Страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

6.44 a) $cos t > 0;$

Б) $cos t < \frac{\sqrt{2}}{2};$

В) $cos t < 0;$

Г) $cos t > \frac{\sqrt{2}}{2}.$

а) $ \cos t > 0 $

Для решения тригонометрического неравенства $ \cos t > 0 $ воспользуемся единичной окружностью. Косинус угла $t$ – это абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу.

Неравенство $ \cos t > 0 $ выполняется для тех точек единичной окружности, у которых абсцисса положительна. Эти точки лежат в I и IV координатных четвертях, то есть справа от оси ординат.

Крайними точками этой дуги являются точки, в которых $ \cos t = 0 $. Это углы $ t = -\frac{\pi}{2} $ и $ t = \frac{\pi}{2} $.

Таким образом, решение на одном промежутке длиной $ 2\pi $ будет $ t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $.

Поскольку функция косинуса периодическая с периодом $ 2\pi $, общее решение неравенства можно записать, добавив к концам интервала $ 2\pi k $, где $k$ – любое целое число.

Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos t < \frac{\sqrt{2}}{2} $

Сначала решим уравнение $ \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2} $. На единичной окружности этому значению абсциссы соответствуют две точки, отвечающие углам $ t = \frac{\pi}{4} $ и $ t = -\frac{\pi}{4} $. Угол $ -\frac{\pi}{4} $ также можно записать как $ \frac{7\pi}{4} $ в пределах отрезка $ [0, 2\pi] $.

Нам нужно найти все углы $t$, для которых косинус (абсцисса точки) меньше $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. На единичной окружности это соответствует дуге, которая лежит левее вертикальной прямой $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Если двигаться по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается от угла $ \frac{\pi}{4} $ и заканчивается в угле $ \frac{7\pi}{4} $.

Следовательно, решение неравенства на одном обороте: $ t \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right) $.

Учитывая периодичность функции косинуса, общее решение имеет вид:

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \cos t < 0 $

Неравенство $ \cos t < 0 $ выполняется для тех точек единичной окружности, у которых абсцисса отрицательна. Эти точки расположены во II и III координатных четвертях, то есть слева от оси ординат.

Крайними точками этой дуги являются точки, где $ \cos t = 0 $, то есть $ t = \frac{\pi}{2} $ и $ t = \frac{3\pi}{2} $.

Двигаясь против часовой стрелки, мы видим, что дуга, удовлетворяющая условию, начинается в $ \frac{\pi}{2} $ и заканчивается в $ \frac{3\pi}{2} $.

Решение на одном обороте: $ t \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right) $.

Добавляя период $ 2\pi k $, получаем общее решение.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \cos t > \frac{\sqrt{2}}{2} $

Решим уравнение $ \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Корнями являются $ t = \frac{\pi}{4} $ и $ t = -\frac{\pi}{4} $.

Нам нужно найти все углы $t$, для которых косинус (абсцисса точки) больше $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. На единичной окружности это соответствует дуге, расположенной правее вертикальной прямой $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Если двигаться по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается от угла $ -\frac{\pi}{4} $ и заканчивается в угле $ \frac{\pi}{4} $.

Таким образом, решение на одном промежутке: $ t \in \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) $.

С учетом периодичности функции косинуса, общее решение будет:

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

6.45 a) $ \sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2} $;

б) $ \cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

В) $ \sin t < -\frac{\sqrt{2}}{2} $;

