Страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

19.27 Зная, что $ \sin \alpha = \frac{4}{5} $, $ \cos \beta = -\frac{15}{17} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $, найдите значение выражения:

a) $ \sin(\alpha - \beta) $;

б) $ \cos(\alpha - \beta) $.

Для решения задачи нам необходимо найти значения $ \cos \alpha $ и $ \sin \beta $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и информацию о четвертях, в которых находятся углы.

1. Найдём $ \cos \alpha $.
Дано, что $ \sin \alpha = \frac{4}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $. Это означает, что угол $ \alpha $ находится во второй координатной четверти, где косинус отрицателен.
$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $.
Так как $ \cos \alpha < 0 $, то $ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} $.

2. Найдём $ \sin \beta $.
Дано, что $ \cos \beta = -\frac{15}{17} $ и $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $. Это означает, что угол $ \beta $ также находится во второй координатной четверти, где синус положителен.
$ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \left(-\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289} $.
Так как $ \sin \beta > 0 $, то $ \sin \beta = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17} $.

Теперь, имея все необходимые значения ($ \sin \alpha = \frac{4}{5}, \cos \alpha = -\frac{3}{5}, \sin \beta = \frac{8}{17}, \cos \beta = -\frac{15}{17} $), мы можем вычислить требуемые выражения.

Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
Подставляем значения:
$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) - \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17} = -\frac{60}{85} + \frac{24}{85} = -\frac{36}{85} $.
Ответ: $ -\frac{36}{85} $.

Используем формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.
Подставляем значения:
$ \cos(\alpha - \beta) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{8}{17} = \frac{45}{85} + \frac{32}{85} = \frac{77}{85} $.
Ответ: $ \frac{77}{85} $.

19.28 Решите неравенство:

a) $ \sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x > \frac{1}{2} $

б) $ \cos 2x \cos 5x - \sin 2x \sin 5x < -\frac{1}{3} $

в) $ \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} \sin \frac{x}{2} < \frac{1}{3} $

г) $ \sin 2x \sin 5x + \cos 2x \cos 5x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $

а) $\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x > \frac{1}{2}$

Применим формулу синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = 3x$.

Неравенство принимает вид:

$\sin(x + 3x) > \frac{1}{2}$

$\sin(4x) > \frac{1}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Обозначим $t = 4x$.

$\sin t > \frac{1}{2}$

На единичной окружности это соответствует дуге, заключенной между углами $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. С учетом периодичности синуса, решение для $t$ будет:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = 4x$:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 4x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на 4:

$\frac{\pi}{24} + \frac{2\pi k}{4} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{2\pi k}{4}$

$\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}; \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 2x \cos 5x - \sin 2x \sin 5x < -\frac{1}{3}$

Применим формулу косинуса суммы углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

В данном случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 5x$.

Неравенство преобразуется к виду:

$\cos(2x + 5x) < -\frac{1}{3}$

$\cos(7x) < -\frac{1}{3}$

Пусть $t = 7x$. Решаем неравенство $\cos t < -\frac{1}{3}$.

Решением неравенства $\cos t < c$ является интервал $(\arccos(c) + 2\pi k; 2\pi - \arccos(c) + 2\pi k)$.

В нашем случае $c = -\frac{1}{3}$. Решение для $t$:

$\arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k < t < 2\pi - \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 7x$:

$\arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k < 7x < 2\pi - \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k$

Разделим все части на 7:

$\frac{1}{7}\arccos(-\frac{1}{3}) + \frac{2\pi k}{7} < x < \frac{2\pi}{7} - \frac{1}{7}\arccos(-\frac{1}{3}) + \frac{2\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{7}\arccos(-\frac{1}{3}) + \frac{2\pi k}{7}; \frac{2\pi}{7} - \frac{1}{7}\arccos(-\frac{1}{3}) + \frac{2\pi k}{7})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} \sin \frac{x}{2} < -\frac{1}{3}$

Применим формулу синуса разности углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Здесь $\alpha = \frac{x}{4}$ и $\beta = \frac{x}{2}$.

Неравенство принимает вид:

$\sin(\frac{x}{4} - \frac{x}{2}) < -\frac{1}{3}$

$\sin(-\frac{x}{4}) < -\frac{1}{3}$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-y) = -\sin(y)$, получаем:

$-\sin(\frac{x}{4}) < -\frac{1}{3}$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$\sin(\frac{x}{4}) > \frac{1}{3}$

Обозначим $t = \frac{x}{4}$ и решим неравенство $\sin t > \frac{1}{3}$.

