Страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

12.8 Докажите тождество:

a) $\sin^2(x - 8\pi) = 1 - \cos^2(16\pi - x)$;

б) $\cos^2(4\pi + x) = 1 - \sin^2(22\pi - x)$.

а) Для доказательства тождества $ \sin^2(x - 8\pi) = 1 - \cos^2(16\pi - x) $ преобразуем его левую и правую части по отдельности, используя свойства тригонометрических функций.

1. Преобразуем левую часть: $ \sin^2(x - 8\pi) $.
Функция синус является периодической с основным периодом $ 2\pi $. Это означает, что $ \sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha) $ для любого целого $ k $. Поскольку $ -8\pi = -4 \cdot 2\pi $, мы можем отбросить это слагаемое в аргументе функции:
$ \sin(x - 8\pi) = \sin(x) $.
Следовательно, левая часть тождества равна:
$ \sin^2(x - 8\pi) = (\sin(x))^2 = \sin^2(x) $.

2. Преобразуем правую часть: $ 1 - \cos^2(16\pi - x) $.
Функция косинус также периодична с периодом $ 2\pi $ ($ \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha) $) и является чётной ($ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $). Поскольку $ 16\pi = 8 \cdot 2\pi $, получаем:
$ \cos(16\pi - x) = \cos(-x + 16\pi) = \cos(-x) = \cos(x) $.
Следовательно, правая часть тождества равна:
$ 1 - \cos^2(16\pi - x) = 1 - (\cos(x))^2 = 1 - \cos^2(x) $.

3. Сравним полученные выражения.
В результате преобразований мы свели исходное равенство к виду: $ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) $. Данное равенство является верным, так как оно напрямую следует из основного тригонометрического тождества $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $.
Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ \cos^2(4\pi + x) = 1 - \sin^2(22\pi - x) $ также преобразуем обе его части.

1. Преобразуем левую часть: $ \cos^2(4\pi + x) $.
Используя свойство периодичности функции косинус и то, что $ 4\pi = 2 \cdot 2\pi $:
$ \cos(4\pi + x) = \cos(x) $.
Следовательно, левая часть тождества равна:
$ \cos^2(4\pi + x) = (\cos(x))^2 = \cos^2(x) $.

2. Преобразуем правую часть: $ 1 - \sin^2(22\pi - x) $.
Используя свойство периодичности функции синус ($ 22\pi = 11 \cdot 2\pi $) и её нечётность ($ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $):
$ \sin(22\pi - x) = \sin(-x + 22\pi) = \sin(-x) = -\sin(x) $.
Следовательно, правая часть тождества равна:
$ 1 - \sin^2(22\pi - x) = 1 - (-\sin(x))^2 = 1 - \sin^2(x) $.

3. Сравним полученные выражения.
В результате преобразований мы получили равенство: $ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) $. Это равенство также является верным, так как следует из основного тригонометрического тождества $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $.
Ответ: тождество доказано.

12.9 Решите уравнение:

