Страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.6 Докажите, что при всех допустимых значениях $t$ выражение принимает одно и то же значение; укажите это значение:

а) $\sin^4 t - \cos^4 t + 2 \cos^2 t$;

б) $\frac{2 - \sin^2 t - \cos^2 t}{3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t}$;

в) $\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cos^2 t$;

г) $\frac{\sin^4 t - \cos^4 t}{\sin^2 t - \cos^2 t}$.

а) Для упрощения выражения $sin^4t - cos^4t + 2cos^2t$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для первых двух слагаемых. Представим $sin^4t - cos^4t$ как $(sin^2t)^2 - (cos^2t)^2$.

$sin^4t - cos^4t = (sin^2t - cos^2t)(sin^2t + cos^2t)$

Применяя основное тригонометрическое тождество $sin^2t + cos^2t = 1$, получаем:

$(sin^2t - cos^2t) \cdot 1 = sin^2t - cos^2t$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(sin^2t - cos^2t) + 2cos^2t = sin^2t - cos^2t + 2cos^2t = sin^2t + cos^2t$

Снова применяя основное тригонометрическое тождество, получаем 1. Таким образом, выражение не зависит от $t$ и его значение равно 1.

Ответ: 1

б) Рассмотрим выражение $\frac{2 - sin^2t - cos^2t}{3sin^2t + 3cos^2t}$. Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

В числителе вынесем минус за скобки: $2 - (sin^2t + cos^2t)$. Используя тождество $sin^2t + cos^2t = 1$, числитель упрощается до $2 - 1 = 1$.

В знаменателе вынесем за скобки 3: $3(sin^2t + cos^2t)$. Используя то же тождество, знаменатель становится равным $3 \cdot 1 = 3$.

Таким образом, всё выражение равно $\frac{1}{3}$. Знаменатель $3sin^2t + 3cos^2t = 3 \ne 0$, поэтому выражение определено для всех значений $t$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Выражение $sin^4t + cos^4t + 2sin^2t \cos^2t$ представляет собой полный квадрат суммы. Его можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = sin^2t$ и $b = cos^2t$.

$(sin^2t)^2 + 2sin^2t \cos^2t + (cos^2t)^2 = (sin^2t + cos^2t)^2$

Так как по основному тригонометрическому тождеству $sin^2t + cos^2t = 1$, то выражение равно $1^2 = 1$.

Ответ: 1

г) Упростим выражение $\frac{sin^4t - cos^4t}{sin^2t - cos^2t}$.

Область допустимых значений $t$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $sin^2t - cos^2t \ne 0$.

В числителе применим формулу разности квадратов: $sin^4t - cos^4t = (sin^2t)^2 - (cos^2t)^2 = (sin^2t - cos^2t)(sin^2t + cos^2t)$.

Тогда дробь принимает вид:

$\frac{(sin^2t - cos^2t)(sin^2t + cos^2t)}{sin^2t - cos^2t}$

При допустимых значениях $t$ (когда $sin^2t - cos^2t \ne 0$) можно сократить дробь на $(sin^2t - cos^2t)$, после чего останется выражение $sin^2t + cos^2t$.

По основному тригонометрическому тождеству это выражение равно 1.

Ответ: 1

7.2 а) $(1 - \sin t)(1 + \sin t);$

б) $\cos^2 t + 1 - \sin^2 t;$

в) $(1 - \cos t)(1 + \cos t);$

г) $\sin^2 t + 2\cos^2 t - 1.$

а) Данное выражение представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Применим эту формулу, где $a=1$ и $b=\sin t$:
$(1 - \sin t)(1 + \sin t) = 1^2 - \sin^2 t = 1 - \sin^2 t$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого следует, что $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$, получаем:
$1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.
Ответ: $\cos^2 t$

б) Сгруппируем слагаемые в выражении $\cos^2 t + 1 - \sin^2 t$ следующим образом:
$\cos^2 t + (1 - \sin^2 t)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, мы знаем, что $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.
Подставим это в выражение:
$\cos^2 t + \cos^2 t = 2\cos^2 t$.
Ответ: $2\cos^2 t$

