Страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

5.5 а) $M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

б) $M\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

в) $M\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

г) $M\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Данная задача сводится к нахождению угла $\alpha$, которому соответствует точка $M(\cos \alpha, \sin \alpha)$ на единичной окружности.

а) $M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Имеем систему уравнений:
$\cos \alpha = \frac{1}{2}$
$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как значения косинуса и синуса положительны, точка находится в первой координатной четверти. Единственный угол $\alpha$ в промежутке $[0, 2\pi)$, который удовлетворяет этим условиям, — это $\alpha = \frac{\pi}{3}$.
Общее решение, учитывающее периодичность тригонометрических функций, записывается как:
$\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $M\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Имеем систему уравнений:
$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$
$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как косинус отрицателен, а синус положителен, точка находится во второй координатной четверти. Единственный угол $\alpha$ в промежутке $[0, 2\pi)$, который удовлетворяет этим условиям, — это $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.
Общее решение:
$\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $M\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Имеем систему уравнений:
$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$
$\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как и косинус, и синус отрицательны, точка находится в третьей координатной четверти. Единственный угол $\alpha$ в промежутке $[0, 2\pi)$, который удовлетворяет этим условиям, — это $\alpha = \frac{4\pi}{3}$.
Общее решение:
$\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $M\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Имеем систему уравнений:
$\cos \alpha = \frac{1}{2}$
$\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как косинус положителен, а синус отрицателен, точка находится в четвертой координатной четверти. Единственный угол $\alpha$ в промежутке $[0, 2\pi)$, который удовлетворяет этим условиям, — это $\alpha = \frac{5\pi}{3}$. Этот угол также можно записать как $-\frac{\pi}{3}$.
Общее решение:
$\alpha = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (или $\alpha = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $\alpha = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Центр числовой окружности совпадает с началом координат на координатной плоскости $xOy$. Найдите декартовы координаты заданной точки:

5.1 a) $M\left(\frac{\pi}{4}\right)$;

б) $M\left(\frac{\pi}{3}\right)$;

в) $M\left(\frac{\pi}{6}\right)$;

г) $M\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

Для нахождения декартовых координат $(x, y)$ точки $M(t)$ на числовой окружности, центр которой совпадает с началом координат, используются формулы, связывающие декартовы координаты с углом $t$ (в радианах):
$x = \cos(t)$
$y = \sin(t)$

Подставим заданные значения $t$ в эти формулы для каждого случая.

а) $M(\frac{\pi}{4})$

Для точки $M(\frac{\pi}{4})$ имеем $t = \frac{\pi}{4}$. Вычислим ее декартовы координаты $(x, y)$:
$x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Следовательно, декартовы координаты точки M — это $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $M(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

б) $M(\frac{\pi}{3})$

Для точки $M(\frac{\pi}{3})$ имеем $t = \frac{\pi}{3}$. Вычислим ее декартовы координаты $(x, y)$:
$x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, декартовы координаты точки M — это $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $M(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

в) $M(\frac{\pi}{6})$

Для точки $M(\frac{\pi}{6})$ имеем $t = \frac{\pi}{6}$. Вычислим ее декартовы координаты $(x, y)$:
$x = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
Следовательно, декартовы координаты точки M — это $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
Ответ: $M(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$.

г) $M(\frac{\pi}{2})$

Для точки $M(\frac{\pi}{2})$ имеем $t = \frac{\pi}{2}$. Вычислим ее декартовы координаты $(x, y)$:
$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
Следовательно, декартовы координаты точки M — это $(0, 1)$.
Ответ: $M(0; 1)$.

Найдите на числовой окружности точки с данной ординатой и запишите, каким числам t они соответствуют:

5.6 а) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $y = \frac{1}{2}$;

в) $y = 0$;

г) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Задача состоит в том, чтобы найти на числовой (тригонометрической) окружности точки с заданной ординатой $y$ и определить, каким числам $t$ они соответствуют. Ордината точки на числовой окружности равна синусу числа $t$, то есть $y = \sin(t)$. Следовательно, для каждого пункта нам нужно решить тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$.

а) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Нам нужно решить уравнение $\sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На числовой окружности есть две точки, у которых ордината равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки расположены в I и II координатных четвертях, так как синус положителен.

Первая точка (в I четверти) соответствует числу $t_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Вторая точка (во II четверти) симметрична первой относительно оси ординат и соответствует числу $t_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Чтобы найти все числа $t$, соответствующие этим точкам, нужно к найденным значениям прибавить целое число полных оборотов, то есть $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, получаем две серии решений:

$t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{1}{2}$

Нам нужно решить уравнение $\sin(t) = \frac{1}{2}$.

На числовой окружности есть две точки с ординатой $\frac{1}{2}$. Они находятся в I и II четвертях.

Первая точка (в I четверти) соответствует числу $t_1 = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Вторая точка (во II четверти) соответствует числу $t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Общие решения для всех таких чисел $t$ получаются добавлением $2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$):

$t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = 0$

Нам нужно решить уравнение $\sin(t) = 0$.