а) $sin(x + 2\pi) + sin(x - 4\pi) = 1;$

б) $3cos(2\pi + x) + cos(x - 2\pi) + 2 = 0;$

в) $sin(x + 4\pi) + sin(x - 6\pi) = \sqrt{3};$

г) $cos(x + 2\pi) + cos(x - 8\pi) = \sqrt{2}.$

а) $\sin(x + 2\pi) + \sin(x - 4\pi) = 1$
Основное свойство функции синус — ее периодичность с периодом $2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняется равенство $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$.
Применим это свойство для упрощения каждого слагаемого в левой части уравнения:
$\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ (здесь $k=1$)
$\sin(x - 4\pi) = \sin(x - 2 \cdot 2\pi) = \sin(x)$ (здесь $k=-2$)
Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:
$\sin(x) + \sin(x) = 1$
$2\sin(x) = 1$
$\sin(x) = \frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения находятся по общей формуле:
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3\cos(2\pi + x) + \cos(x - 2\pi) + 2 = 0$
Функция косинус также периодична с периодом $2\pi$, то есть $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$ для любого целого $k$.
Упростим члены уравнения:
$\cos(2\pi + x) = \cos(x)$ (здесь $k=1$)
$\cos(x - 2\pi) = \cos(x)$ (здесь $k=-1$)
Подставим в исходное уравнение:
$3\cos(x) + \cos(x) + 2 = 0$
$4\cos(x) + 2 = 0$
$4\cos(x) = -2$
$\cos(x) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
Общая формула для решения уравнения $\cos(x)=a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin(x + 4\pi) + \sin(x - 6\pi) = \sqrt{3}$
Используем свойство периодичности функции синус ($\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$):
$\sin(x + 4\pi) = \sin(x + 2 \cdot 2\pi) = \sin(x)$
$\sin(x - 6\pi) = \sin(x - 3 \cdot 2\pi) = \sin(x)$
После подстановки уравнение принимает вид:
$\sin(x) + \sin(x) = \sqrt{3}$
$2\sin(x) = \sqrt{3}$
$\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Находим корни по общей формуле:
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\cos(x + 2\pi) + \cos(x - 8\pi) = \sqrt{2}$
Используем свойство периодичности функции косинус ($\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$):
$\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$
$\cos(x - 8\pi) = \cos(x - 4 \cdot 2\pi) = \cos(x)$
Подставляем упрощенные выражения в уравнение:
$\cos(x) + \cos(x) = \sqrt{2}$
$2\cos(x) = \sqrt{2}$
$\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Решаем простейшее уравнение, используя общую формулу:
$x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, итоговый ответ:
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

12.5 Является ли число $32\pi$ периодом функции $y = \sin x$, $y = \cos x$? А основным периодом?

Вычислите, преобразовав заданное выражение ($\sin t$ или $\cos t$) к виду $\sin t_0$ или $\cos t_0$ так, чтобы выполнялось соотношение $0 < t_0 < 2\pi$ или $0 < t_0 < 360^\circ$.

Является ли число 32π периодом функции y = sinx, y = cosx?
По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Основной (наименьший положительный) период для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ равен $2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ справедливы равенства:
$\sin(x + 2\pi k) = \sin x$
$\cos(x + 2\pi k) = \cos x$
Следовательно, любое число вида $T = 2\pi k$, где $k$ - целое и не равное нулю число, также является периодом этих функций.
Рассмотрим число $32\pi$. Мы можем представить его в виде $16 \cdot 2\pi$. В данном случае $k=16$, что является целым числом.
Поэтому для функции $y = \sin x$ выполняется:
$\sin(x + 32\pi) = \sin(x + 16 \cdot 2\pi) = \sin x$
И для функции $y = \cos x$ выполняется:
$\cos(x + 32\pi) = \cos(x + 16 \cdot 2\pi) = \cos x$
Таким образом, число $32\pi$ является периодом для обеих функций.
Ответ: Да, число 32π является периодом для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$.

А основным периодом?
Основным периодом функции называется наименьший положительный из всех её периодов.
Как было сказано выше, для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ основной период равен $T_0 = 2\pi$.
Сравним число $32\pi$ с основным периодом $2\pi$:
$32\pi > 2\pi$
Поскольку существует положительный период $2\pi$, который меньше, чем $32\pi$, число $32\pi$ не является наименьшим положительным периодом.
Ответ: Нет, число 32π не является основным периодом для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$.

12.10 Докажите, что данное число $T$ является периодом заданной функции:

а) $y = \sin 2x, T = \pi;$

б) $y = \cos 3x, T = \frac{2\pi}{3};$

в) $y = \sin \frac{x}{2}, T = 4\pi;$

г) $y = \cos \frac{3x}{4}, T = \frac{8\pi}{3}.$

Для доказательства того, что число $T$ является периодом для заданной функции $y(x)$, необходимо проверить, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $y(x+T) = y(x)$. Область определения всех заданных тригонометрических функций — это множество всех действительных чисел, поэтому это условие можно проверять для любого $x$.

а) $y = \sin 2x, T = \pi$

Подставим $x+T$ в функцию:

$y(x+T) = \sin(2(x+\pi)) = \sin(2x + 2\pi)$.

