Страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

21.41 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=f(x)$,

если:

a) $f(x) = 2 \cos 2x + \sin^2 x$;

б) $f(x) = 2 \sin^2 3x - \cos 6x$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\cos{2x} + \sin^2{x}$ преобразуем ее, используя тригонометрическое тождество, чтобы выразить функцию через одну переменную. Применим формулу понижения степени $\sin^2{x} = \frac{1 - \cos{2x}}{2}$. Подставляя ее в функцию, получаем:
$f(x) = 2\cos{2x} + \frac{1 - \cos{2x}}{2} = 2\cos{2x} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos{2x} = \frac{3}{2}\cos{2x} + \frac{1}{2}$.

Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos{2x} \le 1$. Поскольку выражение $\frac{3}{2}\cos{2x} + \frac{1}{2}$ является линейной функцией от $\cos{2x}$ с положительным коэффициентом, ее наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка $[-1, 1]$.
Наибольшее значение функции достигается при $\cos{2x} = 1$:
$y_{наиб} = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{2} = \frac{3+1}{2} = 2$.
Наименьшее значение функции достигается при $\cos{2x} = -1$:
$y_{наим} = \frac{3}{2}(-1) + \frac{1}{2} = \frac{-3+1}{2} = -1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 2, наименьшее значение функции равно -1.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\sin^2{3x} - \cos{6x}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos{6x} = \cos(2 \cdot 3x) = 1 - 2\sin^2{3x}$. Это позволит выразить функцию через одну переменную. Подставляя, получаем:
$f(x) = 2\sin^2{3x} - (1 - 2\sin^2{3x}) = 2\sin^2{3x} - 1 + 2\sin^2{3x} = 4\sin^2{3x} - 1$.

Область значений $\sin^2{3x}$ — это отрезок $[0, 1]$, так как $-1 \le \sin{3x} \le 1$. Выражение $4\sin^2{3x} - 1$ является линейной функцией от $\sin^2{3x}$ с положительным коэффициентом, поэтому ее наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка $[0, 1]$.
Наибольшее значение функции достигается при $\sin^2{3x} = 1$:
$y_{наиб} = 4(1) - 1 = 3$.
Наименьшее значение функции достигается при $\sin^2{3x} = 0$:
$y_{наим} = 4(0) - 1 = -1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 3, наименьшее значение функции равно -1.

21.37 Известно, что $cos 2x = \frac{5}{13}$. Вычислите:

a) $\sin^4 x + \cos^4 x;$

б) $\sin^8 x - \cos^8 x.$

a) Для вычисления значения выражения $\sin^4 x + \cos^4 x$ преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Возведем обе части этого тождества в квадрат:
$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2$
$\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = 1$
Отсюда выразим искомую сумму:
$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

Теперь преобразуем член $2\sin^2 x \cos^2 x$. Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, получим:
$2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} (4\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x)^2 = \frac{1}{2} \sin^2 2x$
Таким образом, наше выражение принимает вид:
$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$

По условию известно, что $\cos 2x = \frac{5}{13}$. Найдем $\sin^2 2x$ из основного тригонометрического тождества для угла $2x$: $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$.
$\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$

Подставим найденное значение $\sin^2 2x$ в выражение для $\sin^4 x + \cos^4 x$:
$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{144}{169} = 1 - \frac{72}{169} = \frac{169 - 72}{169} = \frac{97}{169}$

Ответ: $\frac{97}{169}$

б) Для вычисления значения выражения $\sin^8 x - \cos^8 x$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ несколько раз.

$\sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x)^2 - (\cos^4 x)^2 = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$

Значение второго множителя $(\sin^4 x + \cos^4 x)$ мы уже нашли в пункте а):
$\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{97}{169}$

Теперь найдем значение первого множителя $(\sin^4 x - \cos^4 x)$, снова применив формулу разности квадратов:
$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 - (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, получаем:
$\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x$
Следовательно:
$\sin^4 x - \cos^4 x = (-\cos 2x) \cdot 1 = -\cos 2x$
Подставим данное в условии значение $\cos 2x = \frac{5}{13}$:
$\sin^4 x - \cos^4 x = -\frac{5}{13}$

Теперь можем вычислить исходное выражение, перемножив найденные значения множителей:
$\sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x) = \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \left(\frac{97}{169}\right)$
$\sin^8 x - \cos^8 x = -\frac{5 \cdot 97}{13 \cdot 169} = -\frac{485}{2197}$

Ответ: $-\frac{485}{2197}$

21.42 Найдите наибольший отрицательный корень (в градусах) уравне-ния:

a) $ \cos x = \frac{\sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ}{\cos^2 67,5^\circ - \sin^2 67,5^\circ}$;

б) $ \sin x = \frac{\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ}{4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ}$.

a)

Рассмотрим уравнение $ \cos x = \frac{\sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ}{\cos^2 67,5^\circ - \sin^2 67,5^\circ} $.

