Страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

33.8 a) $\sqrt[7]{-128}$;

б) $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}};

в) $\sqrt[3]{-64};

г) $\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}.$

а) Требуется найти значение выражения $\sqrt[7]{-128}$. По определению корня нечетной степени, $\sqrt[7]{-128}$ — это число, которое при возведении в седьмую степень равно $-128$. Поскольку показатель корня 7 нечетный, а подкоренное выражение $-128$ отрицательное, результат будет отрицательным числом. Нам нужно найти такое число, седьмая степень которого равна $-128$. Известно, что $2^7 = 128$. Тогда $(-2)^7 = -128$. Следовательно, $\sqrt[7]{-128} = -2$.

Ответ: $-2$

б) Требуется найти значение выражения $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$. По определению корня нечетной степени, $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$ — это число, которое в кубе дает $-\frac{1}{8}$. Так как показатель корня 3 нечетный, мы можем вынести знак минус из-под знака корня: $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$. Используя свойство корня из дроби, получаем: $-\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$. Поскольку $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, имеем $\sqrt[3]{1}=1$ и $\sqrt[3]{8}=2$. Таким образом, результат равен $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) Требуется найти значение выражения $\sqrt[3]{-64}$. Мы ищем число, куб которого равен $-64$. Так как показатель корня 3 нечетный, результат будет отрицательным. Найдем число, куб которого равен 64. Это число 4, поскольку $4^3 = 64$. Следовательно, искомое число равно $-4$, так как $(-4)^3 = -64$. Таким образом, $\sqrt[3]{-64} = -4$.

Ответ: $-4$

г) Требуется найти значение выражения $\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}$. Мы ищем число, которое при возведении в пятую степень дает $-\frac{1}{32}$. Показатель корня 5 нечетный, поэтому знак минус можно вынести из-под знака корня: $\sqrt[5]{-\frac{1}{32}} = -\sqrt[5]{\frac{1}{32}}$. Далее, по свойству корня из дроби: $-\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}}$. Так как $1^5 = 1$ и $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{1}=1$ и $\sqrt[5]{32}=2$. В итоге получаем $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

33.12 a) $x^4 = 17$;

б) $x^4 = -16$;

В) $x^6 = 11$;

Г) $x^8 = -3$.

а) $x^4 = 17$

Это уравнение вида $x^n = a$, где показатель степени $n=4$ — четное число, а правая часть $a=17$ — положительное число. В этом случае уравнение имеет два действительных корня, которые равны корню n-ой степени из $a$, взятому со знаками плюс и минус. Таким образом, $x = \pm\sqrt[4]{17}$.

Ответ: $x = \pm\sqrt[4]{17}$.

б) $x^4 = -16$

В левой части уравнения стоит переменная в четной степени ($x^4$). Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным, то есть $x^4 \ge 0$. В правой части стоит отрицательное число (-16). Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

в) $x^6 = 11$

Данное уравнение имеет вид $x^n = a$, где $n=6$ — четное число, а $a=11$ — положительное число. Уравнение такого типа имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt[n]{a}$. Следовательно, решениями являются $x = \pm\sqrt[6]{11}$.

Ответ: $x = \pm\sqrt[6]{11}$.

г) $x^8 = -3$

В левой части уравнения стоит переменная в четной степени ($x^8$), результат возведения в которую всегда неотрицателен ($x^8 \ge 0$). В правой части стоит отрицательное число (-3). Равенство между неотрицательным и отрицательным числом невозможно, поэтому уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: корней нет.

33.16 Расположите числа в порядке возрастания:

а) $2$, $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{17}$;

б) $\sqrt[3]{75}$, $4$, $\sqrt[5]{100}$;

в) $3$, $\sqrt[5]{40}$, $\sqrt[3]{7}$;

г) $2$, $\sqrt[6]{60}$, $\sqrt[4]{20}$.

а) Чтобы сравнить числа $2$, $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt[4]{17}$, приведем их к одному показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей корней (у числа 2 показатель степени 1, у $\sqrt[3]{5}$ - 3, у $\sqrt[4]{17}$ - 4) равно 12.

