Страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

20.7 a) $\frac{\operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) + \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right)}{1 - \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right)}$

б) $\frac{\operatorname{tg} (45^{\circ} + \alpha) - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} (45^{\circ} + \alpha) \operatorname{tg} \alpha}$

а) Данное выражение представляет собой формулу тангенса суммы двух углов, которая имеет вид: $ \tg(x+y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y} $. В нашем случае $ x = \frac{\pi}{8} + \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{8} - \alpha $. Следовательно, мы можем свернуть выражение по этой формуле: $ \frac{\tg(\frac{\pi}{8} + \alpha) + \tg(\frac{\pi}{8} - \alpha)}{1 - \tg(\frac{\pi}{8} + \alpha) \tg(\frac{\pi}{8} - \alpha)} = \tg\left(\left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right)\right) $. Теперь упростим аргумент тангенса: $ \left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right) = \frac{\pi}{8} + \alpha + \frac{\pi}{8} - \alpha = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $. Таким образом, исходное выражение равно $ \tg(\frac{\pi}{4}) $, что равно 1.
Ответ: 1

б) Данное выражение представляет собой формулу тангенса разности двух углов, которая имеет вид: $ \tg(x-y) = \frac{\tg x - \tg y}{1 + \tg x \tg y} $. В нашем случае $ x = 45^\circ + \alpha $ и $ y = \alpha $. Следовательно, мы можем свернуть выражение по этой формуле: $ \frac{\tg(45^\circ + \alpha) - \tg \alpha}{1 + \tg(45^\circ + \alpha) \tg \alpha} = \tg((45^\circ + \alpha) - \alpha) $. Теперь упростим аргумент тангенса: $ (45^\circ + \alpha) - \alpha = 45^\circ + \alpha - \alpha = 45^\circ $. Таким образом, исходное выражение равно $ \tg(45^\circ) $, что равно 1.
Ответ: 1

20.12 a) Зная, что $tg \alpha = 3$ и $tg(\alpha + \beta) = 1$, найдите $tg \beta$.

б) Зная, что $tg \alpha = \frac{1}{4}$ и $tg(\alpha - \beta) = 2$, найдите $tg \beta$.

а) Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса суммы углов:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

Подставим известные значения $ \tg\alpha = 3 $ и $ \tg(\alpha + \beta) = 1 $ в формулу:

$ 1 = \frac{3 + \tg\beta}{1 - 3 \cdot \tg\beta} $

Чтобы найти $ \tg\beta $, введем замену $ x = \tg\beta $. Уравнение примет вид:

$ 1 = \frac{3 + x}{1 - 3x} $

Решим это уравнение относительно $x$. Для этого умножим обе части на знаменатель $ (1 - 3x) $, предполагая, что $ 1 - 3x \neq 0 $.

$ 1 \cdot (1 - 3x) = 3 + x $

$ 1 - 3x = 3 + x $

Теперь соберем все слагаемые с $x$ в левой части уравнения, а свободные члены — в правой:

$ -3x - x = 3 - 1 $

$ -4x = 2 $

Отсюда находим $x$:

$ x = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} $

Следовательно, $ \tg\beta = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

б) Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса разности углов:

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

Подставим известные значения $ \tg\alpha = \frac{1}{4} $ и $ \tg(\alpha - \beta) = 2 $ в формулу:

$ 2 = \frac{\frac{1}{4} - \tg\beta}{1 + \frac{1}{4} \cdot \tg\beta} $

Чтобы найти $ \tg\beta $, введем замену $ y = \tg\beta $. Уравнение примет вид:

$ 2 = \frac{\frac{1}{4} - y}{1 + \frac{y}{4}} $

Решим это уравнение относительно $y$. Умножим обе части на знаменатель $ (1 + \frac{y}{4}) $, предполагая, что он не равен нулю.

