Страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

14.2 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \text{tgx}$

на заданном промежутке:

а) на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2});$

б) на полуинтервале $(\frac{3\pi}{4}; \pi];$

в) на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6}];$

г) на полуинтервале $[\pi; \frac{3\pi}{2}).$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \text{tg } x$ на заданных промежутках, необходимо проанализировать ее поведение, учитывая свойства монотонности и наличие вертикальных асимптот.

Функция $y = \text{tg } x$ является периодической с периодом $\pi$ и возрастает на каждом из интервалов вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k$ — целое число. Точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются вертикальными асимптотами.

а) на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$

Заданный интервал $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ представляет собой один из основных интервалов, на котором функция $y = \text{tg } x$ непрерывна и строго возрастает. На границах этого интервала находятся вертикальные асимптоты. При приближении аргумента $x$ к левой границе интервала $\frac{\pi}{2}$ справа ($x \to \frac{\pi}{2}^+$), значение функции стремится к $-\infty$. При приближении аргумента $x$ к правой границе интервала $\frac{3\pi}{2}$ слева ($x \to \frac{3\pi}{2}^-$), значение функции стремится к $+\infty$. Поскольку интервал открытый (концевые точки не включены), функция не достигает своих точных верхней и нижней граней. Область значений функции на этом интервале — это вся числовая прямая $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Наименьшего и наибольшего значений не существует.

б) на полуинтервале $(\frac{3\pi}{4}; \pi]$

Функция $y = \text{tg } x$ является возрастающей на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, который включает в себя данный полуинтервал $(\frac{3\pi}{4}; \pi]$. Следовательно, на этом полуинтервале функция также возрастает. В силу возрастания, наибольшее значение достигается в самой правой точке промежутка, так как она в него включена: $y_{наиб} = \text{tg}(\pi) = 0$. Левая граница $x = \frac{3\pi}{4}$ не включена в промежуток. Значение функции в этой точке было бы $\text{tg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$. Так как функция возрастает, значения на интервале будут строго больше $-1$. Поскольку точка не принадлежит интервалу, функция лишь стремится к $-1$, но никогда его не достигает. Следовательно, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: Наибольшее значение равно $0$, наименьшего значения не существует.

в) на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6}]$

Функция $y = \text{tg } x$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, в который входит заданный отрезок $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6}]$. Так как функция непрерывна и возрастает на замкнутом отрезке, свое наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-\frac{\pi}{4}) = \text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$. Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{\pi}{6}) = \text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: Наименьшее значение равно $-1$, наибольшее значение равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) на полуинтервале $[\pi; \frac{3\pi}{2})$

Функция $y = \text{tg } x$ является возрастающей на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, в который входит заданный полуинтервал $[\pi; \frac{3\pi}{2})$. Следовательно, на этом полуинтервале функция также возрастает. В силу возрастания, наименьшее значение достигается в самой левой точке промежутка, так как она в него включена: $y_{наим} = \text{tg}(\pi) = 0$. Правая граница $x = \frac{3\pi}{2}$ является вертикальной асимптотой функции и не включена в промежуток. При приближении $x$ к $\frac{3\pi}{2}$ слева ($x \to \frac{3\pi}{2}^-$), значение функции $y = \text{tg } x$ неограниченно возрастает, то есть стремится к $+\infty$. Следовательно, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: Наименьшее значение равно $0$, наибольшего значения не существует.

14.3 Решите графически уравнение:

а) $tg x = -\sqrt{3}$;

б) $tg x = 1$;

в) $tg x = -1$;

г) $tg x = 0$.

Для графического решения уравнения $tg x = -\sqrt{3}$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = tg x$ и $y = -\sqrt{3}$.

График функции $y = tg x$ — это тангенсоида, периодическая функция с наименьшим положительным периодом $\pi$ и вертикальными асимптотами в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

График функции $y = -\sqrt{3}$ — это прямая линия, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку $(0; -\sqrt{3})$ на оси ординат.

Абсциссы точек пересечения этих двух графиков являются решениями исходного уравнения. Из графика видно, что прямая $y = -\sqrt{3}$ пересекает каждую ветвь тангенсоиды ровно в одной точке. Найдем одно из решений. На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ таким решением является $x = \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

В силу периодичности тангенса, все множество решений описывается формулой, получаемой добавлением к найденному корню целого числа периодов.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы решить уравнение $tg x = 1$ графически, построим графики функций $y = tg x$ и $y = 1$ в одной системе координат.

График $y = tg x$ — тангенсоида. График $y = 1$ — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0; 1)$ на оси ординат и параллельная оси абсцисс.

Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения этих графиков. Прямая $y=1$ пересекает каждую ветвь тангенсоиды. Абсцисса точки пересечения, находящейся на главном промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, равна $x = \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Так как период функции $y = tg x$ равен $\pi$, то все решения уравнения можно найти по формуле, прибавляя к частному решению $n$ периодов.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Графическое решение уравнения $tg x = -1$ заключается в нахождении абсцисс точек пересечения графиков функций $y = tg x$ и $y = -1$.

