Страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

5.10 a) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}, x < 0;$

Б) $y = \frac{1}{2}, x < 0;$

В) $y = \frac{1}{2}, x > 0;$

Г) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}, x > 0.$

а) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}, x < 0$

В данной задаче требуется найти все такие числа $t$, для которых точка $P(t)$ на единичной окружности имеет ординату $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и абсциссу $x < 0$. В тригонометрических терминах это означает, что нужно решить систему условий: $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(t) < 0$.

Сначала решим уравнение $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Значения синуса отрицательны в III и IV координатных четвертях. Табличные значения для синуса дают нам углы $t_1 = \frac{4\pi}{3}$ (III четверть) и $t_2 = \frac{5\pi}{3}$ (IV четверть). Общее решение этого уравнения можно записать в виде двух серий: $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь учтем второе условие: $\cos(t) < 0$. Косинус отрицателен во II и III координатных четвертях. Из двух найденных серий решений мы должны выбрать ту, которая соответствует III четверти. Это серия $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$.

Ответ: $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{1}{2}, x < 0$

Здесь мы ищем числа $t$, для которых $\sin(t) = \frac{1}{2}$ и $\cos(t) < 0$.

Решаем уравнение $\sin(t) = \frac{1}{2}$. Синус положителен в I и II координатных четвертях. Соответствующие углы на интервале $[0, 2\pi)$ — это $t_1 = \frac{\pi}{6}$ (I четверть) и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ (II четверть). Общее решение: $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Условие $\cos(t) < 0$ выполняется для углов во II и III четвертях. Нам нужно выбрать решение, которое находится во II четверти. Это серия $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Ответ: $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \frac{1}{2}, x > 0$

В этом случае необходимо найти числа $t$, для которых $\sin(t) = \frac{1}{2}$ и $\cos(t) > 0$.

Решения уравнения $\sin(t) = \frac{1}{2}$ нам уже известны из предыдущего пункта: $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти точки лежат в I и II четвертях.

Условие $\cos(t) > 0$ выполняется для углов в I и IV координатных четвертях. Совмещая условия, мы ищем угол, который лежит в I четверти. Из двух серий решений подходит только $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}, x > 0$

Здесь мы ищем числа $t$, для которых $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(t) > 0$.

Решения уравнения $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ лежат в III и IV четвертях. Как мы нашли в пункте а), это серии $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Условие $\cos(t) > 0$ выполняется для углов в I и IV четвертях. Следовательно, мы должны выбрать решение, соответствующее IV четверти. Это серия $t = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$. Эту серию также можно записать в более компактном виде, используя отрицательный угол: $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Ответ: $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5.15 a) $x < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

В) $x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Г) $x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) Неравенство $x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ является строгим. Его решением является множество всех действительных чисел, которые строго меньше, чем $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это означает, что само число $\frac{\sqrt{2}}{2}$ не входит в множество решений. В виде числового промежутка это записывается как интервал от минус бесконечности до $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Круглая скобка указывает, что граничное значение не включается в интервал.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

б) Неравенство $x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ является строгим. Его решением является множество всех действительных чисел, которые строго больше, чем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Само число $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ не входит в множество решений. В виде числового промежутка это записывается как интервал от $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ до плюс бесконечности. Круглая скобка указывает, что граничное значение не включается в интервал.
Ответ: $x \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty)$.

в) Неравенство $x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$ является нестрогим. Его решением является множество всех действительных чисел, которые меньше или равны $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это означает, что само число $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ включается в множество решений. В виде числового промежутка это записывается как луч от минус бесконечности до $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Квадратная скобка указывает, что граничное значение включается в интервал.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2}]$.

г) Неравенство $x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ является нестрогим. Его решением является множество всех действительных чисел, которые больше или равны $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Само число $\frac{\sqrt{3}}{2}$ включается в множество решений. В виде числового промежутка это записывается как луч от $\frac{\sqrt{3}}{2}$ до плюс бесконечности. Квадратная скобка указывает, что граничное значение включается в интервал.
Ответ: $x \in [\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)$.

5.11 a) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}, y > 0;$

Б) $x = -\frac{1}{2}, y < 0;$

В) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}, y < 0;$

Г) $x = -\frac{1}{2}, y > 0.$

а)

По условию, мы ищем угол $\alpha$, такой что координаты точки на единичной окружности $x = \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y = \sin(\alpha) > 0$.

Из уравнения $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ мы знаем, что базовый угол, арккосинус этого значения, равен $\frac{\pi}{6}$.