Упростим правую часть уравнения, используя тригонометрические формулы двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $ и $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

Преобразуем числитель:

$ \sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ = \frac{1}{2} (2 \sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 22,5^\circ) = \frac{1}{2} \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

Преобразуем знаменатель:

$ \cos^2 67,5^\circ - \sin^2 67,5^\circ = \cos(2 \cdot 67,5^\circ) = \cos 135^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$ \cos x = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $.

Решим уравнение $ \cos x = -\frac{1}{2} $.

Общее решение в градусах имеет вид: $ x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 360^\circ \cdot n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ $.

Таким образом, получаем две серии решений:

1) $ x = 120^\circ + 360^\circ \cdot n $

2) $ x = -120^\circ + 360^\circ \cdot n $

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Переберем значения $ n $.

Для первой серии: при $ n=0, x = 120^\circ $ (положительный); при $ n=-1, x = 120^\circ - 360^\circ = -240^\circ $.

Для второй серии: при $ n=0, x = -120^\circ $; при $ n=1, x = -120^\circ + 360^\circ = 240^\circ $ (положительный).

Сравнивая отрицательные корни $ -240^\circ $ и $ -120^\circ $, выбираем наибольший.

Наибольший отрицательный корень равен $ -120^\circ $.

Ответ: $ -120^\circ $

б)

Рассмотрим уравнение $ \sin x = \frac{\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ}{4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ} $.

Упростим правую часть уравнения, используя те же формулы двойного угла.

Преобразуем числитель:

$ \sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ = -(\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ) = -\cos(2 \cdot 75^\circ) = -\cos 150^\circ $.

Так как $ \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, то числитель равен $ -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Преобразуем знаменатель:

$ 4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = 2 \cdot (2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ) = 2 \sin(2 \cdot 15^\circ) = 2 \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $.

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$ \sin x = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Решим уравнение $ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Общее решение в градусах можно записать в виде двух серий:

1) $ x = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 360^\circ \cdot k = 60^\circ + 360^\circ \cdot k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ x = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 360^\circ \cdot k = 180^\circ - 60^\circ + 360^\circ \cdot k = 120^\circ + 360^\circ \cdot k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Переберем значения $ k $.

Для первой серии: при $ k=0, x = 60^\circ $ (положительный); при $ k=-1, x = 60^\circ - 360^\circ = -300^\circ $.

Для второй серии: при $ k=0, x = 120^\circ $ (положительный); при $ k=-1, x = 120^\circ - 360^\circ = -240^\circ $.

Сравнивая отрицательные корни $ -300^\circ $ и $ -240^\circ $, выбираем наибольший.

Наибольший отрицательный корень равен $ -240^\circ $.

Ответ: $ -240^\circ $

21.38 Проверьте числовое равенство:

a) $\sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ;$

б) $\sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}.$

а)

Требуется проверить равенство $\sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ$.

Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу для $\alpha = 18^\circ$ к произведению $\sin 18^\circ \cos 18^\circ$:

$\sin 18^\circ \cos 18^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 18^\circ) = \frac{1}{2} \sin 36^\circ$.

Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного равенства:

$\sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ = (\frac{1}{2} \sin 36^\circ) \cos 36^\circ = \frac{1}{2} \sin 36^\circ \cos 36^\circ$.

Снова применим формулу $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$, на этот раз для $\alpha = 36^\circ$:

$\frac{1}{2} (\sin 36^\circ \cos 36^\circ) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \sin(2 \cdot 36^\circ)\right) = \frac{1}{4} \sin 72^\circ$.

Мы получили, что левая часть равенства равна $\frac{1}{4} \sin 72^\circ$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Равенство верно.

б)

Требуется проверить равенство $\sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}$.

Преобразуем левую часть. Умножим и разделим выражение на $2 \cos 18^\circ$ (это возможно, так как $\cos 18^\circ \neq 0$):

$\sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ}$.

В числителе используем формулу синуса двойного угла $2 \sin\alpha \cos\alpha = \sin(2\alpha)$ для $\alpha = 18^\circ$:

$2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ = \sin(2 \cdot 18^\circ) = \sin 36^\circ$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ}$.

Снова применим формулу синуса двойного угла к числителю. Для этого умножим и разделим дробь на 2:

$\frac{2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2 \cdot 2 \cos 18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4 \cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4 \cos 18^\circ}$.