Поскольку $2\pi$ является периодом функции синус, $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha$ для любого $\alpha$. Следовательно:

$\sin(2x + 2\pi) = \sin(2x) = y(x)$.

Равенство $y(x+\pi) = y(x)$ выполняется, значит $T=\pi$ — период функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) $y = \cos 3x, T = \frac{2\pi}{3}$

Подставим $x+T$ в функцию:

$y(x+T) = \cos(3(x+\frac{2\pi}{3})) = \cos(3x + 3 \cdot \frac{2\pi}{3}) = \cos(3x + 2\pi)$.

Поскольку $2\pi$ является периодом функции косинус, $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos\alpha$ для любого $\alpha$. Следовательно:

$\cos(3x + 2\pi) = \cos(3x) = y(x)$.

Равенство $y(x+\frac{2\pi}{3}) = y(x)$ выполняется, значит $T=\frac{2\pi}{3}$ — период функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) $y = \sin \frac{x}{2}, T = 4\pi$

Подставим $x+T$ в функцию:

$y(x+T) = \sin(\frac{x+4\pi}{2}) = \sin(\frac{x}{2} + \frac{4\pi}{2}) = \sin(\frac{x}{2} + 2\pi)$.

Используя свойство периодичности функции синус:

$\sin(\frac{x}{2} + 2\pi) = \sin(\frac{x}{2}) = y(x)$.

Равенство $y(x+4\pi) = y(x)$ выполняется, значит $T=4\pi$ — период функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г) $y = \cos \frac{3x}{4}, T = \frac{8\pi}{3}$

Подставим $x+T$ в функцию:

$y(x+T) = \cos(\frac{3}{4}(x+\frac{8\pi}{3})) = \cos(\frac{3x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{8\pi}{3}) = \cos(\frac{3x}{4} + 2\pi)$.

Используя свойство периодичности функции косинус:

$\cos(\frac{3x}{4} + 2\pi) = \cos(\frac{3x}{4}) = y(x)$.

Равенство $y(x+\frac{8\pi}{3}) = y(x)$ выполняется, значит $T=\frac{8\pi}{3}$ — период функции.

Ответ: Что и требовалось доказать.

12.6 а) $\sin 50,5\pi$;

б) $\sin 51,75\pi$;

В) $\sin 25,25\pi$;

Г) $\sin 29,5\pi$.

Для решения данных задач мы воспользуемся свойством периодичности функции синус: $sin(x + 2\pi k) = sin(x)$, где $k$ — любое целое число. Это свойство позволяет нам упростить аргумент функции, вычитая или добавляя целое число полных оборотов ($2\pi$).

а) sin(50,5π)

Представим аргумент $50,5\pi$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $2\pi$.

$50,5\pi = 50\pi + 0,5\pi$

Число $50\pi$ является произведением $25 \cdot 2\pi$. Следовательно, мы можем упростить выражение, используя свойство периодичности:

$sin(50,5\pi) = sin(50\pi + 0,5\pi) = sin(0,5\pi)$

Вычисляем значение $sin(0,5\pi)$, что то же самое, что и $sin(\frac{\pi}{2})$:

$sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Ответ: 1.

б) sin(51,75π)

Представим аргумент $51,75\pi$, выделив слагаемое, кратное $2\pi$.

$51,75\pi = 50\pi + 1,75\pi$

Так как $50\pi = 25 \cdot 2\pi$, мы можем его отбросить:

$sin(51,75\pi) = sin(50\pi + 1,75\pi) = sin(1,75\pi)$

Преобразуем $1,75\pi$ в обыкновенную дробь: $1,75\pi = \frac{7}{4}\pi$. Теперь вычислим $sin(\frac{7\pi}{4})$.

Используя формулы приведения, представим $\frac{7\pi}{4}$ как $2\pi - \frac{\pi}{4}$:

$sin(\frac{7\pi}{4}) = sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = sin(-\frac{\pi}{4})$

Функция синус является нечетной, то есть $sin(-x) = -sin(x)$, поэтому:

$sin(-\frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) sin(25,25π)

Упростим аргумент $25,25\pi$.