Условия $x > 0$ и $y > 0$ соответствуют первой координатной четверти. В первой четверти угол $\alpha$ равен базовому углу.

Следовательно, $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Так как тригонометрические функции периодичны с периодом $2\pi$, общее решение для всех таких углов будет $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

По условию, мы ищем угол $\alpha$, для которого $x = \cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$ и $y = \sin(\alpha) < 0$.

Сначала найдем базовый угол (в первой четверти), косинус которого равен $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

Условия $x < 0$ (косинус отрицателен) и $y < 0$ (синус отрицателен) соответствуют третьей координатной четверти.

Для нахождения угла в третьей четверти к $\pi$ прибавляем базовый угол: $\alpha = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Общее решение: $\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в)

По условию, мы ищем угол $\alpha$, для которого $x = \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y = \sin(\alpha) < 0$.

Базовый угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, равен $\frac{\pi}{6}$.

Условия $x > 0$ (косинус положителен) и $y < 0$ (синус отрицателен) соответствуют четвертой координатной четверти.

Для нахождения угла в четвертой четверти мы можем вычесть базовый угол из $2\pi$ или просто взять его с отрицательным знаком: $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ или $\alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$. Оба значения представляют один и тот же угол.

Общее решение удобно записать как $\alpha = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г)

По условию, мы ищем угол $\alpha$, для которого $x = \cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$ и $y = \sin(\alpha) > 0$.

Базовый угол для $\cos(\alpha_{ref}) = \frac{1}{2}$ равен $\frac{\pi}{3}$.

Условия $x < 0$ (косинус отрицателен) и $y > 0$ (синус положителен) соответствуют второй координатной четверти.

Для нахождения угла во второй четверти мы вычитаем базовый угол из $\pi$: $\alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Общее решение: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5.7 а) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $y = 1$;

в) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $y = -1$.

Поскольку в задании даны только значения для y, будем предполагать, что требуется найти все значения аргумента x, для которых выполняется тригонометрическое уравнение $cos(x) = y$. Это стандартная задача при изучении тригонометрических функций.

Необходимо решить уравнение $cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общая формула для решения уравнения вида $cos(x) = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид: $x = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Нам нужно найти значение арккосинуса этого числа, то есть $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Воспользуемся свойством арккосинуса для отрицательных аргументов: $arccos(-z) = \pi - arccos(z)$.

Мы знаем, что $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$. Следовательно:

$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь подставляем это значение в общую формулу решения:

$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Необходимо решить уравнение $cos(x) = 1$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Мы ищем углы, косинус которых равен 1. На единичной окружности это соответствует точке с координатами (1, 0), что достигается при углах $0, 2\pi, 4\pi, \dots$ и так далее в обоих направлениях.

Таким образом, общее решение можно записать в виде $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Если использовать общую формулу $x = \pm arccos(1) + 2\pi n$ и учесть, что $arccos(1) = 0$, мы получим тот же результат: $x = \pm 0 + 2\pi n = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Необходимо решить уравнение $cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем общую формулу решения $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$, где $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Находим значение $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Используя свойство $arccos(-z) = \pi - arccos(z)$, получаем:

$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Необходимо решить уравнение $cos(x) = -1$.

Это еще один частный случай. Косинус равен -1 в точках на единичной окружности с абсциссой -1. Это соответствует точке с координатами (-1, 0), что достигается при углах $\pi, 3\pi, 5\pi, \dots$ и так далее.

Общее решение можно записать в виде $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Если применить общую формулу $x = \pm arccos(-1) + 2\pi n$ и учесть, что $arccos(-1) = \pi$, получим $x = \pm\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Множества решений для $+\pi$ и $-\pi$ совпадают (например, $-\pi + 2\pi(1) = \pi$), поэтому для краткости и однозначности решение записывается как $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Укажите знаки абсциссы и ординаты точки числовой окружности:

5.12 а) $E(2)$;

б) $K(-4)$;

в) $F(-1)$;

г) $L(6)$.

Для определения знаков абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) точки на числовой окружности необходимо определить, в какой координатной четверти эта точка расположена. Точка на числовой окружности, соответствующая числу $t$, имеет координаты $(\cos t, \sin t)$. Знак абсциссы совпадает со знаком $\cos t$, а знак ординаты — со знаком $\sin t$.

Вспомним знаки координат по четвертям:

I четверть ($0 < t < \frac{\pi}{2}$): абсцисса $x>0$ (+), ордината $y>0$ (+).

II четверть ($\frac{\pi}{2} < t < \pi$): абсцисса $x<0$ (-), ордината $y>0$ (+).

