. Длина каждой такой части составляет $\frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}$ радиан. При движении против часовой стрелки от D к A точки располагаются в порядке D, K, P, A.

• Угол точки K: $\alpha_K = \alpha_D + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi + \pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$ радиан.
• Угол точки P: $\alpha_P = \alpha_K + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{10\pi + \pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ радиан.

Теперь вычислим длины требуемых дуг.

AM

Длина дуги от точки A (угол $0$) до точки M (угол $\frac{\pi}{4}$) равна разности их угловых величин: $l_{AM} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

BD

Длина дуги от точки B (угол $\frac{\pi}{2}$) до точки D (угол $\frac{3\pi}{2}$) равна: $l_{BD} = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$

CK

Длина дуги от точки C (угол $\pi$) до точки K (угол $\frac{5\pi}{3}$) равна: $l_{CK} = \frac{5\pi}{3} - \pi = \frac{5\pi - 3\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

MP

Длина дуги от точки M (угол $\frac{\pi}{4}$) до точки P (угол $\frac{11\pi}{6}$) равна: $l_{MP} = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{22\pi - 3\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{19\pi}{12}$

DM

Движение от D (угол $\frac{3\pi}{2}$) к M (угол $\frac{\pi}{4}$) происходит через точку A (начало отсчета). Длину дуги можно найти, сложив длины дуг DA и AM: $l_{DM} = l_{DA} + l_{AM} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi + \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

MK

Длина дуги от точки M (угол $\frac{\pi}{4}$) до точки K (угол $\frac{5\pi}{3}$) равна: $l_{MK} = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{20\pi - 3\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{17\pi}{12}$

CP

Длина дуги от точки C (угол $\pi$) до точки P (угол $\frac{11\pi}{6}$) равна: $l_{CP} = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{11\pi - 6\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

PC

Движение от P (угол $\frac{11\pi}{6}$) к C (угол $\pi$) происходит через точку A. Длину дуги можно найти, сложив длины дуг PA и AC. Длина дуги PA равна $\frac{\pi}{6}$ (треть четвертой четверти). Длина дуги AC равна $\pi$ (первая и вторая четверти). Итак, $l_{PC} = l_{PA} + l_{AC} = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{6}$

4.7 a) $\frac{\pi}{3}$;

б) $\frac{\pi}{4}$;

в) $\frac{\pi}{6}$;

г) $\frac{\pi}{8}$.

Для того чтобы перевести величину угла из радианной меры в градусную, необходимо значение угла в радианах умножить на множитель $ \frac{180°}{\pi} $.

а)

Выполним перевод для угла $ \frac{\pi}{3} $ радиан:

$ \frac{\pi}{3} \times \frac{180°}{\pi} = \frac{180°}{3} = 60° $

Ответ: $60°$.

б)

Выполним перевод для угла $ \frac{\pi}{4} $ радиан:

$ \frac{\pi}{4} \times \frac{180°}{\pi} = \frac{180°}{4} = 45° $

Ответ: $45°$.

в)

Выполним перевод для угла $ \frac{\pi}{6} $ радиан:

$ \frac{\pi}{6} \times \frac{180°}{\pi} = \frac{180°}{6} = 30° $

Ответ: $30°$.

г)

Выполним перевод для угла $ \frac{\pi}{8} $ радиан:

$ \frac{\pi}{8} \times \frac{180°}{\pi} = \frac{180°}{8} = \frac{45°}{2} = 22,5° $

Ответ: $22,5°$.

4.12 Что вы можете сказать о взаимном расположении точек, соответствующих заданным числам, на координатной прямой и на числовой окружности:

а) $t$ и $-t$;

б) $t$ и $t + 2\pi k, k \in Z$;

в) $t$ и $t + \pi$;

г) $t + \pi$ и $t - \pi$?

а) t и -t

На координатной прямой:
Точки, соответствующие числам $t$ и $-t$, расположены на одинаковом расстоянии $|t|$ от начала координат (точки 0), но в противоположных направлениях. Таким образом, эти точки симметричны относительно начала координат. Исключение составляет случай, когда $t = 0$, тогда точки $t$ и $-t$ совпадают в начале координат. Расстояние между точками равно $|t - (-t)| = |2t|$.