$25,25\pi = 24\pi + 1,25\pi$

Так как $24\pi = 12 \cdot 2\pi$, получаем:

$sin(25,25\pi) = sin(24\pi + 1,25\pi) = sin(1,25\pi)$

Преобразуем $1,25\pi$ в обыкновенную дробь: $1,25\pi = \frac{5}{4}\pi$. Вычислим $sin(\frac{5\pi}{4})$.

Используя формулы приведения, представим $\frac{5\pi}{4}$ как $\pi + \frac{\pi}{4}$:

$sin(\frac{5\pi}{4}) = sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4})$

Так как $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$-sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) sin(29,5π)

Упростим аргумент $29,5\pi$.

$29,5\pi = 28\pi + 1,5\pi$

Так как $28\pi = 14 \cdot 2\pi$, получаем:

$sin(29,5\pi) = sin(28\pi + 1,5\pi) = sin(1,5\pi)$

Вычисляем значение $sin(1,5\pi)$, что то же самое, что и $sin(\frac{3\pi}{2})$:

$sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Ответ: -1.

12.11 Вычислите:

a) $cos(t + 4\pi)$, если $cos(2\pi - t) = -\frac{3}{5}$;

б) $sin(32\pi - t)$, если $sin(2\pi - t) = \frac{5}{13}$.

а)

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами тригонометрических функций, а именно их периодичностью и формулами приведения.

1. Функция косинус является периодической с основным периодом $2\pi$. Это означает, что добавление к аргументу числа, кратного $2\pi$, не меняет значение функции. В нашем случае $4\pi = 2 \cdot 2\pi$.

Следовательно, мы можем упростить искомое выражение:

$cos(t + 4\pi) = cos(t + 2 \cdot 2\pi) = cos(t)$

Таким образом, задача сводится к нахождению значения $cos(t)$.

2. Теперь воспользуемся данным условием: $cos(2\pi - t) = -\frac{3}{5}$.

Применим формулу приведения для косинуса: $cos(2\pi - \alpha) = cos(\alpha)$. Это следует из того, что косинус — чётная функция ($cos(-\alpha) = cos(\alpha)$) и имеет период $2\pi$.

В нашем случае:

$cos(2\pi - t) = cos(t)$

3. Сопоставляя условие и свойство функции, получаем:

$cos(t) = cos(2\pi - t) = -\frac{3}{5}$

4. Поскольку мы установили, что $cos(t + 4\pi) = cos(t)$, то окончательный результат будет:

$cos(t + 4\pi) = -\frac{3}{5}$

Ответ: $-\frac{3}{5}$

б)

Для решения этой задачи также воспользуемся свойствами периодичности тригонометрических функций и формулами приведения.

1. Функция синус является периодической с основным периодом $2\pi$. Упростим искомое выражение, используя это свойство. Заметим, что $32\pi = 16 \cdot 2\pi$.

$sin(32\pi - t) = sin(-t + 16 \cdot 2\pi) = sin(-t)$

2. Синус является нечетной функцией, что означает $sin(-x) = -sin(x)$. Применив это свойство, получаем:

$sin(-t) = -sin(t)$

Таким образом, $sin(32\pi - t) = -sin(t)$. Задача сводится к нахождению значения $-sin(t)$.

3. Теперь рассмотрим данное условие: $sin(2\pi - t) = \frac{5}{13}$.

Применим формулу приведения для синуса: $sin(2\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$.

Следовательно:

$sin(2\pi - t) = -sin(t)$

4. Из условия мы знаем, что $sin(2\pi - t) = \frac{5}{13}$. А из формулы приведения мы знаем, что $sin(2\pi - t) = -sin(t)$.

Значит, $-sin(t) = \frac{5}{13}$.

5. Возвращаясь к нашему искомому выражению, получаем:

$sin(32\pi - t) = -sin(t) = \frac{5}{13}$

Ответ: $\frac{5}{13}$

12.7 a) $\sin 390^{\circ}$;

б) $\cos 750^{\circ}$;

в) $\sin 540^{\circ}$;

г) $\cos 930^{\circ}$.

а) Для вычисления значения $\sin 390^\circ$ воспользуемся свойством периодичности функции синус. Период синуса составляет $360^\circ$, поэтому для любого угла $\alpha$ и целого числа $k$ справедливо равенство $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin(\alpha)$.

