Страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13.16 Известно, что $f(x) = \sin 2x$. Найдите:

а) $f(-x)$;

б) $2f(x)$;

в) $f(-3x)$;

г) $f(-x) + f(x)$.

Дана функция $f(x) = \sin(2x)$.

а) f(-x);

Чтобы найти $f(-x)$, нужно подставить $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$f(-x) = \sin(2(-x)) = \sin(-2x)$

Функция синус является нечетной, то есть для любого угла $\alpha$ справедливо равенство $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Применим это свойство:

$f(-x) = \sin(-2x) = -\sin(2x)$

Ответ: $f(-x) = -\sin(2x)$

б) 2f(x);

Чтобы найти $2f(x)$, нужно умножить данную функцию на 2:

$2f(x) = 2 \cdot f(x) = 2 \cdot \sin(2x)$

Ответ: $2f(x) = 2\sin(2x)$

в) f(-3x);

Чтобы найти $f(-3x)$, нужно подставить $-3x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$f(-3x) = \sin(2(-3x)) = \sin(-6x)$

Используя свойство нечетности функции синус $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:

$f(-3x) = \sin(-6x) = -\sin(6x)$

Ответ: $f(-3x) = -\sin(6x)$

г) f(-x) + f(x).

Для нахождения этого выражения воспользуемся результатом из пункта а), где мы нашли, что $f(-x) = -\sin(2x)$. Сложим это выражение с исходной функцией $f(x) = \sin(2x)$:

$f(-x) + f(x) = (-\sin(2x)) + (\sin(2x))$

$f(-x) + f(x) = -\sin(2x) + \sin(2x) = 0$

Этот результат также следует из того, что функция $f(x) = \sin(2x)$ является нечетной, а для любой нечетной функции справедливо тождество $f(-x) = -f(x)$, из которого следует, что $f(-x) + f(x) = 0$.

Ответ: $0$

13.21 a) $y = 2 \sin \left(3x - \frac{3\pi}{4}\right);$

б) $y = -3 \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right).$

a) $y = 2 \sin(3x - \frac{3\pi}{4})$

Проведем подробное исследование свойств данной тригонометрической функции.

1. Область определения.

Выражение $3x - \frac{3\pi}{4}$ определено для любого действительного числа $x$. Функция синус также определена для любого действительного аргумента. Следовательно, область определения функции $D(y)$ — все действительные числа.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Множество значений.

Функция синус принимает значения в диапазоне от -1 до 1:

$-1 \le \sin(3x - \frac{3\pi}{4}) \le 1$

Умножим все части неравенства на 2:

$2 \cdot (-1) \le 2 \sin(3x - \frac{3\pi}{4}) \le 2 \cdot 1$

$-2 \le y \le 2$

Таким образом, множество значений функции $E(y) = [-2; 2]$.

3. Периодичность.

Функция является периодической. Основной период функции вида $y = A \sin(kx + \phi)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=3$.

$T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$

Основной период функции равен $\frac{2\pi}{3}$.

4. Нули функции.

Нули функции — это значения $x$, при которых $y(x) = 0$.

$2 \sin(3x - \frac{3\pi}{4}) = 0$

$\sin(3x - \frac{3\pi}{4}) = 0$

Это равенство выполняется, когда аргумент синуса является целым кратным $\pi$.

$3x - \frac{3\pi}{4} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$3x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Четность и нечетность.

Проверим значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = 2 \sin(3(-x) - \frac{3\pi}{4}) = 2 \sin(-3x - \frac{3\pi}{4}) = -2 \sin(3x + \frac{3\pi}{4})$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

6. Экстремумы функции.

Максимальное значение функции равно 2. Оно достигается, когда $\sin(3x - \frac{3\pi}{4}) = 1$.

$3x - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$3x = \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi + 3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

Точки максимума: $x_{max} = \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение функции равно -2. Оно достигается, когда $\sin(3x - \frac{3\pi}{4}) = -1$.

$3x - \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$3x = -\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{-2\pi + 3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Для функции $y = 2 \sin(3x - \frac{3\pi}{4})$ основные свойства следующие: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = [-2; 2]$; основной период $T = \frac{2\pi}{3}$; нули функции при $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$; максимальное значение $y_{max}=2$ в точках $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$; минимальное значение $y_{min}=-2$ в точках $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$; функция является функцией общего вида.

б) $y = -3 \cos(2x + \frac{\pi}{3})$

Проведем подробное исследование свойств данной тригонометрической функции.

1. Область определения.

Выражение $2x + \frac{\pi}{3}$ определено для любого действительного числа $x$. Функция косинус также определена для любого действительного аргумента. Следовательно, область определения функции $D(y)$ — все действительные числа.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Множество значений.

Функция косинус принимает значения в диапазоне от -1 до 1:

$-1 \le \cos(2x + \frac{\pi}{3}) \le 1$

Умножим все части неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-3) \cdot 1 \le -3 \cos(2x + \frac{\pi}{3}) \le (-3) \cdot (-1)$

$-3 \le y \le 3$

Таким образом, множество значений функции $E(y) = [-3; 3]$.

3. Периодичность.

Функция является периодической. Основной период функции вида $y = A \cos(kx + \phi)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=2$.