$ 2 \cdot (1 + \frac{y}{4}) = \frac{1}{4} - y $

$ 2 + \frac{2y}{4} = \frac{1}{4} - y $

$ 2 + \frac{y}{2} = \frac{1}{4} - y $

Теперь соберем все слагаемые с $y$ в левой части уравнения, а свободные члены — в правой:

$ \frac{y}{2} + y = \frac{1}{4} - 2 $

Приведем подобные слагаемые:

$ \frac{y}{2} + \frac{2y}{2} = \frac{1}{4} - \frac{8}{4} $

$ \frac{3y}{2} = -\frac{7}{4} $

Отсюда находим $y$:

$ y = -\frac{7}{4} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{14}{12} = -\frac{7}{6} $

Следовательно, $ \tg\beta = -\frac{7}{6} $.

Ответ: $ -\frac{7}{6} $

20.8 Докажите тождество:

а) $\frac{1 - \operatorname{tg} 2\alpha}{1 + \operatorname{tg} 2\alpha} = \operatorname{tg} (45^\circ - 2\alpha);$

б) $\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} (\alpha + \beta)} + \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} (\alpha - \beta)} = 2.$

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся известным значением тангенса: $ \tg 45^\circ = 1 $.

Подставим это значение в левую часть равенства:

$ \frac{1 - \tg 2\alpha}{1 + \tg 2\alpha} = \frac{\tg 45^\circ - \tg 2\alpha}{1 + 1 \cdot \tg 2\alpha} = \frac{\tg 45^\circ - \tg 2\alpha}{1 + \tg 45^\circ \cdot \tg 2\alpha} $

Полученное выражение представляет собой правую часть формулы тангенса разности двух углов:

$ \tg(x - y) = \frac{\tg x - \tg y}{1 + \tg x \tg y} $

Применив эту формулу для $ x = 45^\circ $ и $ y = 2\alpha $, получаем:

$ \frac{\tg 45^\circ - \tg 2\alpha}{1 + \tg 45^\circ \cdot \tg 2\alpha} = \tg(45^\circ - 2\alpha) $

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Вспомним формулы тангенса суммы и разности углов:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} $

Преобразуем каждое слагаемое в левой части исходного выражения по отдельности.

Первое слагаемое:

$ \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\tg(\alpha + \beta)} = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}} = (\tg \alpha + \tg \beta) \cdot \frac{1 - \tg \alpha \tg \beta}{\tg \alpha + \tg \beta} = 1 - \tg \alpha \tg \beta $

Второе слагаемое:

$ \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{\tg(\alpha - \beta)} = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{\frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}} = (\tg \alpha - \tg \beta) \cdot \frac{1 + \tg \alpha \tg \beta}{\tg \alpha - \tg \beta} = 1 + \tg \alpha \tg \beta $

Теперь сложим полученные результаты:

$ (1 - \tg \alpha \tg \beta) + (1 + \tg \alpha \tg \beta) = 1 - \tg \alpha \tg \beta + 1 + \tg \alpha \tg \beta = 2 $

Левая часть тождества равна 2, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

20.4 Известно, что $\text{tg}\ \alpha = \frac{1}{2}$, $\text{tg}\ \beta = \frac{1}{3}$. Найдите:

a) $\text{tg}(\alpha + \beta)$;

б) $\text{tg}(\alpha - \beta)$.

а) Для нахождения $tg(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}$

Подставим известные значения $tg \alpha = \frac{1}{2}$ и $tg \beta = \frac{1}{3}$ в эту формулу:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}$

Выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим значение числителя:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

Затем вычислим значение знаменателя:

$1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Теперь найдем отношение числителя к знаменателю:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$

Ответ: $1$

б) Для нахождения $tg(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha \cdot tg \beta}$

Подставим известные значения $tg \alpha = \frac{1}{2}$ и $tg \beta = \frac{1}{3}$ в эту формулу:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}$

Выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим значение числителя:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

Затем вычислим значение знаменателя:

$1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$

Теперь найдем отношение числителя к знаменателю:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{6}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

20.9 Решите уравнение:

а) $\frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 3x}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} 3x} = 1;$

б) $\frac{\operatorname{tg} 5x - \operatorname{tg} 3x}{1 + \operatorname{tg} 3x \operatorname{tg} 5x} = \sqrt{3}.$

а) Исходное уравнение: $\frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 3x}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} 3x} = 1$.

