Страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите корни заданного уравнения на заданном промежутке:

15.14 a) $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, x \in [0; 2\pi] $

б) $ \cos x = -\frac{1}{2}, x \in [2\pi; 4\pi] $

в) $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, x \in [-\pi; 3\pi] $

г) $ \cos x = -1, x \in \left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right] $

а) Решим уравнение $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение данного уравнения имеет вид $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
Это дает две серии корней:
1) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
2) $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$
Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $[0; 2\pi]$. Для этого будем подставлять различные целые значения $n$.
Для первой серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{6}$. Этот корень принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$, что больше $2\pi$.
Для второй серии $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = -\frac{\pi}{6}$, что меньше $0$.
При $n=1$, $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Этот корень принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$.
Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет два корня.
Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.

б) Решим уравнение $cos x = -\frac{1}{2}$.
Общее решение: $x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, общее решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.
Серии корней:
1) $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
2) $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Выберем корни из промежутка $[2\pi; 4\pi]$.
Для первой серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:
При $n=1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$. Так как $2\pi = \frac{6\pi}{3}$ и $4\pi = \frac{12\pi}{3}$, корень $\frac{8\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[2\pi; 4\pi]$.
Для второй серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:
При $n=2$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$. Этот корень также принадлежит промежутку $[2\pi; 4\pi]$.
Другие целые значения $n$ дают корни за пределами указанного промежутка.
Ответ: $\frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$.

в) Решим уравнение $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
Серии корней:
1) $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
2) $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
Выберем корни из промежутка $[-\pi; 3\pi]$.
Для первой серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 3\pi]$.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 3\pi]$ (так как $3\pi = \frac{12\pi}{4}$).
Для второй серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 3\pi]$.
При $n=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 3\pi]$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$.

г) Решим уравнение $cos x = -1$.
Это частный случай, общее решение которого: $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выберем корни из промежутка $\left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$.
При $n=-1$, $x = \pi - 2\pi = -\pi$. Так как $-\frac{3\pi}{2} = -1.5\pi$, то $-\pi$ принадлежит промежутку $\left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$.
При $n=0$, $x = \pi$. Этот корень также принадлежит заданному промежутку.
При $n=1$, $x = \pi + 2\pi = 3\pi$, что больше $2\pi$.
Ответ: $-\pi, \pi$.

15.19 a) $3\cos^2 t - 4\cos t \ge 4$;

б) $6\cos^2 t + 1 > 5\cos t$;

В) $3\cos^2 t - 4\cos t < 4$;

Г) $6\cos^2 t + 1 \le 5\cos t$.

a) $3\cos^2 t - 4\cos t \ge 4$

Перенесем все члены неравенства в левую часть: $3\cos^2 t - 4\cos t - 4 \ge 0$.

Это квадратное неравенство относительно $\cos t$. Сделаем замену переменной: пусть $x = \cos t$. Поскольку область значений функции косинус – отрезок $[-1, 1]$, то $-1 \le x \le 1$.

Получаем систему неравенств:
$\left\{ \begin{array}{l} 3x^2 - 4x - 4 \ge 0 \\ -1 \le x \le 1 \end{array} \right.$

Сначала решим квадратное неравенство $3x^2 - 4x - 4 \ge 0$. Найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 - 4x - 4 = 0$ через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

Графиком функции $y=3x^2-4x-4$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, неравенство $3x^2 - 4x - 4 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}] \cup [2, +\infty)$.

Теперь учтем ограничение $-1 \le x \le 1$. Найдем пересечение множеств: $(-\infty, -\frac{2}{3}] \cup [2, +\infty)$ и $[-1, 1]$.
Пересечение дает нам отрезок $[-1, -\frac{2}{3}]$.

Вернемся к замене: $-1 \le \cos t \le -\frac{2}{3}$.
Неравенство $\cos t \ge -1$ выполняется для всех действительных $t$. Остается решить неравенство $\cos t \le -\frac{2}{3}$.

Решением этого неравенства на единичной окружности является дуга, заключенная между точками, соответствующими углам $\arccos(-\frac{2}{3})$ и $2\pi - \arccos(-\frac{2}{3})$. С учетом периодичности, получаем:
$\arccos(-\frac{2}{3}) + 2\pi k \le t \le 2\pi - \arccos(-\frac{2}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Используя тождество $\arccos(-z) = \pi - \arccos(z)$, можно записать ответ в другом виде:
$\pi - \arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi k \le t \le \pi + \arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \in [\pi - \arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi k, \pi + \arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

б) $6\cos^2 t + 1 > 5\cos t$

Перепишем неравенство: $6\cos^2 t - 5\cos t + 1 > 0$.