$T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$

Основной период функции равен $\pi$.

4. Нули функции.

Нули функции — это значения $x$, при которых $y(x) = 0$.

$-3 \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 0$

$\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 0$

Это равенство выполняется, когда аргумент косинуса равен нечетному кратному $\frac{\pi}{2}$.

$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$.

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Четность и нечетность.

Проверим значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = -3 \cos(2(-x) + \frac{\pi}{3}) = -3 \cos(-2x + \frac{\pi}{3})$.

Так как косинус — четная функция ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$), то:

$y(-x) = -3 \cos(-(2x - \frac{\pi}{3})) = -3 \cos(2x - \frac{\pi}{3})$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

6. Экстремумы функции.

Максимальное значение функции равно 3. Из-за отрицательного коэффициента -3 оно достигается, когда $\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = -1$.

$2x + \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение функции равно -3. Оно достигается, когда $\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 1$.

$2x + \frac{\pi}{3} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Для функции $y = -3 \cos(2x + \frac{\pi}{3})$ основные свойства следующие: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = [-3; 3]$; основной период $T = \pi$; нули функции при $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$; максимальное значение $y_{max}=3$ в точках $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; минимальное значение $y_{min}=-3$ в точках $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; функция является функцией общего вида.

13.17 Постройте график функции:

а) $y = \sin 2x - 1$;

б) $y = \cos \frac{x}{2} + 1$;

в) $y = \cos 2x + 3$;

г) $y = \sin \frac{x}{3} - 2$.

а) $y = \sin 2x - 1$

Построение графика функции $y = \sin 2x - 1$ выполняется в несколько этапов, используя преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

1. Строим график функции $y_1 = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $T = 2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.
2. Преобразуем его в график функции $y_2 = \sin 2x$. Это преобразование представляет собой сжатие графика $y_1 = \sin x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T' = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
3. Далее, строим график искомой функции $y = \sin 2x - 1$. Для этого сдвигаем график функции $y_2 = \sin 2x$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (оси Oy).

Основные свойства функции $y = \sin 2x - 1$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1-1; 1-1] = [-2; 0]$.
• Период: $T = \pi$.

Ключевые точки для построения одного периода на отрезке $[0, \pi]$:

• при $x=0, y = \sin(0) - 1 = -1$;
• при $x=\frac{\pi}{4}, y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - 1 = \sin(\frac{\pi}{2}) - 1 = 1 - 1 = 0$;
• при $x=\frac{\pi}{2}, y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - 1 = \sin(\pi) - 1 = 0 - 1 = -1$;
• при $x=\frac{3\pi}{4}, y = \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) - 1 = \sin(\frac{3\pi}{2}) - 1 = -1 - 1 = -2$;
• при $x=\pi, y = \sin(2\pi) - 1 = 0 - 1 = -1$.

Ответ: График функции $y = \sin 2x - 1$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия по оси абсцисс в 2 раза и последующим сдвигом вниз по оси ординат на 1 единицу.

б) $y = \cos \frac{x}{2} + 1$

Построение графика функции $y = \cos \frac{x}{2} + 1$ выполняется путем преобразования графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Строим график функции $y_1 = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $T = 2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.
2. Преобразуем его в график функции $y_2 = \cos \frac{x}{2}$. Это преобразование представляет собой растяжение графика $y_1 = \cos x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Период функции увеличивается в 2 раза и становится равным $T' = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
3. Далее, строим график искомой функции $y = \cos \frac{x}{2} + 1$. Для этого сдвигаем график функции $y_2 = \cos \frac{x}{2}$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Основные свойства функции $y = \cos \frac{x}{2} + 1$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1+1; 1+1] = [0; 2]$.
• Период: $T = 4\pi$.

Ключевые точки для построения одного периода на отрезке $[0, 4\pi]$:

• при $x=0, y = \cos(0) + 1 = 1 + 1 = 2$;
• при $x=\pi, y = \cos(\frac{\pi}{2}) + 1 = 0 + 1 = 1$;
• при $x=2\pi, y = \cos(\frac{2\pi}{2}) + 1 = \cos(\pi) + 1 = -1 + 1 = 0$;
• при $x=3\pi, y = \cos(\frac{3\pi}{2}) + 1 = 0 + 1 = 1$;
• при $x=4\pi, y = \cos(\frac{4\pi}{2}) + 1 = \cos(2\pi) + 1 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: График функции $y = \cos \frac{x}{2} + 1$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем растяжения по оси абсцисс в 2 раза и последующим сдвигом вверх по оси ординат на 1 единицу.

в) $y = \cos 2x + 3$

Построение графика функции $y = \cos 2x + 3$ выполняется путем преобразования графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Строим график функции $y_1 = \cos x$.
2. Преобразуем его в график функции $y_2 = \cos 2x$. Это сжатие графика $y_1 = \cos x$ вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции становится равным $T' = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
3. Далее, строим график искомой функции $y = \cos 2x + 3$. Для этого сдвигаем график функции $y_2 = \cos 2x$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Основные свойства функции $y = \cos 2x + 3$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1+3; 1+3] = [2; 4]$.
• Период: $T = \pi$.

