Страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

10.24 a) $ \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \pi - 3x $

б) $ \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 $

а) Решим уравнение $ \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = \pi - 3x $.

Это трансцендентное уравнение, которое решается не стандартными алгебраическими методами. В таких случаях полезно проанализировать функции или сделать замену переменной.

Сделаем замену: пусть $ y = x - \frac{\pi}{3} $. Тогда $ x = y + \frac{\pi}{3} $. Подставим это в исходное уравнение:

$ \sin(y) = \pi - 3\left(y + \frac{\pi}{3}\right) $

$ \sin(y) = \pi - 3y - 3 \cdot \frac{\pi}{3} $

$ \sin(y) = \pi - 3y - \pi $

$ \sin(y) = -3y $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ \sin(y) + 3y = 0 $

Рассмотрим функцию $ f(y) = \sin(y) + 3y $. Нам нужно найти ее нули.

Легко заметить, что $ y=0 $ является корнем уравнения, так как $ \sin(0) + 3 \cdot 0 = 0 + 0 = 0 $.

Чтобы определить, есть ли другие корни, исследуем монотонность функции $ f(y) $ с помощью ее производной:

$ f'(y) = (\sin(y) + 3y)' = \cos(y) + 3 $

Мы знаем, что область значений функции косинус $ [-1, 1] $, то есть $ -1 \le \cos(y) \le 1 $.

Следовательно, $ -1 + 3 \le \cos(y) + 3 \le 1 + 3 $, что дает $ 2 \le f'(y) \le 4 $.

Так как производная $ f'(y) $ всегда положительна, функция $ f(y) $ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза.

Таким образом, $ y=0 $ — единственный корень уравнения $ \sin(y) + 3y = 0 $.

Теперь вернемся к исходной переменной $ x $:

$ y = x - \frac{\pi}{3} $

$ 0 = x - \frac{\pi}{3} $

$ x = \frac{\pi}{3} $

Проверим найденный корень в исходном уравнении:

$ \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \pi - 3 \cdot \frac{\pi}{3} $

$ \sin(0) = \pi - \pi $

$ 0 = 0 $

Равенство верное.

Ответ: $ \frac{\pi}{3} $

б) Решим уравнение $ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 $.

Для решения этого уравнения оценим области значений левой и правой частей.

1. Левая часть уравнения: $ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) $.

Область значений функции синус — отрезок $ [-1, 1] $. Таким образом, для любого $ x $:

$ -1 \le \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \le 1 $

2. Правая часть уравнения: $ \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 $.

Выражение $ \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 $ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно:

$ \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 \ge 0 $

Прибавляя 1 к обеим частям неравенства, получаем:

$ \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 \ge 1 $

Итак, мы имеем левую часть, которая не превосходит 1, и правую часть, которая не меньше 1. Равенство между ними возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 1.

Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = 1 \\ \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 = 1 \end{cases} $

Решим второе уравнение, так как оно проще:

$ \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 = 0 $

$ x - \frac{\pi}{3} = 0 $

$ x = \frac{\pi}{3} $

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $ x $ первому уравнению системы. Подставим $ x = \frac{\pi}{3} $ в первое уравнение:

$ \sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right) = 1 $

$ \sin\left(\frac{2\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right) = 1 $

$ \sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) = 1 $

$ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $

$ 1 = 1 $

Равенство верное. Следовательно, $ x = \frac{\pi}{3} $ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $ \frac{\pi}{3} $

10.23 a) $\sin x - \sqrt{x} - \pi = 0$;

б) $-\sin x = \sqrt{x}$.

а)

Рассмотрим уравнение $\sin x - \sqrt{x-\pi} = 0$.

Перепишем его в виде $\sin x = \sqrt{x-\pi}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-\pi \ge 0$, откуда $x \ge \pi$.

Проведем оценку левой и правой частей уравнения.

1. Область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$.

2. Арифметический квадратный корень $\sqrt{x-\pi}$ всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{x-\pi} \ge 0$.

Поскольку $\sin x = \sqrt{x-\pi}$, то значение $\sin x$ также должно быть неотрицательным. Объединяя с областью значений синуса, получаем: $0 \le \sin x \le 1$.

Так как $\sin x \le 1$, то и $\sqrt{x-\pi} \le 1$. Возведем обе части этого неравенства в квадрат: $x-\pi \le 1^2$ $x \le \pi + 1$.

Теперь объединим все условия для $x$:

Из ОДЗ мы имеем $x \ge \pi$.