Теперь воспользуемся формулой приведения: $\sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ$.

Подставим это в последнее выражение:

$\frac{\cos 18^\circ}{4 \cos 18^\circ} = \frac{1}{4}$.

Мы получили, что левая часть равенства равна $\frac{1}{4}$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Равенство верно.

21.43 Решите уравнение:

а) $3 \sin 2x + \cos 2x = 1$;

б) $\cos 4x + 2 \sin 4x = 1$.

а) $3 \sin(2x) + \cos(2x) = 1$

Перенесем $\cos(2x)$ в правую часть уравнения: $3 \sin(2x) = 1 - \cos(2x)$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$ и формулой понижения степени для косинуса $1 - \cos(2\alpha) = 2 \sin^2(\alpha)$. В нашем уравнении аргумент двойного угла равен $2x$, значит, половинный угол будет $x$.

Применяя эти формулы, получаем: $3 \cdot (2 \sin(x) \cos(x)) = 2 \sin^2(x)$.

Перенесем все члены в левую часть и упростим: $6 \sin(x) \cos(x) - 2 \sin^2(x) = 0$.

Вынесем общий множитель $2 \sin(x)$ за скобки: $2 \sin(x) (3 \cos(x) - \sin(x)) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.

1) $2 \sin(x) = 0 \implies \sin(x) = 0$. Решениями этого уравнения являются: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $3 \cos(x) - \sin(x) = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Заметим, что $\cos(x) \neq 0$, так как если бы $\cos(x) = 0$, то из уравнения следовало бы, что $\sin(x) = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $\cos(x)$: $3 - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 0$. $3 - \tan(x) = 0 \implies \tan(x) = 3$. Решениями этого уравнения являются: $x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos(4x) + 2 \sin(4x) = 1$

Это уравнение схоже с предыдущим. Перепишем его в виде: $2 \sin(4x) = 1 - \cos(4x)$.

Снова используем формулы двойного угла. В данном случае аргумент двойного угла равен $4x$, поэтому половинный угол будет $2x$: $\sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x)$, $1 - \cos(4x) = 2 \sin^2(2x)$.

Подставим эти выражения в уравнение: $2 \cdot (2 \sin(2x) \cos(2x)) = 2 \sin^2(2x)$.

Упростим и перенесем все в левую часть: $4 \sin(2x) \cos(2x) - 2 \sin^2(2x) = 0$.

Вынесем общий множитель $2 \sin(2x)$ за скобки: $2 \sin(2x) (2 \cos(2x) - \sin(2x)) = 0$.

Это уравнение также распадается на два случая.

1) $2 \sin(2x) = 0 \implies \sin(2x) = 0$. $2x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2 \cos(2x) - \sin(2x) = 0$. Это однородное уравнение. Разделим обе части на $\cos(2x)$ (который не равен нулю по аналогии с пунктом а): $2 - \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 0$. $2 - \tan(2x) = 0 \implies \tan(2x) = 2$. $2x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. $x = \frac{\arctan(2)}{2} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\arctan(2)}{2} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

21.39 Вычислите:

а) $\cos \frac{\pi}{33} \cos \frac{2\pi}{33} \cos \frac{4\pi}{33} \cos \frac{8\pi}{33} \cos \frac{16\pi}{33}$

б) $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{5\pi}{7}$

а)

Обозначим данное выражение через $P$:

$P = \cos\frac{\pi}{33} \cos\frac{2\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33}$

Заметим, что аргументы косинусов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Для решения подобных задач удобно использовать формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2\sin\alpha}$.

Умножим и разделим выражение $P$ на $2^5 \sin\frac{\pi}{33} = 32\sin\frac{\pi}{33}$. Заметим, что $\sin\frac{\pi}{33} \ne 0$.

$P = \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \left( 32\sin\frac{\pi}{33} \cos\frac{\pi}{33} \cos\frac{2\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33} \right)$

Теперь последовательно применяем формулу синуса двойного угла:

$2\sin\frac{\pi}{33}\cos\frac{\pi}{33} = \sin\frac{2\pi}{33}$

$P = \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \left( 16 \cdot \left(2\sin\frac{\pi}{33}\cos\frac{\pi}{33}\right) \cos\frac{2\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33} \right)$

$P = \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \left( 16 \sin\frac{2\pi}{33} \cos\frac{2\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33} \right)$

Снова применяем формулу:

$2\sin\frac{2\pi}{33}\cos\frac{2\pi}{33} = \sin\frac{4\pi}{33}$

$P = \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \left( 8 \sin\frac{4\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33} \right)$