Ключевые точки для построения одного периода на отрезке $[0, \pi]$:

• при $x=0, y = \cos(0) + 3 = 1 + 3 = 4$;
• при $x=\frac{\pi}{4}, y = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + 3 = \cos(\frac{\pi}{2}) + 3 = 0 + 3 = 3$;
• при $x=\frac{\pi}{2}, y = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) + 3 = \cos(\pi) + 3 = -1 + 3 = 2$;
• при $x=\frac{3\pi}{4}, y = \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) + 3 = \cos(\frac{3\pi}{2}) + 3 = 0 + 3 = 3$;
• при $x=\pi, y = \cos(2\pi) + 3 = 1 + 3 = 4$.

Ответ: График функции $y = \cos 2x + 3$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем сжатия по оси абсцисс в 2 раза и последующим сдвигом вверх по оси ординат на 3 единицы.

г) $y = \sin \frac{x}{3} - 2$

Построение графика функции $y = \sin \frac{x}{3} - 2$ выполняется путем преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

1. Строим график функции $y_1 = \sin x$.
2. Преобразуем его в график функции $y_2 = \sin \frac{x}{3}$. Это растяжение графика $y_1 = \sin x$ вдоль оси Ox в 3 раза. Период функции становится равным $T' = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.
3. Далее, строим график искомой функции $y = \sin \frac{x}{3} - 2$. Для этого сдвигаем график функции $y_2 = \sin \frac{x}{3}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Основные свойства функции $y = \sin \frac{x}{3} - 2$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1-2; 1-2] = [-3; -1]$.
• Период: $T = 6\pi$.

Ключевые точки для построения одного периода на отрезке $[0, 6\pi]$:

• при $x=0, y = \sin(0) - 2 = -2$;
• при $x=\frac{3\pi}{2}, y = \sin(\frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{2}) - 2 = \sin(\frac{\pi}{2}) - 2 = 1 - 2 = -1$;
• при $x=3\pi, y = \sin(\frac{3\pi}{3}) - 2 = \sin(\pi) - 2 = 0 - 2 = -2$;
• при $x=\frac{9\pi}{2}, y = \sin(\frac{1}{3} \cdot \frac{9\pi}{2}) - 2 = \sin(\frac{3\pi}{2}) - 2 = -1 - 2 = -3$;
• при $x=6\pi, y = \sin(\frac{6\pi}{3}) - 2 = \sin(2\pi) - 2 = 0 - 2 = -2$.

Ответ: График функции $y = \sin \frac{x}{3} - 2$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем растяжения по оси абсцисс в 3 раза и последующим сдвигом вниз по оси ординат на 2 единицы.

13.22 a) $y = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right);$

б) $y = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right).$

а) Исследуем свойства функции $y = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$.

Область определения: Аргумент функции синус определён для любых действительных чисел, поэтому область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений: Стандартная область значений для синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Так как функция умножается на коэффициент $\frac{1}{2}$, то область значений для данной функции: $E(y) = \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$.

Период: Период функции вида $y = A\sin(kx+\phi)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = \frac{1}{2}$, следовательно, период функции равен $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

Четность: Проверим функцию на четность. Для этого найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{-x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\sin\left(-\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right)\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right)$. Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

Нули функции: Найдем точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс, решив уравнение $y=0$:
$\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = 0 \implies \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = 0$.
Это равенство выполняется, когда аргумент синуса равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \pi n$
$\frac{x}{2} = \pi n - \frac{\pi}{6}$
$x = 2\pi n - \frac{\pi}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Экстремумы функции:
Максимальное значение функции $y_{max} = \frac{1}{2}$ достигается при $\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = 1$.
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x_{max} = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Минимальное значение функции $y_{min} = -\frac{1}{2}$ достигается при $\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = -1$.
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \implies \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \implies x_{min} = \frac{8\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Для функции $y = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$: область определения $D(y)=\mathbb{R}$; область значений $E(y)=[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$; период $T=4\pi$; нули функции при $x = 2\pi n - \frac{\pi}{3}$; точки максимума $x_{max} = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$ (значение $y_{max}=\frac{1}{2}$); точки минимума $x_{min} = \frac{8\pi}{3} + 4\pi n$ (значение $y_{min}=-\frac{1}{2}$), где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Исследуем свойства функции $y = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$.

Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$, так как функция косинус определена для любых действительных чисел.

Область значений: Значения косинуса лежат в отрезке $[-1, 1]$. Умножение на $-\frac{3}{2}$ "переворачивает" и растягивает этот отрезок: $1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{2}$ и $(-1) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2}$. Таким образом, область значений функции $E(y) = \left[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right]$.

Период: Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$, поэтому период $T = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi$.