Представим каждое число в виде корня 12-й степени:

$2 = \sqrt[12]{2^{12}} = \sqrt[12]{4096}$

$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[12]{625}$

$\sqrt[4]{17} = \sqrt[4 \cdot 3]{17^3} = \sqrt[12]{17 \cdot 17^2} = \sqrt[12]{17 \cdot 289} = \sqrt[12]{4913}$

Теперь сравним подкоренные выражения: $625 < 4096 < 4913$.

Следовательно, $\sqrt[12]{625} < \sqrt[12]{4096} < \sqrt[12]{4913}$, что соответствует неравенству $\sqrt[3]{5} < 2 < \sqrt[4]{17}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5}, 2, \sqrt[4]{17}$.

б) Для сравнения чисел $\sqrt[3]{75}$, $4$ и $\sqrt[5]{100}$ удобно возвести их в такую степень, чтобы избавиться от корней. Будем сравнивать числа попарно.

Сравним $4$ и $\sqrt[3]{75}$. Возведем оба числа в 3-ю степень:

$4^3 = 64$

$(\sqrt[3]{75})^3 = 75$

Так как $64 < 75$, то $4 < \sqrt[3]{75}$.

Сравним $4$ и $\sqrt[5]{100}$. Возведем оба числа в 5-ю степень:

$4^5 = 1024$

$(\sqrt[5]{100})^5 = 100$

Так как $100 < 1024$, то $\sqrt[5]{100} < 4$.

Объединив полученные неравенства, получаем: $\sqrt[5]{100} < 4 < \sqrt[3]{75}$.

Ответ: $\sqrt[5]{100}, 4, \sqrt[3]{75}$.

в) Сравним числа $3$, $\sqrt[5]{40}$ и $\sqrt[3]{7}$. Приведем их к одному показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей (1, 5, 3) равно 15.

Представим каждое число в виде корня 15-й степени:

$3 = \sqrt[15]{3^{15}} = \sqrt[15]{14348907}$

$\sqrt[5]{40} = \sqrt[5 \cdot 3]{40^3} = \sqrt[15]{64000}$

$\sqrt[3]{7} = \sqrt[3 \cdot 5]{7^5} = \sqrt[15]{16807}$

Сравним подкоренные выражения: $16807 < 64000 < 14348907$.

Следовательно, $\sqrt[15]{16807} < \sqrt[15]{64000} < \sqrt[15]{14348907}$, что соответствует неравенству $\sqrt[3]{7} < \sqrt[5]{40} < 3$.

Ответ: $\sqrt[3]{7}, \sqrt[5]{40}, 3$.

г) Чтобы сравнить числа $2$, $\sqrt[6]{60}$ и $\sqrt[4]{20}$, приведем их к одному показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей (1, 6, 4) равно 12.

Представим каждое число в виде корня 12-й степени:

$2 = \sqrt[12]{2^{12}} = \sqrt[12]{4096}$

$\sqrt[6]{60} = \sqrt[6 \cdot 2]{60^2} = \sqrt[12]{3600}$

$\sqrt[4]{20} = \sqrt[4 \cdot 3]{20^3} = \sqrt[12]{8000}$

Сравнивая подкоренные выражения, получаем: $3600 < 4096 < 8000$.

Таким образом, $\sqrt[12]{3600} < \sqrt[12]{4096} < \sqrt[12]{8000}$, из чего следует $\sqrt[6]{60} < 2 < \sqrt[4]{20}$.

Ответ: $\sqrt[6]{60}, 2, \sqrt[4]{20}$.

33.9 a) $\sqrt[5]{32} + \sqrt[3]{-8}$;

б) $\sqrt[4]{625} - \sqrt[3]{-125}$;

В) $3\sqrt[4]{16} - 4\sqrt[3]{27}$;

Г) $12 - 6\sqrt[3]{0.125}$.

а) Вычислим значение выражения $\sqrt[5]{32} + \sqrt[3]{-8}$.

Для начала найдем значение каждого корня по отдельности.

Корень пятой степени из 32, обозначаемый как $\sqrt[5]{32}$, это число, которое при возведении в пятую степень дает 32. Мы знаем, что $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$. Следовательно, $\sqrt[5]{32} = 2$.

