Страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.13 a) $5 \sin \left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \sin \left(\frac{3\pi}{2} + t\right) - 8 \cos (2\pi - t) = 1;$

б) $\sin (2\pi + t) - \cos \left(\frac{\pi}{2} - t\right) + \sin (\pi - t) = 1.$

а)

Дано уравнение:

$5 \sin(\frac{\pi}{2} + t) - \sin(\frac{3\pi}{2} + t) - 8 \cos(2\pi - t) = 1$

Для решения этого уравнения применим формулы приведения, чтобы упростить тригонометрические выражения в левой части:

• $\sin(\frac{\pi}{2} + t) = \cos(t)$ (угол $(\frac{\pi}{2} + t)$ находится во II четверти, где синус положителен; так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, синус меняется на косинус).
• $\sin(\frac{3\pi}{2} + t) = -\cos(t)$ (угол $(\frac{3\pi}{2} + t)$ находится в IV четверти, где синус отрицателен; так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, синус меняется на косинус).
• $\cos(2\pi - t) = \cos(t)$ (угол $(2\pi - t)$ находится в IV четверти, где косинус положителен; так как в формуле присутствует $2\pi$, косинус не меняется).

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$5 \cos(t) - (-\cos(t)) - 8 \cos(t) = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5 \cos(t) + \cos(t) - 8 \cos(t) = 1$

$6 \cos(t) - 8 \cos(t) = 1$

$-2 \cos(t) = 1$

Выразим $\cos(t)$:

$\cos(t) = -\frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для него находится по формуле $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $a = -\frac{1}{2}$ и $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Следовательно, общее решение уравнения:

$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$

б)

Дано уравнение:

$\sin(2\pi + t) - \cos(\frac{\pi}{2} - t) + \sin(\pi - t) = 1$

Упростим левую часть уравнения, используя периодичность тригонометрических функций и формулы приведения:

• $\sin(2\pi + t) = \sin(t)$ (в силу периодичности синуса с периодом $2\pi$).
• $\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin(t)$ (угол $(\frac{\pi}{2} - t)$ находится в I четверти, где косинус положителен; так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, косинус меняется на синус).
• $\sin(\pi - t) = \sin(t)$ (угол $(\pi - t)$ находится во II четверти, где синус положителен; так как в формуле присутствует $\pi$, синус не меняется).

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\sin(t) - \sin(t) + \sin(t) = 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$\sin(t) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение находится при значениях аргумента, равных $\frac{\pi}{2}$ плюс целое число полных оборотов.

Общее решение уравнения:

$t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}$

9.14 а) $\sin^2(\pi + t) + \cos^2(2\pi - t) = 0;$

б) $\sin^2(\pi - t) + \cos^2(2\pi + t) = 1.$

а) $sin^2(\pi + t) + cos^2(2\pi - t) = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами приведения. Формулы приведения позволяют свести тригонометрические функции произвольного угла к функциям острого угла.

Упростим первое слагаемое $sin^2(\pi + t)$. Согласно формуле приведения, $sin(\pi + t) = -sin(t)$, так как угол $(\pi + t)$ находится в III координатной четверти, где синус отрицателен.

Возводя в квадрат, получаем: $sin^2(\pi + t) = (-sin(t))^2 = sin^2(t)$.

Упростим второе слагаемое $cos^2(2\pi - t)$. Согласно формуле приведения, $cos(2\pi - t) = cos(t)$, так как угол $(2\pi - t)$ находится в IV координатной четверти, где косинус положителен. Также можно использовать свойство периодичности косинуса: $cos(2\pi - t) = cos(-t)$, и так как косинус — четная функция, $cos(-t) = cos(t)$.

Возводя в квадрат, получаем: $cos^2(2\pi - t) = (cos(t))^2 = cos^2(t)$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$sin^2(t) + cos^2(t) = 0$

Мы знаем, что основное тригонометрическое тождество гласит: $sin^2(t) + cos^2(t) = 1$ для любого действительного значения $t$.

Таким образом, наше уравнение превращается в неверное равенство $1 = 0$.

Это означает, что исходное уравнение не имеет решений, так как ни при каком значении $t$ оно не может быть верным.

Ответ: решений нет ( $t \in \emptyset$ ).

б) $sin^2(\pi - t) + cos^2(2\pi + t) = 1$

Так же, как и в предыдущем пункте, применим формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

Упростим первое слагаемое $sin^2(\pi - t)$. По формуле приведения, $sin(\pi - t) = sin(t)$, так как угол $(\pi - t)$ находится во II координатной четверти, где синус положителен.