Четность: Проверим функцию на четность, найдя $y(-x)$:
$y(-x) = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{-x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{3}{2}\cos\left(-\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)\right)$.
Так как косинус - четная функция ($\cos(-u) = \cos(u)$), то:
$y(-x) = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Нули функции: Решим уравнение $y=0$:
$-\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = 0$.
Это равенство выполняется, когда аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{3\pi + 2\pi}{6} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$
$x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Экстремумы функции:
Максимальное значение функции $y_{max} = \frac{3}{2}$ достигается при $\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = -1$ (из-за отрицательного коэффициента $-\frac{3}{2}$).
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n \implies \frac{x}{2} = \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \implies x_{max} = \frac{8\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Минимальное значение функции $y_{min} = -\frac{3}{2}$ достигается при $\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = 1$.
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} = 2\pi n \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x_{min} = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Для функции $y = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$: область определения $D(y)=\mathbb{R}$; область значений $E(y)=[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$; период $T=4\pi$; нули функции при $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$; точки максимума $x_{max} = \frac{8\pi}{3} + 4\pi n$ (значение $y_{max}=\frac{3}{2}$); точки минимума $x_{min} = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$ (значение $y_{min}=-\frac{3}{2}$), где $n \in \mathbb{Z}$.

13.18 Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$:

a) $f(x) = \begin{cases} \cos 2x, & \text{если } x \le \pi, \\ -\frac{1}{2}, & \text{если } x > \pi; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} -\sin 3x, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} \cos 2x, & \text{если } x \le \pi \\ -\frac{1}{2}, & \text{если } x > \pi \end{cases}$

1. Построение графика.

Для $x \le \pi$ строим график функции $y = \cos 2x$. Это косинусоида с амплитудой 1 и периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. График сжат по оси Ox в 2 раза по сравнению с $y=\cos x$. Ключевые точки на отрезке $[0, \pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, -1)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\pi, 1)$. Так как период равен $\pi$, этот узор повторяется для всех $x < 0$. В точке $x=\pi$ значение функции $f(\pi)=\cos(2\pi)=1$, поэтому точка $(\pi, 1)$ принадлежит графику (закрашенная точка).

Для $x > \pi$ строим график функции $y = -\frac{1}{2}$. Это горизонтальная прямая (луч), начинающаяся от $x=\pi$ и идущая вправо. В точке $x=\pi$ функция не определена этим выражением, поэтому на графике в точке $(\pi, -\frac{1}{2})$ будет выколотая точка.

В точке $x=\pi$ функция терпит разрыв первого рода (скачок), так как предел слева $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = 1$, а предел справа $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = -1/2$.

2. Свойства функции (чтение графика).

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = [-1; 1]$.
• Нули функции: $f(x) = 0$ при $x \le \pi$, если $\cos 2x = 0$. Отсюда $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, т.е. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$ при $k \in \mathbb{Z}$. Учитывая условие $x \le \pi$, получаем $k \le 1$. Нули: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}, k \le 1$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}, k \le 0} \left(-\frac{\pi}{4}+k\pi; \frac{\pi}{4}+k\pi\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4}; \pi\right]$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}, k \le 0} \left(\frac{\pi}{4}+k\pi; \frac{3\pi}{4}+k\pi\right) \cup (\pi; +\infty)$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на промежутках вида $\left(\frac{\pi}{2}+k\pi; \pi+k\pi\right)$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$.
  • Функция убывает на промежутках вида $\left(k\pi; \frac{\pi}{2}+k\pi\right)$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 1$.
  • Функция постоянна на промежутке $(\pi; +\infty)$.
• Экстремумы:
  • Точки максимума: $x=k\pi$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 1$. Значение в максимумах $y_{max}=1$.
  • Точки минимума: $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$. Значение в минимумах $y_{min}=-1$.
• Четность, нечетность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
• Периодичность: Функция непериодическая.
• Непрерывность: Функция непрерывна на $(-\infty; \pi) \cup (\pi; +\infty)$. В точке $x=\pi$ имеет разрыв первого рода.

Ответ: График функции состоит из косинусоиды $y=\cos 2x$ на интервале $(-\infty, \pi]$ и луча $y=-1/2$ на интервале $(\pi, +\infty)$. Основные свойства функции: $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-1, 1]$, нули $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}, k \le 1$, функция не является ни четной, ни нечетной, непериодическая, имеет разрыв первого рода в точке $x=\pi$.

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} -\sin 3x, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

1. Построение графика.

Для $x \ge 0$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График выходит из начала координат $(0, 0)$ и монотонно возрастает. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.

Для $x < 0$ строим график функции $y = -\sin 3x$. Это синусоида, отраженная относительно оси Ox и сжатая по горизонтали в 3 раза (период $T = \frac{2\pi}{3}$). Амплитуда колебаний равна 1. График колеблется между -1 и 1. Предел слева в точке $x=0$ равен $\lim_{x \to 0^-} (-\sin 3x) = 0$.

Так как $f(0)=\sqrt{0}=0$ и предел слева также равен 0, функция является непрерывной в точке $x=0$. График представляет собой единую непрерывную линию.

2. Свойства функции (чтение графика).