Сделаем замену $x = \cos t$, где $-1 \le x \le 1$.
Решим систему:
$\left\{ \begin{array}{l} 6x^2 - 5x + 1 > 0 \\ -1 \le x \le 1 \end{array} \right.$

Найдем корни уравнения $6x^2 - 5x + 1 = 0$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 = 1^2$.
$x_1 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Парабола $y=6x^2-5x+1$ ветвями вверх, поэтому неравенство $6x^2 - 5x + 1 > 0$ выполняется при $x < \frac{1}{3}$ или $x > \frac{1}{2}$.

Учитывая ограничение $-1 \le x \le 1$, получаем совокупность:
$-1 \le x < \frac{1}{3}$ или $\frac{1}{2} < x \le 1$.

Возвращаемся к переменной $t$:
$-1 \le \cos t < \frac{1}{3}$ или $\frac{1}{2} < \cos t \le 1$.
1) $\cos t < \frac{1}{3} \implies \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k < t < 2\pi - \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos t > \frac{1}{2} \implies -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти два непересекающихся множества решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k) \cup (\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k, 2\pi - \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в) $3\cos^2 t - 4\cos t < 4$

Перенесем 4 в левую часть: $3\cos^2 t - 4\cos t - 4 < 0$.

Это неравенство является противоположным по знаку неравенству из пункта а). Сделав замену $x = \cos t$, получим $3x^2 - 4x - 4 < 0$.

Корни уравнения $3x^2 - 4x - 4 = 0$ равны $x_1 = -\frac{2}{3}$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства есть интервал $(-\frac{2}{3}, 2)$.

С учетом ограничения $-1 \le x \le 1$, получаем $-\frac{2}{3} < x \le 1$.

Возвращаясь к переменной $t$: $-\frac{2}{3} < \cos t \le 1$.
Неравенство $\cos t \le 1$ выполняется для всех $t$. Остается решить $\cos t > -\frac{2}{3}$.

Решением этого неравенства является интервал $(-\arccos(-\frac{2}{3}), \arccos(-\frac{2}{3}))$ с учетом периодичности.
$-\arccos(-\frac{2}{3}) + 2\pi k < t < \arccos(-\frac{2}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \in (-\arccos(-\frac{2}{3}) + 2\pi k, \arccos(-\frac{2}{3}) + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) $6\cos^2 t + 1 \le 5\cos t$

Перенесем все члены в левую часть: $6\cos^2 t - 5\cos t + 1 \le 0$.

Это неравенство противоположно по знаку неравенству из пункта б) (с учетом равенства). Сделав замену $x = \cos t$, получим $6x^2 - 5x + 1 \le 0$.

Корни уравнения $6x^2 - 5x + 1 = 0$ равны $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{1}{2}$. Решением неравенства является отрезок $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.

Этот отрезок полностью входит в область допустимых значений $[-1, 1]$.

Вернемся к переменной $t$: $\frac{1}{3} \le \cos t \le \frac{1}{2}$.

Это двойное неравенство. На единичной окружности ему соответствуют две симметричные дуги.
- В первой и второй четвертях (для $t \in [0, \pi]$) функция $\cos t$ убывает. Поэтому $\cos t = \frac{1}{2}$ при $t=\frac{\pi}{3}$, а $\cos t = \frac{1}{3}$ при $t=\arccos(\frac{1}{3})$. Решением является отрезок $[\frac{\pi}{3}, \arccos(\frac{1}{3})]$.
- В третьей и четвертой четвертях (для $t \in [-\pi, 0]$), в силу четности косинуса, решением будет симметричный отрезок $[-\arccos(\frac{1}{3}), -\frac{\pi}{3}]$.