И так далее:

$P = \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \left( 4 \sin\frac{8\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33} \right)$

$P = \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \left( 2 \sin\frac{16\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33} \right)$

$P = \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \left( \sin\frac{32\pi}{33} \right)$

Теперь упростим получившееся выражение. Используем формулу приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$:

$\sin\frac{32\pi}{33} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{33}\right) = \sin\frac{\pi}{33}$

Подставим это в наше выражение для $P$:

$P = \frac{\sin\frac{\pi}{33}}{32\sin\frac{\pi}{33}}$

Сокращая на $\sin\frac{\pi}{33}$, получаем:

$P = \frac{1}{32}$

Ответ: $\frac{1}{32}$

б)

Обозначим данное выражение через $Q$:

$Q = \cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7} \cos\frac{5\pi}{7}$

Воспользуемся формулами приведения, в частности $\cos(\pi - x) = -\cos x$, чтобы упростить аргументы косинусов.

$\cos\frac{4\pi}{7} = \cos\left(\pi - \frac{3\pi}{7}\right) = -\cos\frac{3\pi}{7}$

$\cos\frac{5\pi}{7} = \cos\left(\pi - \frac{2\pi}{7}\right) = -\cos\frac{2\pi}{7}$

Подставим эти выражения в $Q$:

$Q = \cos\frac{\pi}{7} \cdot \left(-\cos\frac{3\pi}{7}\right) \cdot \left(-\cos\frac{2\pi}{7}\right) = \cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{3\pi}{7}$

Теперь вычислим значение полученного произведения. Обозначим его $R = \cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{3\pi}{7}$.

Умножим обе части на $8\sin\frac{\pi}{7}$ (так как $\sin\frac{\pi}{7} \ne 0$):

$8\sin\frac{\pi}{7} \cdot R = 8\sin\frac{\pi}{7} \cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{3\pi}{7}$

Применим формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$8\sin\frac{\pi}{7} \cdot R = 4 \cdot \left(2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\right) \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{3\pi}{7} = 4\sin\frac{2\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{3\pi}{7}$

Ещё раз применим ту же формулу:

$8\sin\frac{\pi}{7} \cdot R = 2 \cdot \left(2\sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\right) \cos\frac{3\pi}{7} = 2\sin\frac{4\pi}{7} \cos\frac{3\pi}{7}$

Теперь используем формулу преобразования произведения в сумму: $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.

Пусть $A = \frac{4\pi}{7}$ и $B = \frac{3\pi}{7}$.

$2\sin\frac{4\pi}{7} \cos\frac{3\pi}{7} = \sin\left(\frac{4\pi}{7} + \frac{3\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{4\pi}{7} - \frac{3\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{7}\right)$

$ = \sin(\pi) + \sin\frac{\pi}{7} = 0 + \sin\frac{\pi}{7} = \sin\frac{\pi}{7}$

Таким образом, мы получили равенство:

$8\sin\frac{\pi}{7} \cdot R = \sin\frac{\pi}{7}$

Разделив обе части на $\sin\frac{\pi}{7}$ (что возможно, так как $\sin\frac{\pi}{7} \ne 0$), находим $R$:

$8R = 1 \implies R = \frac{1}{8}$

Поскольку $Q=R$, то $Q=\frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

21.44 Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

a) $4\sin x + \sin 2x = 0, x \in [0; 2\pi];$

б) $\cos^2 \left(3x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2 \left(3x + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0, x \in \left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right].$

а) Дано уравнение $4\sin x + \sin 2x = 0$ на промежутке $x \in [0; 2\pi]$.
Для решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
Подставим ее в исходное уравнение:
$4\sin x + 2\sin x \cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:
$2\sin x (2 + \cos x) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $2\sin x = 0 \implies \sin x = 0$.
Общее решение: $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2 + \cos x = 0 \implies \cos x = -2$.
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$.
Следовательно, нам нужно выбрать корни из серии $x = k\pi$, которые принадлежат промежутку $[0; 2\pi]$.
- при $k=0$, $x = 0 \cdot \pi = 0$. Корень подходит.- при $k=1$, $x = 1 \cdot \pi = \pi$. Корень подходит.- при $k=2$, $x = 2 \cdot \pi = 2\pi$. Корень подходит.- при $k=3$, $x = 3\pi$, что больше $2\pi$.- при отрицательных $k$ корни будут меньше 0.
Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет три корня.

Ответ: $0, \pi, 2\pi$.