Корень третьей степени из -8, или $\sqrt[3]{-8}$, это число, которое при возведении в третью степень дает -8. Мы знаем, что $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$. Следовательно, $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Теперь сложим полученные значения: $\sqrt[5]{32} + \sqrt[3]{-8} = 2 + (-2) = 2 - 2 = 0$.

Ответ: 0

б) Вычислим значение выражения $\sqrt[4]{625} - \sqrt[3]{-125}$.

Найдем значение каждого корня по отдельности.

Корень четвертой степени из 625, или $\sqrt[4]{625}$, это число, которое при возведении в четвертую степень дает 625. Мы знаем, что $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$. Следовательно, $\sqrt[4]{625} = 5$.

Корень третьей степени из -125, или $\sqrt[3]{-125}$, это число, которое при возведении в третью степень дает -125. Мы знаем, что $(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$. Следовательно, $\sqrt[3]{-125} = -5$.

Теперь выполним вычитание: $\sqrt[4]{625} - \sqrt[3]{-125} = 5 - (-5) = 5 + 5 = 10$.

Ответ: 10

в) Вычислим значение выражения $3\sqrt[4]{16} - 4\sqrt[3]{27}$.

Разобьем выражение на две части и вычислим каждую.

Первая часть: $3\sqrt[4]{16}$. Корень четвертой степени из 16 равен 2, так как $2^4 = 16$. Тогда $3\sqrt[4]{16} = 3 \cdot 2 = 6$.

Вторая часть: $4\sqrt[3]{27}$. Корень третьей степени из 27 равен 3, так как $3^3 = 27$. Тогда $4\sqrt[3]{27} = 4 \cdot 3 = 12$.

Теперь вычтем второе значение из первого: $6 - 12 = -6$.

Ответ: -6

г) Вычислим значение выражения $12 - 6\sqrt[3]{0,125}$.

Сначала вычислим значение выражения $6\sqrt[3]{0,125}$.

Корень третьей степени из 0,125, или $\sqrt[3]{0,125}$, это число, которое при возведении в третью степень дает 0,125. Можно представить 0,125 в виде дроби: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Тогда $\sqrt[3]{0,125} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} = 0,5$. Также можно заметить, что $0,5^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125$.

Теперь умножим полученный корень на 6: $6\sqrt[3]{0,125} = 6 \cdot 0,5 = 3$.

Наконец, выполним вычитание: $12 - 3 = 9$.

Ответ: 9

33.13 a) $0.02x^6 - 1.28 = 0;$

В) $0.3x^9 - 2.4 = 0;$

б) $-\frac{3}{4}x^8 + 18\frac{3}{4} = 0;$

Г) $\frac{1}{8}x^4 - 2 = 0.$

а) $0,02x^6 - 1,28 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$0,02x^6 = 1,28$

Разделим обе части уравнения на 0,02:

$x^6 = \frac{1,28}{0,02}$

$x^6 = \frac{128}{2}$

$x^6 = 64$

Извлечем корень шестой степени из обеих частей уравнения. Так как степень четная (6), уравнение будет иметь два действительных корня:

$x = \pm\sqrt[6]{64}$

Поскольку $2^6 = 64$, получаем:

$x = \pm2$

Ответ: $x = -2; 2$

б) $-\frac{3}{4}x^8 + 18\frac{3}{4} = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$-\frac{3}{4}x^8 = -18\frac{3}{4}$

Умножим обе части уравнения на -1:

$\frac{3}{4}x^8 = 18\frac{3}{4}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$18\frac{3}{4} = \frac{18 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{72 + 3}{4} = \frac{75}{4}$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{3}{4}x^8 = \frac{75}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:

$3x^8 = 75$

Разделим обе части на 3:

$x^8 = 25$

Извлечем корень восьмой степени из обеих частей. Так как степень четная (8), будет два действительных корня:

$x = \pm\sqrt[8]{25}$

Упростим корень, зная, что $25 = 5^2$:

$x = \pm\sqrt[8]{5^2} = \pm 5^{\frac{2}{8}} = \pm 5^{\frac{1}{4}} = \pm\sqrt[4]{5}$

Ответ: $x = -\sqrt[4]{5}; \sqrt[4]{5}$

в) $0,3x^9 - 2,4 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$0,3x^9 = 2,4$