Г) $ \cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

а) Для решения неравенства $sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ обратимся к тригонометрической окружности. Синус угла $t$ – это ордината точки на окружности. Сначала найдем решения уравнения $sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим значениям соответствуют углы $t_1 = -\frac{\pi}{4}$ и $t_2 = \frac{5\pi}{4}$. Нам нужны такие значения $t$, при которых ордината точки на окружности больше, чем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной выше горизонтальной прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Двигаясь по окружности против часовой стрелки от точки $-\frac{\pi}{4}$ до точки $\frac{5\pi}{4}$, мы получаем искомый интервал. С учетом периодичности функции синус ($T = 2\pi$), общее решение имеет вид:
Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Косинус угла $t$ – это абсцисса точки на тригонометрической окружности. Найдем решения уравнения $cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это углы $t_1 = -\frac{5\pi}{6}$ и $t_2 = \frac{5\pi}{6}$. Нам нужны значения $t$, при которых абсцисса точки на окружности больше, чем $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной правее вертикальной прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Двигаясь по окружности против часовой стрелки от точки $-\frac{5\pi}{6}$ до точки $\frac{5\pi}{6}$, получаем нужный интервал. С учетом периода функции косинус ($T = 2\pi$), общее решение:
Ответ: $t \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $sin t < -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Как и в пункте а), граничные точки, где $sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют углам $t_1 = -\frac{\pi}{4}$ и $t_2 = \frac{5\pi}{4}$. Нам нужны значения $t$, при которых ордината точки на окружности меньше, чем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной ниже горизонтальной прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Двигаясь по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $\frac{5\pi}{4}$ и заканчивается в точке $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$. Таким образом, основной интервал решений: $\frac{5\pi}{4} < t < \frac{7\pi}{4}$. С учетом периодичности функции синус, общее решение:
Ответ: $t \in (\frac{5\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Как и в пункте б), граничные точки, где $cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, соответствуют углам $t_1 = \frac{5\pi}{6}$ и $t_2 = \frac{7\pi}{6}$. Нам нужны значения $t$, при которых абсцисса точки на окружности меньше, чем $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной левее вертикальной прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Двигаясь по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $\frac{5\pi}{6}$ и заканчивается в точке $\frac{7\pi}{6}$. С учетом периодичности функции косинус, общее решение:
Ответ: $t \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Вычислите:

6.46 a) $\sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \sin 2} + \sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} + \sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2};$

б) $\sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cos 7} + \sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} + \sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6}.$

а)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \sin 2} + \sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} + \sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2} $, упростим каждый из трех радикалов. Все выражения под корнем являются полными квадратами, поэтому воспользуемся формулой $ \sqrt{A^2} = |A| $.

1. Первый радикал: $ \sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \sin 2} = \sqrt{(\sin 2 - \sin 1)^2} = |\sin 2 - \sin 1| $. Чтобы раскрыть модуль, сравним значения $ \sin 1 $ и $ \sin 2 $ (углы в радианах). Поскольку $ \pi/2 \approx 1.57 $, то $ 0 < 1 < \pi/2 $ и $ \pi/2 < 2 < \pi $. С помощью формулы приведения $ \sin 2 = \sin(\pi - 2) $. Сравним $ 1 $ и $ \pi - 2 \approx 3.14 - 2 = 1.14 $. Так как $ 1 < 1.14 $ и оба угла лежат в интервале $ (0, \pi/2) $, где синус возрастает, получаем $ \sin 1 < \sin(\pi - 2) = \sin 2 $. Значит, $ \sin 2 - \sin 1 > 0 $, и выражение равно $ \sin 2 - \sin 1 $.

2. Второй радикал: $ \sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} = \sqrt{(\sin 1 - \frac{1}{2})^2} = |\sin 1 - \frac{1}{2}| $. Сравним $ \sin 1 $ с $ 1/2 $. Известно, что $ \sin(\pi/6) = 1/2 $, где $ \pi/6 \approx 0.52 $. Так как $ 1 > \pi/6 $ и угол 1 радиан находится в первой четверти, где синус возрастает, $ \sin 1 > 1/2 $. Значит, $ \sin 1 - 1/2 > 0 $, и выражение равно $ \sin 1 - \frac{1}{2} $.

3. Третий радикал: $ \sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2} = \sqrt{(1 - \sin 2)^2} = |1 - \sin 2| $. Так как $ \sin x \leq 1 $ для любого $ x $ и $ 2 \neq \pi/2 $, то $ \sin 2 < 1 $. Значит, $ 1 - \sin 2 > 0 $, и выражение равно $ 1 - \sin 2 $.