Представим угол $390^\circ$ в виде суммы полного оборота ($360^\circ$) и остатка: $390^\circ = 360^\circ \cdot 1 + 30^\circ$. Применив свойство периодичности, получаем: $\sin 390^\circ = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ$.

Значение $\sin 30^\circ$ является известным табличным значением, которое равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Для вычисления значения $\cos 750^\circ$ воспользуемся свойством периодичности функции косинус. Период косинуса составляет $360^\circ$, поэтому для любого угла $\alpha$ и целого числа $k$ справедливо равенство $\cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \cos(\alpha)$.

Представим угол $750^\circ$ в виде суммы нескольких полных оборотов и остатка. Поскольку $750 = 2 \cdot 360 + 30$, мы можем записать: $750^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 30^\circ$. Применив свойство периодичности, получаем: $\cos 750^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ$.

Значение $\cos 30^\circ$ является известным табличным значением, которое равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) Для вычисления значения $\sin 540^\circ$ воспользуемся свойством периодичности функции синус, период которой равен $360^\circ$.

Представим угол $540^\circ$ в виде суммы полного оборота ($360^\circ$) и остатка: $540^\circ = 360^\circ + 180^\circ$. Согласно свойству периодичности: $\sin 540^\circ = \sin(360^\circ + 180^\circ) = \sin 180^\circ$.

Значение $\sin 180^\circ$ равно $0$.

Ответ: $0$

г) Для вычисления значения $\cos 930^\circ$ воспользуемся свойством периодичности функции косинус, период которой равен $360^\circ$.

Представим угол $930^\circ$ в виде суммы нескольких полных оборотов и остатка. Поскольку $930 = 2 \cdot 360 + 210$, мы можем записать: $930^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 210^\circ$. Применив свойство периодичности, получаем: $\cos 930^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 210^\circ) = \cos 210^\circ$.

Для нахождения значения $\cos 210^\circ$ воспользуемся формулами приведения. Угол $210^\circ$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Представим $210^\circ$ как $180^\circ + 30^\circ$. По формуле приведения $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$, имеем: $\cos 210^\circ = \cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ$.

Так как табличное значение $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то итоговое значение равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

12.12 Преобразуйте заданное выражение ($ \sin t $ или $ \cos t $) к виду $ \sin t_0 $ или $ \cos t_0 $ так, чтобы выполнялось соотношение $ 0 < t_0 < 2\pi $:

a) $ \sin 8 $;

б) $ \cos(-10) $;

в) $ \sin(-25) $;

г) $ \cos 35 $.

а)

Используем свойство периодичности функции синус: $sin(t) = sin(t + 2k\pi)$, где $k$ – любое целое число. Наша задача — найти такое целое $k$, чтобы для $t=8$ новое значение аргумента $t_0 = 8 + 2k\pi$ удовлетворяло условию $0 < t_0 < 2\pi$.

Для этого решим двойное неравенство относительно $k$:
$0 < 8 + 2k\pi < 2\pi$
Вычтем 8 из всех частей неравенства:
$-8 < 2k\pi < 2\pi - 8$
Разделим все части на $2\pi$:
$-\frac{8}{2\pi} < k < \frac{2\pi - 8}{2\pi}$
$-\frac{4}{\pi} < k < 1 - \frac{4}{\pi}$

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$:
$-\frac{4}{3,14159} < k < 1 - \frac{4}{3,14159}$
$-1,273 < k < 1 - 1,273$
$-1,273 < k < -0,273$

Единственное целое число $k$ в этом интервале — это $k = -1$.
Теперь найдем $t_0$, подставив $k=-1$:
$t_0 = 8 + 2(-1)\pi = 8 - 2\pi$.
Таким образом, $sin(8) = sin(8 - 2\pi)$. Убедимся, что $t_0$ лежит в заданном интервале:
$8 - 2\pi \approx 8 - 6,283 = 1,717$.
Неравенство $0 < 1,717 < 2\pi$ выполняется.

Ответ: $sin(8 - 2\pi)$.

