Страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

35.27 Решите уравнение:

a) $ \sqrt[3]{x} - 2\sqrt[6]{x} = 0; $

б) $ \sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0; $

в) $ \sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x} - 1 = 0; $

г) $ \sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} - 3 = 0. $

а) $\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[6]{x} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием корня четной степени $\sqrt[6]{x}$, поэтому $x \ge 0$.
Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Так как $x \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 2t = 0$
Вынесем $t$ за скобки:
$t(t - 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = 0$ или $t_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1) Если $t = 0$, то $\sqrt[6]{x} = 0$, откуда $x = 0^6 = 0$.
2) Если $t = 2$, то $\sqrt[6]{x} = 2$, откуда $x = 2^6 = 64$.
Оба значения $x=0$ и $x=64$ принадлежат ОДЗ.
Ответ: $0; 64$.

б) $\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$, так как подкоренное выражение корня четной степени не может быть отрицательным.
Заметим, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$, при этом $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 5t + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$ (поскольку $2+3=5$ и $2 \cdot 3=6$).
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Произведем обратную замену:
1) Если $t = 2$, то $\sqrt[4]{x} = 2$, откуда $x = 2^4 = 16$.
2) Если $t = 3$, то $\sqrt[4]{x} = 3$, откуда $x = 3^4 = 81$.
Оба значения $x=16$ и $x=81$ принадлежат ОДЗ.
Ответ: $16; 81$.

в) $\sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x} - 1 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$ из-за наличия $\sqrt[6]{x}$.
Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$t + 2t^2 - 1 = 0$
Запишем в стандартном виде: $2t^2 + t - 1 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$t = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$
$t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$
$t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t_2 = \frac{1}{2}$, так как $t_1 = -1 < 0$.
Вернемся к переменной $x$:
$\sqrt[6]{x} = \frac{1}{2}$
$x = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
Значение $x=\frac{1}{64}$ принадлежит ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{64}$.

г) $\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} - 3 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$ из-за наличия корней четных степеней.
Заметим, что $\sqrt[4]{x} = (\sqrt[8]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[8]{x}$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$t^2 + 2t - 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$ (поскольку $1 + (-3) = -2$ и $1 \cdot (-3) = -3$).
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t_1 = 1$. Корень $t_2 = -3$ является посторонним.
Произведем обратную замену:
$\sqrt[8]{x} = 1$
$x = 1^8 = 1$.
Значение $x=1$ принадлежит ОДЗ.
Ответ: $1$.

35.28 Докажите, что $2f(x) = f(128x)$, если $f(x) = \sqrt[7]{x}$.

Для того чтобы доказать равенство $2f(x) = f(128x)$, если $f(x) = \sqrt[7]{x}$, необходимо подставить данную функцию в левую и правую части равенства и убедиться, что они тождественно равны.

Рассмотрим левую часть равенства:

$2f(x) = 2 \cdot \sqrt[7]{x}$

Теперь рассмотрим правую часть. Для нахождения $f(128x)$ подставим в исходную функцию вместо аргумента $x$ выражение $128x$:

$f(128x) = \sqrt[7]{128x}$

Преобразуем полученное выражение, используя свойство корня от произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[7]{128x} = \sqrt[7]{128} \cdot \sqrt[7]{x}$

Вычислим корень седьмой степени из 128. Так как $2^7 = 128$, то $\sqrt[7]{128} = 2$.

Подставим полученный результат в выражение для правой части:

$f(128x) = 2 \cdot \sqrt[7]{x}$

Сравнив выражения для левой и правой частей, видим, что они равны:

$2 \cdot \sqrt[7]{x} = 2 \cdot \sqrt[7]{x}$

Это подтверждает истинность исходного равенства.

Ответ: Доказательство проведено путем преобразования обеих частей исходного равенства. Левая часть $2f(x)$ равна $2\sqrt[7]{x}$. Правая часть $f(128x)$ преобразуется к виду $\sqrt[7]{128x} = \sqrt[7]{128} \cdot \sqrt[7]{x} = 2\sqrt[7]{x}$. Так как $2\sqrt[7]{x} = 2\sqrt[7]{x}$, тождество доказано.

35.29 Докажите, что $2f(x) = f(32x)$, если $f(x) = 2\sqrt[5]{x}$.