Суммируя полученные результаты, получаем: $ (\sin 2 - \sin 1) + (\sin 1 - \frac{1}{2}) + (1 - \sin 2) = \sin 2 - \sin 1 + \sin 1 - \frac{1}{2} + 1 - \sin 2 = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

б)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cos 7} + \sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} + \sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6} $, действуем аналогично.

1. Первый радикал: $ \sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cos 7} = \sqrt{(\cos 6 - \cos 7)^2} = |\cos 6 - \cos 7| $. Сравним $ \cos 6 $ и $ \cos 7 $. Используем периодичность и четность косинуса: $ \cos 6 = \cos(2\pi - 6) $ и $ \cos 7 = \cos(7 - 2\pi) $. Приближенные значения аргументов: $ 2\pi - 6 \approx 0.28 $ и $ 7 - 2\pi \approx 0.72 $. Оба угла лежат в интервале $ (0, \pi/2) $, где косинус убывает. Так как $ 0.28 < 0.72 $, то $ \cos(0.28) > \cos(0.72) $, т.е. $ \cos 6 > \cos 7 $. Значит, $ \cos 6 - \cos 7 > 0 $, и выражение равно $ \cos 6 - \cos 7 $.

2. Второй радикал: $ \sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} = \sqrt{(\cos 7 - \frac{1}{2})^2} = |\cos 7 - \frac{1}{2}| $. Сравним $ \cos 7 $ с $ 1/2 $. Мы знаем, что $ \cos(\pi/3) = 1/2 $, где $ \pi/3 \approx 1.047 $. Ранее мы нашли, что $ \cos 7 \approx \cos(0.72) $. Так как $ 0 < 0.72 < \pi/3 $, и косинус убывает на этом интервале, то $ \cos(0.72) > \cos(\pi/3) $. Значит, $ \cos 7 > 1/2 $, и выражение равно $ \cos 7 - \frac{1}{2} $.

3. Третий радикал: $ \sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6} = \sqrt{(1 - \cos 6)^2} = |1 - \cos 6| $. Так как $ \cos x \leq 1 $ для любого $ x $ и $ 6 \neq 2k\pi $, то $ \cos 6 < 1 $. Значит, $ 1 - \cos 6 > 0 $, и выражение равно $ 1 - \cos 6 $.

Суммируя результаты, получаем: $ (\cos 6 - \cos 7) + (\cos 7 - \frac{1}{2}) + (1 - \cos 6) = \cos 6 - \cos 7 + \cos 7 - \frac{1}{2} + 1 - \cos 6 = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

6.47 a) $\sqrt{\sin^2 5 - 2 \sin 5 \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} - \sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} - 2 \sin \frac{5\pi}{6} \sin 5 + \sin^2 5;}$

б) $\sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cos \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}} + \sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}}.$

a)

Заметим, что выражения под знаками корня представляют собой полные квадраты. Используем формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Первый член выражения: $\sqrt{\sin^2 5 - 2 \sin 5 \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} = \sqrt{(\sin 5 - \sin \frac{11\pi}{6})^2}$.

Второй член выражения: $\sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} - 2 \sin \frac{5\pi}{6} \sin 5 + \sin^2 5} = \sqrt{(\sin \frac{5\pi}{6} - \sin 5)^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $|\sin 5 - \sin \frac{11\pi}{6}| - |\sin \frac{5\pi}{6} - \sin 5|$.

Вычислим значения синусов от аргументов с $\pi$:

$\sin \frac{11\pi}{6} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -0.5$.

$\sin \frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = 0.5$.

Подставим эти значения в выражение:

$|\sin 5 - (-0.5)| - |0.5 - \sin 5| = |\sin 5 + 0.5| - |0.5 - \sin 5|$.

Теперь оценим знак выражений в модулях. Для этого нужно определить значение $\sin 5$. Аргумент 5 (радиан) находится в четвертой четверти, поскольку $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71 < 5 < 2\pi \approx 6.28$. В этой четверти синус отрицателен.

Сравним $\sin 5$ с $-0.5$. В четвертой четверти функция синуса возрастает. Угол, синус которого равен -0.5, это $\frac{11\pi}{6} \approx 5.76$. Так как $5 < \frac{11\pi}{6}$, то и $\sin 5 < \sin \frac{11\pi}{6} = -0.5$.