Решением неравенства $\sin t > c$ является интервал $(\arcsin(c) + 2\pi k; \pi - \arcsin(c) + 2\pi k)$.

В нашем случае $c = \frac{1}{3}$. Решение для $t$:

$\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k < t < \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Произведем обратную замену $t = \frac{x}{4}$:

$\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k < \frac{x}{4} < \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k$

Умножим все части неравенства на 4:

$4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi k < x < 4\pi - 4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi k; 4\pi - 4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin 2x \sin 5x + \cos 2x \cos 5x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Применим формулу косинуса разности углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Запишем левую часть в стандартном виде: $\cos 2x \cos 5x + \sin 2x \sin 5x$.

Здесь можно взять $\alpha = 5x$ и $\beta = 2x$ (или наоборот, результат будет тот же, так как косинус - четная функция).

Неравенство преобразуется к виду:

$\cos(5x - 2x) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(3x) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Пусть $t = 3x$. Решаем неравенство $\cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решением неравенства $\cos t > c$ является интервал $(-\arccos(c) + 2\pi k; \arccos(c) + 2\pi k)$.

Найдем $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$.

Решение для $t$:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим обратно $t = 3x$:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

20.2 a) $\frac{\operatorname{tg} 25^{\circ}+\operatorname{tg} 20^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 25^{\circ} \operatorname{tg} 20^{\circ}};$

б) $\frac{1-\operatorname{tg} 70^{\circ} \operatorname{tg} 65^{\circ}}{\operatorname{tg} 70^{\circ}+\operatorname{tg} 65^{\circ}};$

B) $\frac{\operatorname{tg} 9^{\circ}+\operatorname{tg} 51^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 9^{\circ} \operatorname{tg} 51^{\circ}};$

Г) $\frac{1+\operatorname{tg} 54^{\circ} \operatorname{tg} 9^{\circ}}{\operatorname{tg} 54^{\circ}-\operatorname{tg} 9^{\circ}}.$

а) Данное выражение является формулой тангенса суммы углов: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha tg \beta}$. В данном случае $\alpha = 25^\circ$ и $\beta = 20^\circ$. Следовательно, выражение равно $tg(25^\circ + 20^\circ) = tg(45^\circ)$. Значение тангенса 45 градусов равно 1.
$\frac{tg 25^\circ + tg 20^\circ}{1 - tg 25^\circ tg 20^\circ} = tg(25^\circ + 20^\circ) = tg(45^\circ) = 1$.
Ответ: $1$.

б) Данное выражение является формулой котангенса суммы углов: $ctg(\alpha + \beta) = \frac{1 - tg \alpha tg \beta}{tg \alpha + tg \beta}$. В данном случае $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 65^\circ$. Следовательно, выражение равно $ctg(70^\circ + 65^\circ) = ctg(135^\circ)$. Используя формулу приведения, $ctg(135^\circ) = ctg(180^\circ - 45^\circ) = -ctg(45^\circ)$, что равно -1.
$\frac{1 - tg 70^\circ tg 65^\circ}{tg 70^\circ + tg 65^\circ} = ctg(70^\circ + 65^\circ) = ctg(135^\circ) = -1$.
Ответ: $-1$.

в) Снова используем формулу тангенса суммы углов: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha tg \beta}$. Здесь $\alpha = 9^\circ$ и $\beta = 51^\circ$. Таким образом, выражение равно $tg(9^\circ + 51^\circ) = tg(60^\circ)$. Значение тангенса 60 градусов равно $\sqrt{3}$.
$\frac{tg 9^\circ + tg 51^\circ}{1 - tg 9^\circ tg 51^\circ} = tg(9^\circ + 51^\circ) = tg(60^\circ) = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

г) Данное выражение является формулой котангенса разности углов: $ctg(\alpha - \beta) = \frac{1 + tg \alpha tg \beta}{tg \alpha - tg \beta}$. В данном случае $\alpha = 54^\circ$ и $\beta = 9^\circ$. Следовательно, выражение равно $ctg(54^\circ - 9^\circ) = ctg(45^\circ)$. Значение котангенса 45 градусов равно 1.
$\frac{1 + tg 54^\circ tg 9^\circ}{tg 54^\circ - tg 9^\circ} = ctg(54^\circ - 9^\circ) = ctg(45^\circ) = 1$.
Ответ: $1$.