На числовой окружности:
Точке с координатой $t$ соответствует точка на окружности $P_t(\cos t, \sin t)$. Точке с координатой $-t$ соответствует точка $P_{-t}(\cos(-t), \sin(-t))$. Используя свойства тригонометрических функций, получаем $P_{-t}(\cos t, -\sin t)$. Точки $(\cos t, \sin t)$ и $(\cos t, -\sin t)$ имеют одинаковую абсциссу и противоположные ординаты. Следовательно, эти точки симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox). Если $t = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, то $\sin t = 0$, и точки совпадают (в точках (1, 0) или (-1, 0)).

Ответ: На координатной прямой точки симметричны относительно начала координат (при $t \neq 0$). На числовой окружности точки симметричны относительно оси абсцисс (при $t \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$).

б) t и t + 2πk, k ∈ Z

На координатной прямой:
Если $k = 0$, то числа $t$ и $t + 2\pi \cdot 0$ равны, и соответствующие им точки совпадают. Если $k \neq 0$, то это разные числа, и им соответствуют разные точки. Точка $t + 2\pi k$ смещена относительно точки $t$ на расстояние $|2\pi k|$ вправо (если $k > 0$) или влево (если $k < 0$).

На числовой окружности:
Длина числовой окружности равна $2\pi$. Число $2\pi k$ соответствует $k$ полным оборотам по окружности (против часовой стрелки при $k > 0$ и по часовой стрелке при $k < 0$). Добавление $2\pi k$ к числу $t$ означает, что мы, выйдя из точки, соответствующей $t$, совершаем $k$ полных оборотов и возвращаемся в ту же самую точку. Таким образом, числа $t$ и $t + 2\pi k$ при любом целом $k$ соответствуют одной и той же точке на числовой окружности.

Ответ: На координатной прямой это разные точки (при $k \neq 0$), расположенные на расстоянии $|2\pi k|$ друг от друга. На числовой окружности эти точки совпадают.

в) t и t + π

На координатной прямой:
Это две различные точки. Точка, соответствующая числу $t + \pi$, расположена правее точки, соответствующей числу $t$, на расстоянии $\pi$.

На числовой окружности:
Число $\pi$ соответствует половине полного оборота по окружности ($180^\circ$). Чтобы из точки $t$ попасть в точку $t+\pi$, нужно повернуться на пол-оборота. Точки, отличающиеся на $\pi$, являются диаметрально противоположными. Если точке $t$ соответствуют координаты $(\cos t, \sin t)$, то точке $t+\pi$ соответствуют координаты $(\cos(t+\pi), \sin(t+\pi)) = (-\cos t, -\sin t)$. Эти точки симметричны относительно начала координат.

Ответ: На координатной прямой это две различные точки, расстояние между которыми равно $\pi$. На числовой окружности это две диаметрально противоположные точки (симметричные относительно центра окружности).

г) t + π и t - π

На координатной прямой:
Это две различные точки. Расстояние между ними равно $|(t + \pi) - (t - \pi)| = |2\pi|$. Эти точки расположены симметрично относительно точки, соответствующей числу $t$.

На числовой окружности:
Рассмотрим разность этих двух чисел: $(t + \pi) - (t - \pi) = 2\pi$. Так как разность чисел равна $2\pi$, что соответствует одному полному обороту по окружности, то эти числа определяют одну и ту же точку на числовой окружности. Эта точка, как было показано в пункте в), является диаметрально противоположной точке, соответствующей числу $t$.

Ответ: На координатной прямой это две различные точки, расстояние между которыми равно $2\pi$. На числовой окружности эти точки совпадают.

4.3 Первая четверть разделена точкой $M$ в отношении $2 : 3$, считая от точки $A$. Чему равна длина дуги: $AM, MB, DM, MC$?