Разделим обе части уравнения на 0,3:

$x^9 = \frac{2,4}{0,3}$

$x^9 = \frac{24}{3}$

$x^9 = 8$

Извлечем корень девятой степени из обеих частей. Так как степень нечетная (9), будет один действительный корень:

$x = \sqrt[9]{8}$

Упростим корень, зная, что $8 = 2^3$:

$x = \sqrt[9]{2^3} = 2^{\frac{3}{9}} = 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$

Ответ: $x = \sqrt[3]{2}$

г) $\frac{1}{8}x^4 - 2 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$\frac{1}{8}x^4 = 2$

Умножим обе части уравнения на 8:

$x^4 = 16$

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей. Так как степень четная (4), будет два действительных корня:

$x = \pm\sqrt[4]{16}$

Поскольку $2^4 = 16$, получаем:

$x = \pm2$

Ответ: $x = -2; 2$

33.6 а) $\sqrt[3]{0,125}$;

б) $\sqrt[4]{0,0625}$;

в) $\sqrt[4]{0,0081}$;

г) $\sqrt[3]{0,027}$.

а)

Для вычисления корня $\sqrt[3]{0,125}$ необходимо найти число, которое при возведении в третью степень даст $0,125$. Проще всего это сделать, представив десятичную дробь в виде обыкновенной.

$0,125 = \frac{125}{1000}$

Теперь извлечем кубический корень из дроби, используя свойство корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[3]{0,125} = \sqrt[3]{\frac{125}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{1000}}$

Так как $5^3 = 125$ и $10^3 = 1000$, то $\sqrt[3]{125} = 5$ и $\sqrt[3]{1000} = 10$.

Следовательно:

$\frac{5}{10} = 0,5$

Проверка: $0,5^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125$.

Ответ: $0,5$.

б)

Для вычисления корня $\sqrt[4]{0,0625}$ найдем число, которое при возведении в четвертую степень даст $0,0625$. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной.

$0,0625 = \frac{625}{10000}$

Извлечем корень четвертой степени из дроби:

$\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{\frac{625}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{10000}}$

Так как $5^4 = 625$ и $10^4 = 10000$, то $\sqrt[4]{625} = 5$ и $\sqrt[4]{10000} = 10$.

Следовательно:

$\frac{5}{10} = 0,5$

Проверка: $0,5^4 = (0,5^2)^2 = 0,25^2 = 0,0625$.

Ответ: $0,5$.

в)

Для вычисления корня $\sqrt[4]{0,0081}$ найдем число, которое при возведении в четвертую степень даст $0,0081$. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной.

$0,0081 = \frac{81}{10000}$

Извлечем корень четвертой степени из дроби:

$\sqrt[4]{0,0081} = \sqrt[4]{\frac{81}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{10000}}$

Так как $3^4 = 81$ и $10^4 = 10000$, то $\sqrt[4]{81} = 3$ и $\sqrt[4]{10000} = 10$.

Следовательно:

$\frac{3}{10} = 0,3$

Проверка: $0,3^4 = (0,3^2)^2 = 0,09^2 = 0,0081$.

Ответ: $0,3$.

г)

Для вычисления корня $\sqrt[3]{0,027}$ найдем число, которое при возведении в третью степень даст $0,027$. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной.

$0,027 = \frac{27}{1000}$

Извлечем кубический корень из дроби:

$\sqrt[3]{0,027} = \sqrt[3]{\frac{27}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}}$

Так как $3^3 = 27$ и $10^3 = 1000$, то $\sqrt[3]{27} = 3$ и $\sqrt[3]{1000} = 10$.

Следовательно:

$\frac{3}{10} = 0,3$

Проверка: $0,3^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \cdot 0,3 = 0,027$.

Ответ: $0,3$.

33.10 Найдите отрезок $[n; n+1]$, где $n \in N$, которому принадлежит заданное число:

а) $\sqrt{5}$;

б) $\sqrt[3]{19}$;

в) $\sqrt[4]{52}$;

г) $\sqrt[3]{63}$.

Чтобы найти отрезок $[n; n+1]$, где $n \in N$, которому принадлежит данное число, нужно найти такое натуральное число $n$, что выполняется двойное неравенство $n \le \text{число} < n+1$. Это равносильно нахождению целой части данного числа.