III четверть ($\pi < t < \frac{3\pi}{2}$): абсцисса $x<0$ (-), ордината $y<0$ (-).

IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$): абсцисса $x>0$ (+), ордината $y<0$ (-).

Для определения четверти будем использовать приближенные значения: $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.

а) E(2)

Для точки $E(2)$ число $t=2$. Так как $1.57 < 2 < 3.14$, что соответствует неравенству $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, точка находится во второй четверти. Во II четверти абсцисса отрицательна (-), а ордината положительна (+).

Ответ: абсцисса: -, ордината: +.

б) K(-4)

Для точки $K(-4)$ число $t = -4$. Отрицательное значение означает движение по часовой стрелке. Чтобы определить четверть, можно найти эквивалентное положительное значение угла, прибавив $2\pi$: $t' = -4 + 2\pi \approx -4 + 6.28 = 2.28$. Так как $1.57 < 2.28 < 3.14$, то есть $\frac{\pi}{2} < 2.28 < \pi$, точка находится во второй четверти. Во II четверти абсцисса отрицательна (-), а ордината положительна (+).

Ответ: абсцисса: -, ордината: +.

в) F(-1)

Для точки $F(-1)$ число $t = -1$. Это движение по часовой стрелке. Так как $-1.57 < -1 < 0$, что соответствует неравенству $-\frac{\pi}{2} < -1 < 0$, точка находится в четвертой четверти. В IV четверти абсцисса положительна (+), а ордината отрицательна (-).

Ответ: абсцисса: +, ордината: -.

г) L(6)

Для точки $L(6)$ число $t = 6$. Так как $4.71 < 6 < 6.28$, что соответствует неравенству $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, точка находится в четвертой четверти. В IV четверти абсцисса положительна (+), а ордината отрицательна (-).

Ответ: абсцисса: +, ордината: -.

5.8 a) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $x = \frac{1}{2}$;

в) $x = 1$;

г) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) Необходимо найти значение арккосинуса для $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. По определению, $\arccos(a)$ — это угол $t$ из промежутка $[0; \pi]$, такой, что $\cos(t) = a$. В нашем случае, мы ищем угол $t$, для которого $\cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Из таблицы основных тригонометрических значений известно, что этому условию соответствует угол $t = \frac{\pi}{6}$. Так как $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, то $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

б) Необходимо найти значение арккосинуса для $x = \frac{1}{2}$. Ищем угол $t$ из промежутка $[0; \pi]$, такой, что $\cos(t) = \frac{1}{2}$. Этому условию соответствует угол $t = \frac{\pi}{3}$. Так как $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, то $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

в) Необходимо найти значение арккосинуса для $x = 1$. Ищем угол $t$ из промежутка $[0; \pi]$, такой, что $\cos(t) = 1$. Этому условию соответствует угол $t = 0$. Так как $0$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, то $\arccos(1) = 0$.

Ответ: $0$.

г) Необходимо найти значение арккосинуса для $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ищем угол $t$ из промежутка $[0; \pi]$, такой, что $\cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этому условию соответствует угол $t = \frac{\pi}{4}$. Так как $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, то $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

5.13 a) $M(12);$

б) $N(15);$

в) $P(52);$

г) $Q(100).$

а) В данном задании требуется найти множество M(12), которое, по всей видимости, представляет собой совокупность всех натуральных делителей числа 12. Чтобы найти все делители, можно разложить число 12 на простые множители.

Разложение числа 12 на простые множители:

$12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1$

Делителями числа 12 будут все возможные произведения этих простых множителей в степенях от 0 до тех, что указаны в разложении. Делители имеют вид $2^a \times 3^b$, где $a \in \{0, 1, 2\}$ и $b \in \{0, 1\}$.

Перечислим все комбинации:

$2^0 \times 3^0 = 1 \times 1 = 1$

$2^1 \times 3^0 = 2 \times 1 = 2$

$2^2 \times 3^0 = 4 \times 1 = 4$

$2^0 \times 3^1 = 1 \times 3 = 3$

$2^1 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6$

$2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$

Расположив делители в порядке возрастания, получаем искомое множество.

Ответ: M(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

б) Найдем множество N(15), состоящее из всех натуральных делителей числа 15.

Разложим число 15 на простые множители:

$15 = 3 \times 5 = 3^1 \times 5^1$

Делители имеют вид $3^a \times 5^b$, где $a \in \{0, 1\}$ и $b \in \{0, 1\}$.

Перечислим их:

$3^0 \times 5^0 = 1$

$3^1 \times 5^0 = 3$

$3^0 \times 5^1 = 5$

$3^1 \times 5^1 = 15$

Таким образом, множество делителей числа 15 найдено.