20.3 a) tg $(\frac{\pi}{4} - \alpha)$, если tg $\alpha = \frac{2}{3}$;

б) tg $(\alpha + \frac{\pi}{3})$, если tg $\alpha = \frac{4}{5}$;

в) tg $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$, если ctg $\alpha = \frac{4}{3}$;

г) tg $(\alpha - \frac{\pi}{4})$, если ctg $\alpha = 1,6$.

а) Для решения используем формулу тангенса разности: $\text{tg}(\beta - \gamma) = \frac{\text{tg}\,\beta - \text{tg}\,\gamma}{1 + \text{tg}\,\beta \cdot \text{tg}\,\gamma}$.

В нашем случае $\beta = \frac{\pi}{4}$ и $\gamma = \alpha$. Известно, что $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$ и по условию $\text{tg}\,\alpha = \frac{2}{3}$.

Подставляем значения в формулу:

$\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} - \text{tg}\,\alpha}{1 + \text{tg}\frac{\pi}{4} \cdot \text{tg}\,\alpha} = \frac{1 - \frac{2}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3-2}{3}}{\frac{3+2}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) Для решения используем формулу тангенса суммы: $\text{tg}(\beta + \gamma) = \frac{\text{tg}\,\beta + \text{tg}\,\gamma}{1 - \text{tg}\,\beta \cdot \text{tg}\,\gamma}$.

В данном случае $\beta = \alpha$ и $\gamma = \frac{\pi}{3}$. Известно, что $\text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ и по условию $\text{tg}\,\alpha = \frac{4}{5}$.

Подставляем значения в формулу:

$\text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\frac{\pi}{3}}{1 - \text{tg}\,\alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{4}{5} + \sqrt{3}}{1 - \frac{4}{5}\sqrt{3}} = \frac{\frac{4+5\sqrt{3}}{5}}{\frac{5-4\sqrt{3}}{5}} = \frac{4+5\sqrt{3}}{5-4\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(5+4\sqrt{3})$:

$\frac{4+5\sqrt{3}}{5-4\sqrt{3}} \cdot \frac{5+4\sqrt{3}}{5+4\sqrt{3}} = \frac{4 \cdot 5 + 4 \cdot 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \cdot 5 + 5\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}}{5^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{20 + 16\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 60}{25 - 16 \cdot 3} = \frac{80 + 41\sqrt{3}}{25-48} = \frac{80 + 41\sqrt{3}}{-23} = -\frac{80 + 41\sqrt{3}}{23}$.

Ответ: $-\frac{80 + 41\sqrt{3}}{23}$.

в) Используем формулу приведения для тангенса: $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{ctg}\,\alpha$.

По условию дано, что $\text{ctg}\,\alpha = \frac{4}{3}$.

Подставляем это значение в формулу:

$\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

г) Сначала найдем $\text{tg}\,\alpha$, зная $\text{ctg}\,\alpha$.

По условию $\text{ctg}\,\alpha = 1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.

Так как $\text{tg}\,\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\,\alpha}$, то $\text{tg}\,\alpha = \frac{1}{8/5} = \frac{5}{8}$.

Теперь используем формулу тангенса разности: $\text{tg}(\beta - \gamma) = \frac{\text{tg}\,\beta - \text{tg}\,\gamma}{1 + \text{tg}\,\beta \cdot \text{tg}\,\gamma}$.

В нашем случае $\beta = \alpha$ и $\gamma = \frac{\pi}{4}$. Известно, что $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Подставляем значения в формулу:

$\text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 + \text{tg}\,\alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{5}{8} - 1}{1 + \frac{5}{8} \cdot 1} = \frac{\frac{5-8}{8}}{\frac{8+5}{8}} = \frac{-\frac{3}{8}}{\frac{13}{8}} = -\frac{3}{13}$.

Ответ: $-\frac{3}{13}$.

20.1 a) $\text{tg} \frac{\pi}{12}$;

б) $\text{tg} 105^{\circ}$;

в) $\text{tg} \frac{5\pi}{12}$;

г) $\text{tg} 165^{\circ}$.