Для решения задачи будем рассматривать единичную окружность, длина которой равна $2\pi$. Стандартные точки на ней A, B, C, D соответствуют углам 0, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$ радиан. Первая четверть — это дуга AB, соединяющая точки A и B. Ее длина составляет четверть от полной длины окружности:
Длина дуги AB = $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

AM
По условию, точка M делит дугу первой четверти AB в отношении $2:3$, считая от точки A. Это означает, что отношение длины дуги AM к длине дуги MB составляет $2:3$. Таким образом, всю дугу AB можно разделить на $2+3=5$ равных частей. Длина дуги AM составляет 2 из этих 5 частей.
Длина дуги AM = $\frac{2}{5} \times (\text{длина дуги AB}) = \frac{2}{5} \times \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$.
Ответ: $\frac{\pi}{5}$

MB
Длина дуги MB составляет 3 из 5 частей дуги AB.
Длина дуги MB = $\frac{3}{5} \times (\text{длина дуги AB}) = \frac{3}{5} \times \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{10}$.
Проверим: Длина AM + Длина MB = $\frac{\pi}{5} + \frac{3\pi}{10} = \frac{2\pi}{10} + \frac{3\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$, что равно длине дуги AB.
Ответ: $\frac{3\pi}{10}$

DM
Для нахождения длины дуги DM определим положение точек D и M на окружности. Примем положение точки A за 0.
Положение точки D соответствует углу $\frac{3\pi}{2}$.
Положение точки M равно длине дуги AM, отсчитанной от точки A, то есть $\frac{\pi}{5}$.
Длина дуги DM (измеряемая против часовой стрелки) равна сумме длин дуг DA и AM. Дуга DA — это четвертая четверть, ее длина равна $\frac{\pi}{2}$.
Длина дуги DM = (длина дуги DA) + (длина дуги AM) = $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{10} + \frac{2\pi}{10} = \frac{7\pi}{10}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{10}$

MC
Положение точки M соответствует углу $\frac{\pi}{5}$, а положение точки C — углу $\pi$.
Длина дуги MC (измеряемая против часовой стрелки) равна разности их угловых координат:
Длина дуги MC = (положение C) - (положение M) = $\pi - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{5} - \frac{\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}$.
Этот результат можно также получить, сложив длины дуг MB и BC. Дуга BC — это вторая четверть, ее длина $\frac{\pi}{2}$.
Длина дуги MC = (длина дуги MB) + (длина дуги BC) = $\frac{3\pi}{10} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{10} + \frac{5\pi}{10} = \frac{8\pi}{10} = \frac{4\pi}{5}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{5}$

4.8 а) $\frac{2\pi}{3}$;

б) $\frac{3\pi}{4}$;

в) $\frac{5\pi}{6}$;

г) $\frac{5\pi}{4}$.

а) Для перевода радианной меры угла в градусную используется формула, основанная на соотношении $ \pi \text{ рад} = 180^\circ $. Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить радианную меру на $ \frac{180^\circ}{\pi} $.
Для угла $ \frac{2\pi}{3} $ получаем:
$ \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ $.
Ответ: $ 120^\circ $.

б) Выполним перевод для угла $ \frac{3\pi}{4} $:
$ \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ $.
Ответ: $ 135^\circ $.

в) Выполним перевод для угла $ \frac{5\pi}{6} $:
$ \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ $.
Ответ: $ 150^\circ $.

г) Выполним перевод для угла $ \frac{5\pi}{4} $:
$ \frac{5\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{4} = 5 \cdot 45^\circ = 225^\circ $.
Ответ: $ 225^\circ $.

4.13 Запишите все числа, которым соответствует на числовой окружности точка:

а) $M_1 \left(\frac{\pi}{4}\right)$;

б) $M_2(5)$;

в) $M_3 \left(\frac{3\pi}{4}\right)$;

г) $M_4(-3)$.

На числовой окружности каждой точке соответствует бесконечное множество чисел. Это связано с тем, что движение по окружности является периодическим. Если точка $M$ на окружности соответствует числу $t$, то она также соответствует любому числу вида $t + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$), так как $2\pi$ — это длина полной окружности (период).