Точки на числовой окружности с ординатой $0$ лежат на оси абсцисс (оси $Ox$).

Эти точки соответствуют числам $t = 0$ и $t = \pi$ на основном круге.

Все решения можно объединить в одну серию, так как они повторяются через каждый полуоборот ($\pi$).

Общее решение: $t = 0 + \pi k = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Нам нужно решить уравнение $\sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

На числовой окружности есть две точки с ординатой $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Они находятся в I и II четвертях.

Первая точка (в I четверти) соответствует числу $t_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Вторая точка (во II четверти) соответствует числу $t_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Общие решения для всех таких чисел $t$ получаются добавлением $2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$):

$t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5.2 a) $M(2\pi)$;

б) $M\left(\frac{7\pi}{2}\right)$;

в) $M\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$;

г) $M(15\pi)$.

а) Чтобы найти положение точки $M(2\pi)$ на единичной окружности, мы должны от начальной точки $A(1, 0)$, соответствующей углу 0 радиан, отложить дугу длиной $2\pi$ в положительном направлении (против часовой стрелки). Длина всей единичной окружности равна $2\pi$. Следовательно, совершив полный оборот, мы вернемся в начальную точку. Таким образом, точка $M(2\pi)$ совпадает с точкой $M(0)$, которая имеет координаты $(1, 0)$. Эта точка лежит на положительной части оси абсцисс (оси Ox).
Ответ: Точка $M(2\pi)$ совпадает с начальной точкой $(1, 0)$ и лежит на положительной части оси Ox.

б) Чтобы найти положение точки $M(\frac{7\pi}{2})$, представим угол $\frac{7\pi}{2}$ в виде суммы целого числа полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ - целое число) и угла $\alpha$ из промежутка $[0, 2\pi)$.
$\frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.
Это означает, что точка $M(\frac{7\pi}{2})$ получается из начальной точки $A(1,0)$ путем одного полного оборота против часовой стрелки и последующего поворота на угол $\frac{3\pi}{2}$. Таким образом, положение точки $M(\frac{7\pi}{2})$ совпадает с положением точки $M(\frac{3\pi}{2})$. Точка $M(\frac{3\pi}{2})$ имеет координаты $(0, -1)$ и находится на отрицательной части оси ординат (оси Oy).
Ответ: Точка $M(\frac{7\pi}{2})$ имеет координаты $(0, -1)$ и лежит на отрицательной части оси Oy.

в) Чтобы найти положение точки $M(-\frac{3\pi}{2})$, мы должны от начальной точки $A(1, 0)$ отложить дугу длиной $\frac{3\pi}{2}$ в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Чтобы найти соответствующий положительный угол в стандартном диапазоне $[0, 2\pi)$, мы можем прибавить к данному углу полный оборот $2\pi$.
$-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = -\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, точка $M(-\frac{3\pi}{2})$ совпадает с точкой $M(\frac{\pi}{2})$. Точка $M(\frac{\pi}{2})$ имеет координаты $(0, 1)$ и находится на положительной части оси ординат (оси Oy).
Ответ: Точка $M(-\frac{3\pi}{2})$ имеет координаты $(0, 1)$ и лежит на положительной части оси Oy.

г) Чтобы найти положение точки $M(15\pi)$, представим угол $15\pi$ в виде $t = \alpha + 2\pi k$. Для этого вычтем из $15\pi$ максимально возможное целое число полных оборотов.
$15\pi = 14\pi + \pi = 7 \cdot 2\pi + \pi$.
Это означает, что мы совершаем 7 полных оборотов против часовой стрелки и дополнительно поворачиваем на угол $\pi$. Таким образом, положение точки $M(15\pi)$ совпадает с положением точки $M(\pi)$. Точка $M(\pi)$ имеет координаты $(-1, 0)$ и находится на отрицательной части оси абсцисс (оси Ox).
Ответ: Точка $M(15\pi)$ имеет координаты $(-1, 0)$ и лежит на отрицательной части оси Ox.

5.3 a) $M\left(\frac{15\pi}{4}\right);$

б) $M\left(\frac{16\pi}{3}\right);$

В) $M\left(-\frac{31\pi}{4}\right);$

Г) $M\left(-\frac{26\pi}{3}\right).$

а) $M\left(\frac{15\pi}{4}\right)$

Чтобы определить, в какой координатной четверти находится точка на единичной окружности, соответствующая данному углу, необходимо найти эквивалентный угол в промежутке от $0$ до $2\pi$. Это делается путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов, равных $2\pi$.

Для угла $\alpha = \frac{15\pi}{4}$ вычтем из него полные обороты. Один полный оборот равен $2\pi = \frac{8\pi}{4}$.

Представим угол в виде смешанной дроби: $\frac{15\pi}{4} = 3\frac{3}{4}\pi = 2\pi + 1\frac{3}{4}\pi = 2\pi + \frac{7\pi}{4}$.