а) Для вычисления $\tg\frac{\pi}{12}$ представим угол $\frac{\pi}{12}$ (что соответствует $15^\circ$) в виде разности стандартных углов, значения тангенсов которых известны. Например, $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ ($15^\circ = 60^\circ - 45^\circ$) или $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ ($15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$). Воспользуемся вторым вариантом.
Применим формулу тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha\tg\beta}$.
$\tg\frac{\pi}{12} = \tg(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\tg\frac{\pi}{4} - \tg\frac{\pi}{6}}{1 + \tg\frac{\pi}{4}\tg\frac{\pi}{6}}$.
Так как $\tg\frac{\pi}{4} = 1$ и $\tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, подставим эти значения в формулу:
$\tg\frac{\pi}{12} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$.
Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(3-\sqrt{3})$:
$\frac{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{(3-\sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9-3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$

б) Для вычисления $\tg105^\circ$ представим угол $105^\circ$ в виде суммы стандартных углов: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Применим формулу тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}$.
$\tg105^\circ = \tg(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tg60^\circ + \tg45^\circ}{1 - \tg60^\circ\tg45^\circ}$.
Так как $\tg60^\circ = \sqrt{3}$ и $\tg45^\circ = 1$, подставим эти значения:
$\tg105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$.
Умножим числитель и знаменатель на $(1 + \sqrt{3})$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
$\frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{1-3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -(2 + \sqrt{3})$.
Ответ: $-(2 + \sqrt{3})$

в) Для вычисления $\tg\frac{5\pi}{12}$ представим угол $\frac{5\pi}{12}$ (что соответствует $75^\circ$) в виде суммы стандартных углов: $\frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi+2\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}$.
Применим формулу тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}$.
$\tg\frac{5\pi}{12} = \tg(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = \frac{\tg\frac{\pi}{4} + \tg\frac{\pi}{6}}{1 - \tg\frac{\pi}{4}\tg\frac{\pi}{6}}$.
Так как $\tg\frac{\pi}{4} = 1$ и $\tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, подставим эти значения:
$\tg\frac{5\pi}{12} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на сопряженное выражение $(3+\sqrt{3})$:
$\frac{(3+\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} = \frac{(3+\sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9-3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$

г) Для вычисления $\tg165^\circ$ можно использовать формулы приведения. Представим угол $165^\circ$ как $180^\circ - 15^\circ$.
$\tg165^\circ = \tg(180^\circ - 15^\circ)$.
По формуле приведения $\tg(180^\circ - \alpha) = -\tg\alpha$. Следовательно:
$\tg165^\circ = -\tg15^\circ$.
Значение $\tg15^\circ$ было найдено в пункте а): $\tg15^\circ = \tg\frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}$.
Таким образом, $\tg165^\circ = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2$.
Альтернативный способ — представить $165^\circ$ как сумму $120^\circ + 45^\circ$:
$\tg165^\circ = \tg(120^\circ + 45^\circ) = \frac{\tg120^\circ + \tg45^\circ}{1 - \tg120^\circ\tg45^\circ} = \frac{-\sqrt{3} + 1}{1 - (-\sqrt{3})\cdot1} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$.
$\frac{(1 - \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{(1 - \sqrt{3})^2}{1 - 3} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{-2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = -2 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 2$.
Ответ: $\sqrt{3} - 2$

1. Чтобы найти значение котангенса угла $t$, зная значение тангенса того же угла, необходимо воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, связывающим эти две функции.

По определению, тангенс и котангенс выражаются через синус и косинус следующим образом:

$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$

$\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$

Если перемножить эти два выражения, то получится:

$\tg t \cdot \ctg t = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = 1$

Это тождество $\tg t \cdot \ctg t = 1$ справедливо для всех значений $t$, при которых и тангенс, и котангенс существуют (то есть $\sin t \neq 0$ и $\cos t \neq 0$).

Из этого тождества можно выразить котангенс через тангенс. Для этого необходимо разделить обе части равенства на $\tg t$ (при условии, что $\tg t \neq 0$):

$\ctg t = \frac{1}{\tg t}$

Таким образом, зная значение тангенса угла, для нахождения значения котангенса этого же угла нужно просто разделить единицу на известное значение тангенса. То есть, котангенс является величиной, обратной тангенсу.

Например, если $\tg t = 5$, то $\ctg t = \frac{1}{5}$.