Из оценки значений функций мы получили $x \le \pi + 1$.

Следовательно, решение должно находиться в промежутке $\pi \le x \le \pi + 1$.

Рассмотрим поведение функции $\sin x$ на этом промежутке. Аргумент $x$ находится в третьем и четвертом квадрантах (так как $\pi \approx 3.14$ и $\pi+1 \approx 4.14$, а $3\pi/2 \approx 4.71$). В промежутке $[\pi, 2\pi]$ функция синус принимает неположительные значения, то есть $\sin x \le 0$.

Таким образом, мы имеем два противоречащих друг другу условия:

1. $\sin x \ge 0$ (из того, что синус равен корню)

2. $\sin x \le 0$ (из того, что $x$ принадлежит отрезку $[\pi, \pi+1]$)

Единственный способ удовлетворить обоим условиям — это равенство $\sin x = 0$.

Если $\sin x = 0$, то из исходного уравнения $\sqrt{x-\pi} = 0$, откуда $x - \pi = 0$, и $x = \pi$.

Проверим, является ли $x=\pi$ корнем уравнения, подставив его в исходное выражение: $\sin(\pi) - \sqrt{\pi-\pi} = 0 - \sqrt{0} = 0$. Равенство $0=0$ выполняется, следовательно, $x=\pi$ является единственным решением.

Ответ: $\pi$.

б)

Рассмотрим уравнение $-\sin x = \sqrt{x}$.

Перепишем его в виде $\sin x = -\sqrt{x}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Проведем оценку левой и правой частей уравнения.

Слева стоит функция $\sin x$, область значений которой $[-1, 1]$.

Справа стоит функция $-\sqrt{x}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $-\sqrt{x} \le 0$. Область значений правой части — $(-\infty, 0]$.

Равенство возможно только в том случае, если значения обеих частей принадлежат пересечению их областей значений, то есть отрезку $[-1, 0]$. Таким образом, должны выполняться неравенства: $-1 \le \sin x \le 0$ и $-1 \le -\sqrt{x} \le 0$.

Из неравенства $-1 \le -\sqrt{x}$ следует, что $\sqrt{x} \le 1$. Так как обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат: $x \le 1$.

Объединяя с ОДЗ ($x \ge 0$), получаем, что возможное решение должно лежать в отрезке $0 \le x \le 1$.

Проверим значение $x=0$: $-\sin(0) = 0$ $\sqrt{0} = 0$ $0 = 0$. Следовательно, $x=0$ является корнем уравнения.

Чтобы определить, есть ли другие корни на интервале $(0, 1]$, рассмотрим поведение функций $y_1 = -\sin x$ и $y_2 = \sqrt{x}$ или эквивалентно, рассмотрим функцию $f(x) = \sin x + \sqrt{x}$ и найдем ее нули.

Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (\sin x + \sqrt{x})' = \cos x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

На интервале $(0, 1]$ (значения в радианах), косинус положителен ($\cos x > 0$), так как $1 < \pi/2 \approx 1.57$. Член $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ также очевидно положителен для $x>0$.

Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x \in (0, 1]$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на этом интервале.

Поскольку $f(0)=0$ и функция $f(x)$ строго возрастает при $x>0$, она больше не может принимать значение 0. Таким образом, $x=0$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $0$.

Постройте график функции:

11.5 a) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{2}\right)$;

б) $y = \cos \left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$;

в) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

г) $y = \cos \left(x + \frac{5\pi}{6}\right)$.

а) Для построения графика функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{2})$ необходимо взять за основу график функции $y = \cos(x)$ и выполнить его параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси абсцисс (оси Ox). Общее правило гласит, что график функции $y = f(x+a)$ получается сдвигом графика $y = f(x)$ влево на $a$ единиц, если $a > 0$. В данном случае $a = \frac{\pi}{2}$, поэтому график функции $y = \cos(x)$ необходимо сдвинуть влево на $\frac{\pi}{2}$. Стоит отметить, что согласно формулам приведения, $\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x)$, поэтому искомый график также является графиком функции $y = -\sin(x)$.
Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{2})$ получается из графика функции $y = \cos(x)$ сдвигом влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{2}$.