а) Для числа $\sqrt{5}$ ищем натуральное число $n$, такое что $n \le \sqrt{5} < n+1$.
Возведем это неравенство в квадрат (так как все части положительны, знак неравенства сохраняется): $n^2 \le 5 < (n+1)^2$.
Будем подбирать значения $n$ и вычислять их квадраты:
$1^2 = 1$
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
Мы видим, что $4 < 5 < 9$, то есть $2^2 < 5 < 3^2$.
Извлекая квадратный корень, получаем $2 < \sqrt{5} < 3$.
Это означает, что число $\sqrt{5}$ находится между 2 и 3. Следовательно, $n=2$. Искомый отрезок: $[2; 3]$.
Ответ: $[2; 3]$.

б) Для числа $\sqrt[3]{19}$ ищем натуральное число $n$, такое что $n \le \sqrt[3]{19} < n+1$.
Возведем это неравенство в куб: $n^3 \le 19 < (n+1)^3$.
Будем подбирать значения $n$ и вычислять их кубы:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
Мы видим, что $8 < 19 < 27$, то есть $2^3 < 19 < 3^3$.
Извлекая кубический корень, получаем $2 < \sqrt[3]{19} < 3$.
Это означает, что число $\sqrt[3]{19}$ находится между 2 и 3. Следовательно, $n=2$. Искомый отрезок: $[2; 3]$.
Ответ: $[2; 3]$.

в) Для числа $\sqrt[4]{52}$ ищем натуральное число $n$, такое что $n \le \sqrt[4]{52} < n+1$.
Возведем это неравенство в четвертую степень: $n^4 \le 52 < (n+1)^4$.
Будем подбирать значения $n$ и вычислять их четвертые степени:
$1^4 = 1$
$2^4 = 16$
$3^4 = 81$
Мы видим, что $16 < 52 < 81$, то есть $2^4 < 52 < 3^4$.
Извлекая корень четвертой степени, получаем $2 < \sqrt[4]{52} < 3$.
Это означает, что число $\sqrt[4]{52}$ находится между 2 и 3. Следовательно, $n=2$. Искомый отрезок: $[2; 3]$.
Ответ: $[2; 3]$.

г) Для числа $\sqrt[3]{63}$ ищем натуральное число $n$, такое что $n \le \sqrt[3]{63} < n+1$.
Возведем это неравенство в куб: $n^3 \le 63 < (n+1)^3$.
Будем подбирать значения $n$ и вычислять их кубы:
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
$4^3 = 64$
Мы видим, что $27 < 63 < 64$, то есть $3^3 < 63 < 4^3$.
Извлекая кубический корень, получаем $3 < \sqrt[3]{63} < 4$.
Это означает, что число $\sqrt[3]{63}$ находится между 3 и 4. Следовательно, $n=3$. Искомый отрезок: $[3; 4]$.
Ответ: $[3; 4]$.

33.14 a) $ \sqrt[3]{x-5} = -3; $

Б) $ \sqrt[4]{4-5x} = -2; $

В) $ \sqrt[5]{2x+8} = -1; $

Г) $ \sqrt[3]{7-4x} = 4. $

а) $\sqrt[3]{x-5} = -3$

Чтобы решить данное иррациональное уравнение, необходимо избавиться от знака корня. Так как корень нечетной степени (кубический), можно возвести обе части уравнения в эту степень. Это преобразование является равносильным.

Возводим обе части в третью степень:

$(\sqrt[3]{x-5})^3 = (-3)^3$

$x-5 = -27$

Теперь решаем полученное линейное уравнение. Переносим $-5$ в правую часть с противоположным знаком:

$x = -27 + 5$

$x = -22$

Ответ: $x = -22$

б) $\sqrt[4]{4-5x} = -2$

В данном уравнении в левой части находится арифметический корень четной степени (четвертой). По определению, значение арифметического корня четной степени всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt[4]{4-5x} \ge 0$ для любых допустимых значений $x$.

В правой части уравнения стоит отрицательное число $-2$.

Равенство, в котором неотрицательное значение приравнивается к отрицательному, невозможно. Следовательно, у этого уравнения нет действительных корней.