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = [-1; +\infty)$.
• Нули функции: $f(x) = 0$.
  • При $x \ge 0$: $\sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0$.
  • При $x < 0$: $-\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=k\pi$, т.е. $x=\frac{k\pi}{3}$ при $k \in \mathbb{Z}, k < 0$.
  Нули: $x=0$ и $x=\frac{k\pi}{3}$ для всех целых $k < 0$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}, k \le -1} \left(\frac{(2k+1)\pi}{3}; \frac{2(k+1)\pi}{3}\right) \cup (0; +\infty)$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}, k \le -1} \left(\frac{2k\pi}{3}; \frac{(2k+1)\pi}{3}\right)$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на $(0; +\infty)$ и на промежутках вида $\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{3}; -\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right)$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$.
  • Функция убывает на промежутках вида $\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}; \frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right) \cap (-\infty, 0)$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$.
• Экстремумы:
  • Точки максимума: $x = -\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$. Значение в максимумах $y_{max}=1$.
  • Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{3}$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$. Значение в минимумах $y_{min}=-1$.
  • Точка $x=0$ является точкой локального минимума, $f(0)=0$.
  • Наибольшего значения функция не имеет. Наименьшее значение функции равно -1.
• Четность, нечетность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
• Периодичность: Функция непериодическая.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: График функции состоит из графика $y=-\sin 3x$ для $x<0$ и графика $y=\sqrt{x}$ для $x \ge 0$. Основные свойства функции: $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-1, +\infty)$, нули $x=0$ и $x=\frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}, k < 0$, функция не является ни четной, ни нечетной, непериодическая, непрерывна на всей числовой прямой. Наименьшее значение функции равно -1, наибольшего значения не существует.

13.14 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos \frac{x}{3}$:

а) на луче $ [0; +\infty) $;

б) на открытом луче $ (-\infty; \pi) $;

в) на луче $ (-\infty; \frac{\pi}{2}] $;

г) на открытом луче $ (\frac{\pi}{3}; +\infty) $.

а) на луче $[0; +\infty)$

Рассмотрим функцию $y = \cos(\frac{x}{3})$. Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому наименьшее возможное значение функции равно -1, а наибольшее 1. Чтобы найти значения на заданном промежутке, необходимо определить, какие значения принимает аргумент косинуса.

Найдём, какой промежуток пробегает аргумент $t = \frac{x}{3}$, если $x \in [0; +\infty)$. При $x=0$, $t=0$. Если $x \to +\infty$, то и $t \to +\infty$. Значит, аргумент $t$ изменяется в пределах промежутка $[0; +\infty)$.

Поскольку промежуток $[0; +\infty)$ для $t$ содержит точки, в которых косинус равен 1 (например, $t=2\pi k$ для $k \ge 0$) и точки, в которых косинус равен -1 (например, $t=\pi + 2\pi k$ для $k \ge 0$), то функция $y = \cos(t)$ на этом промежутке достигает как своего наибольшего значения 1, так и наименьшего значения -1.

Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 1.

б) на открытом луче $(-\infty; \pi)$

Найдём, какой промежуток пробегает аргумент $t = \frac{x}{3}$, если $x \in (-\infty; \pi)$. Если $x \to -\infty$, то $t \to -\infty$. Если $x \to \pi$, то $t \to \frac{\pi}{3}$. Значит, аргумент $t$ изменяется в пределах промежутка $(-\infty; \frac{\pi}{3})$.

Промежуток $(-\infty; \frac{\pi}{3})$ для $t$ является бесконечным. Он содержит точки, где косинус равен 1 (например, $t=0$, так как $0 < \frac{\pi}{3}$) и точки, где косинус равен -1 (например, $t=-\pi$, так как $-\pi < \frac{\pi}{3}$). Следовательно, функция достигает на этом луче своих наибольшего и наименьшего значений.

Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 1.

в) на луче $(-\infty; \frac{\pi}{2}]$

Найдём, какой промежуток пробегает аргумент $t = \frac{x}{3}$, если $x \in (-\infty; \frac{\pi}{2}]$. Если $x \to -\infty$, то $t \to -\infty$. Если $x = \frac{\pi}{2}$, то $t = \frac{\pi}{6}$. Значит, аргумент $t$ изменяется в пределах промежутка $(-\infty; \frac{\pi}{6}]$.

Промежуток $(-\infty; \frac{\pi}{6}]$ для $t$ является бесконечным. Он содержит точки, где косинус равен 1 (например, $t=0$, так как $0 \le \frac{\pi}{6}$) и точки, где косинус равен -1 (например, $t=-\pi$, так как $-\pi \le \frac{\pi}{6}$). Следовательно, функция достигает на этом луче своих наибольшего и наименьшего значений.

Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 1.

г) на открытом луче $(\frac{\pi}{3}; +\infty)$

Найдём, какой промежуток пробегает аргумент $t = \frac{x}{3}$, если $x \in (\frac{\pi}{3}; +\infty)$. Если $x \to \frac{\pi}{3}$, то $t \to \frac{\pi}{9}$. Если $x \to +\infty$, то $t \to +\infty$. Значит, аргумент $t$ изменяется в пределах промежутка $(\frac{\pi}{9}; +\infty)$.

Промежуток $(\frac{\pi}{9}; +\infty)$ для $t$ является бесконечным. Он содержит точки, где косинус равен 1 (например, $t=2\pi$, так как $2\pi > \frac{\pi}{9}$) и точки, где косинус равен -1 (например, $t=\pi$, так как $\pi > \frac{\pi}{9}$). Следовательно, функция достигает на этом луче своих наибольшего и наименьшего значений.

Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 1.

Постройте график функции:

13.19 а) $y = 3 \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right)$;

б) $y = \cos \frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

а) $y = 3 \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Для построения графика данной функции можно пойти двумя путями: через последовательные преобразования или через упрощение выражения с помощью формул приведения.