в) Это выражение также является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a=1$ и $b=\cos t$:
$(1 - \cos t)(1 + \cos t) = 1^2 - \cos^2 t = 1 - \cos^2 t$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$.
Следовательно, выражение равно $\sin^2 t$.
Ответ: $\sin^2 t$

г) В выражении $\sin^2 t + 2\cos^2 t - 1$ представим $2\cos^2 t$ как сумму $\cos^2 t + \cos^2 t$:
$\sin^2 t + \cos^2 t + \cos^2 t - 1$.
Сгруппируем первые два слагаемых: $(\sin^2 t + \cos^2 t) + \cos^2 t - 1$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, заменим сумму в скобках на 1:
$1 + \cos^2 t - 1$.
Упрощаем выражение, сокращая 1 и -1:
$1 - 1 + \cos^2 t = \cos^2 t$.
Ответ: $\cos^2 t$

По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

7.7 a) $\sin t = \frac{4}{5}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

б) $\sin t = \frac{5}{13}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

в) $\sin t = -0,6$, $-\frac{\pi}{2} < t < 0$;

г) $\sin t = -0,28$, $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$.

Для решения всех пунктов задачи мы будем использовать основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, а также определения тангенса и котангенса: $ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} $ и $ \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} $. Знак остальных функций определяется по координатной четверти, в которой находится угол $t$.

а) Дано: $ \sin t = \frac{4}{5} $, при этом $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $. Данный интервал соответствует второй координатной четверти, где синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Найдем $ \cos t $:

$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $.

$ \cos t = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5} $. Так как $t$ находится во второй четверти, $ \cos t < 0 $, следовательно, $ \cos t = -\frac{3}{5} $.

2. Найдем $ \tan t $ и $ \cot t $:

$ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3} $.

$ \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{-3/5}{4/5} = -\frac{3}{4} $.

Ответ: $ \cos t = -\frac{3}{5} $, $ \tan t = -\frac{4}{3} $, $ \cot t = -\frac{3}{4} $.

б) Дано: $ \sin t = \frac{5}{13} $, при этом $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $. Это первая координатная четверть, где все тригонометрические функции положительны.

1. Найдем $ \cos t $:

$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} $.

$ \cos t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $. Так как $t$ находится в первой четверти, $ \cos t > 0 $, следовательно, $ \cos t = \frac{12}{13} $.

2. Найдем $ \tan t $ и $ \cot t $:

$ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12} $.

$ \cot t = \frac{1}{\tan t} = \frac{12}{5} $.

Ответ: $ \cos t = \frac{12}{13} $, $ \tan t = \frac{5}{12} $, $ \cot t = \frac{12}{5} $.

в) Дано: $ \sin t = -0,6 $, при этом $ -\frac{\pi}{2} < t < 0 $. Это четвертая координатная четверть, где косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Найдем $ \cos t $:

$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 $.

$ \cos t = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8 $. Так как $t$ находится в четвертой четверти, $ \cos t > 0 $, следовательно, $ \cos t = 0,8 $.

2. Найдем $ \tan t $ и $ \cot t $:

$ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-0,6}{0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75 $.

$ \cot t = \frac{1}{\tan t} = -\frac{4}{3} $.

Ответ: $ \cos t = 0,8 $, $ \tan t = -0,75 $, $ \cot t = -\frac{4}{3} $.

г) Дано: $ \sin t = -0,28 $, при этом $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $. Это третья координатная четверть, где синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

1. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $ -0,28 = -\frac{28}{100} = -\frac{7}{25} $. Найдем $ \cos t $:

$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(-\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625} $.

$ \cos t = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25} $. Так как $t$ находится в третьей четверти, $ \cos t < 0 $, следовательно, $ \cos t = -\frac{24}{25} = -0,96 $.

2. Найдем $ \tan t $ и $ \cot t $:

$ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-7/25}{-24/25} = \frac{7}{24} $.

$ \cot t = \frac{1}{\tan t} = \frac{24}{7} $.

Ответ: $ \cos t = -0,96 $, $ \tan t = \frac{7}{24} $, $ \cot t = \frac{24}{7} $.