Ответ: нет корней.

в) $\sqrt[5]{2x+8} = -1$

Это уравнение с корнем нечетной степени (пятой). Для его решения возведем обе части в пятую степень.

$(\sqrt[5]{2x+8})^5 = (-1)^5$

$2x+8 = -1$

Решаем полученное линейное уравнение. Переносим $8$ в правую часть:

$2x = -1 - 8$

$2x = -9$

Делим обе части на $2$, чтобы найти $x$:

$x = -\frac{9}{2}$

$x = -4.5$

Ответ: $x = -4.5$

г) $\sqrt[3]{7-4x} = 4$

Для решения этого уравнения с кубическим корнем (нечетная степень) возводим обе части в третью степень.

$(\sqrt[3]{7-4x})^3 = 4^3$

$7-4x = 64$

Решаем линейное уравнение. Переносим $7$ в правую часть:

$-4x = 64 - 7$

$-4x = 57$

Делим обе части на $-4$:

$x = -\frac{57}{4}$

$x = -14.25$

Ответ: $x = -14.25$

33.7 a) $\sqrt[4]{\frac{16}{625}}$;

б) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$;

в) $\sqrt{\frac{100}{121}}$;

г) $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$.

а) Чтобы найти корень четвертой степени из дроби $\frac{16}{625}$, воспользуемся свойством корня из частного: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
Применяем это свойство к нашему выражению:
$\sqrt[4]{\frac{16}{625}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{625}}$
Теперь вычислим корень из числителя и знаменателя по отдельности.
Корень четвертой степени из 16 равен 2, так как $2^4 = 16$.
Корень четвертой степени из 625 равен 5, так как $5^4 = 625$.
Таким образом, результат равен $\frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

б) Сначала необходимо преобразовать смешанное число $3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь.
$3\frac{3}{8} = \frac{3 \times 8 + 3}{8} = \frac{24 + 3}{8} = \frac{27}{8}$
Теперь задача сводится к вычислению $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$.
Используем свойство корня из частного:
$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$
Найдем кубический корень из числителя и знаменателя.
$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
В результате получаем дробь $\frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

в) Для вычисления квадратного корня из дроби $\frac{100}{121}$ используем свойство корня из частного: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$\sqrt{\frac{100}{121}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{121}}$
Найдем квадратный корень из числителя и знаменателя.
$\sqrt{100} = 10$, так как $10^2 = 100$.
$\sqrt{121} = 11$, так как $11^2 = 121$.
Таким образом, результат равен $\frac{10}{11}$.
Ответ: $\frac{10}{11}$

г) Первым шагом преобразуем смешанное число $7\frac{19}{32}$ в неправильную дробь.
$7\frac{19}{32} = \frac{7 \times 32 + 19}{32} = \frac{224 + 19}{32} = \frac{243}{32}$
Теперь необходимо найти корень пятой степени из этой дроби: $\sqrt[5]{\frac{243}{32}}$.
Воспользуемся свойством корня из частного:
$\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}$
Вычислим корень пятой степени из числителя и знаменателя.
$\sqrt[5]{243} = 3$, так как $3^5 = 243$.
$\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.
В результате получаем дробь $\frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

Решите уравнение:

33.11 a) $x^3 = 125$;

б) $x^7 = \frac{1}{128}$;

в) $x^5 = 32$;

г) $x^9 = 1$.

а) Дано уравнение $x^3 = 125$. Чтобы найти $x$, нужно извлечь кубический корень из обеих частей уравнения. Так как показатель степени 3 является нечетным числом, уравнение имеет единственный действительный корень. $x = \sqrt[3]{125}$. Мы знаем, что $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$. Следовательно, $x = 5$.
Ответ: $5$.

б) Дано уравнение $x^7 = \frac{1}{128}$. Чтобы найти $x$, извлечем корень седьмой степени из обеих частей. Показатель степени 7 — нечетное число, поэтому уравнение имеет один действительный корень. $x = \sqrt[7]{\frac{1}{128}}$. Используя свойство корня $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, получаем $x = \frac{\sqrt[7]{1}}{\sqrt[7]{128}}$. Так как $1^7 = 1$ и $2^7 = 128$, то $\sqrt[7]{1} = 1$ и $\sqrt[7]{128} = 2$. Таким образом, $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Дано уравнение $x^5 = 32$. Для решения извлечем корень пятой степени из обеих частей. Поскольку 5 — это нечетное число, уравнение имеет единственный действительный корень. $x = \sqrt[5]{32}$. Мы знаем, что $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$. Значит, $x = 2$.
Ответ: $2$.