Способ 1: Упрощение функции.
Используем формулу приведения для синуса: $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$.
Тогда исходная функция принимает вид: $y = 3\cos(x)$.

График функции $y = 3\cos(x)$ получается из графика базовой функции $y = \cos(x)$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси OY) в 3 раза.

• Амплитуда функции равна 3.
• Период функции остается таким же, как у $y = \cos(x)$, и равен $T = 2\pi$.
• Область значений функции: $[-3, 3]$.

Построение:
1. Строим график функции $y = \cos(x)$. Его ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$, $(\pi, -1)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$, $(2\pi, 1)$.
2. Увеличиваем ординаты (значения y) всех точек графика в 3 раза. Ключевые точки для графика $y = 3\cos(x)$ будут: $(0, 3)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$, $(\pi, -3)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$, $(2\pi, 3)$.
3. Соединяем эти точки плавной линией, получая косинусоиду, колеблющуюся между -3 и 3.

Способ 2: Последовательные преобразования.
1. Начинаем с графика $y = \sin(x)$.
2. Применяем растяжение вдоль оси OY в 3 раза, чтобы получить график $y = 3\sin(x)$. Амплитуда становится равной 3.
3. Сдвигаем полученный график влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{2}$, чтобы получить график $y = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Например, точка $(0,0)$ на графике $y=3\sin(x)$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, а точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 3)$ переместится в точку $(0, 3)$. Этот результат совпадает с графиком $y = 3\cos(x)$.

Ответ: График функции $y = 3 \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ является косинусоидой $y = 3\cos(x)$, полученной из графика $y = \cos(x)$ растяжением в 3 раза вдоль оси OY. Амплитуда равна 3, период $2\pi$, область значений $[-3, 3]$.

б) $y = \cos\frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$

График данной функции получается из графика базовой функции $y = \cos(x)$ с помощью последовательных геометрических преобразований: горизонтального растяжения и горизонтального сдвига.

Общий вид функции: $y = A\cos(k(x-b))$. В нашем случае амплитуда $A=1$, коэффициент $k=\frac{1}{2}$, сдвиг $b = -\frac{\pi}{3}$.

Шаги построения:
1. Базовый график: Начнем с графика функции $y = \cos(x)$. Его период $T=2\pi$, амплитуда 1, область значений $[-1, 1]$.
2. Горизонтальное растяжение: Преобразуем график в $y = \cos\left(\frac{1}{2}x\right)$. Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$. Это вызывает растяжение графика вдоль оси абсцисс (оси OX) в $\frac{1}{k} = 2$ раза. Период функции увеличивается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
Ключевые точки для $y = \cos\left(\frac{1}{2}x\right)$ на одном периоде $[0, 4\pi]$: $(0, 1)$, $(\pi, 0)$, $(2\pi, -1)$, $(3\pi, 0)$, $(4\pi, 1)$.
3. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг): Теперь преобразуем график $y = \cos\left(\frac{1}{2}x\right)$ в $y = \cos\frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. Наличие слагаемого $+\frac{\pi}{3}$ внутри скобок означает сдвиг графика влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{3}$.

Сместим ключевые точки графика $y = \cos\left(\frac{1}{2}x\right)$ на $\frac{\pi}{3}$ влево:

• Максимум: $(0 - \frac{\pi}{3}, 1) = \left(-\frac{\pi}{3}, 1\right)$
• Пересечение с осью OX: $(\pi - \frac{\pi}{3}, 0) = \left(\frac{2\pi}{3}, 0\right)$
• Минимум: $(2\pi - \frac{\pi}{3}, -1) = \left(\frac{5\pi}{3}, -1\right)$
• Пересечение с осью OX: $(3\pi - \frac{\pi}{3}, 0) = \left(\frac{8\pi}{3}, 0\right)$
• Следующий максимум: $(4\pi - \frac{\pi}{3}, 1) = \left(\frac{11\pi}{3}, 1\right)$

Соединив эти точки плавной линией, мы получим один период искомого графика.

Ответ: График функции $y = \cos\frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси OX (что увеличивает период до $4\pi$), а затем сдвига полученного графика влево на $\frac{\pi}{3}$. Амплитуда функции равна 1, область значений $[-1, 1]$.

13.15 Известно, что $f(x) = \cos \frac{x}{3}$. Найдите:

а) $f(-x)$;

б) $3f(x)$;

в) $f(-3x)$;

г) $f(-x) - f(x)$.

Дана функция $f(x) = \cos\frac{x}{3}$. Найдем требуемые значения.

а) $f(-x)$

Для нахождения $f(-x)$ подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$f(-x) = \cos\frac{-x}{3} = \cos(-\frac{x}{3})$

Поскольку функция косинус является четной, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ для любого $\alpha$, получаем:

$f(-x) = \cos\frac{x}{3}$

Ответ: $f(-x) = \cos\frac{x}{3}$.

б) $3f(x)$

Для нахождения $3f(x)$ умножим исходную функцию на 3:

$3f(x) = 3 \cdot \cos\frac{x}{3} = 3\cos\frac{x}{3}$

Ответ: $3f(x) = 3\cos\frac{x}{3}$.