7.3 a) $ \frac{1}{\cos^2 t} - 1; $

б) $ \frac{1 - \sin^2 t}{\cos^2 t}; $

в) $ 1 - \frac{1}{\sin^2 t}; $

г) $ \frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t}. $

а)

Для упрощения выражения $\frac{1}{\cos^2 t} - 1$ приведем его к общему знаменателю $\cos^2 t$.
$\frac{1}{\cos^2 t} - 1 = \frac{1}{\cos^2 t} - \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t}$.
Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
Из этого тождества следует, что $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.
Подставим это в числитель нашего выражения:
$\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$.
По определению тангенса $\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}$, следовательно, $\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \tan^2 t$.
Ответ: $\tan^2 t$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{1 - \sin^2 t}{\cos^2 t}$.
Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
Из него получаем, что $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$\frac{\cos^2 t}{\cos^2 t}$.
При условии, что $\cos^2 t \neq 0$ (то есть $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - целое число), дробь равна 1.
Ответ: $1$.

в)

Для упрощения выражения $1 - \frac{1}{\sin^2 t}$ приведем его к общему знаменателю $\sin^2 t$.
$1 - \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} - \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t - 1}{\sin^2 t}$.
Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
Отсюда следует, что $\sin^2 t - 1 = -\cos^2 t$.
Подставим это в числитель нашего выражения:
$\frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t} = -(\frac{\cos t}{\sin t})^2$.
По определению котангенса $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$, следовательно, выражение равно $-\cot^2 t$.
Ответ: $-\cot^2 t$.

г)

Рассмотрим выражение $\frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ для преобразования числителя и знаменателя.
В числителе: $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.
В знаменателе: $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$.
Это выражение по определению является квадратом тангенса: $(\frac{\sin t}{\cos t})^2 = \tan^2 t$.
Ответ: $\tan^2 t$.

7.8 a) $cos t = 0.8$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

б) $cos t = -\frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

В) $cos t = 0.6$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$;

Г) $cos t = -\frac{24}{25}$, $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$.

а) Дано: $cos t = 0,8$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$.
Этот интервал соответствует I четверти тригонометрической окружности. В этой четверти все тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс) имеют положительные значения.
1. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 t + cos^2 t = 1$, чтобы найти $sin t$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t$
$sin^2 t = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$
Поскольку $t$ находится в I четверти, $sin t$ положителен.
$sin t = \sqrt{0,36} = 0,6$.
2. Найдем $tan t$ по определению $tan t = \frac{sin t}{cos t}$.
$tan t = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$.
3. Найдем $cot t$ по определению $cot t = \frac{cos t}{sin t}$.
$cot t = \frac{0,8}{0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $sin t = 0,6$; $tan t = 0,75$; $cot t = \frac{4}{3}$.

б) Дано: $cos t = -\frac{5}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$.
Этот интервал соответствует II четверти. В этой четверти $sin t$ положителен, а $tan t$ и $cot t$ отрицательны.
1. Найдем $sin t$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t$
$sin^2 t = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
Поскольку $t$ находится во II четверти, $sin t > 0$.
$sin t = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
2. Найдем $tan t = \frac{sin t}{cos t}$.
$tan t = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5}$.
3. Найдем $cot t = \frac{cos t}{sin t}$.
$cot t = \frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12}$.
Ответ: $sin t = \frac{12}{13}$; $tan t = -\frac{12}{5}$; $cot t = -\frac{5}{12}$.

в) Дано: $cos t = 0,6$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$.
Этот интервал соответствует IV четверти. В этой четверти $sin t$, $tan t$ и $cot t$ отрицательны.
1. Найдем $sin t$ из тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t$
$sin^2 t = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
Поскольку $t$ находится в IV четверти, $sin t < 0$.
$sin t = -\sqrt{0,64} = -0,8$.
2. Найдем $tan t = \frac{sin t}{cos t}$.
$tan t = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.
3. Найдем $cot t = \frac{cos t}{sin t}$.
$cot t = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75$.
Ответ: $sin t = -0,8$; $tan t = -\frac{4}{3}$; $cot t = -0,75$.