б)

Используем свойство периодичности функции косинус: $cos(t) = cos(t + 2k\pi)$, где $k$ – любое целое число. Для $t=-10$ найдем такое целое $k$, чтобы $t_0 = -10 + 2k\pi$ удовлетворяло условию $0 < t_0 < 2\pi$.
Примечание: можно было бы использовать свойство четности косинуса $cos(-10)=cos(10)$, но мы решим задачу в общем виде.

Решим неравенство относительно $k$:
$0 < -10 + 2k\pi < 2\pi$
Прибавим 10 ко всем частям:
$10 < 2k\pi < 10 + 2\pi$
Разделим все части на $2\pi$:
$\frac{10}{2\pi} < k < \frac{10 + 2\pi}{2\pi}$
$\frac{5}{\pi} < k < \frac{5}{\pi} + 1$

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$:
$\frac{5}{3,14159} < k < \frac{5}{3,14159} + 1$
$1,592 < k < 1,592 + 1$
$1,592 < k < 2,592$

Единственное целое число $k$ в этом интервале — это $k = 2$.
Найдем $t_0$:
$t_0 = -10 + 2(2)\pi = 4\pi - 10$.
Следовательно, $cos(-10) = cos(4\pi - 10)$. Проверим интервал для $t_0$:
$4\pi - 10 \approx 4 \cdot 3,14159 - 10 = 12,566 - 10 = 2,566$.
Неравенство $0 < 2,566 < 2\pi$ выполняется.

Ответ: $cos(4\pi - 10)$.

в)

Используем свойство периодичности функции синус: $sin(t) = sin(t + 2k\pi)$, где $k$ – любое целое число. Для $t=-25$ найдем такое целое $k$, чтобы $t_0 = -25 + 2k\pi$ удовлетворяло условию $0 < t_0 < 2\pi$.

Решим неравенство относительно $k$:
$0 < -25 + 2k\pi < 2\pi$
$25 < 2k\pi < 25 + 2\pi$
$\frac{25}{2\pi} < k < \frac{25}{2\pi} + 1$

Используем приближенное значение $2\pi \approx 6,283$:
$\frac{25}{6,283} < k < \frac{25}{6,283} + 1$
$3,979 < k < 3,979 + 1$
$3,979 < k < 4,979$

Единственное целое число $k$ в этом интервале — это $k = 4$.
Найдем $t_0$:
$t_0 = -25 + 2(4)\pi = 8\pi - 25$.
Таким образом, $sin(-25) = sin(8\pi - 25)$. Проверим интервал для $t_0$:
$8\pi - 25 \approx 8 \cdot 3,14159 - 25 = 25,133 - 25 = 0,133$.
Неравенство $0 < 0,133 < 2\pi$ выполняется.

Ответ: $sin(8\pi - 25)$.

г)

Используем свойство периодичности функции косинус: $cos(t) = cos(t + 2k\pi)$, где $k$ – любое целое число. Для $t=35$ найдем такое целое $k$, чтобы $t_0 = 35 + 2k\pi$ удовлетворяло условию $0 < t_0 < 2\pi$.

Решим неравенство относительно $k$:
$0 < 35 + 2k\pi < 2\pi$
$-35 < 2k\pi < 2\pi - 35$
$-\frac{35}{2\pi} < k < \frac{2\pi - 35}{2\pi}$
$-\frac{35}{2\pi} < k < 1 - \frac{35}{2\pi}$

Используем приближенное значение $2\pi \approx 6,283$:
$-\frac{35}{6,283} < k < 1 - \frac{35}{6,283}$
$-5,57 < k < 1 - 5,57$
$-5,57 < k < -4,57$

Единственное целое число $k$ в этом интервале — это $k = -5$.
Найдем $t_0$:
$t_0 = 35 + 2(-5)\pi = 35 - 10\pi$.
Следовательно, $cos(35) = cos(35 - 10\pi)$. Проверим интервал для $t_0$:
$35 - 10\pi \approx 35 - 10 \cdot 3,14159 = 35 - 31,416 = 3,584$.
Неравенство $0 < 3,584 < 2\pi$ выполняется.

Ответ: $cos(35 - 10\pi)$.