Чтобы доказать утверждение $2f(x) = f(32x)$ для функции $f(x) = 2^{\sqrt[5]{x}}$, необходимо преобразовать левую и правую части этого равенства и показать, что они тождественно равны.

1. Преобразование левой части равенства

Левая часть имеет вид $2f(x)$. Подставим в нее заданную функцию $f(x)$: $2f(x) = 2 \cdot 2^{\sqrt[5]{x}}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, где $a=2$, $m=1$ и $n=\sqrt[5]{x}$, мы получаем: $2^1 \cdot 2^{\sqrt[5]{x}} = 2^{1 + \sqrt[5]{x}}$

2. Преобразование правой части равенства

Правая часть имеет вид $f(32x)$. Найдем ее, подставив в функцию $f(x)$ аргумент $32x$: $f(32x) = 2^{\sqrt[5]{32x}}$

Упростим показатель степени, используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$: $\sqrt[5]{32x} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{x}$

Так как $32 = 2^5$, то $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$. Тогда: $\sqrt[5]{32x} = 2\sqrt[5]{x}$

Таким образом, правая часть равенства преобразуется к виду: $f(32x) = 2^{2\sqrt[5]{x}}$

3. Сравнение результатов

Теперь приравняем полученные выражения для левой и правой частей: $2^{1 + \sqrt[5]{x}} = 2^{2\sqrt[5]{x}}$

Равенство степеней с одинаковым основанием (не равным 0, 1 или -1) возможно только тогда, когда равны их показатели: $1 + \sqrt[5]{x} = 2\sqrt[5]{x}$

Решим полученное уравнение: $1 = 2\sqrt[5]{x} - \sqrt[5]{x}$ $1 = \sqrt[5]{x}$

Возведя обе части в пятую степень, найдем $x$: $x = 1^5 = 1$

Таким образом, исходное равенство $2f(x) = f(32x)$ верно только при $x=1$, а не для всех $x$ из области определения функции. Это означает, что данное утверждение не является тождеством.

Ответ: Доказать утверждение невозможно, так как оно не является тождеством. Равенство $2f(x) = f(32x)$ для функции $f(x) = 2^{\sqrt[5]{x}}$ выполняется только при $x=1$.

35.30 Постройте график функции:

а) $y = \sqrt[4]{(x - 2)^4}$;

б) $y = \sqrt[5]{(2 - x)^5}$;

в) $y = \sqrt[3]{(x + 1)^3}$;

г) $y = \sqrt[6]{(3 - x)^6}$.

а) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{(x - 2)^4}$.

Общее правило для корней четной степени гласит, что $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$ для любого действительного числа $a$. В данном случае показатель корня и степень подкоренного выражения равны 4 (четное число). Следовательно, мы можем упростить функцию:

$y = |x - 2|$.

График этой функции — это график модуля $y = |x|$, сдвинутый на 2 единицы вправо по оси Ох. Он представляет собой два луча, сходящихся в одной точке (вершине).

• Вершина графика находится в точке, где выражение под модулем равно нулю: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Координаты вершины: $(2, 0)$.
• Если $x \ge 2$, модуль раскрывается как $y = x - 2$. Это луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий, например, через точку $(4, 2)$.
• Если $x < 2$, модуль раскрывается как $y = -(x - 2) = 2 - x$. Это луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий, например, через точку $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{(x - 2)^4}$ — это график $y = |x - 2|$, который является "галочкой" с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви которой направлены вверх.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[5]{(2 - x)^5}$.

Общее правило для корней нечетной степени гласит, что $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$ для любого действительного числа $a$. В данном случае показатель корня и степень равны 5 (нечетное число). Таким образом, функция упрощается до:

$y = 2 - x$.

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек:

• При $x = 0$, $y = 2 - 0 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• При $x = 2$, $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: График функции $y = \sqrt[5]{(2 - x)^5}$ — это прямая $y = 2 - x$, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

в) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{(x + 1)^3}$.

Поскольку показатель корня и степень подкоренного выражения равны 3 (нечетное число), то, как и в предыдущем пункте, $\sqrt[3]{a^3} = a$. Упрощаем функцию:

$y = x + 1$.