Левая часть уравнения является формулой тангенса суммы двух углов: $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta}$.

Применив эту формулу для $\alpha=x$ и $\beta=3x$, получаем:

$\operatorname{tg}(x + 3x) = \operatorname{tg}(4x)$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению:

$\operatorname{tg}(4x) = 1$.

Решение этого уравнения имеет вид:

$4x = \arctan(1) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.

$4x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения определяется условиями существования тангенсов: $\cos x \neq 0$ и $\cos 3x \neq 0$. Также знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} 3x \neq 0$, что эквивалентно $\operatorname{tg}(4x)$ должен быть определен, то есть $\cos(4x) \neq 0$. Наше решение $\operatorname{tg}(4x)=1$ это условие удовлетворяет.

Проверим, что найденные значения $x$ удовлетворяют условиям $\cos x \neq 0$ и $\cos 3x \neq 0$. Можно показать, что равенства $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$ не имеют решений в целых числах $n, k$. Следовательно, все найденные корни входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\frac{\operatorname{tg} 5x - \operatorname{tg} 3x}{1 + \operatorname{tg} 3x \operatorname{tg} 5x} = \sqrt{3}$.

Левая часть уравнения является формулой тангенса разности двух углов: $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta}$.

Применив эту формулу для $\alpha=5x$ и $\beta=3x$, получаем:

$\operatorname{tg}(5x - 3x) = \operatorname{tg}(2x)$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к уравнению:

$\operatorname{tg}(2x) = \sqrt{3}$.

Решение этого уравнения имеет вид:

$2x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{3} + \pi k$.

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения определяется условиями: $\cos 5x \neq 0$ и $\cos 3x \neq 0$.

Проверим найденное решение на соответствие ОДЗ.
1. Условие $\cos 5x \neq 0$ означает $5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$. Можно убедиться, что равенство $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$ не имеет решений в целых числах.
2. Условие $\cos 3x \neq 0$ означает $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$.

Найдем, при каких целых $k$ наше решение $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$ совпадает с недопустимыми значениями $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$:

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$

$\frac{k}{2} = \frac{m}{3} \implies 3k = 2m$.

Это равенство возможно только в том случае, если $k$ является четным числом (так как правая часть $2m$ четная, то и левая $3k$ должна быть четной, что возможно только при четном $k$).
Следовательно, из серии решений $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$ необходимо исключить те, для которых $k$ — четное число. Это означает, что $k$ должно быть нечетным.

Представим нечетное число $k$ в виде $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$. Подставим это в наше решение:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi (2n+1)}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi n + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 3\pi}{6} + \pi n = \frac{4\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

20.5 Известно, что $tg \alpha = \frac{2}{5}$, $tg \left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = -3$. Вычислите:

а) $tg(\alpha + \beta)$;

б) $tg(\alpha - \beta)$.

Для решения задачи сначала найдем значение $ \text{tg} \, \beta $.Нам дано, что $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = -3 $.
Используем тригонометрическую формулу приведения: $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\text{ctg} \, x $.
Применив эту формулу, получаем: $ -\text{ctg} \, \beta = -3 $, откуда следует, что $ \text{ctg} \, \beta = 3 $.
Так как тангенс и котангенс являются взаимно обратными функциями ($ \text{tg} \, \beta = \frac{1}{\text{ctg} \, \beta} $), находим:
$ \text{tg} \, \beta = \frac{1}{3} $.
Теперь у нас есть значения тангенсов для обоих углов: $ \text{tg} \, \alpha = \frac{2}{5} $ и $ \text{tg} \, \beta = \frac{1}{3} $.