в) $f(-3x)$

Для нахождения $f(-3x)$ подставим $-3x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$f(-3x) = \cos\frac{-3x}{3} = \cos(-x)$

Используя свойство четности функции косинус $\cos(-x) = \cos(x)$, получаем:

$f(-3x) = \cos x$

Ответ: $f(-3x) = \cos x$.

г) $f(-x) - f(x)$

Из пункта а) мы уже нашли, что $f(-x) = \cos\frac{x}{3}$. Исходная функция равна $f(x) = \cos\frac{x}{3}$.

Теперь найдем разность:

$f(-x) - f(x) = \cos\frac{x}{3} - \cos\frac{x}{3} = 0$

Это также следует из того, что $f(x)$ является четной функцией, а для любой четной функции $g(x)$ справедливо равенство $g(-x) = g(x)$, следовательно, $g(-x) - g(x) = 0$.

Ответ: $f(-x) - f(x) = 0$.

13.20 a) $y = -2 \cos 2 \left(x + \frac{\pi}{3}\right);$

б) $y = -2 \sin 3 \left(x + \frac{\pi}{2}\right).$

а)

Рассмотрим функцию $y = -2 \cos(2(x + \frac{\pi}{3}))$.
Это тригонометрическая функция, график которой можно получить путем преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$. Проанализируем ее свойства, исходя из общей формы $y = A \cos(k(x - b)) + d$.

В данном случае:

• Амплитудный коэффициент $A = -2$
• Угловой коэффициент (влияет на период) $k = 2$
• Фазовый сдвиг $b = -\frac{\pi}{3}$
• Вертикальный сдвиг $d = 0$

Исходя из этих параметров, определим основные свойства функции:

1. Амплитуда: Амплитуда колебаний равна модулю коэффициента $A$. Амплитуда $= |A| = |-2| = 2$.

2. Период: Период функции $T$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Фазовый сдвиг: Аргумент функции записан в виде $2(x + \frac{\pi}{3}) = 2(x - (-\frac{\pi}{3}))$. Это означает, что график функции $y = -2\cos(2x)$ сдвинут вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ влево.

4. Отражение и растяжение: Коэффициент $A = -2$ показывает, что график функции $y = \cos(x)$ был растянут в 2 раза вдоль оси ординат и затем отражен относительно оси абсцисс.

5. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция косинус определена для любого действительного аргумента.

6. Область значений: Так как амплитуда равна 2, а вертикального сдвига нет, значения функции находятся в пределах от -2 до 2. $E(y) = [-2; 2]$.

Ответ: Для функции $y = -2 \cos(2(x + \frac{\pi}{3}))$: амплитуда равна 2, период равен $\pi$, фазовый сдвиг равен $-\frac{\pi}{3}$ (сдвиг влево на $\frac{\pi}{3}$ относительно графика $y=-2\cos(2x)$), область значений $E(y) = [-2; 2]$.

б)

Рассмотрим функцию $y = -2 \sin(3(x + \frac{\pi}{2}))$.
Для анализа этой функции удобно сначала упростить ее выражение, используя формулы приведения.

Раскроем скобки в аргументе синуса: $y = -2 \sin(3x + \frac{3\pi}{2})$

Применим формулу приведения $\sin(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(\alpha)$. В данном случае $\alpha = 3x$. Следовательно, $\sin(3x + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(3x)$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение функции: $y = -2 \cdot (-\cos(3x)) = 2\cos(3x)$.

Таким образом, исходная функция тождественно равна функции $y = 2\cos(3x)$. Проанализируем свойства этой упрощенной функции.

1. Амплитуда: Коэффициент при косинусе $A = 2$. Амплитуда равна $|A| = |2| = 2$.

2. Период: Коэффициент при $x$ равен $k = 3$. Период $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{3}$.

3. Фазовый сдвиг: В форме $y = 2\cos(3x)$ фазовый сдвиг относительно функции $y = 2\cos(3x)$ равен нулю. Это означает, что сложный сдвиг и преобразование функции из синуса в косинус в исходной записи эквивалентны простому косинусу без сдвига фазы.

4. Вертикальный сдвиг: Отсутствует.

5. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

6. Область значений: С учетом амплитуды $A=2$, область значений функции $E(y) = [-2; 2]$.

Ответ: Функция $y = -2 \sin(3(x + \frac{\pi}{2}))$ тождественно равна $y = 2\cos(3x)$. Ее свойства: амплитуда равна 2, период равен $\frac{2\pi}{3}$, фазовый сдвиг (в упрощенной форме) отсутствует, область значений $E(y) = [-2; 2]$.

4. На числовой окружности отмечена точка $M(8)$. Как с её помощью найти точку $P(-8)$?

На числовой окружности каждому действительному числу соответствует точка. Начальной точкой отсчета является точка $A(0)$, которая обычно располагается в крайней правой точке окружности (в декартовых координатах это точка $(1, 0)$).

Для того чтобы найти точку, соответствующую положительному числу, мы движемся от начальной точки $A(0)$ по окружности против часовой стрелки. Чтобы найти точку, соответствующую отрицательному числу, мы движемся по часовой стрелке.

Точка $M(8)$ получается путем движения из точки $A(0)$ против часовой стрелки на дугу длиной 8.