Ответ: Чтобы найти значение $\ctg t$, зная значение $\tg t$, необходимо воспользоваться формулой: $\ctg t = \frac{1}{\tg t}$.

2. Как, зная значение $ \cos t $, найти значение $ \operatorname{tg} t $?

Чтобы найти значение $\tg t$, зная значение $\cos t$, необходимо использовать основные тригонометрические тождества. Существует два основных подхода к решению этой задачи.

Способ 1: Через нахождение синуса

Этот способ основан на определении тангенса и основном тригонометрическом тождестве.

1. Определение тангенса. Тангенс угла определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу:
$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$
Поскольку значение $\cos t$ нам известно, задача сводится к нахождению значения $\sin t$.

2. Основное тригонометрическое тождество. Оно связывает синус и косинус одного и того же угла:
$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$

3. Нахождение $\sin t$. Выразим из тождества $\sin^2 t$:
$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$
Тогда сам синус равен:
$\sin t = \pm\sqrt{1 - \cos^2 t}$

4. Определение знака $\sin t$. Знак перед корнем («+» или «−») зависит от того, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол t. Если в условии задачи не указана четверть или знак синуса, то однозначно определить значение $\sin t$ (и, как следствие, $\tg t$) невозможно.
- Если t находится в I или II четверти ($0 < t < \pi$), то $\sin t > 0$.
- Если t находится в III или IV четверти ($\pi < t < 2\pi$), то $\sin t < 0$.

5. Вычисление $\tg t$. Подставив найденное значение $\sin t$ в формулу для тангенса, получаем:
$\tg t = \frac{\pm\sqrt{1 - \cos^2 t}}{\cos t}$

Способ 2: Через тождество, связывающее тангенс и косинус

Этот способ позволяет найти квадрат тангенса напрямую, минуя явное вычисление синуса.

1. Использование тождества. Существует тождество, которое напрямую связывает тангенс и косинус (оно является следствием основного тригонометрического тождества, разделенного на $\cos^2 t$):
$1 + \tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$

2. Нахождение $\tg^2 t$. Выразим из этого тождества $\tg^2 t$:
$\tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} - 1$
Приведя к общему знаменателю, получаем:
$\tg^2 t = \frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t}$

3. Нахождение $\tg t$. Извлекая квадратный корень, находим тангенс:
$\tg t = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t}} = \pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 t}}{|\cos t|}$

4. Определение знака $\tg t$. Как и в первом способе, возникает неопределенность со знаком. Знак тангенса зависит от четверти, в которой находится угол t.
- Если t находится в I или III четверти, то $\tg t > 0$.
- Если t находится во II или IV четверти, то $\tg t < 0$.
Информация о четверти или о знаке другой тригонометрической функции (например, синуса) необходима для однозначного ответа.

Пример. Найти $\tg t$, если $\cos t = -\frac{4}{5}$ и известно, что $\frac{\pi}{2} < t < \pi$ (II четверть).
Воспользуемся второй формулой:
$\tg^2 t = \frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})^2}{(-\frac{4}{5})^2} = \frac{1 - \frac{16}{25}}{\frac{16}{25}} = \frac{\frac{9}{25}}{\frac{16}{25}} = \frac{9}{16}$
Теперь найдем $|\tg t|$:
$|\tg t| = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$
Поскольку угол $t$ находится во II четверти, его тангенс отрицателен.
Следовательно, $\tg t = -\frac{3}{4}$.

Ответ: Для нахождения значения $\tg t$ по известному значению $\cos t$ следует использовать одну из формул, выведенных из основных тригонометрических тождеств, например: $\tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} - 1$. После вычисления $\tg^2 t$ нужно извлечь квадратный корень и определить знак результата. Знак тангенса («+» или «−») зависит от четверти, в которой находится угол $t$. Если четверть не задана, то задача имеет два возможных решения, отличающихся знаком.

3. Как, зная значение $sin t$, найти значение $ctg t$?

Чтобы найти значение $ctg \, t$, зная значение $sin \, t$, необходимо использовать основные тригонометрические тождества. Существует два основных способа решения этой задачи.

Способ 1: Через нахождение косинуса

1. Найти $cos \, t$. Используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
Выразим из него $cos^2 t$:$cos^2 t = 1 - sin^2 t$.
Далее извлечем квадратный корень, чтобы найти $cos \, t$:$cos \, t = \pm\sqrt{1 - sin^2 t}$.