а) Вычислим $ \text{tg}(\alpha + \beta) $.
Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:
$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \, \alpha + \text{tg} \, \beta}{1 - \text{tg} \, \alpha \cdot \text{tg} \, \beta} $
Подставим известные значения в формулу:
$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{2}{5} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 5}{15}}{1 - \frac{2}{15}} = \frac{\frac{6+5}{15}}{\frac{15-2}{15}} = \frac{\frac{11}{15}}{\frac{13}{15}} = \frac{11}{15} \cdot \frac{15}{13} = \frac{11}{13} $
Ответ: $ \frac{11}{13} $.

б) Вычислим $ \text{tg}(\alpha - \beta) $.
Воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:
$ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg} \, \alpha - \text{tg} \, \beta}{1 + \text{tg} \, \alpha \cdot \text{tg} \, \beta} $
Подставим известные значения в формулу:
$ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{2}{5} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 5}{15}}{1 + \frac{2}{15}} = \frac{\frac{6-5}{15}}{\frac{15+2}{15}} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{17}{15}} = \frac{1}{15} \cdot \frac{15}{17} = \frac{1}{17} $
Ответ: $ \frac{1}{17} $.

20.10 Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi; 2\pi]$:

а) $\frac{\sqrt{3} - \text{tg } x}{1 + \sqrt{3} \text{ tg } x} = 1;$

б) $\frac{\text{tg } \frac{\pi}{5} - \text{tg } 2x}{\text{tg } \frac{\pi}{5} \text{ tg } 2x + 1} = \sqrt{3}.$

а)

Исходное уравнение:

$$ \frac{\sqrt{3} - \tg x}{1 + \sqrt{3} \tg x} = 1 $$

Заметим, что $\sqrt{3} = \tg(\frac{\pi}{3})$. Подставим это в уравнение:

$$ \frac{\tg \frac{\pi}{3} - \tg x}{1 + \tg \frac{\pi}{3} \tg x} = 1 $$

Левая часть уравнения представляет собой формулу тангенса разности:

$$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} $$

Применяя эту формулу, где $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x$, получаем:

$$ \tg\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = 1 $$

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения определяется условиями, при которых существуют тангенсы и знаменатель не равен нулю:
1. $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. $1 + \sqrt{3} \tg x \neq 0 \implies \tg x \neq -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x \neq -\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Решим уравнение $\tg(\frac{\pi}{3} - x) = 1$:

$$ \frac{\pi}{3} - x = \arctan(1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

$$ \frac{\pi}{3} - x = \frac{\pi}{4} + \pi k $$

$$ -x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k $$

$$ -x = \frac{3\pi - 4\pi}{12} + \pi k $$

$$ -x = -\frac{\pi}{12} + \pi k $$

$$ x = \frac{\pi}{12} - \pi k $$

Так как $k$ — любое целое число, можно заменить $-k$ на $k'$, где $k'$ также любое целое число. Для удобства оставим запись с $k$:

$$ x = \frac{\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Эта серия корней не совпадает с ограничениями ОДЗ.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi, 2\pi]$. Для этого решим двойное неравенство:

$$ -\pi \le \frac{\pi}{12} + \pi k \le 2\pi $$

Разделим все части на $\pi$:

$$ -1 \le \frac{1}{12} + k \le 2 $$

Вычтем $\frac{1}{12}$ из всех частей:

$$ -1 - \frac{1}{12} \le k \le 2 - \frac{1}{12} $$

$$ -\frac{13}{12} \le k \le \frac{23}{12} $$

$$ -1.08(3) \le k \le 1.91(6) $$

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k = -1, 0, 1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $k=-1$: $x = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12}$.
• При $k=0$: $x = \frac{\pi}{12}$.
• При $k=1$: $x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12}$.

Ответ: $-\frac{11\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}$.