Точка $P(-8)$ получается путем движения из той же точки $A(0)$ по часовой стрелке на дугу длиной 8.

Поскольку мы откладываем дуги одинаковой длины (равной 8), но в противоположных направлениях от одной и той же начальной точки, то итоговые точки $M(8)$ и $P(-8)$ будут расположены симметрично друг другу относительно горизонтальной оси (оси абсцисс), проходящей через начальную точку $A(0)$.

Это также можно показать через координаты. Если точка $M(8)$ имеет координаты $(\cos(8), \sin(8))$, то точка $P(-8)$ будет иметь координаты $(\cos(-8), \sin(-8))$. Используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

• $ \cos(-t) = \cos(t) $ (косинус — четная функция)
• $ \sin(-t) = -\sin(t) $ (синус — нечетная функция)

Применительно к нашему случаю, $ \cos(-8) = \cos(8) $ и $ \sin(-8) = -\sin(8) $. Таким образом, координаты точки $P(-8)$ равны $(\cos(8), -\sin(8))$. Это означает, что у точек $M(8)$ и $P(-8)$ одинаковые абсциссы и противоположные по знаку ординаты, что и является определением симметрии относительно оси абсцисс.

Ответ: Чтобы с помощью точки $M(8)$ найти точку $P(-8)$, необходимо найти точку, симметричную $M(8)$ относительно горизонтальной оси числовой окружности.

5. При каком по счёту обходе числовой окружности мы попадём в точку:

а) 5;

б) 7;

в) 20?

Для того чтобы определить, на каком по счёту обходе (витке) числовой окружности находится точка, соответствующая положительному числу $L$, необходимо разделить это число на длину одного полного обхода, равную $2\pi$, и округлить результат до ближайшего целого числа в большую сторону.

Номер обхода $N$ вычисляется по формуле: $$ N = \left\lceil \frac{L}{2\pi} \right\rceil $$ где $\lceil x \rceil$ — это математическая функция «потолок», которая возвращает наименьшее целое число, большее или равное $x$. Для расчетов будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,1416$, откуда $2\pi \approx 6,2832$.

а) 5

Найдем номер обхода для точки $L=5$. $$ N = \left\lceil \frac{5}{2\pi} \right\rceil \approx \left\lceil \frac{5}{6,2832} \right\rceil = \lceil 0,7957... \rceil = 1 $$ Так как $0 < 5 < 2\pi$ (поскольку $2\pi \approx 6,2832$), точка 5 располагается на первом обходе числовой окружности.

Ответ: на первом.

б) 7

Найдем номер обхода для точки $L=7$. $$ N = \left\lceil \frac{7}{2\pi} \right\rceil \approx \left\lceil \frac{7}{6,2832} \right\rceil = \lceil 1,1140... \rceil = 2 $$ Это означает, что был пройден один полный обход ($2\pi$), и точка 7 находится на втором обходе. Это можно проверить с помощью неравенства: $1 \cdot 2\pi < 7 < 2 \cdot 2\pi$, так как $6,2832 < 7 < 12,5664$.

Ответ: на втором.

в) 20

Найдем номер обхода для точки $L=20$. $$ N = \left\lceil \frac{20}{2\pi} \right\rceil = \left\lceil \frac{10}{\pi} \right\rceil \approx \left\lceil \frac{20}{6,2832} \right\rceil = \lceil 3,1830... \rceil = 4 $$ Это означает, что было пройдено три полных обхода ($3 \times 2\pi = 6\pi$), и точка 20 находится на четвертом обходе. Это можно проверить с помощью неравенства: $3 \cdot 2\pi < 20 < 4 \cdot 2\pi$, так как $18,8496 < 20 < 25,1328$.

Ответ: на четвертом.

6. Объясните, почему числам $3 + 2\pi$ и $3 - 10\pi$ соответствует одна и та же точка числовой окружности.

Две точки на числовой окружности совпадают, если соответствующие им числа отличаются на целое число полных оборотов. Длина одного полного оборота числовой окружности равна $2\pi$. Таким образом, два числа $t_1$ и $t_2$ соответствуют одной и той же точке, если их разность $t_1 - t_2$ является целым кратным числа $2\pi$. Это можно записать в виде формулы: $t_1 - t_2 = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Проверим это условие для чисел $3 + 2\pi$ и $3 - 10\pi$. Найдем их разность:

$(3 + 2\pi) - (3 - 10\pi) = 3 + 2\pi - 3 + 10\pi = (3 - 3) + (2\pi + 10\pi) = 12\pi$.

Полученная разность $12\pi$ может быть представлена в виде $k \cdot 2\pi$:

$12\pi = 6 \cdot 2\pi$.

Так как коэффициент $k=6$ является целым числом, это означает, что разница между данными числами составляет ровно 6 полных оборотов по окружности. Следовательно, числа $3 + 2\pi$ и $3 - 10\pi$ соответствуют одной и той же точке на числовой окружности.

Ответ: Разность данных чисел равна $(3+2\pi) - (3-10\pi) = 12\pi$, что составляет $6 \cdot 2\pi$. Поскольку разность кратна $2\pi$ с целым коэффициентом $k=6$, эти числа соответствуют одной и той же точке числовой окружности.