Это означает, что точка совершает один полный оборот ($2\pi$) и дополнительно поворачивается на угол $\frac{7\pi}{4}$. Таким образом, положение точки $M\left(\frac{15\pi}{4}\right)$ совпадает с положением точки $M\left(\frac{7\pi}{4}\right)$.

Теперь определим, в какой четверти находится угол $\frac{7\pi}{4}$. Сравним его с границами четвертей:

• I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$
• II четверть: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$
• III четверть: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$
• IV четверть: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$

Так как $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$ и $2\pi = \frac{8\pi}{4}$, то выполняется неравенство $\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$.

Следовательно, точка находится в IV координатной четверти.

Ответ: IV четверть.

б) $M\left(\frac{16\pi}{3}\right)$

Для угла $\alpha = \frac{16\pi}{3}$ найдем эквивалентный угол в промежутке $[0, 2\pi)$. Один полный оборот равен $2\pi = \frac{6\pi}{3}$.

Выделим целое число оборотов: $\frac{16\pi}{3} = \frac{12\pi + 4\pi}{3} = \frac{12\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = 4\pi + \frac{4\pi}{3} = 2 \cdot (2\pi) + \frac{4\pi}{3}$.

Положение точки $M\left(\frac{16\pi}{3}\right)$ совпадает с положением точки $M\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.

Сравним угол $\frac{4\pi}{3}$ с границами четвертей:

Так как $\pi = \frac{3\pi}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{3}$, то выполняется неравенство $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$.

Следовательно, точка находится в III координатной четверти.

Ответ: III четверть.

в) $M\left(-\frac{31\pi}{4}\right)$

Для отрицательного угла $\alpha = -\frac{31\pi}{4}$ необходимо прибавить целое число полных оборотов, чтобы получить эквивалентный положительный угол в промежутке $[0, 2\pi)$. Один оборот равен $2\pi = \frac{8\pi}{4}$.

Прибавим к углу такое количество оборотов, чтобы результат стал положительным. $-\frac{31}{4} = -7.75$, значит, нужно прибавить как минимум 4 полных оборота ($4 \cdot 2\pi = 8\pi$).

$8\pi = \frac{32\pi}{4}$.

$-\frac{31\pi}{4} + 8\pi = -\frac{31\pi}{4} + \frac{32\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Положение точки $M\left(-\frac{31\pi}{4}\right)$ совпадает с положением точки $M\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Сравним угол $\frac{\pi}{4}$ с границами четвертей:

Так как $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$, точка находится в I координатной четверти.

Ответ: I четверть.

г) $M\left(-\frac{26\pi}{3}\right)$

Для отрицательного угла $\alpha = -\frac{26\pi}{3}$ найдем эквивалентный положительный угол, прибавляя полные обороты $2\pi = \frac{6\pi}{3}$.

$-\frac{26}{3} \approx -8.67$, значит, нужно прибавить как минимум 5 полных оборотов ($5 \cdot 2\pi = 10\pi$).

$10\pi = \frac{30\pi}{3}$.

$-\frac{26\pi}{3} + 10\pi = -\frac{26\pi}{3} + \frac{30\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Положение точки $M\left(-\frac{26\pi}{3}\right)$ совпадает с положением точки $M\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.

Как мы уже определили в пункте б), угол $\frac{4\pi}{3}$ удовлетворяет неравенству $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$.

Следовательно, точка находится в III координатной четверти.

Ответ: III четверть.

5.4 a) $M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right);$

б) $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right);$

в) $M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right);$

г) $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right).$

а) Для точки $M(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$ на единичной окружности ее координаты связаны с углом поворота $\alpha$ формулами $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$. Таким образом, необходимо найти угол $\alpha$, для которого $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{2}$. Поскольку обе координаты положительны, точка находится в I координатной четверти. Этим условиям соответствует основной угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Множество всех углов, соответствующих данной точке, можно записать в виде общей формулы.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для точки $M(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$ имеем $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{2}$. Отрицательное значение косинуса и положительное значение синуса указывают на то, что точка находится во II координатной четверти. Опорным углом (острым углом, который радиус-вектор точки образует с осью Ox) является угол, для которого $\cos = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin = \frac{1}{2}$, то есть $\frac{\pi}{6}$. Угол во второй четверти, имеющий такой опорный угол, равен $\alpha = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Для точки $M(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$ имеем $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$. Положительное значение косинуса и отрицательное значение синуса указывают на то, что точка находится в IV координатной четверти. Опорный угол также равен $\frac{\pi}{6}$. Угол в четвертой четверти можно найти как $\alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ или, что эквивалентно, как отрицательный угол $\alpha = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для точки $M(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$ имеем $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$. Оба значения отрицательны, что означает, что точка находится в III координатной четверти. Опорный угол по-прежнему $\frac{\pi}{6}$. Угол в третьей четверти, имеющий такой опорный угол, равен $\alpha = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
Ответ: $\alpha = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.