б)

Исходное уравнение:

$$ \frac{\tg \frac{\pi}{5} - \tg 2x}{1 + \tg \frac{\pi}{5} \tg 2x} = \sqrt{3} $$

Левая часть уравнения представляет собой формулу тангенса разности $\tg(\alpha - \beta)$, где $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = 2x$.

$$ \tg\left(\frac{\pi}{5} - 2x\right) = \sqrt{3} $$

ОДЗ:
1. $\cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
2. $1 + \tg \frac{\pi}{5} \tg 2x \neq 0 \implies \tg 2x \neq -\cot \frac{\pi}{5} \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{5} + \pi m = \frac{7\pi}{10} + \pi m \implies x \neq \frac{7\pi}{20} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Решим уравнение $\tg(\frac{\pi}{5} - 2x) = \sqrt{3}$:

$$ \frac{\pi}{5} - 2x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

$$ \frac{\pi}{5} - 2x = \frac{\pi}{3} + \pi k $$

$$ -2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + \pi k $$

$$ -2x = \frac{5\pi - 3\pi}{15} + \pi k $$

$$ -2x = \frac{2\pi}{15} + \pi k $$

$$ x = -\frac{\pi}{15} - \frac{\pi k}{2} $$

Заменим $-k$ на $k'$:

$$ x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi k'}{2}, \quad k' \in \mathbb{Z} $$

Эта серия корней не совпадает с ограничениями ОДЗ.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi, 2\pi]$. Решим двойное неравенство:

$$ -\pi \le -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi k}{2} \le 2\pi $$

Разделим все части на $\pi$:

$$ -1 \le -\frac{1}{15} + \frac{k}{2} \le 2 $$

Прибавим $\frac{1}{15}$ ко всем частям:

$$ -1 + \frac{1}{15} \le \frac{k}{2} \le 2 + \frac{1}{15} $$

$$ -\frac{14}{15} \le \frac{k}{2} \le \frac{31}{15} $$

Умножим все части на 2:

$$ -\frac{28}{15} \le k \le \frac{62}{15} $$

$$ -1.8(6) \le k \le 4.1(3) $$

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k = -1, 0, 1, 2, 3, 4$.

Найдем соответствующие значения $x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi k}{2}$:

• При $k=-1$: $x = -\frac{\pi}{15} - \frac{\pi}{2} = \frac{-2\pi - 15\pi}{30} = -\frac{17\pi}{30}$.
• При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{15}$.
• При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{2} = \frac{-2\pi + 15\pi}{30} = \frac{13\pi}{30}$.
• При $k=2$: $x = -\frac{\pi}{15} + \pi = \frac{14\pi}{15}$.
• При $k=3$: $x = -\frac{\pi}{15} + \frac{3\pi}{2} = \frac{-2\pi + 45\pi}{30} = \frac{43\pi}{30}$.
• При $k=4$: $x = -\frac{\pi}{15} + 2\pi = \frac{- \pi + 30\pi}{15} = \frac{29\pi}{15}$.

Ответ: $-\frac{17\pi}{30}, -\frac{\pi}{15}, \frac{13\pi}{30}, \frac{14\pi}{15}, \frac{43\pi}{30}, \frac{29\pi}{15}$.

Упростите выражение:

20.6 а) $\frac{\text{tg } 2,22 + \text{tg } 0,92}{1 - \text{tg } 2,22 \text{tg } 0,92}$;

б) $\frac{\text{tg } 1,47 - \text{tg } 0,69}{1 + \text{tg } 1,47 \text{tg } 0,69}$.

a) Исходное выражение представляет собой дробь:

$$ \frac{\text{tg } 2,22 + \text{tg } 0,92}{1 - \text{tg } 2,22 \text{ tg } 0,92} $$

Это выражение соответствует тригонометрической формуле тангенса суммы двух углов:

$$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta} $$

В данном случае, мы можем принять $\alpha = 2,22$ и $\beta = 0,92$. Применив формулу, получаем:

$$ \frac{\text{tg } 2,22 + \text{tg } 0,92}{1 - \text{tg } 2,22 \text{ tg } 0,92} = \text{tg}(2,22 + 0,92) $$

Выполним сложение в аргументе тангенса:

$$ 2,22 + 0,92 = 3,14 $$

Таким образом, выражение упрощается до $\text{tg}(3,14)$.