г) Дано: $cos t = -\frac{24}{25}$ и $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$.
Этот интервал соответствует III четверти. В этой четверти $sin t$ отрицателен, а $tan t$ и $cot t$ положительны.
1. Найдем $sin t$ из тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t$
$sin^2 t = 1 - (-\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{625 - 576}{625} = \frac{49}{625}$.
Поскольку $t$ находится в III четверти, $sin t < 0$.
$sin t = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25}$.
2. Найдем $tan t = \frac{sin t}{cos t}$.
$tan t = \frac{-7/25}{-24/25} = \frac{7}{24}$.
3. Найдем $cot t = \frac{cos t}{sin t}$.
$cot t = \frac{-24/25}{-7/25} = \frac{24}{7}$.
Ответ: $sin t = -\frac{7}{25}$; $tan t = \frac{7}{24}$; $cot t = \frac{24}{7}$.

7.4 a) $ \frac{(\sin t + \cos t)^2}{1 + 2 \sin t \cos t} $

б) $ \frac{1 - 2 \sin t \cos t}{(\cos t - \sin t)^2} $

а)

Требуется упростить выражение $\frac{(\sin t + \cos t)^2}{1 + 2 \sin t \cos t}$.

1. Раскроем квадрат суммы в числителе по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t$.

2. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Сгруппируем слагаемые в числителе:
$(\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \sin t \cos t = 1 + 2 \sin t \cos t$.

3. Подставим полученное выражение для числителя обратно в исходную дробь:
$\frac{1 + 2 \sin t \cos t}{1 + 2 \sin t \cos t}$.

4. Поскольку числитель и знаменатель дроби одинаковы, их отношение равно 1. Это верно при условии, что знаменатель не обращается в нуль.

Ответ: 1

б)

Требуется упростить выражение $\frac{1 - 2 \sin t \cos t}{(\cos t - \sin t)^2}$.

1. Рассмотрим числитель. Используя основное тригонометрическое тождество, заменим 1 на $\sin^2 t + \cos^2 t$:
$1 - 2 \sin t \cos t = (\sin^2 t + \cos^2 t) - 2 \sin t \cos t = \cos^2 t - 2 \sin t \cos t + \sin^2 t$.

2. Теперь рассмотрим знаменатель. Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\cos t - \sin t)^2 = \cos^2 t - 2 \cos t \sin t + \sin^2 t$.

3. Подставим преобразованные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:
$\frac{\cos^2 t - 2 \sin t \cos t + \sin^2 t}{\cos^2 t - 2 \sin t \cos t + \sin^2 t}$.

4. Числитель и знаменатель равны, следовательно, значение выражения равно 1 (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Ответ: 1

7.9 a) $ \text{tg } t = \frac{3}{4} $, $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $;

б) $ \text{tg } t = 2,4 $, $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $;

В) $ \text{tg } t = -\frac{3}{4} $, $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $;

Г) $ \text{tg } t = -\frac{5}{12} $, $ \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi $.

а)

Дано: $\text{tg } t = \frac{3}{4}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$. Это I четверть, в которой все основные тригонометрические функции ($\sin t$, $\cos t$, $\text{tg } t$, $\text{ctg } t$) положительны.

1. Найдем $\text{ctg } t$ по формуле $\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t}$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

2. Найдем $\cos t$ из основного тригонометрического тождества $1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$. Отсюда:

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.

Поскольку угол $t$ находится в I четверти, $\cos t$ положителен. Следовательно, $\cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

3. Найдем $\sin t$ из определения тангенса $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$, откуда $\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t$.

$\sin t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$.

В I четверти $\sin t$ положителен, что соответствует полученному значению.

Ответ: $\sin t = \frac{3}{5}$, $\cos t = \frac{4}{5}$, $\text{ctg } t = \frac{4}{3}$.

б)

Дано: $\text{tg } t = 2,4 = \frac{12}{5}$ и $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$. Это III четверть, в которой $\sin t < 0$ и $\cos t < 0$.

1. Найдем $\text{ctg } t$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{2,4} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.

2. Найдем $\cos t$ из тождества $1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$.

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{169}{25}} = \frac{25}{169}$.

Поскольку угол $t$ находится в III четверти, $\cos t$ отрицателен. Следовательно, $\cos t = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.

3. Найдем $\sin t$ из формулы $\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t$.

$\sin t = \frac{12}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) = -\frac{12}{13}$.

В III четверти $\sin t$ отрицателен, что соответствует полученному значению.

Ответ: $\sin t = -\frac{12}{13}$, $\cos t = -\frac{5}{13}$, $\text{ctg } t = \frac{5}{12}$.