Это также линейная функция, ее график — прямая линия. Найдем две точки для построения:

• При $x = 0$, $y = 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x = -1$, $y = -1 + 1 = 0$. Точка $(-1, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{(x + 1)^3}$ — это прямая $y = x + 1$, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

г) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[6]{(3 - x)^6}$.

Показатель корня и степень равны 6 (четное число), поэтому, как и в пункте а), $\sqrt[6]{a^6} = |a|$. Упрощаем функцию:

$y = |3 - x|$.

Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, можем записать $y = |3 - x| = |-(x - 3)| = |x - 3|$.

График этой функции — это график модуля $y = |x|$, сдвинутый на 3 единицы вправо по оси Ох.

• Вершина графика находится в точке, где $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Координаты вершины: $(3, 0)$.
• Если $x \ge 3$, то $y = x - 3$. Это луч, выходящий из точки $(3, 0)$ и проходящий, например, через точку $(4, 1)$.
• Если $x < 3$, то $y = -(x - 3) = 3 - x$. Это луч, выходящий из точки $(3, 0)$ и проходящий, например, через точку $(0, 3)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[6]{(3 - x)^6}$ — это график $y = |x - 3|$, который является "галочкой" с вершиной в точке $(3, 0)$, ветви которой направлены вверх.

Вынесите множитель из-под знака корня:

36.1 а) $\sqrt{20}$; б) $\sqrt{147}$; в) $\sqrt{108}$; г) $\sqrt{245}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{20}$, нужно разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был точным квадратом. Число 20 можно представить как произведение 4 и 5, где 4 является квадратом числа 2.
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5}$
Используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
Ответ: $2\sqrt{5}$

б) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{147}$, найдём множитель, являющийся точным квадратом. Разложим 147 на множители. Сумма цифр 1+4+7=12, значит, число делится на 3.
$147 = 3 \cdot 49$. Число 49 является точным квадратом числа 7.
$\sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3}$
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt{49 \cdot 3} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{3} = 7\sqrt{3}$
Ответ: $7\sqrt{3}$

в) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{108}$, разложим 108 на множители, один из которых является наибольшим возможным точным квадратом.
$108 = 4 \cdot 27 = 4 \cdot 9 \cdot 3 = 36 \cdot 3$. Число 36 является квадратом числа 6.
$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3}$
Используя свойство корня из произведения, получаем:
$\sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
Ответ: $6\sqrt{3}$

г) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{245}$, найдём множитель, являющийся точным квадратом. Число 245 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.
$245 = 5 \cdot 49$. Число 49 является точным квадратом числа 7.
$\sqrt{245} = \sqrt{49 \cdot 5}$
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt{49 \cdot 5} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{5} = 7\sqrt{5}$
Ответ: $7\sqrt{5}$

36.5 a) $\sqrt{75t^4r^3}$;

б) $\frac{x^2}{b} \sqrt[3]{\frac{72a^4b^3}{343x^3}};

В) $\sqrt[3]{250x^4y^7}$;

Г) $3mn \sqrt[4]{\frac{80x^3}{243m^5n^9}}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{75t^4r^3}$, нужно вынести множители из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы выделить полные квадраты.

1. Разложим на множители число 75: $75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$.

2. Разложим переменные: $t^4 = (t^2)^2$ и $r^3 = r^2 \cdot r$.

3. Подставим разложения в исходное выражение: $\sqrt{75t^4r^3} = \sqrt{5^2 \cdot 3 \cdot (t^2)^2 \cdot r^2 \cdot r}$.

4. Сгруппируем множители, являющиеся полными квадратами: $\sqrt{(5^2 \cdot (t^2)^2 \cdot r^2) \cdot (3r)} = \sqrt{(5t^2r)^2 \cdot 3r}$.

5. Вынесем полные квадраты из-под знака корня. Область допустимых значений для исходного выражения требует $r^3 \ge 0$, что означает $r \ge 0$. Следовательно, $\sqrt{r^2} = r$.

$\sqrt{(5t^2r)^2} \cdot \sqrt{3r} = 5t^2r\sqrt{3r}$.

Ответ: $5t^2r\sqrt{3r}$

б) Упростим выражение $\frac{x^2}{b} \sqrt[3]{\frac{72a^4b^3}{343x^3}}$. Сначала вынесем множители из-под знака кубического корня.