Знак перед корнем («+» или «−») не является произвольным. Он зависит от того, в какой координатной четверти находится угол $t$. Если угол $t$ находится в I или IV четверти, где косинус положителен ($cos \, t > 0$), выбирается знак «+». Если угол $t$ находится во II или III четверти, где косинус отрицателен ($cos \, t < 0$), выбирается знак «−». Поэтому для однозначного ответа необходима дополнительная информация об угле $t$.

2. Найти $ctg \, t$. По определению котангенса: $ctg \, t = \frac{cos \, t}{sin \, t}$.
Подставив в эту формулу найденное выражение для $cos \, t$, получаем итоговую формулу:$ctg \, t = \frac{\pm\sqrt{1 - sin^2 t}}{sin \, t}$.

Способ 2: Через тождество с котангенсом

1. Использовать тождество $1 + ctg^2 t = \frac{1}{sin^2 t}$.
Выразим из него $ctg^2 t$:$ctg^2 t = \frac{1}{sin^2 t} - 1 = \frac{1 - sin^2 t}{sin^2 t}$.

2. Найти $ctg \, t$. Извлекая квадратный корень, снова получаем два возможных значения:$ctg \, t = \pm\sqrt{\frac{1 - sin^2 t}{sin^2 t}} = \frac{\pm\sqrt{1 - sin^2 t}}{|sin \, t|}$.

Здесь выбор знака зависит от четверти, в которой находится угол $t$. Если угол $t$ лежит в I или III четверти, где котангенс положителен ($ctg \, t > 0$), выбирается знак «+». Если угол $t$ лежит во II или IV четверти, где котангенс отрицателен ($ctg \, t < 0$), выбирается знак «−».

Оба способа приводят к одинаковому результату и показывают, что для однозначного нахождения $ctg \, t$ по известному $sin \, t$ нужно знать знак котангенса (или косинуса), который определяется координатной четвертью угла $t$.

Ответ: Чтобы найти значение $ctg \, t$, зная $sin \, t$ и четверть, в которой находится угол $t$, нужно: 1) определить знак $cos \, t$ по четверти; 2) вычислить $cos \, t$ по формуле $cos \, t = \pm\sqrt{1 - sin^2 t}$; 3) вычислить котангенс по формуле $ctg \, t = \frac{cos \, t}{sin \, t}$. Общая формула: $ctg \, t = \frac{\pm\sqrt{1 - sin^2 t}}{sin \, t}$.

4. Известно, что $\sin t = a$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$; вычислите $\cos t$, $\operatorname{ctg} t$.

По условию задачи нам дано, что $sin\ t = a$ и угол $t$ находится в первой четверти, поскольку $0 < t < \frac{\pi}{2}$. В первой четверти значения всех тригонометрических функций положительны. Следовательно, $cos\ t > 0$ и $ctg\ t > 0$.

Также из условия $0 < t < \frac{\pi}{2}$ следует, что $0 < sin\ t < 1$, а значит $0 < a < 1$. Это гарантирует, что выражение под корнем при вычислении косинуса будет положительным.

cos t

Для нахождения $cos\ t$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
$sin^2 t + cos^2 t = 1$

Выразим из этого тождества $cos^2 t$:
$cos^2 t = 1 - sin^2 t$

Подставим известное значение $sin\ t = a$:
$cos^2 t = 1 - a^2$

Теперь извлечем квадратный корень. Поскольку угол $t$ находится в первой четверти, его косинус положителен, поэтому мы выбираем положительное значение корня:
$cos\ t = \sqrt{1 - a^2}$

Ответ: $cos\ t = \sqrt{1 - a^2}$

ctg t

Котангенс угла определяется по формуле как отношение косинуса к синусу:
$ctg\ t = \frac{cos\ t}{sin\ t}$

Подставим известные нам значения $sin\ t = a$ и $cos\ t = \sqrt{1 - a^2}$:
$ctg\ t = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$

Ответ: $ctg\ t = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$

5. Известно, что $ \cos t = a $, $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $; вычислите $ \sin t $, $ \operatorname{tg} t $.

Для решения данной задачи мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и определением тангенса, а также учтем знаки тригонометрических функций в указанной четверти.

sin t

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Из этого тождества мы можем выразить $\sin^2 t$: $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$.