а) Для точки $M_1\left(\frac{\pi}{4}\right)$ одно из соответствующих чисел равно $\frac{\pi}{4}$. Чтобы найти все остальные числа, нужно прибавить к этому значению целое число полных оборотов, то есть $2\pi k$.
Таким образом, все числа, которым соответствует точка $M_1$, описываются формулой: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для точки $M_2(5)$ одно из чисел равно $5$. По аналогии с предыдущим пунктом, все числа, соответствующие этой точке, находятся путем добавления целого числа полных оборотов.
Формула для всех чисел, соответствующих точке $M_2$, имеет вид: $5 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $5 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Для точки $M_3\left(\frac{3\pi}{4}\right)$ начальное значение равно $\frac{3\pi}{4}$. Все числа, соответствующие этой точке, образуют множество, которое можно описать общей формулой.
Все числа для точки $M_3$ задаются выражением: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для точки $M_4(-3)$ одно из чисел равно $-3$. Знак минус означает, что отсчет велся по часовой стрелке. Тем не менее, общая формула для нахождения всех чисел, соответствующих одной и той же точке, остается неизменной.
Все числа для точки $M_4$ описываются формулой: $-3 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-3 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4.4 Третья четверть разделена точкой P в отношении 1 : 5, считая от точки C. Чему равна длина дуги: CP, PD, AP?

Для решения задачи будем исходить из того, что рассматривается единичная окружность, на которой углы измеряются в радианах. Длина всей окружности составляет $2\pi$. Четверти отсчитываются против часовой стрелки от точки A, которая соответствует углу $0$ радиан.

Третья четверть находится между точкой C (конец второй четверти) и точкой D (конец третьей четверти).

• Угол, соответствующий точке C, равен $\pi$ радиан.
• Угол, соответствующий точке D, равен $\frac{3\pi}{2}$ радиан.

Таким образом, длина дуги третьей четверти (дуги CD) равна разности этих углов:
Длина дуги $CD = \frac{3\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2}$.

Согласно условию, точка P делит дугу CD в отношении $1:5$, считая от точки C. Это значит, что вся дуга, имеющая длину $\frac{\pi}{2}$, разделена на $1+5=6$ равных частей.

CP

Длина дуги CP составляет одну из шести частей дуги CD.
Длина дуги $CP = \frac{1}{1+5} \times (\text{длина дуги CD}) = \frac{1}{6} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{12}$.
Ответ: $\frac{\pi}{12}$

PD

Длина дуги PD составляет пять из шести частей дуги CD.
Длина дуги $PD = \frac{5}{1+5} \times (\text{длина дуги CD}) = \frac{5}{6} \times \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12}$.
Для проверки можно сложить длины дуг: $CP + PD = \frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$, что совпадает с длиной дуги CD.
Ответ: $\frac{5\pi}{12}$

AP

Длина дуги AP измеряется от начальной точки A (угол $0$) до точки P. Чтобы найти эту длину, нужно сложить длину дуги от A до C и длину дуги от C до P.
Длина дуги AC (первая и вторая четверти) равна $\pi$.
Длина дуги $AP = (\text{длина дуги AC}) + (\text{длина дуги CP}) = \pi + \frac{\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$.
Ответ: $\frac{13\pi}{12}$

4.9 а) $&frac{4\pi}{3}$;

б) $&frac{5\pi}{3}$;

в) $&frac{7\pi}{6}$;

г) $&frac{11\pi}{6}$.

Для перевода величины угла из радианной меры в градусную используется соотношение: $ \pi \text{ радиан} = 180° $.
Отсюда следует формула для перевода: $ \alpha_{градусы} = \alpha_{радианы} \cdot \frac{180°}{\pi} $.

a) Выполним перевод для угла $ \frac{4\pi}{3} $.
Применим формулу перевода:
$ \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{4 \cdot \pi \cdot 180°}{3 \cdot \pi} $
Сокращаем $ \pi $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{4 \cdot 180°}{3} $
Сокращаем 180 и 3:
$ 4 \cdot 60° = 240° $
Ответ: $240°$.