Строим тангенсоиду $y = tg x$ и горизонтальную прямую $y = -1$. Прямая проходит через точку $(0; -1)$ на оси ординат.

Прямая $y=-1$ пересекает ветвь тангенсоиды на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ в точке, абсцисса которой равна $x = \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Учитывая периодичность тангенса (период равен $\pi$), общее решение уравнения записывается в виде:

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для графического решения уравнения $tg x = 0$ построим в одной системе координат графики функций $y = tg x$ и $y = 0$.

График функции $y = tg x$ — тангенсоида. График функции $y = 0$ — это ось абсцисс (ось Ox).

Решениями уравнения являются абсциссы точек, в которых тангенсоида пересекает ось Ox. Из графика видно, что это происходит в точках $x = 0, \pm\pi, \pm2\pi, \dots$

Все эти точки можно описать одной общей формулой, так как они повторяются с периодом $\pi$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

14.4 Найдите значение функции $y = \operatorname{ctg} x$ при заданном значении аргумента $x$:

а) $x = \frac{\pi}{4}$;

б) $x = \frac{\pi}{3}$;

в) $x = 2\pi$;

г) $x = \frac{\pi}{2}$.

а) Для нахождения значения функции $y = \operatorname{ctg} x$ при $x = \frac{\pi}{4}$, необходимо подставить данное значение аргумента в функцию:
$y = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4})$.
Котангенс определяется по формуле $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
Для угла $x = \frac{\pi}{4}$ значения косинуса и синуса являются табличными: $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляя эти значения, получаем:
$y = \frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.
Ответ: $1$.

б) Для нахождения значения функции при $x = \frac{\pi}{3}$, вычисляем $y = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3})$.
Значения косинуса и синуса для угла $x = \frac{\pi}{3}$: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем эти значения в формулу для котангенса:
$y = \frac{\cos(\frac{\pi}{3})}{\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$y = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Для нахождения значения функции при $x = 2\pi$, вычисляем $y = \operatorname{ctg}(2\pi)$.
Область определения функции $y = \operatorname{ctg} x$ — это все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число, так как в этих точках $\sin x = 0$.
Значение $x = 2\pi$ соответствует случаю, когда $k=2$. Следовательно, в этой точке функция не определена.
Проверим это через определение: $\cos(2\pi) = 1$ и $\sin(2\pi) = 0$.
$y = \operatorname{ctg}(2\pi) = \frac{\cos(2\pi)}{\sin(2\pi)} = \frac{1}{0}$.
Деление на ноль невозможно, поэтому значение функции в данной точке не существует.
Ответ: значение функции не определено.

г) Для нахождения значения функции при $x = \frac{\pi}{2}$, вычисляем $y = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2})$.
Значения косинуса и синуса для угла $x = \frac{\pi}{2}$: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Подставляем эти значения в формулу для котангенса:
$y = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: $0$.

14.1 Найдите значение функции $y = \operatorname{tg}x$ при заданном значении аргумента $x$:

а) $x = -\frac{\pi}{4}$;

б) $x = \frac{2\pi}{3}$;

в) $x = \frac{3\pi}{4}$;

г) $x = \pi$.

а) Чтобы найти значение функции $y = \tg x$ при $x = \frac{\pi}{4}$, нужно подставить данное значение аргумента в функцию:

$y = \tg\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ (что соответствует 45°) является стандартным тригонометрическим значением:

$\tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$

Ответ: $1$.

б) Чтобы найти значение функции $y = \tg x$ при $x = \frac{2\pi}{3}$, подставим значение $x$:

$y = \tg\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй координатной четверти. Для вычисления тангенса можно использовать формулу приведения $\tg(\pi - \alpha) = -\tg(\alpha)$.

Представим $\frac{2\pi}{3}$ как $\pi - \frac{\pi}{3}$:

$\tg\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \tg\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\tg\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Значение $\tg\left(\frac{\pi}{3}\right)$ является табличным:

$\tg\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$

Таким образом, $y = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

в) Чтобы найти значение функции $y = \tg x$ при $x = \frac{3\pi}{4}$, подставим значение $x$:

$y = \tg\left(\frac{3\pi}{4}\right)$

Угол $\frac{3\pi}{4}$ также находится во второй координатной четверти. Используем ту же формулу приведения $\tg(\pi - \alpha) = -\tg(\alpha)$.

Представим $\frac{3\pi}{4}$ как $\pi - \frac{\pi}{4}$:

$\tg\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \tg\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\tg\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Мы уже знаем из пункта а), что $\tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Следовательно, $y = -1$.

Ответ: $-1$.

г) Чтобы найти значение функции $y = \tg x$ при $x = \pi$, подставим значение $x$:

$y = \tg(\pi)$

Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

$\tg(\pi) = \frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)}$

Значения синуса и косинуса для угла $\pi$ известны:

$\sin(\pi) = 0$

$\cos(\pi) = -1$

Подставив эти значения, получаем:

$y = \frac{0}{-1} = 0$

Ответ: $0$.