Объединяя эти решения и добавляя период $2\pi k$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $t \in [-\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k, -\frac{\pi}{3} + 2\pi k] \cup [\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

15.15 a) $\cos x = \frac{1}{2}$, $x \in (1; 6);$

б) $\cos x = -\frac{1}{2}$, $x \in (2; 10);$

в) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x \in \left(-\frac{\pi}{4}; 12\right);$

г) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x \in \left(-4; \frac{5\pi}{4}\right).$

а) Решим уравнение $cos x = \frac{1}{2}$ на интервале $x \in (1; 6)$.
Общее решение уравнения $cos x = \frac{1}{2}$ имеет вид $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для оценки будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$. Тогда интервал $(1; 6)$ остается без изменений. $\frac{\pi}{3} \approx 1,05$, а $2\pi \approx 6,28$.
Найдем корни, принадлежащие заданному интервалу, перебирая целочисленные значения $k$.
1. Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{3} \approx 1,05$. Так как $1 < 1,05 < 6$, корень $x = \frac{\pi}{3}$ подходит.
• При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \approx 7,33$, что больше 6.
• При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \approx -5,24$, что меньше 1.

2. Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{3} \approx -1,05$, что меньше 1.
• При $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \approx 5,24$. Так как $1 < 5,24 < 6$, корень $x = \frac{5\pi}{3}$ подходит.
• При $k = 2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} \approx 11,52$, что больше 6.

Таким образом, в указанный интервал попадают два корня.
Ответ: $\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}$.

б) Решим уравнение $cos x = -\frac{1}{2}$ на интервале $x \in (2; 10)$.
Общее решение уравнения $cos x = -\frac{1}{2}$ имеет вид $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Используя $\pi \approx 3,14$, получаем $\frac{2\pi}{3} \approx 2,09$ и $2\pi \approx 6,28$.
Найдем корни, принадлежащие заданному интервалу.
1. Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2,09$. Так как $2 < 2,09 < 10$, корень $x = \frac{2\pi}{3}$ подходит.
• При $k = 1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 8,37$. Так как $2 < 8,37 < 10$, корень $x = \frac{8\pi}{3}$ подходит.
• При $k = 2$, $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3} \approx 14,65$, что больше 10.

2. Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{2\pi}{3} \approx -2,09$, что меньше 2.
• При $k = 1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4,19$. Так как $2 < 4,19 < 10$, корень $x = \frac{4\pi}{3}$ подходит.
• При $k = 2$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \approx 10,47$, что больше 10.

Таким образом, в указанный интервал попадают три корня.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}$.

в) Решим уравнение $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервале $x \in (-\frac{\pi}{4}; 12)$.
Общее решение уравнения $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет вид $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Приближенно интервал можно записать как $(-0,785; 12)$, используя $\pi \approx 3,14$.
Найдем корни, принадлежащие заданному интервалу.
1. Для серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{4} \approx 0,785$. Корень подходит, так как $-\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} < 12$.
• При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \approx 7,07$. Корень подходит, так как $7,07 < 12$.
• При $k = 2$, $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} \approx 13,35$, что больше 12.

2. Для серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Этот корень не подходит, так как он является левой границей интервала, а интервал открытый.
• При $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \approx 5,5$. Корень подходит, так как $5,5 < 12$.
• При $k = 2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4} \approx 11,78$. Корень подходит, так как $11,78 < 12$.
• При $k = 3$, $x = -\frac{\pi}{4} + 6\pi = \frac{23\pi}{4} \approx 18,06$, что больше 12.

Таким образом, в указанный интервал попадают четыре корня.
Ответ: $\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}; \frac{15\pi}{4}$.

г) Решим уравнение $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервале $x \in (-4; \frac{5\pi}{4})$.
Общее решение уравнения $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет вид $x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Приближенно интервал можно записать как $(-4; 3,93)$, используя $\pi \approx 3,14$.
Найдем корни, принадлежащие заданному интервалу.
1. Для серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{3\pi}{4} \approx 2,36$. Корень подходит, так как $-4 < 2,36 < 3,93$.
• При $k = 1$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} \approx 8,64$, что больше $\frac{5\pi}{4}$.
• При $k = -1$, $x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} = -1,25\pi \approx -3,925$. Корень подходит, так как $-4 < -3,925 < 3,93$.

2. Для серии $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{3\pi}{4} \approx -2,36$. Корень подходит, так как $-4 < -2,36 < 3,93$.
• При $k = 1$, $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$. Этот корень не подходит, так как он является правой границей интервала, а интервал открытый.
• При $k = -1$, $x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4} \approx -8,64$, что меньше -4.

Таким образом, в указанный интервал попадают три корня.
Ответ: $-\frac{5\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}$.