Следовательно, $sin^2(\pi - t) = (sin(t))^2 = sin^2(t)$.

Упростим второе слагаемое $cos^2(2\pi + t)$. Функция косинуса имеет период $2\pi$, что означает $cos(x + 2\pi) = cos(x)$ для любого $x$.

Поэтому $cos(2\pi + t) = cos(t)$.

Следовательно, $cos^2(2\pi + t) = (cos(t))^2 = cos^2(t)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$sin^2(t) + cos^2(t) = 1$

Полученное равенство является основным тригонометрическим тождеством. Оно верно для любого действительного числа $t$.

Это означает, что какое бы значение $t$ мы ни подставили в исходное уравнение, оно всегда будет обращаться в верное равенство.

Ответ: $t$ — любое действительное число ( $t \in R$ ).

Решите уравнение:

9.12 a) $2 \cos (2\pi + t) + \sin \left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3;$

б) $\sin (\pi + t) + 2 \cos \left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3;$

в) $2 \sin (\pi + t) + \cos \left(\frac{\pi}{2} - t\right) = -\frac{1}{2};$

г) $3 \sin \left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \cos (2\pi + t) = 1.$

а) $2 \cos(2\pi + t) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3$

Упростим уравнение, используя формулы приведения. Так как функция косинуса имеет период $2\pi$, то $\cos(2\pi + t) = \cos(t)$. По формуле приведения для синуса, $\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos(t)$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2\cos(t) + \cos(t) = 3$

$3\cos(t) = 3$

Разделим обе части уравнения на 3:

$\cos(t) = 1$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решениями являются значения $t$, при которых косинус равен 1.

$t = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin(\pi + t) + 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3$

Применим формулы приведения. Для угла $(\pi + t)$ синус меняет знак на противоположный, так как это третья четверть: $\sin(\pi + t) = -\sin(t)$. Для угла $\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$ косинус меняется на синус и меняет знак на противоположный, так как это вторая четверть: $\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\sin(t)$.

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$-\sin(t) + 2(-\sin(t)) = 3$

$-\sin(t) - 2\sin(t) = 3$

$-3\sin(t) = 3$

Разделим обе части на -3:

$\sin(t) = -1$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решениями являются значения $t$, при которых синус равен -1.

$t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \sin(\pi + t) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = -\frac{1}{2}$

Используем формулы приведения. Как и в предыдущем пункте, $\sin(\pi + t) = -\sin(t)$. По формуле приведения для косинуса $\cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \sin(t)$.

Подставляем в уравнение:

$2(-\sin(t)) + \sin(t) = -\frac{1}{2}$

$-2\sin(t) + \sin(t) = -\frac{1}{2}$

$-\sin(t) = -\frac{1}{2}$

Умножим обе части на -1:

$\sin(t) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается через арксинус:

$t = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, то:

$t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $3 \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \cos(2\pi + t) = 1$

Воспользуемся формулами приведения. По формуле $\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos(t)$. Функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, поэтому $\cos(2\pi + t) = \cos(t)$.

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$3\cos(t) - \cos(t) = 1$

$2\cos(t) = 1$

Разделим обе части на 2:

$\cos(t) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается через арккосинус:

$t = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, то:

$t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для функции $y=f(x)$, где $f(x)=\sin x$, найдите:

10.1 а) $f(\pi)$;

б) $f(-\frac{\pi}{2})$;

в) $f(\frac{2\pi}{3})$;

г) $f(-\frac{\pi}{3})$.

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \sin x$. Чтобы найти значения функции в заданных точках, необходимо подставить эти точки в качестве аргумента $x$ в выражение для функции.

а) $f(\pi)$
Подставляем $x = \pi$ в функцию:
$f(\pi) = \sin(\pi)$.
Значение синуса угла в $\pi$ радиан (что соответствует 180°) равно 0.
$f(\pi) = 0$.
Ответ: 0.

б) $f(-\frac{\pi}{2})$
Подставляем $x = -\frac{\pi}{2}$ в функцию:
$f(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2})$.
Функция синуса является нечетной, то есть для любого $x$ выполняется равенство $\sin(-x) = -\sin(x)$.
Используя это свойство, получаем:
$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2})$.
Значение синуса угла в $\frac{\pi}{2}$ радиан (90°) равно 1.
Следовательно, $f(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Ответ: -1.