Число $3,14$ является общепринятым приближением для числа $\pi$. В контексте подобных задач предполагается, что мы должны использовать это значение.

Вычислим тангенс от $\pi$:

$$ \text{tg}(\pi) = 0 $$

Ответ: $0$

б) Исходное выражение представляет собой дробь:

$$ \frac{\text{tg } 1,47 - \text{tg } 0,69}{1 + \text{tg } 1,47 \text{ tg } 0,69} $$

Это выражение соответствует тригонометрической формуле тангенса разности двух углов:

$$ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta}{1 + \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta} $$

Здесь мы можем принять $\alpha = 1,47$ и $\beta = 0,69$. Применив формулу, получаем:

$$ \frac{\text{tg } 1,47 - \text{tg } 0,69}{1 + \text{tg } 1,47 \text{ tg } 0,69} = \text{tg}(1,47 - 0,69) $$

Выполним вычитание в аргументе тангенса:

$$ 1,47 - 0,69 = 0,78 $$

Таким образом, выражение упрощается до $\text{tg}(0,78)$.

Число $0,78$ является приближенным значением для $\frac{\pi}{4}$ (так как $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3,14159}{4} \approx 0,7854$). По аналогии с пунктом а), будем считать, что $0,78$ представляет собой угол $\frac{\pi}{4}$ в радианах.

Вычислим тангенс от $\frac{\pi}{4}$:

$$ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $$

Ответ: $1$

20.11 a) Найдите $tg \alpha$, если $tg \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = 3.$

б) Найдите $ctg \alpha$, если $tg \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = 0,2.$

а) Для решения данной задачи воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$ \text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg}x - \text{tg}y}{1 + \text{tg}x \cdot \text{tg}y} $

В нашем случае $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{4} $. Из условия известно, что $ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = 3 $. Также мы знаем, что $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $.

Подставим эти значения в формулу:

$ 3 = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}} $

$ 3 = \frac{\text{tg}\alpha - 1}{1 + \text{tg}\alpha \cdot 1} $

Для удобства введем замену: пусть $ t = \text{tg}\alpha $. Тогда уравнение примет вид:

$ 3 = \frac{t - 1}{1 + t} $

Решим это уравнение относительно $ t $:

$ 3(1 + t) = t - 1 $

$ 3 + 3t = t - 1 $

$ 3t - t = -1 - 3 $

$ 2t = -4 $

$ t = -2 $

Следовательно, $ \text{tg}\alpha = -2 $.

Ответ: $ -2 $.

б) Для решения этой задачи используем формулу тангенса суммы двух углов:

$ \text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg}x + \text{tg}y}{1 - \text{tg}x \cdot \text{tg}y} $

В данном случае $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{4} $. По условию $ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 0,2 $. Значение $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $.

Подставляем известные значения в формулу:

$ 0,2 = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}} $

$ 0,2 = \frac{\text{tg}\alpha + 1}{1 - \text{tg}\alpha \cdot 1} $

Пусть $ t = \text{tg}\alpha $. Уравнение будет выглядеть так:

$ 0,2 = \frac{t + 1}{1 - t} $

Решим это уравнение относительно $ t $:

$ 0,2(1 - t) = t + 1 $

$ 0,2 - 0,2t = t + 1 $

$ -0,2t - t = 1 - 0,2 $

$ -1,2t = 0,8 $

$ t = -\frac{0,8}{1,2} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3} $

Мы нашли, что $ \text{tg}\alpha = -\frac{2}{3} $. В задаче требуется найти $ \text{ctg}\alpha $. Воспользуемся тождеством $ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} $:

$ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{-\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2} = -1,5 $

Ответ: $ -1,5 $.