в)

Дано: $\text{tg } t = -\frac{3}{4}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Это II четверть, в которой $\sin t > 0$, а $\cos t < 0$.

1. Найдем $\text{ctg } t$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{-3/4} = -\frac{4}{3}$.

2. Найдем $\cos t$ из тождества $1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$.

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (-\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.

Поскольку угол $t$ находится во II четверти, $\cos t$ отрицателен. Следовательно, $\cos t = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

3. Найдем $\sin t$ из формулы $\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t$.

$\sin t = (-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{3}{5}$.

Во II четверти $\sin t$ положителен, что соответствует полученному значению.

Ответ: $\sin t = \frac{3}{5}$, $\cos t = -\frac{4}{5}$, $\text{ctg } t = -\frac{4}{3}$.

г)

Дано: $\text{tg } t = -\frac{5}{12}$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Это IV четверть, в которой $\cos t > 0$, а $\sin t < 0$.

1. Найдем $\text{ctg } t$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.

2. Найдем $\cos t$ из тождества $1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$.

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (-\frac{5}{12})^2} = \frac{1}{1 + \frac{25}{144}} = \frac{1}{\frac{169}{144}} = \frac{144}{169}$.

Поскольку угол $t$ находится в IV четверти, $\cos t$ положителен. Следовательно, $\cos t = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

3. Найдем $\sin t$ из формулы $\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t$.

$\sin t = (-\frac{5}{12}) \cdot \frac{12}{13} = -\frac{5}{13}$.

В IV четверти $\sin t$ отрицателен, что соответствует полученному значению.

Ответ: $\sin t = -\frac{5}{13}$, $\cos t = \frac{12}{13}$, $\text{ctg } t = -\frac{12}{5}$.

7.5 Докажите тождество:

a) $\frac{\cos^2 t}{1 - \sin t} - \sin t = 1;$

б) $\frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = 1.$

а)

Чтобы доказать тождество $ \frac{\cos^2 t}{1 - \sin t} - \sin t = 1 $, преобразуем его левую часть.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, из которого выразим $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t $.

Подставим это выражение в левую часть равенства:

$ \frac{1 - \sin^2 t}{1 - \sin t} - \sin t $

Числитель дроби представляет собой разность квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $. Применим эту формулу:

$ \frac{(1 - \sin t)(1 + \sin t)}{1 - \sin t} - \sin t $

Сократим дробь на общий множитель $ (1 - \sin t) $. Это преобразование является тождественным при условии, что $ 1 - \sin t \neq 0 $, то есть $ \sin t \neq 1 $.

$ (1 + \sin t) - \sin t $

Теперь выполним вычитание:

$ 1 + \sin t - \sin t = 1 $

Мы получили, что левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $ \frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = 1 $, преобразуем его левую часть.

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $ выразим $ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t $.

Подставим полученное выражение в левую часть доказываемого равенства:

$ \frac{1 - \cos^2 t}{1 + \cos t} + \cos t $

В числителе дроби применим формулу разности квадратов:

$ \frac{(1 - \cos t)(1 + \cos t)}{1 + \cos t} + \cos t $

Сократим дробь на $ (1 + \cos t) $. Преобразование допустимо при условии $ 1 + \cos t \neq 0 $, то есть $ \cos t \neq -1 $.

$ (1 - \cos t) + \cos t $

Выполним сложение:

$ 1 - \cos t + \cos t = 1 $

В результате преобразования левой части мы получили 1, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

7.10 a) $ctg t = \frac{12}{5}, \pi < t < \frac{3\pi}{2};$

Б) $ctg t = \frac{7}{24}, 0 < t < \frac{\pi}{2};$

В) $ctg t = -\frac{5}{12}, \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi;$