1. Разложим числитель и знаменатель дроби под корнем на множители, являющиеся полными кубами:

Числитель: $72a^4b^3 = (8 \cdot 9) \cdot (a^3 \cdot a) \cdot b^3 = (2^3 \cdot a^3 \cdot b^3) \cdot 9a = (2ab)^3 \cdot 9a$.

Знаменатель: $343x^3 = 7^3 \cdot x^3 = (7x)^3$.

2. Вынесем полные кубы из-под знака корня:

$\sqrt[3]{\frac{72a^4b^3}{343x^3}} = \sqrt[3]{\frac{(2ab)^3 \cdot 9a}{(7x)^3}} = \frac{\sqrt[3]{(2ab)^3} \cdot \sqrt[3]{9a}}{\sqrt[3]{(7x)^3}} = \frac{2ab}{7x}\sqrt[3]{9a}$.

3. Умножим полученное выражение на множитель перед корнем $\frac{x^2}{b}$:

$\frac{x^2}{b} \cdot \frac{2ab}{7x}\sqrt[3]{9a} = \frac{2abx^2}{7bx}\sqrt[3]{9a}$.

4. Сократим дробь, учитывая, что $b \ne 0$ и $x \ne 0$:

$\frac{2ax}{7}\sqrt[3]{9a}$.

Ответ: $\frac{2ax}{7}\sqrt[3]{9a}$

в) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{250x^4y^7}$, вынесем множители из-под знака кубического корня.

1. Разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся полными кубами:

Числовой коэффициент: $250 = 125 \cdot 2 = 5^3 \cdot 2$.

Переменные: $x^4 = x^3 \cdot x$ и $y^7 = y^6 \cdot y = (y^2)^3 \cdot y$.

2. Подставим разложения в выражение:

$\sqrt[3]{250x^4y^7} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2 \cdot x^3 \cdot x \cdot (y^2)^3 \cdot y}$.

3. Сгруппируем полные кубы:

$\sqrt[3]{(5^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3) \cdot (2xy)} = \sqrt[3]{(5xy^2)^3 \cdot 2xy}$.

4. Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{(5xy^2)^3} \cdot \sqrt[3]{2xy} = 5xy^2\sqrt[3]{2xy}$.

Ответ: $5xy^2\sqrt[3]{2xy}$

г) Упростим выражение $3mn \sqrt[4]{\frac{80x^3}{243m^5n^9}}$. Для корректности вычислений будем считать, что все переменные принимают положительные значения, чтобы подкоренное выражение было определено.

1. Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$3mn \frac{\sqrt[4]{80x^3}}{\sqrt[4]{243m^5n^9}}$.

2. Упростим корень в числителе, вынеся из-под корня множитель, являющийся полной четвертой степенью:

$\sqrt[4]{80x^3} = \sqrt[4]{16 \cdot 5 \cdot x^3} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 5x^3} = 2\sqrt[4]{5x^3}$.

3. Упростим корень в знаменателе:

$\sqrt[4]{243m^5n^9} = \sqrt[4]{81 \cdot 3 \cdot m^4 \cdot m \cdot n^8 \cdot n} = \sqrt[4]{3^4 \cdot (mn^2)^4 \cdot 3mn} = 3mn^2\sqrt[4]{3mn}$.

4. Подставим упрощенные выражения обратно:

$3mn \cdot \frac{2\sqrt[4]{5x^3}}{3mn^2\sqrt[4]{3mn}}$.

5. Сократим дробь, состоящую из множителей перед корнями:

$\frac{3mn \cdot 2}{3mn^2} \cdot \frac{\sqrt[4]{5x^3}}{\sqrt[4]{3mn}} = \frac{2}{n} \cdot \frac{\sqrt[4]{5x^3}}{\sqrt[4]{3mn}}$.

6. Объединим два корня в один:

$\frac{2}{n}\sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}}$.

Ответ: $\frac{2}{n}\sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}}$

36.2 а) $\sqrt[3]{24}$;

б) $\sqrt[4]{160}$;

в) $\sqrt[3]{512}$;

г) $\sqrt[4]{486}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{24}$, необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа.
Число $24$ можно представить как произведение $8$ и $3$. Так как $8 = 2^3$, то разложение будет $24 = 2^3 \cdot 3$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3}$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^n \cdot b} = a \sqrt[n]{b}$, вынесем множитель $2^3$ из-под знака кубического корня:
$\sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{3}$.

б) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{160}$ вынесем множитель из-под знака корня. Разложим число $160$ на множители таким образом, чтобы выделить множитель, являющийся четвертой степенью какого-либо числа.
$160 = 16 \cdot 10$. Поскольку $16 = 2^4$, получаем разложение: $160 = 2^4 \cdot 10$.
Подставим это разложение в выражение:
$\sqrt[4]{160} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 10}$.
Вынесем множитель $2^4$ из-под знака корня четвертой степени:
$\sqrt[4]{2^4 \cdot 10} = 2\sqrt[4]{10}$.
Ответ: $2\sqrt[4]{10}$.

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{512}$, нужно определить число, которое при возведении в куб (третью степень) дает $512$.
Можно разложить $512$ на простые множители: $512 = 2^9$.
Представим $2^9$ как степень с показателем, кратным $3$: $2^9 = (2^3)^3 = 8^3$.
Следовательно,
$\sqrt[3]{512} = \sqrt[3]{8^3} = 8$.
Ответ: $8$.

г) Упростим выражение $\sqrt[4]{486}$, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого разложим число $486$ на множители.
$486$ делится на $2$: $486 = 2 \cdot 243$.
Число $243$ является степенью числа $3$: $243 = 3^5$.
Таким образом, $486 = 2 \cdot 3^5$.
Поскольку мы извлекаем корень четвертой степени, нам нужно выделить множитель в четвертой степени. Представим $3^5$ как $3^4 \cdot 3$:
$486 = 2 \cdot (3^4 \cdot 3) = 3^4 \cdot (2 \cdot 3) = 3^4 \cdot 6$.
Подставим полученное разложение в исходное выражение:
$\sqrt[4]{486} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 6}$.
Вынесем множитель $3^4$ из-под знака корня:
$\sqrt[4]{3^4 \cdot 6} = 3\sqrt[4]{6}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{6}$.

Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

36.3 а) $\sqrt{x^3};$

б) $\sqrt[3]{a^4};$

в) $\sqrt[5]{m^7};$

г) $\sqrt[4]{n^{13}}.$

а)

Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{x^3}$, необходимо представить подкоренное выражение $x^3$ в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом. Используя свойство степеней, получаем: $x^3 = x^2 \cdot x$.

Теперь подставим это разложение обратно под корень:

$\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x}$

Согласно свойству корня из произведения ($\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для неотрицательных $a$ и $b$), мы можем разделить корень:

$\sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x}$

По условию задачи, переменная $x$ принимает только неотрицательные значения ($x \ge 0$), поэтому $\sqrt{x^2} = x$.

Таким образом, окончательное выражение выглядит так:

$\sqrt{x^3} = x\sqrt{x}$

Ответ: $x\sqrt{x}$.

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{a^4}$. Показатель корня равен 3. Представим подкоренное выражение $a^4$ в виде произведения, где один из множителей является полным кубом: $a^4 = a^3 \cdot a$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a}$

Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[3]{a^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{a}$

Так как по условию $a \ge 0$, то $\sqrt[3]{a^3} = a$.

В результате получаем:

$\sqrt[3]{a^4} = a\sqrt[3]{a}$

Ответ: $a\sqrt[3]{a}$.

в)

В выражении $\sqrt[5]{m^7}$ показатель корня равен 5. Чтобы вынести множитель, представим степень $m^7$ в виде произведения, в котором показатель степени одного из множителей будет кратен 5. Для этого разделим 7 на 5 с остатком: $7 = 5 \cdot 1 + 2$.

Следовательно, $m^7 = m^5 \cdot m^2$.

Тогда выражение можно переписать как:

$\sqrt[5]{m^7} = \sqrt[5]{m^5 \cdot m^2}$

Применим свойство корня из произведения:

$\sqrt[5]{m^5 \cdot m^2} = \sqrt[5]{m^5} \cdot \sqrt[5]{m^2}$

Поскольку $m$ — неотрицательная переменная, $\sqrt[5]{m^5} = m$.

Получаем:

$\sqrt[5]{m^7} = m\sqrt[5]{m^2}$

Ответ: $m\sqrt[5]{m^2}$.