б) Для построения графика функции $y = \cos(x - \frac{2\pi}{3})$ необходимо взять за основу график функции $y = \cos(x)$ и выполнить его параллельный перенос вдоль оси абсцисс (оси Ox). Общее правило гласит, что график функции $y = f(x-a)$ получается сдвигом графика $y = f(x)$ вправо на $a$ единиц, если $a > 0$. В данном случае $a = \frac{2\pi}{3}$, поэтому график функции $y = \cos(x)$ необходимо сдвинуть вправо на $\frac{2\pi}{3}$.
Ответ: График функции $y = \cos(x - \frac{2\pi}{3})$ получается из графика функции $y = \cos(x)$ сдвигом вправо вдоль оси Ox на $\frac{2\pi}{3}$.

в) Для построения графика функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{3})$ используется график функции $y = \cos(x)$, который подвергается сдвигу вдоль оси абсцисс (оси Ox). Согласно правилу преобразования графиков, график функции $y = f(x-a)$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом вправо на $a$ единиц при $a > 0$. В этом случае $a = \frac{\pi}{3}$. Следовательно, график $y = \cos(x)$ нужно сдвинуть вправо на $\frac{\pi}{3}$.
Ответ: График функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{3})$ получается из графика функции $y = \cos(x)$ сдвигом вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

г) Для построения графика функции $y = \cos(x + \frac{5\pi}{6})$ используется график функции $y = \cos(x)$, который сдвигается вдоль оси абсцисс (оси Ox). Согласно правилу преобразования графиков, график функции $y = f(x+a)$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом влево на $a$ единиц при $a > 0$. В данном случае $a = \frac{5\pi}{6}$. Таким образом, график $y = \cos(x)$ нужно сдвинуть влево на $\frac{5\pi}{6}$.
Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{5\pi}{6})$ получается из графика функции $y = \cos(x)$ сдвигом влево вдоль оси Ox на $\frac{5\pi}{6}$.

11.1 а) $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$;

б) $f(-\pi)$;

в) $f\left(\frac{5\pi}{6}\right)$;

г) $f\left(-\frac{2\pi}{3}\right)$.

В задаче не указана функция $f(x)$. Основываясь на контексте (стандартные задачи из учебника по тригонометрии), будем считать, что $f(x) = \sin(x)$.

а) Найдем значение $f(\frac{\pi}{2})$.
Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ в функцию $f(x) = \sin(x)$:
$f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2})$
Значение синуса угла $\frac{\pi}{2}$ является табличным и равно 1.
$f(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Ответ: 1.

б) Найдем значение $f(-\pi)$.
Подставим $x = -\pi$ в функцию $f(x) = \sin(x)$:
$f(-\pi) = \sin(-\pi)$
Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Поэтому:
$\sin(-\pi) = -\sin(\pi)$
Табличное значение $\sin(\pi) = 0$.
$f(-\pi) = -0 = 0$.
Ответ: 0.

в) Найдем значение $f(\frac{5\pi}{6})$.
Подставим $x = \frac{5\pi}{6}$ в функцию $f(x) = \sin(x)$:
$f(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{6})$
Для вычисления воспользуемся формулой приведения. Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй четверти. Его можно представить как $\pi - \frac{\pi}{6}$.
По формуле приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$:
$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6})$
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
$f(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Найдем значение $f(-\frac{2\pi}{3})$.
Подставим $x = -\frac{2\pi}{3}$ в функцию $f(x) = \sin(x)$:
$f(-\frac{2\pi}{3}) = \sin(-\frac{2\pi}{3})$
Так как синус — нечетная функция:
$\sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\sin(\frac{2\pi}{3})$
Теперь применим формулу приведения для $\sin(\frac{2\pi}{3})$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти.
$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $f(-\frac{2\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

11.2 a) $f(-x)$;

б) $f(3x)$;

в) $f(x + 2)$;

г) $f(x) - 6$.

а) f(-x);

Чтобы получить график функции $y = f(-x)$, нужно преобразовать график исходной функции $y = f(x)$. Возьмем любую точку $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$, для которой выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$. Для графика функции $y = f(-x)$ точка с такой же ординатой $y_0$ будет иметь абсциссу $x_1$, удовлетворяющую условию $y_0 = f(-x_1)$. Приравнивая выражения для $y_0$, получаем $f(x_0) = f(-x_1)$, откуда следует, что $x_0 = -x_1$ или $x_1 = -x_0$. Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y = f(x)$ переходит в точку $(-x_0, y_0)$ графика $y = f(-x)$. Такое преобразование является симметричным отражением (симметрией) относительно оси ординат (оси OY).

Ответ: График функции $y = f(-x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси OY.