Г) $ctg t = -\frac{8}{15}, \frac{\pi}{2} < t < \pi.$

а) Дано: $ctg t = \frac{12}{5}$ и $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$.
Этот интервал соответствует III четверти тригонометрической окружности. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.
1. Найдем $tg t$ по формуле $tg t = \frac{1}{ctg t}$:
$tg t = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.
2. Найдем $sin t$ с помощью основного тригонометрического тождества $1 + ctg^2 t = \frac{1}{sin^2 t}$:
$sin^2 t = \frac{1}{1 + ctg^2 t} = \frac{1}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{25+144}{25}} = \frac{1}{\frac{169}{25}} = \frac{25}{169}$.
$sin t = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.
Так как $t$ находится в III четверти, $sin t < 0$, поэтому $sin t = -\frac{5}{13}$.
3. Найдем $cos t$ по формуле $ctg t = \frac{cos t}{sin t}$, откуда $cos t = ctg t \cdot sin t$:
$cos t = \frac{12}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) = -\frac{12}{13}$.
Знак косинуса отрицательный, что соответствует III четверти.
Ответ: $sin t = -\frac{5}{13}, cos t = -\frac{12}{13}, tg t = \frac{5}{12}$.

б) Дано: $ctg t = \frac{7}{24}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$.
Этот интервал соответствует I четверти. В этой четверти все тригонометрические функции положительны.
1. Найдем $tg t$:
$tg t = \frac{1}{ctg t} = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7}$.
2. Найдем $sin t$ из тождества $1 + ctg^2 t = \frac{1}{sin^2 t}$:
$sin^2 t = \frac{1}{1 + ctg^2 t} = \frac{1}{1 + (\frac{7}{24})^2} = \frac{1}{1 + \frac{49}{576}} = \frac{1}{\frac{576+49}{576}} = \frac{1}{\frac{625}{576}} = \frac{576}{625}$.
$sin t = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$.
Так как $t$ находится в I четверти, $sin t > 0$, поэтому $sin t = \frac{24}{25}$.
3. Найдем $cos t$ по формуле $cos t = ctg t \cdot sin t$:
$cos t = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25}$.
Знак косинуса положительный, что соответствует I четверти.
Ответ: $sin t = \frac{24}{25}, cos t = \frac{7}{25}, tg t = \frac{24}{7}$.

в) Дано: $ctg t = -\frac{5}{12}$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$.
Этот интервал соответствует IV четверти. В этой четверти косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.
1. Найдем $tg t$:
$tg t = \frac{1}{ctg t} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.
2. Найдем $sin t$ из тождества $1 + ctg^2 t = \frac{1}{sin^2 t}$:
$sin^2 t = \frac{1}{1 + ctg^2 t} = \frac{1}{1 + (-\frac{5}{12})^2} = \frac{1}{1 + \frac{25}{144}} = \frac{1}{\frac{144+25}{144}} = \frac{1}{\frac{169}{144}} = \frac{144}{169}$.
$sin t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Так как $t$ находится в IV четверти, $sin t < 0$, поэтому $sin t = -\frac{12}{13}$.
3. Найдем $cos t$ по формуле $cos t = ctg t \cdot sin t$:
$cos t = (-\frac{5}{12}) \cdot (-\frac{12}{13}) = \frac{5}{13}$.
Знак косинуса положительный, что соответствует IV четверти.
Ответ: $sin t = -\frac{12}{13}, cos t = \frac{5}{13}, tg t = -\frac{12}{5}$.

г) Дано: $ctg t = -\frac{8}{15}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$.
Этот интервал соответствует II четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.
1. Найдем $tg t$:
$tg t = \frac{1}{ctg t} = \frac{1}{-8/15} = -\frac{15}{8}$.
2. Найдем $sin t$ из тождества $1 + ctg^2 t = \frac{1}{sin^2 t}$:
$sin^2 t = \frac{1}{1 + ctg^2 t} = \frac{1}{1 + (-\frac{8}{15})^2} = \frac{1}{1 + \frac{64}{225}} = \frac{1}{\frac{225+64}{225}} = \frac{1}{\frac{289}{225}} = \frac{225}{289}$.
$sin t = \pm\sqrt{\frac{225}{289}} = \pm\frac{15}{17}$.
Так как $t$ находится во II четверти, $sin t > 0$, поэтому $sin t = \frac{15}{17}$.
3. Найдем $cos t$ по формуле $cos t = ctg t \cdot sin t$:
$cos t = (-\frac{8}{15}) \cdot \frac{15}{17} = -\frac{8}{17}$.
Знак косинуса отрицательный, что соответствует II четверти.
Ответ: $sin t = \frac{15}{17}, cos t = -\frac{8}{17}, tg t = -\frac{15}{8}$.