б) Дано уравнение $\cos^2(3x + \frac{\pi}{4}) - \sin^2(3x + \frac{\pi}{4}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$ на промежутке $x \in [\frac{3\pi}{4}; \pi]$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
В данном случае $\alpha = 3x + \frac{\pi}{4}$, следовательно, $2\alpha = 2(3x + \frac{\pi}{4}) = 6x + \frac{\pi}{2}$.
Уравнение принимает вид:
$\cos(6x + \frac{\pi}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$
$\cos(6x + \frac{\pi}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение для аргумента косинуса:
$6x + \frac{\pi}{2} = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$, получаем:
$6x + \frac{\pi}{2} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$
Рассмотрим две серии решений:
1) $6x + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$
$6x = \frac{5\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} + 2k\pi = \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$
$x = \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}$
2) $6x + \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi$
$6x = -\frac{5\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} + 2k\pi = -\frac{8\pi}{6} + 2k\pi = -\frac{4\pi}{3} + 2k\pi$
$x = -\frac{4\pi}{18} + \frac{k\pi}{3} = -\frac{2\pi}{9} + \frac{k\pi}{3}$
Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[\frac{3\pi}{4}; \pi]$.
Для первой серии $x = \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}$ решим неравенство:
$\frac{3\pi}{4} \le \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3} \le \pi \implies \frac{3}{4} \le \frac{1}{18} + \frac{k}{3} \le 1$
Умножим на 36: $27 \le 2 + 12k \le 36 \implies 25 \le 12k \le 34 \implies \frac{25}{12} \le k \le \frac{34}{12}$.
В этом интервале $2.08... \le k \le 2.83...$ нет целых значений $k$.
Для второй серии $x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{k\pi}{3}$ решим неравенство:
$\frac{3\pi}{4} \le -\frac{2\pi}{9} + \frac{k\pi}{3} \le \pi \implies \frac{3}{4} \le -\frac{2}{9} + \frac{k}{3} \le 1$
Умножим на 36: $27 \le -8 + 12k \le 36 \implies 35 \le 12k \le 44 \implies \frac{35}{12} \le k \le \frac{44}{12}$.
В этом интервале $2.91... \le k \le 3.66...$ есть одно целое значение: $k=3$.
Найдем корень при $k=3$:
$x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{3\pi}{3} = -\frac{2\pi}{9} + \pi = \frac{7\pi}{9}$.
Этот корень принадлежит заданному промежутку, так как $\frac{3\pi}{4} = \frac{27\pi}{36}$ и $\frac{7\pi}{9} = \frac{28\pi}{36}$, а $\pi = \frac{36\pi}{36}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{9}$.

21.40 Представив $3x$ в виде $x + 2x$, докажите тождество:

a) $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x;$

б) $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x.$

а) Для доказательства тождества $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ представим $3x$ в виде суммы $x + 2x$ и воспользуемся формулой синуса суммы:
$\sin(3x) = \sin(x + 2x) = \sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x$.
Теперь применим формулы двойного угла. Чтобы итоговое выражение зависело только от $\sin x$, используем $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
Подставляем эти формулы в наше выражение:
$\sin x (1 - 2\sin^2 x) + \cos x (2\sin x \cos x) = \sin x - 2\sin^3 x + 2\sin x \cos^2 x$.
Чтобы избавиться от $\cos^2 x$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$\sin x - 2\sin^3 x + 2\sin x (1 - \sin^2 x) = \sin x - 2\sin^3 x + 2\sin x - 2\sin^3 x$.
Приводим подобные слагаемые:
$(\sin x + 2\sin x) + (-2\sin^3 x - 2\sin^3 x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$.
Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к правой: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.
Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ также представим $3x$ как $x + 2x$ и воспользуемся формулой косинуса суммы:
$\cos(3x) = \cos(x + 2x) = \cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x$.
Применим формулы двойного угла. Чтобы итоговое выражение зависело только от $\cos x$, используем $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
Подставляем формулы в выражение:
$\cos x (2\cos^2 x - 1) - \sin x (2\sin x \cos x) = 2\cos^3 x - \cos x - 2\sin^2 x \cos x$.
Используем основное тригонометрическое тождество для замены $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:
$2\cos^3 x - \cos x - 2(1 - \cos^2 x)\cos x = 2\cos^3 x - \cos x - (2\cos x - 2\cos^3 x)$.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$2\cos^3 x - \cos x - 2\cos x + 2\cos^3 x = (2\cos^3 x + 2\cos^3 x) + (-\cos x - 2\cos x) = 4\cos^3 x - 3\cos x$.
Левая часть тождества преобразована к правой: $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$.
Ответ: Тождество доказано.