15.20 а) $4 \cos^2 t < 1$;

б) $3 \cos^2 t < \cos t$;

В) $9 \cos^2 t > 1$;

Г) $3 \cos^2 t > \cos t$.

а) $4 \cos^2 t < 1$

Разделим обе части неравенства на 4:
$\cos^2 t < \frac{1}{4}$
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:
$-\sqrt{\frac{1}{4}} < \cos t < \sqrt{\frac{1}{4}}$
$-\frac{1}{2} < \cos t < \frac{1}{2}$
Для решения этого неравенства воспользуемся единичной тригонометрической окружностью. Нам нужно найти все углы $t$, для которых косинус (абсцисса точки на окружности) находится в интервале от $-\frac{1}{2}$ до $\frac{1}{2}$.
Найдем граничные точки:
$\cos t = \frac{1}{2} \implies t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$\cos t = -\frac{1}{2} \implies t = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
На единичной окружности этому условию соответствуют две дуги: одна в первом и втором квадрантах, другая — в третьем и четвертом.
Первая дуга: от $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$.
Вторая дуга: от $\frac{4\pi}{3}$ до $\frac{5\pi}{3}$.
Записывая общее решение с учетом периодичности, получаем два семейства интервалов:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Эти два семейства можно объединить в одну формулу:

Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi n < t < \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \cos^2 t < \cos t$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$3 \cos^2 t - \cos t < 0$
Сделаем замену переменной: пусть $x = \cos t$. Учитывая, что $-1 \le \cos t \le 1$, получаем систему:
$\begin{cases} 3x^2 - x < 0 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$
Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 - x = 0$:
$x(3x - 1) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{3}$.
Графиком функции $y = 3x^2 - x$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $3x^2 - x < 0$ выполняется между корнями: $0 < x < \frac{1}{3}$.
Этот интервал полностью удовлетворяет условию $-1 \le x \le 1$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$0 < \cos t < \frac{1}{3}$
На единичной окружности это соответствует дугам, где абсцисса точки находится между 0 и $\frac{1}{3}$.
Это две дуги:
1. В первом квадранте: от $t = \arccos(\frac{1}{3})$ до $t = \frac{\pi}{2}$.
2. В четвертом квадранте: от $t = -\frac{\pi}{2}$ до $t = -\arccos(\frac{1}{3})$.
Запишем общее решение с учетом периода $2\pi$:

Ответ: $(\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n) \cup (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; -\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

в) $9 \cos^2 t > 1$

Разделим обе части на 9:
$\cos^2 t > \frac{1}{9}$
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$\cos t > \frac{1}{3}$ или $\cos t < -\frac{1}{3}$.
Решим каждое неравенство:
1. $\cos t > \frac{1}{3}$. Решение этого неравенства: $-\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n < t < \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. $\cos t < -\frac{1}{3}$. Решение этого неравенства: $\pi - \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n < t < \pi + \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Объединим эти два множества решений. Можно заметить, что интервалы повторяются через $\pi$. Поэтому решение можно записать в более компактном виде:

Ответ: $-\arccos(\frac{1}{3}) + \pi n < t < \arccos(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $3 \cos^2 t > \cos t$

Перенесем все члены в левую часть:
$3 \cos^2 t - \cos t > 0$
Пусть $x = \cos t$, где $-1 \le x \le 1$. Получаем квадратное неравенство:
$3x^2 - x > 0$
$x(3x - 1) > 0$
Корни $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{3}$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями:
$x < 0$ или $x > \frac{1}{3}$.
Возвращаемся к переменной $t$ и учитываем ее область значений:
$-1 \le \cos t < 0$ или $\frac{1}{3} < \cos t \le 1$.
Решим эту совокупность:
1. Для $\frac{1}{3} < \cos t \le 1$:
$-\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n < t < \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. Для $-1 \le \cos t < 0$:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Объединим полученные множества решений.

Ответ: $(-\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n; \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n) \cup (\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

15.16 Постройте график функции:

а) $y = \arccos x + \arccos(-x)$;

б) $y = \cos(\arccos x)$.

а) $y = \arccos x + \arccos(-x)$

1. Область определения функции. Функция арккосинус, $\arccos(u)$, определена для всех $u$ таких, что $-1 \le u \le 1$.

Для слагаемого $\arccos x$ должно выполняться условие $-1 \le x \le 1$.