б) f(3x);

Чтобы получить график функции $y = f(3x)$, нужно преобразовать график исходной функции $y = f(x)$. Возьмем любую точку $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$, для которой $y_0 = f(x_0)$. Точка на новом графике с той же ординатой $y_0$ будет иметь абсциссу $x_1$, такую что $y_0 = f(3x_1)$. Отсюда $f(x_0) = f(3x_1)$, что означает $x_0 = 3x_1$ или $x_1 = \frac{x_0}{3}$. Это значит, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике соответствующая точка на новом графике будет $(\frac{x_0}{3}, y_0)$. Абсцисса каждой точки уменьшилась в 3 раза при неизменной ординате. Такое преобразование является сжатием графика к оси ординат (оси OY) в 3 раза.

Ответ: График функции $y = f(3x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сжатия к оси OY в 3 раза.

в) f(x + 2);

Чтобы получить график функции $y = f(x + 2)$, нужно преобразовать график исходной функции $y = f(x)$. Возьмем любую точку $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$, то есть $y_0 = f(x_0)$. Найдем, какая точка на новом графике будет иметь ту же ординату $y_0$. Её абсцисса $x_1$ должна удовлетворять равенству $y_0 = f(x_1 + 2)$. Сравнивая с исходным, получаем $f(x_0) = f(x_1 + 2)$, откуда $x_0 = x_1 + 2$ или $x_1 = x_0 - 2$. Следовательно, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(x_0 - 2, y_0)$ нового графика. Такое преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси абсцисс (оси OX) на 2 единицы влево.

Ответ: График функции $y = f(x + 2)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса на 2 единицы влево вдоль оси OX.

г) f(x) - 6.

Чтобы получить график функции $y = f(x) - 6$, нужно преобразовать график исходной функции $y = f(x)$. Возьмем любую точку $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$, где $y_0 = f(x_0)$. Для нового графика рассмотрим точку с той же абсциссой $x_0$. Ее ордината будет равна $y_1 = f(x_0) - 6$. Так как $f(x_0) = y_0$, то $y_1 = y_0 - 6$. Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(x_0, y_0 - 6)$. Это означает, что ордината каждой точки графика уменьшилась на 6. Такое преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика вдоль оси ординат (оси OY) на 6 единиц вниз.

Ответ: График функции $y = f(x) - 6$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса на 6 единиц вниз вдоль оси OY.

Найдите значение функции:

11.3 $y = 2\sin x + \cos x$, если:

а) $x = -\frac{\pi}{2}$;

б) $x = \frac{\pi}{6}$.

а) Чтобы найти значение функции $y = 2\sin x + \cos x$ при $x = -\frac{\pi}{2}$, подставим это значение в уравнение:

$y = 2\sin(-\frac{\pi}{2}) + \cos(-\frac{\pi}{2})$

Воспользуемся свойствами тригонометрических функций. Синус — нечетная функция, поэтому $\sin(-x) = -\sin x$. Косинус — четная функция, поэтому $\cos(-x) = \cos x$.

Известно, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Следовательно:

$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

$\cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Подставим найденные значения в выражение для $y$:

$y = 2 \cdot (-1) + 0 = -2 + 0 = -2$

Ответ: -2

б) Чтобы найти значение функции $y = 2\sin x + \cos x$ при $x = \frac{\pi}{6}$, подставим это значение в уравнение:

$y = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{6})$

Вспомним табличные значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$:

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в выражение для $y$:

$y = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

11.4 $y = 2 \cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$, если:

а) $x = -\frac{\pi}{2}$;

б) $x = \frac{\pi}{4}$.

а)

Для нахождения значения $y$ подставим заданное значение $x = -\frac{\pi}{2}$ в функцию $y = 2 \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$.

$y = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) - 1$

Сначала вычислим значение аргумента косинуса, приведя дроби к общему знаменателю:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$

Теперь выражение принимает вид:

$y = 2 \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) - 1$

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

$y = 2 \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) - 1$

Значение косинуса для угла $\frac{3\pi}{4}$ является табличным и равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем это значение в уравнение:

$y = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 1 = -\sqrt{2} - 1$

Ответ: $y = -\sqrt{2} - 1$.

б)

Для нахождения значения $y$ подставим заданное значение $x = \frac{\pi}{4}$ в функцию $y = 2 \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$.

$y = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) - 1$

Вычислим значение в скобках:

$y = 2 \cos(0) - 1$

Значение $\cos(0)$ равно $1$.

Подставим это значение в уравнение:

$y = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$

Ответ: $y = 1$.