б) Выполним перевод для угла $ \frac{5\pi}{3} $.
Применим формулу перевода:
$ \frac{5\pi}{3} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{5 \cdot \pi \cdot 180°}{3 \cdot \pi} $
Сокращаем $ \pi $:
$ \frac{5 \cdot 180°}{3} $
Сокращаем 180 и 3:
$ 5 \cdot 60° = 300° $
Ответ: $300°$.

в) Выполним перевод для угла $ \frac{7\pi}{6} $.
Применим формулу перевода:
$ \frac{7\pi}{6} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{7 \cdot \pi \cdot 180°}{6 \cdot \pi} $
Сокращаем $ \pi $:
$ \frac{7 \cdot 180°}{6} $
Сокращаем 180 и 6:
$ 7 \cdot 30° = 210° $
Ответ: $210°$.

г) Выполним перевод для угла $ \frac{11\pi}{6} $.
Применим формулу перевода:
$ \frac{11\pi}{6} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{11 \cdot \pi \cdot 180°}{6 \cdot \pi} $
Сокращаем $ \pi $:
$ \frac{11 \cdot 180°}{6} $
Сокращаем 180 и 6:
$ 11 \cdot 30° = 330° $
Ответ: $330°$.

4.5 a) $\frac{\pi}{2}$;

б) $\pi$;

В) $\frac{3\pi}{2}$;

Г) $2\pi$.

Поскольку в задании не указано, что именно нужно сделать с данными углами, наиболее вероятной задачей является нахождение значений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) для этих углов. Эти углы являются граничными (квадрантными), их значения определяются по точкам пересечения единичной окружности с осями координат.

а) Угол, равный $ \frac{\pi}{2} $ радиан, соответствует $ 90^{\circ} $. На единичной окружности этому углу соответствует точка на положительной части оси OY с координатами $ (0, 1) $. Используя определения тригонометрических функций $ \sin(\alpha) = y $ и $ \cos(\alpha) = x $, находим:
$ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
$ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $
$ \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2})} = \frac{1}{0} $, значение не определено, так как деление на ноль невозможно.
$ \cot\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0 $
Ответ: $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $, $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $, $ \cot(\frac{\pi}{2}) = 0 $, $ \tan(\frac{\pi}{2}) $ не определен.

б) Угол, равный $ \pi $ радиан, соответствует $ 180^{\circ} $. На единичной окружности этому углу соответствует точка на отрицательной части оси OX с координатами $ (-1, 0) $. Находим значения тригонометрических функций:
$ \sin(\pi) = 0 $
$ \cos(\pi) = -1 $
$ \tan(\pi) = \frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)} = \frac{0}{-1} = 0 $
$ \cot(\pi) = \frac{\cos(\pi)}{\sin(\pi)} = \frac{-1}{0} $, значение не определено.
Ответ: $ \sin(\pi) = 0 $, $ \cos(\pi) = -1 $, $ \tan(\pi) = 0 $, $ \cot(\pi) $ не определен.

в) Угол, равный $ \frac{3\pi}{2} $ радиан, соответствует $ 270^{\circ} $. На единичной окружности этому углу соответствует точка на отрицательной части оси OY с координатами $ (0, -1) $. Находим значения тригонометрических функций:
$ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $
$ \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 $
$ \tan\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{\sin(\frac{3\pi}{2})}{\cos(\frac{3\pi}{2})} = \frac{-1}{0} $, значение не определено.
$ \cot\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{\cos(\frac{3\pi}{2})}{\sin(\frac{3\pi}{2})} = \frac{0}{-1} = 0 $
Ответ: $ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $, $ \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 $, $ \cot(\frac{3\pi}{2}) = 0 $, $ \tan(\frac{3\pi}{2}) $ не определен.