Для слагаемого $\arccos(-x)$ должно выполняться условие $-1 \le -x \le 1$. Умножив это неравенство на -1 и изменив знаки неравенства на противоположные, получим $1 \ge x \ge -1$, что эквивалентно $-1 \le x \le 1$.

Область определения всей функции $D(y)$ является пересечением этих двух условий, то есть $x \in [-1, 1]$.

2. Упрощение выражения. Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством для арккосинуса: $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$. Это тождество справедливо для всех $x \in [-1, 1]$.

Подставим это тождество в исходное уравнение функции:

$y = \arccos x + (\pi - \arccos x)$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$y = \pi$

3. Анализ и построение графика. Мы выяснили, что для всех $x$ из области определения $[-1, 1]$ функция принимает постоянное значение, равное $\pi$.

Следовательно, графиком функции является отрезок прямой, параллельной оси абсцисс (оси Ox) и проходящей через точку $(0, \pi)$ на оси ординат. Концами этого отрезка являются точки с координатами $(-1, \pi)$ и $(1, \pi)$, поскольку область определения функции — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=\pi$, где $x \in [-1, 1]$. Это горизонтальный отрезок с концами в точках $(-1, \pi)$ и $(1, \pi)$.

б) $y = \cos(\arccos x)$

1. Область определения функции. Область определения этой функции совпадает с областью определения внутренней функции $\arccos x$.

Функция $\arccos x$ определена при $x \in [-1, 1]$. Следовательно, область определения для всей функции $y = \cos(\arccos x)$ также является отрезком $[-1, 1]$.

2. Упрощение выражения. По определению обратной тригонометрической функции, $\arccos x$ — это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $x$.

То есть, если мы обозначим $\alpha = \arccos x$, то по определению будет верно, что $\cos(\alpha) = x$.

Подставляя $\arccos x$ обратно вместо $\alpha$, мы получаем тождество:

$\cos(\arccos x) = x$

Это равенство справедливо для всех $x$ из области определения, то есть для $x \in [-1, 1]$.

3. Анализ и построение графика. Мы получили, что на всей своей области определения функция тождественно равна $y = x$.

Графиком функции $y = x$ является прямая линия, проходящая через начало координат под углом 45° к положительному направлению оси Ox. Однако, поскольку наша функция определена только на отрезке $[-1, 1]$, её графиком будет не вся прямая, а только её отрезок. Концами этого отрезка являются точки, соответствующие концам области определения: $x = -1$ (тогда $y = -1$) и $x = 1$ (тогда $y = 1$).

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=x$, где $x \in [-1, 1]$. Это отрезок, соединяющий точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

Решите неравенство:

15.17 a) $cos t > \frac{1}{2}$;

б) $cos t \leq - \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $cos t \geq - \frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $cos t < \frac{1}{2}$.

a) Для решения неравенства $ \cos t > \frac{1}{2} $ воспользуемся тригонометрической окружностью. Косинус угла $t$ – это абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей этому углу. Нам нужно найти все такие углы $t$, для которых абсцисса соответствующей точки больше $ \frac{1}{2} $.
Сначала решим уравнение $ \cos t = \frac{1}{2} $. На промежутке $ [-\pi, \pi] $ корнями этого уравнения являются $ t_1 = -\frac{\pi}{3} $ и $ t_2 = \frac{\pi}{3} $.
На единичной окружности отметим точки, соответствующие этим углам, и проведем вертикальную прямую $ x = \frac{1}{2} $. Неравенству $ \cos t > \frac{1}{2} $ удовлетворяют все точки на дуге, расположенной правее этой прямой.
Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что искомая дуга начинается в точке $ -\frac{\pi}{3} $ и заканчивается в точке $ \frac{\pi}{3} $. Таким образом, решение на одном обороте: $ -\frac{\pi}{3} < t < \frac{\pi}{3} $.
Так как функция косинуса периодична с периодом $ 2\pi $, общее решение неравенства имеет вид: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим неравенство $ \cos t \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $. На единичной окружности найдем точки, для которых абсцисса (косинус) меньше или равна $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Сначала решим уравнение $ \cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. На промежутке $ [0, 2\pi] $ его корнями являются $ t_1 = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4} $ и $ t_2 = 2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $.
Отметим эти точки на единичной окружности. Неравенству $ \cos t \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $ удовлетворяют все точки на дуге, расположенной левее прямой $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, включая точки на самой прямой.
Двигаясь по окружности против часовой стрелки, видим, что эта дуга начинается в точке $ \frac{3\pi}{4} $ и заканчивается в точке $ \frac{5\pi}{4} $. Таким образом, решение на одном обороте: $ \frac{3\pi}{4} \le t \le \frac{5\pi}{4} $.
Учитывая периодичность функции косинуса ($ T=2\pi $), получаем общее решение: $ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t \in [\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