Подставим в формулу данное нам значение $\cos t = a$: $\sin^2 t = 1 - a^2$.

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $\sin t$: $\sin t = \pm\sqrt{1 - a^2}$.

Чтобы выбрать правильный знак, обратимся к условию, что $t$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти значения синуса положительны. Следовательно, мы должны выбрать знак «+».

Ответ: $\sin t = \sqrt{1 - a^2}$

tg t

Тангенс угла определяется как отношение его синуса к косинусу: $\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$.

Теперь подставим известные и найденные нами значения в эту формулу. Нам дано, что $\cos t = a$, и мы вычислили, что $\sin t = \sqrt{1 - a^2}$.

$\tg t = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$.

Убедимся, что знак результата верный. Для угла $t$ из второй четверти ($\frac{\pi}{2} < t < \pi$) косинус отрицателен (значит, $a < 0$), а синус положителен. Отношение положительного числа ($\sqrt{1 - a^2}$) к отрицательному ($a$) дает отрицательный результат, что соответствует знаку тангенса во второй четверти.

Ответ: $\tg t = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$

6. Известно, что $ \text{tg } t = a $, $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $; вычислите $ \sin t, \cos t $.

По условию задачи, угол $t$ удовлетворяет неравенству $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $t$ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти и синус, и косинус принимают отрицательные значения, то есть $\sin t < 0$ и $\cos t < 0$.

Для нахождения $\cos t$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$

Подставим в это тождество данное нам значение $\text{tg } t = a$: $1 + a^2 = \frac{1}{\cos^2 t}$

Из этого уравнения выразим $\cos^2 t$: $\cos^2 t = \frac{1}{1 + a^2}$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $\cos t$. Поскольку мы установили, что в третьей четверти косинус отрицателен, мы должны выбрать отрицательное значение корня: $\cos t = -\sqrt{\frac{1}{1 + a^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

Теперь, зная $\cos t$ и $\text{tg } t$, мы можем найти $\sin t$ из определения тангенса: $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$

Отсюда следует, что: $\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t$

Подставим известные нам выражения для $\text{tg } t$ и $\cos t$: $\sin t = a \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}\right) = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

Проверка знака: В третьей четверти тангенс положителен ($\text{tg } t > 0$), значит, $a > 0$. Следовательно, выражение $-\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ будет отрицательным, что соответствует знаку синуса в третьей четверти.

Ответ: $\sin t = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$, $\cos t = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$.

7. Известно, что $\text{ctg } t = a$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$; вычислите $\text{sin } t, \text{ cos } t$.

Дано, что $ctg(t) = a$ и угол $t$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Этот интервал соответствует IV (четвертой) координатной четверти.

В IV четверти значения синуса отрицательны ($sin(t) < 0$), а значения косинуса положительны ($cos(t) > 0$).

Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим котангенс и синус: $1 + ctg^2(t) = \frac{1}{sin^2(t)}$

Подставим в это тождество известное значение $ctg(t) = a$: $1 + a^2 = \frac{1}{sin^2(t)}$

Выразим из полученного уравнения $sin^2(t)$: $sin^2(t) = \frac{1}{1 + a^2}$

Теперь извлечем квадратный корень. Учитывая, что в IV четверти $sin(t) < 0$, мы выбираем отрицательное значение корня: $sin(t) = -\sqrt{\frac{1}{1 + a^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

Ответ: $sin(t) = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

Для нахождения косинуса воспользуемся определением котангенса: $ctg(t) = \frac{cos(t)}{sin(t)}$.

Отсюда выразим $cos(t)$: $cos(t) = ctg(t) \cdot sin(t)$

Подставим значение $ctg(t) = a$ и найденное ранее значение $sin(t) = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$: $cos(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}\right) = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

Проверим правильность знака. В IV четверти $cos(t) > 0$ и $sin(t) < 0$, поэтому $ctg(t) = \frac{cos(t)}{sin(t)}$ должен быть отрицательным. Это означает, что параметр $a < 0$. Если $a$ — отрицательное число, то $-a$ — положительное. Знаменатель $\sqrt{1 + a^2}$ всегда положителен. Таким образом, выражение $-\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ положительно, что соответствует знаку косинуса в IV четверти.

Ответ: $cos(t) = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$