г) Дано уравнение $x^9 = 1$. Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень девятой степени из обеих частей уравнения. Показатель степени 9 является нечетным, поэтому корень будет единственным. $x = \sqrt[9]{1}$. Любая степень числа 1 равна 1, поэтому $1^9 = 1$. Следовательно, $x = 1$.
Ответ: $1$.

33.15 a) $\sqrt[3]{x^2 - 9x - 19} = -3;$

б) $\sqrt[4]{x^2 - 10x + 25} = 2;$

В) $\sqrt[7]{2x^2 + 6x - 57} = -1;$

Г) $\sqrt[6]{x^2 + 7x + 13} = 1.$

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{x^2 - 9x - 19} = -3$.

Так как показатель корня является нечетным числом (3), мы можем возвести обе части уравнения в третью степень. Это преобразование является равносильным.

$(\sqrt[3]{x^2 - 9x - 19})^3 = (-3)^3$

В результате получаем:

$x^2 - 9x - 19 = -27$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - 9x - 19 + 27 = 0$

$x^2 - 9x + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком (9), а произведение корней равно свободному члену (8). Корнями являются числа 1 и 8.

Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Так как возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием, проверка не требуется.

Ответ: 1; 8

б)

Дано уравнение $\sqrt[4]{x^2 - 10x + 25} = 2$.

Подкоренное выражение $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом разности $(x-5)^2$.

Уравнение принимает вид $\sqrt[4]{(x-5)^2} = 2$.

Показатель корня — четное число (4). Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x^2 - 10x + 25})^4 = 2^4$

$x^2 - 10x + 25 = 16$

Перенесем 16 в левую часть:

$x^2 - 10x + 25 - 16 = 0$

$x^2 - 10x + 9 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней равна 10, произведение равно 9. Корни: 1 и 9.

Решение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$

При возведении в четную степень могли появиться посторонние корни. Выполним проверку. Условие существования корня: $x^2 - 10x + 25 \ge 0$. Это условие выполняется для всех $x$, так как $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$, а квадрат любого числа неотрицателен. Правая часть исходного уравнения $2 > 0$. Таким образом, найденные корни являются решениями.

Ответ: 1; 9

в)

Дано уравнение $\sqrt[7]{2x^2 + 6x - 57} = -1$.

Показатель корня — нечетное число (7), поэтому можно возвести обе части уравнения в седьмую степень:

$(\sqrt[7]{2x^2 + 6x - 57})^7 = (-1)^7$

$2x^2 + 6x - 57 = -1$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 + 6x - 57 + 1 = 0$

$2x^2 + 6x - 56 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$x^2 + 3x - 28 = 0$

Решим по теореме Виета: сумма корней равна -3, произведение равно -28. Корни: -7 и 4.

Решение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 11}{2}$

$x_1 = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Так как исходное преобразование было равносильным, оба корня подходят.

Ответ: -7; 4

г)

Дано уравнение $\sqrt[6]{x^2 + 7x + 13} = 1$.

Показатель корня — четное число (6). Возведем обе части уравнения в шестую степень:

$(\sqrt[6]{x^2 + 7x + 13})^6 = 1^6$

$x^2 + 7x + 13 = 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$x^2 + 7x + 13 - 1 = 0$

$x^2 + 7x + 12 = 0$

Решим по теореме Виета: сумма корней равна -7, произведение равно 12. Корни: -3 и -4.

Решение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 = 1^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Проверим условие существования корня: $x^2 + 7x + 13 \ge 0$. Найдем дискриминант трехчлена $x^2 + 7x + 13$: $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 49 - 52 = -3$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), то выражение $x^2 + 7x + 13$ всегда положительно. Правая часть исходного уравнения $1 > 0$. Следовательно, посторонних корней нет.

Ответ: -4; -3