г) Угол, равный $ 2\pi $ радиан, соответствует $ 360^{\circ} $. Этот угол является полным оборотом и совпадает с углом $ 0 $ радиан. На единичной окружности ему соответствует точка на положительной части оси OX с координатами $ (1, 0) $. Находим значения тригонометрических функций:
$ \sin(2\pi) = 0 $
$ \cos(2\pi) = 1 $
$ \tan(2\pi) = \frac{\sin(2\pi)}{\cos(2\pi)} = \frac{0}{1} = 0 $
$ \cot(2\pi) = \frac{\cos(2\pi)}{\sin(2\pi)} = \frac{1}{0} $, значение не определено.
Ответ: $ \sin(2\pi) = 0 $, $ \cos(2\pi) = 1 $, $ \tan(2\pi) = 0 $, $ \cot(2\pi) $ не определен.

4.10 а) $ - \frac{\pi}{2} $;

б) $ - \frac{2\pi}{3} $;

в) $ -2\pi $;

г) $ - \frac{3\pi}{4} $.

а)

Для перевода угловой меры из радиан в градусы используется формула, основанная на соотношении, что $\pi$ радиан равняется $180$ градусам: $Угол_{градусы} = Угол_{радианы} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi}$.

Применим эту формулу для угла $-\frac{\pi}{2}$:

$-\frac{\pi}{2} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = -\frac{180^{\circ}}{2} = -90^{\circ}$.

Ответ: $-90^{\circ}$.

б)

Используем ту же формулу для перевода угла $-\frac{2\pi}{3}$ из радиан в градусы:

$-\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = -\frac{2 \cdot 180^{\circ}}{3} = -2 \cdot 60^{\circ} = -120^{\circ}$.

Ответ: $-120^{\circ}$.

в)

Переведем угол $-2\pi$ из радиан в градусы, используя ту же формулу:

$-2\pi \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = -2 \cdot 180^{\circ} = -360^{\circ}$.

Ответ: $-360^{\circ}$.

г)

Переведем угол $-\frac{3\pi}{4}$ из радиан в градусы:

$-\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = -\frac{3 \cdot 180^{\circ}}{4} = -3 \cdot 45^{\circ} = -135^{\circ}$.

Ответ: $-135^{\circ}$.

4.6 а) $7\pi$;

б) $4\pi$;

в) $10\pi$;

г) $3\pi$.

Поскольку в задании отсутствует конкретный вопрос, наиболее вероятным является предположение, что данные значения — это наименьшие положительные периоды для различных тригонометрических функций. Расчет периода $T$ для функции вида $y = f(kx+b)$ выполняется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период функции $y=f(x)$. Основной период для синуса и косинуса равен $2\pi$, а для тангенса и котангенса — $\pi$. Ниже показано, как эти значения могут быть получены на примерах.

а) Рассмотрим функцию $y = \tan(\frac{x}{7})$. Основной период для тангенса $T_0 = \pi$, а коэффициент $k = \frac{1}{7}$. Период этой функции равен:
$T = \frac{\pi}{|1/7|} = 7\pi$.
Ответ: $7\pi$

б) Рассмотрим функцию $y = \sin(\frac{x}{2})$. Основной период для синуса $T_0 = 2\pi$, а коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Период этой функции равен:
$T = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi$.
Ответ: $4\pi$

в) Рассмотрим функцию $y = \cos(\frac{x}{5})$. Основной период для косинуса $T_0 = 2\pi$, а коэффициент $k = \frac{1}{5}$. Период этой функции равен:
$T = \frac{2\pi}{|1/5|} = 10\pi$.
Ответ: $10\pi$

г) Рассмотрим функцию $y = \cot(\frac{x}{3})$. Основной период для котангенса $T_0 = \pi$, а коэффициент $k = \frac{1}{3}$. Период этой функции равен:
$T = \frac{\pi}{|1/3|} = 3\pi$.
Ответ: $3\pi$