в) $f(\frac{2\pi}{3})$
Подставляем $x = \frac{2\pi}{3}$ в функцию:
$f(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3})$.
Для нахождения значения можно использовать формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$.
Представим $\frac{2\pi}{3}$ как $\pi - \frac{\pi}{3}$:
$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
Значение синуса угла в $\frac{\pi}{3}$ радиан (60°) является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $f(-\frac{\pi}{3})$
Подставляем $x = -\frac{\pi}{3}$ в функцию:
$f(-\frac{\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3})$.
Снова используем свойство нечетности функции синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $f(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

10.2 а) $f(-x)$;

б) $f(2x)$;

в) $f(x+1)$;

г) $f(x)-5$.

а) f(-x)

Чтобы получить график функции $y = f(-x)$ из графика функции $y = f(x)$, нужно выполнить преобразование симметрии. Замена аргумента $x$ на $-x$ означает симметричное отражение графика функции относительно оси ординат (оси OY). Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(-x_0, y_0)$.

Ответ: График функции $y = f(-x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси ординат.

б) f(2x)

Чтобы получить график функции $y = f(2x)$ из графика функции $y = f(x)$, нужно выполнить преобразование сжатия. Умножение аргумента $x$ на коэффициент $k > 1$ (в данном случае $k = 2$) приводит к сжатию графика по горизонтали (вдоль оси абсцисс, оси OX) в $k$ раз. Это означает, что абсцисса каждой точки графика делится на 2, а ордината остается неизменной. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(\frac{x_0}{2}, y_0)$.

Ответ: График функции $y = f(2x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сжатия вдоль оси абсцисс в 2 раза.

в) f(x + 1)

Чтобы получить график функции $y = f(x + 1)$ из графика функции $y = f(x)$, нужно выполнить преобразование параллельного переноса (сдвига). Преобразование вида $y = f(x + a)$ соответствует сдвигу графика вдоль оси абсцисс. Так как $a = 1 > 0$, сдвиг выполняется влево на 1 единицу. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0 - 1, y_0)$.

Ответ: График функции $y = f(x + 1)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс на 1 единицу влево.

г) f(x) - 5

Чтобы получить график функции $y = f(x) - 5$ из графика функции $y = f(x)$, нужно выполнить преобразование параллельного переноса (сдвига). Преобразование вида $y = f(x) + b$ соответствует сдвигу графика вдоль оси ординат. Так как $b = -5 < 0$, сдвиг выполняется вниз на 5 единиц. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0, y_0 - 5)$.

Ответ: График функции $y = f(x) - 5$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат на 5 единиц вниз.

10.3 Найдите значение функции:

a) $y = 2 \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ при $x = \frac{4\pi}{3}$;

б) $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ при $x = -\frac{\pi}{2}$;

в) $y = 2 \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ при $x = \frac{7\pi}{6}$;

г) $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ при $x = -\frac{15\pi}{4}$.

а) Чтобы найти значение функции $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ при $x = \frac{4\pi}{3}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = 2 \sin\left(\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right) + 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 6:

$\frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{6}$

$y = 2 \sin\left(\frac{8\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 2 \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) + 1$

Найдем значение синуса. Угол $\frac{7\pi}{6}$ можно представить как $\pi + \frac{\pi}{6}$. Используя формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:

$\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

Подставим это значение обратно в уравнение:

$y = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = -1 + 1 = 0$

Ответ: 0

б) Чтобы найти значение функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ при $x = -\frac{\pi}{2}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = -\sin\left(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 4:

$y = -\sin\left(-\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:

$y = - \left(-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Значение синуса для $\frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Чтобы найти значение функции $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ при $x = \frac{7\pi}{6}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = 2 \sin\left(\frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + 1$

Выполним вычитание в скобках:

$y = 2 \sin\left(\frac{6\pi}{6}\right) + 1 = 2 \sin(\pi) + 1$

Мы знаем, что $\sin(\pi) = 0$. Подставим это значение:

$y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$

Ответ: 1

г) Чтобы найти значение функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ при $x = -\frac{15\pi}{4}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = -\sin\left(-\frac{15\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right)$

Выполним сложение в скобках:

$y = -\sin\left(-\frac{14\pi}{4}\right) = -\sin\left(-\frac{7\pi}{2}\right)$

Используем свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:

$y = - \left(-\sin\left(\frac{7\pi}{2}\right)\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{2}\right)$

Чтобы найти значение синуса, воспользуемся периодичностью функции синус (период $2\pi = \frac{4\pi}{2}$).

$\sin\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)$

Значение $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$.

$y = -1$

Ответ: -1