Ответ: N(15) = {1, 3, 5, 15}.

в) Найдем множество P(52), состоящее из всех натуральных делителей числа 52.

Разложим число 52 на простые множители:

$52 = 2 \times 26 = 2 \times 2 \times 13 = 2^2 \times 13^1$

Делители имеют вид $2^a \times 13^b$, где $a \in \{0, 1, 2\}$ и $b \in \{0, 1\}$.

Перечислим их:

$2^0 \times 13^0 = 1$

$2^1 \times 13^0 = 2$

$2^2 \times 13^0 = 4$

$2^0 \times 13^1 = 13$

$2^1 \times 13^1 = 26$

$2^2 \times 13^1 = 52$

Расположив делители в порядке возрастания, получаем искомое множество.

Ответ: P(52) = {1, 2, 4, 13, 26, 52}.

г) Найдем множество Q(100), состоящее из всех натуральных делителей числа 100.

Разложим число 100 на простые множители:

$100 = 10 \times 10 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 5^2$

Делители имеют вид $2^a \times 5^b$, где $a \in \{0, 1, 2\}$ и $b \in \{0, 1, 2\}$.

Перечислим их, группируя по степени множителя 5:

При $b=0: 2^0 \times 5^0 = 1, 2^1 \times 5^0 = 2, 2^2 \times 5^0 = 4$

При $b=1: 2^0 \times 5^1 = 5, 2^1 \times 5^1 = 10, 2^2 \times 5^1 = 20$

При $b=2: 2^0 \times 5^2 = 25, 2^1 \times 5^2 = 50, 2^2 \times 5^2 = 100$

Расположив все делители в порядке возрастания, получаем полное множество.

Ответ: Q(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

5.9 а) $x = 0$;

б) $x = -\frac{1}{2}$;

в) $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $x = -1$.

а) $x = 0$
Подразумевается, что необходимо найти значение $\arccos(x)$ для заданного значения $x$.
Арккосинус числа $a$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.
Нам нужно найти $\arccos(0)$. Это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = 0$.
Единственным значением на этом отрезке, удовлетворяющим условию, является $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б) $x = -\frac{1}{2}$
Нам нужно найти $\arccos(-\frac{1}{2})$.
Для отрицательного аргумента используется свойство арккосинуса: $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
Применяя эту формулу, получаем: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2})$.
Мы знаем, что $\arccos(\frac{1}{2})$ — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.
Подставляем найденное значение:
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

в) $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Нам нужно найти $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Используем свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Мы знаем, что $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение:
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

г) $x = -1$
Нам нужно найти $\arccos(-1)$.
Мы ищем угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -1$.
Единственным значением на этом отрезке, удовлетворяющим условию, является $\alpha = \pi$.
Следовательно, $\arccos(-1) = \pi$.
Ответ: $\pi$

5.14 а) $x > 0$;

б) $x < \frac{1}{2}$;

В) $x > -\frac{1}{2}$;

г) $x < 0$.

а)

Данное неравенство $x > 0$ определяет множество всех действительных чисел, которые строго больше нуля. Это все положительные числа. На числовой прямой это множество изображается в виде открытого луча, который начинается в точке 0 (не включая саму точку 0) и простирается вправо к положительной бесконечности. В виде числового промежутка решение записывается с использованием круглых скобок, так как неравенство строгое.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б)

Неравенство $x < \frac{1}{2}$ определяет множество всех действительных чисел, которые строго меньше дроби $\frac{1}{2}$ (или 0,5). На числовой прямой это множество изображается как открытый луч, идущий от минус бесконечности до точки $\frac{1}{2}$ (не включая саму точку $\frac{1}{2}$). Поскольку неравенство строгое, для записи числового промежутка используются круглые скобки.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{2})$.

в)

Неравенство $x > -\frac{1}{2}$ определяет множество всех действительных чисел, которые строго больше $-\frac{1}{2}$ (или -0,5). На числовой прямой это соответствует открытому лучу, который начинается в точке $-\frac{1}{2}$ (не включая эту точку) и уходит вправо к положительной бесконечности. Так как неравенство строгое, в записи числового промежутка используются круглые скобки.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}, +\infty)$.

г)

Неравенство $x < 0$ определяет множество всех действительных чисел, которые строго меньше нуля. Это все отрицательные числа. На числовой прямой это множество изображается как открытый луч, простирающийся от минус бесконечности до точки 0 (не включая саму точку 0). Решение в виде числового промежутка записывается с круглыми скобками из-за строгости неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.