г)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{n^{13}}$. Показатель корня равен 4. Представим $n^{13}$ в виде произведения, где показатель степени одного из множителей кратен 4. Разделим 13 на 4 с остатком: $13 = 4 \cdot 3 + 1$.

Это означает, что $n^{13} = n^{4 \cdot 3} \cdot n^1 = n^{12} \cdot n = (n^3)^4 \cdot n$.

Подставим это разложение в корень:

$\sqrt[4]{n^{13}} = \sqrt[4]{(n^3)^4 \cdot n}$

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt[4]{(n^3)^4 \cdot n} = \sqrt[4]{(n^3)^4} \cdot \sqrt[4]{n}$

По условию $n \ge 0$, следовательно $n^3$ также неотрицательно, и $\sqrt[4]{(n^3)^4} = n^3$.

В итоге получаем:

$\sqrt[4]{n^{13}} = n^3\sqrt[4]{n}$

Ответ: $n^3\sqrt[4]{n}$.

36.4 а) $\sqrt{25a^3}$;

б) $\sqrt[4]{405a^5}$;

В) $\sqrt[3]{24x^3}$;

Г) $\sqrt[5]{160m^{10}}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{25a^3}$, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень.
Число $25$ является полным квадратом: $25 = 5^2$.
Степень $a^3$ можно представить как $a^3 = a^2 \cdot a$. Выражение $\sqrt{25a^3}$ имеет смысл при $a^3 \ge 0$, то есть при $a \ge 0$.
Тогда:
$\sqrt{25a^3} = \sqrt{25 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{5^2 \cdot a^2 \cdot a}$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, получаем:
$\sqrt{5^2 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = 5 \cdot |a| \cdot \sqrt{a}$.
Так как по области определения $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Следовательно, $5 \cdot a \cdot \sqrt{a} = 5a\sqrt{a}$.
Ответ: $5a\sqrt{a}$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{405a^5}$. Необходимо вынести множитель из-под знака корня четвертой степени.
Разложим число $405$ на простые множители: $405 = 5 \cdot 81 = 5 \cdot 3^4$.
Степень $a^5$ представим как $a^5 = a^4 \cdot a$. Выражение $\sqrt[4]{405a^5}$ имеет смысл при $a^5 \ge 0$, то есть при $a \ge 0$.
Тогда:
$\sqrt[4]{405a^5} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 5 \cdot a^4 \cdot a} = \sqrt[4]{(3^4 \cdot a^4) \cdot 5a}$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$, получаем:
$\sqrt[4]{3^4 \cdot a^4} \cdot \sqrt[4]{5a} = \sqrt[4]{(3a)^4} \cdot \sqrt[4]{5a} = |3a| \cdot \sqrt[4]{5a}$.
Так как по области определения $a \ge 0$, то $|3a| = 3a$.
Следовательно, $3a\sqrt[4]{5a}$.
Ответ: $3a\sqrt[4]{5a}$.

в) Упростим выражение $\sqrt[3]{24x^3}$ путем вынесения множителя из-под знака кубического корня.
Разложим число $24$ на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Множитель $x^3$ уже является кубом.
Поскольку корень нечетной степени (кубический), подкоренное выражение может быть любым действительным числом, и для переменной $x$ нет ограничений.
Тогда:
$\sqrt[3]{24x^3} = \sqrt[3]{8 \cdot 3 \cdot x^3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot x^3 \cdot 3}$.
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt[3]{2^3 \cdot x^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2 \cdot x \cdot \sqrt[3]{3} = 2x\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $2x\sqrt[3]{3}$.

г) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[5]{160m^{10}}$.
Разложим число $160$ на множители, выделяя степень с показателем 5: $160 = 32 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5$.
Степень $m^{10}$ можно представить как степень с показателем 5: $m^{10} = (m^2)^5$.
Поскольку корень нечетной степени (пятой), ограничений на переменную $m$ нет.
Тогда:
$\sqrt[5]{160m^{10}} = \sqrt[5]{32 \cdot 5 \cdot m^{10}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot (m^2)^5 \cdot 5}$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt[5]{2^5 \cdot (m^2)^5 \cdot 5} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{(m^2)^5} \cdot \sqrt[5]{5} = 2 \cdot m^2 \cdot \sqrt[5]{5} = 2m^2\sqrt[5]{5}$.
Ответ: $2m^2\sqrt[5]{5}$.