в) Решим неравенство $ \cos t \ge -\frac{\sqrt{2}}{2} $. На единичной окружности найдем точки, для которых абсцисса больше или равна $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Корни уравнения $ \cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ на промежутке $ [-\pi, \pi] $ это $ t_1 = -\frac{3\pi}{4} $ и $ t_2 = \frac{3\pi}{4} $.
Неравенству $ \cos t \ge -\frac{\sqrt{2}}{2} $ удовлетворяют все точки на дуге, расположенной правее прямой $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, включая точки на самой прямой.
Двигаясь по окружности от $ -\frac{3\pi}{4} $ к $ \frac{3\pi}{4} $ против часовой стрелки, мы получаем искомый интервал. Решение на одном обороте: $ -\frac{3\pi}{4} \le t \le \frac{3\pi}{4} $.
Общее решение с учетом периодичности: $ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t \in [-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

г) Решим неравенство $ \cos t < \frac{1}{2} $. На единичной окружности найдем точки, для которых абсцисса меньше $ \frac{1}{2} $.
Корни уравнения $ \cos t = \frac{1}{2} $ на промежутке $ [0, 2\pi] $ это $ t_1 = \frac{\pi}{3} $ и $ t_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $.
Неравенству $ \cos t < \frac{1}{2} $ удовлетворяют все точки на дуге, расположенной левее прямой $ x = \frac{1}{2} $.
Двигаясь по окружности от $ \frac{\pi}{3} $ к $ \frac{5\pi}{3} $ против часовой стрелки, мы получаем искомый интервал. Решение на одном обороте: $ \frac{\pi}{3} < t < \frac{5\pi}{3} $.
Общее решение с учетом периодичности: $ \frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

15.18 a) $cos t < \frac{2}{3};$

б) $cos t > -\frac{1}{7};$

В) $cos t > \frac{2}{3};$

Г) $cos t < -\frac{1}{7}.$

a) Для решения тригонометрического неравенства $\cos t < \frac{2}{3}$, сначала найдём корни уравнения $\cos t = \frac{2}{3}$. Корни этого уравнения: $t = \pm\arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности неравенству $\cos t < \frac{2}{3}$ соответствуют точки, абсцисса которых меньше $\frac{2}{3}$. Это дуга, расположенная между углами $\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$ и $2\pi - \arccos\left(\frac{2}{3}\right)$ при движении против часовой стрелки. Таким образом, общее решение неравенства, учитывая периодичность функции косинуса, записывается в виде: $\arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n < t < 2\pi - \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \in \left(\arccos\frac{2}{3} + 2\pi n; 2\pi - \arccos\frac{2}{3} + 2\pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\cos t > -\frac{1}{7}$. Найдём корни уравнения $\cos t = -\frac{1}{7}$: $t = \pm\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности нам нужны точки, абсцисса которых больше $-\frac{1}{7}$. Это дуга, заключённая между углами $-\arccos\left(-\frac{1}{7}\right)$ и $\arccos\left(-\frac{1}{7}\right)$. Решением неравенства является интервал, который с учётом периодичности записывается так: $-\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n < t < \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \in \left(-\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n; \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $\cos t > \frac{2}{3}$. Корни уравнения $\cos t = \frac{2}{3}$ равны $t = \pm\arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности ищем точки с абсциссой больше $\frac{2}{3}$. Это дуга между углами $-\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$ и $\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$. Общее решение неравенства: $-\arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n < t < \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \in \left(-\arccos\frac{2}{3} + 2\pi n; \arccos\frac{2}{3} + 2\pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\cos t < -\frac{1}{7}$. Корни уравнения $\cos t = -\frac{1}{7}$ равны $t = \pm\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности ищем точки с абсциссой меньше $-\frac{1}{7}$. Это дуга между углами $\arccos\left(-\frac{1}{7}\right)$ и $2\pi - \arccos\left(-\frac{1}{7}\right)$. Общее решение неравенства: $\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n < t < 2\pi - \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \in \left(\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n; 2\pi - \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.