Из того, что $\sin 5 < -0.5$, следует:

1. $\sin 5 + 0.5 < 0$, поэтому $|\sin 5 + 0.5| = -(\sin 5 + 0.5) = -\sin 5 - 0.5$.
2. $0.5 - \sin 5 > 0$, поэтому $|0.5 - \sin 5| = 0.5 - \sin 5$.

Подставляем раскрытые модули в итоговое выражение:

$(-\sin 5 - 0.5) - (0.5 - \sin 5) = -\sin 5 - 0.5 - 0.5 + \sin 5 = -1$.

Ответ: -1.

б)

Так же, как и в предыдущем пункте, преобразуем подкоренные выражения, используя формулу квадрата разности:

$\sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cos \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}} + \sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}}$

$= \sqrt{(\cos 4 - \cos \frac{2\pi}{3})^2} + \sqrt{(\cos 4 - \cos \frac{\pi}{3})^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:

$|\cos 4 - \cos \frac{2\pi}{3}| + |\cos 4 - \cos \frac{\pi}{3}|$.

Вычислим значения косинусов:

$\cos \frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -0.5$.

$\cos \frac{\pi}{3} = 0.5$.

Подставим эти значения в выражение:

$|\cos 4 - (-0.5)| + |\cos 4 - 0.5| = |\cos 4 + 0.5| + |\cos 4 - 0.5|$.

Оценим значение $\cos 4$. Аргумент 4 (радиана) находится в третьей четверти, так как $\pi \approx 3.14 < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. В этой четверти косинус отрицателен.

Сравним $\cos 4$ с $-0.5$. В третьей четверти функция косинуса возрастает. Угол, косинус которого равен -0.5, это $\frac{4\pi}{3} \approx 4.19$. Так как $4 < \frac{4\pi}{3}$, то $\cos 4 < \cos \frac{4\pi}{3} = -0.5$.

Из того, что $\cos 4 < -0.5$, следует:

1. $\cos 4 + 0.5 < 0$, поэтому $|\cos 4 + 0.5| = -(\cos 4 + 0.5) = -\cos 4 - 0.5$.
2. $\cos 4 - 0.5 < 0$, поэтому $|\cos 4 - 0.5| = -(\cos 4 - 0.5) = -\cos 4 + 0.5$.

Подставляем раскрытые модули в итоговое выражение:

$(-\cos 4 - 0.5) + (-\cos 4 + 0.5) = -\cos 4 - 0.5 - \cos 4 + 0.5 = -2\cos 4$.

Ответ: $-2\cos 4$.

7.1 a) $1 - \sin^2 t$;

б) $\cos^2 t - 1$;

В) $1 - \cos^2 t$;

Г) $\sin^2 t - 1$.

а) Для упрощения выражения $1 - \sin^2 t$ используется основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Если из этого тождества выразить $\cos^2 t$, то мы получим $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$. Таким образом, данное выражение равно $\cos^2 t$.

Ответ: $\cos^2 t$

б) Чтобы упростить выражение $\cos^2 t - 1$, снова обратимся к основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Преобразуем его: вычтем 1 из обеих частей, а затем вычтем $\sin^2 t$ из обеих частей. Получим: $\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t$. Это можно также представить как результат умножения выражения из пункта (а) на -1.

Ответ: $-\sin^2 t$

в) Выражение $1 - \cos^2 t$ упрощается с помощью того же основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Выразим из него $\sin^2 t$, перенеся $\cos^2 t$ в правую часть: $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$. Следовательно, данное выражение равно $\sin^2 t$.

Ответ: $\sin^2 t$

г) Для упрощения выражения $\sin^2 t - 1$ снова используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Преобразуем его, чтобы получить искомую форму. Вычтем 1 из обеих частей и затем вычтем $\cos^2 t$ из обеих частей: $\sin^2 t - 1 = -\cos^2 t$. Это также результат умножения выражения из пункта (в) на -1.

Ответ: $-\cos^2 t$