4.11 а) $⅖π/4;$

б) $-&frac26;π/3;$

в) $-⅖π/6;$

г) $⅙π/3.$

а) Чтобы найти главный угол для $\frac{25\pi}{4}$, мы представляем его в виде суммы числа полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ - целое число) и угла в промежутке $[0, 2\pi)$.
Полный оборот равен $2\pi$. В нашем случае удобно представить $2\pi$ как $\frac{8\pi}{4}$.
Представим дробь $\frac{25}{4}$ в виде смешанного числа, выделив целую часть: $\frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$.
Тогда угол можно записать как $\frac{25\pi}{4} = (6 + \frac{1}{4})\pi = 6\pi + \frac{\pi}{4}$.
Так как $6\pi = 3 \cdot 2\pi$, это соответствует трём полным оборотам против часовой стрелки.
Следовательно, положение точки на единичной окружности для угла $\frac{25\pi}{4}$ совпадает с положением для угла $\frac{\pi}{4}$.
Запись в виде $\alpha = \alpha_0 + 2\pi k$ выглядит так: $\frac{25\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 3 \cdot 2\pi$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

б) Для отрицательного угла $-\frac{26\pi}{3}$ мы ищем эквивалентный ему угол в промежутке $[0, 2\pi)$, прибавляя целое число полных оборотов $2\pi$.
Полный оборот равен $2\pi = \frac{6\pi}{3}$.
Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы $-\frac{26\pi}{3} + k \cdot 2\pi$ было в интервале $[0, 2\pi)$.
Запишем неравенство: $0 \le -\frac{26\pi}{3} + k \cdot \frac{6\pi}{3} < 2\pi$. Разделив на $\pi$, получим $0 \le -\frac{26}{3} + 2k < 2$.
$\frac{26}{3} \le 2k < 2 + \frac{26}{3} \implies 8\frac{2}{3} \le 2k < 10\frac{2}{3} \implies 4\frac{1}{3} \le k < 5\frac{1}{3}$.
Единственное целое $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k=5$.
Прибавим $5 \cdot 2\pi = 10\pi = \frac{30\pi}{3}$ к исходному углу:
$-\frac{26\pi}{3} + \frac{30\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
Этот угол находится в промежутке $[0, 2\pi)$.
Таким образом, $-\frac{26\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} - 5 \cdot 2\pi$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

в) Для угла $-\frac{25\pi}{6}$ найдем эквивалентный положительный угол, прибавляя полные обороты $2\pi$.
Полный оборот $2\pi = \frac{12\pi}{6}$.
Представим угол в виде смешанной дроби: $-\frac{25\pi}{6} = -(4\frac{1}{6})\pi = -4\pi - \frac{\pi}{6}$.
Выражение $-4\pi$ соответствует $-2 \cdot 2\pi$, то есть двум полным оборотам по часовой стрелке.
Таким образом, угол $-\frac{25\pi}{6}$ эквивалентен углу $-\frac{\pi}{6}$.
Чтобы получить угол в стандартном промежутке $[0, 2\pi)$, прибавим к $-\frac{\pi}{6}$ один полный оборот $2\pi$:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
Таким образом, $-\frac{25\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} - 3 \cdot 2\pi$, где $k=-3$.
Ответ: $\frac{11\pi}{6}$.

г) Для угла $\frac{16\pi}{3}$ найдем главный угол, вычитая из него полные обороты $2\pi$.
Полный оборот $2\pi = \frac{6\pi}{3}$.
Представим дробь $\frac{16}{3}$ в виде смешанного числа: $\frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$.
Тогда $\frac{16\pi}{3} = (5 + \frac{1}{3})\pi = 5\pi + \frac{\pi}{3}$.
Чтобы выделить число полных оборотов ($2\pi$), представим $5\pi$ как $4\pi + \pi$:
$5\pi + \frac{\pi}{3} = 4\pi + \pi + \frac{\pi}{3} = 4\pi + \frac{4\pi}{3}$.
$4\pi$ равно $2 \cdot 2\pi$, что соответствует двум полным оборотам.
Таким образом, положение точки на единичной окружности для угла $\frac{16\pi}{3}$ совпадает с положением для угла $\frac{4\pi}{3}$.
Запись в виде $\alpha = \alpha_0 + 2\pi k$: $\frac{16\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2 \cdot 2\pi$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.