Страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Сократите дроби, считая, что переменные принимают неотрицательные значения.

36.17 a) $\frac{\sqrt{10b}-\sqrt{15}}{\sqrt{15b}-\sqrt{5}};$

В) $\frac{\sqrt[4]{14}+\sqrt[4]{21k}}{\sqrt[4]{7k}-\sqrt[4]{14}};$

б) $\frac{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{xy}};$

Г) $\frac{\sqrt[4]{a^2}-\sqrt[4]{ad}}{\sqrt[4]{3a}-\sqrt[4]{a^2d}}.$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{10b} - \sqrt{15}}{\sqrt{15b} - \sqrt{5}}$, найдем и вынесем за скобки общий множитель в числителе и знаменателе. В данном случае это $\sqrt{5}$.
В числителе: $\sqrt{10b} - \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 2b} - \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5}(\sqrt{2b} - \sqrt{3})$.
В знаменателе: $\sqrt{15b} - \sqrt{5} = \sqrt{5 \cdot 3b} - \sqrt{5 \cdot 1} = \sqrt{5}(\sqrt{3b} - 1)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $\sqrt{5}$:
$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2b} - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{3b} - 1)} = \frac{\sqrt{2b} - \sqrt{3}}{\sqrt{3b} - 1}$.
Дальнейшее сокращение невозможно. При этом должно выполняться условие $\sqrt{15b} - \sqrt{5} \neq 0$, то есть $15b \neq 5$ или $b \neq \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2b} - \sqrt{3}}{\sqrt{3b} - 1}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{xy}}$, найдем и вынесем за скобки общий множитель в числителе и знаменателе. В данном случае это $\sqrt[3]{x}$.
В числителе: $\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})$.
В знаменателе: $\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x}(1 - \sqrt[3]{y})$.
Подставим выражения в дробь и сократим на $\sqrt[3]{x}$ (при условии $x \neq 0$):
$\frac{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{x}(1 - \sqrt[3]{y})} = \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}{1 - \sqrt[3]{y}}$.
Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $1 - \sqrt[3]{y} \neq 0$, что означает $y \neq 1$.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}{1 - \sqrt[3]{y}}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt[4]{14} + \sqrt[4]{21k}}{\sqrt[4]{7k} - \sqrt[4]{14}}$, найдем и вынесем за скобки общий множитель. В данном случае это $\sqrt[4]{7}$.
В числителе: $\sqrt[4]{14} + \sqrt[4]{21k} = \sqrt[4]{7 \cdot 2} + \sqrt[4]{7 \cdot 3k} = \sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k})$.
В знаменателе: $\sqrt[4]{7k} - \sqrt[4]{14} = \sqrt[4]{7 \cdot k} - \sqrt[4]{7 \cdot 2} = \sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2})$.
Подставим выражения в дробь и сократим на $\sqrt[4]{7}$:
$\frac{\sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k})}{\sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2})} = \frac{\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k}}{\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2}}$.
Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2} \neq 0$, что означает $k \neq 2$.
Ответ: $\frac{\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k}}{\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2}}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt[4]{a^2} - \sqrt[4]{ad}}{\sqrt[4]{3a} - \sqrt[4]{a^2d}}$, найдем и вынесем за скобки общий множитель. В данном случае это $\sqrt[4]{a}$.
В числителе: $\sqrt[4]{a^2} - \sqrt[4]{ad} = \sqrt[4]{a \cdot a} - \sqrt[4]{a \cdot d} = \sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d})$.
В знаменателе: $\sqrt[4]{3a} - \sqrt[4]{a^2d} = \sqrt[4]{a \cdot 3} - \sqrt[4]{a \cdot ad} = \sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad})$.
Подставим выражения в дробь и сократим на $\sqrt[4]{a}$ (при условии $a \neq 0$):
$\frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d})}{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad})} = \frac{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d}}{\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad}}$.
Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad} \neq 0$, что означает $ad \neq 3$.
Ответ: $\frac{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d}}{\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad}}$.

36.18 a) $\frac{\sqrt{a} - 2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$;

В) $\frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b}$;

б) $\frac{3\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2}}$;

Г) $\frac{\sqrt{b} + 2a\sqrt[4]{a^2b} + a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$.

а) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{a} - 2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$.
Числитель дроби представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Пусть $x = \sqrt[4]{a}$ и $y = \sqrt[3]{b}$. Тогда:
$x^2 = (\sqrt[4]{a})^2 = a^{\frac{1}{4} \cdot 2} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$
$y^2 = (\sqrt[3]{b})^2 = b^{\frac{1}{3} \cdot 2} = b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}$
$2xy = 2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$
Следовательно, числитель $\sqrt{a} - 2\sqrt[4]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}$ можно записать как $(\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})^2$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})$:
$\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}$
Ответ: $\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2}}$.
Знаменатель дроби является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Пусть $x = \sqrt[3]{m}$ и $y = 2\sqrt[3]{n}$. Тогда:
$x^2 = (\sqrt[3]{m})^2 = \sqrt[3]{m^2}$
$y^2 = (2\sqrt[3]{n})^2 = 4(\sqrt[3]{n})^2 = 4\sqrt[3]{n^2}$
$2xy = 2 \cdot \sqrt[3]{m} \cdot 2\sqrt[3]{n} = 4\sqrt[3]{mn}$
Следовательно, знаменатель $4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2}$ можно записать как $(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})^2$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})^2}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})$:
$\frac{1}{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b}$.
Знаменатель дроби является полным квадратом суммы. Преобразуем его, используя формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Пусть $x = \sqrt[4]{a}$ и $y = \sqrt{b}$. Тогда:
$x^2 = (\sqrt[4]{a})^2 = \sqrt{a}$
$y^2 = (\sqrt{b})^2 = b$
$2xy = 2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt{b} = 2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{b^2} = 2\sqrt[4]{ab^2}$
Следовательно, знаменатель $\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b$ можно записать как $(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})$:
$\frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{b} + 2a\sqrt[4]{a^2b} + a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$.
Числитель дроби является полным квадратом суммы. Преобразуем его, используя формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Пусть $x = a\sqrt{a}$ и $y = \sqrt[4]{b}$. Тогда:
$x^2 = (a\sqrt{a})^2 = (a^{3/2})^2 = a^3$
$y^2 = (\sqrt[4]{b})^2 = \sqrt{b}$
$2xy = 2 \cdot a\sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{b} = 2a \cdot a^{1/2} \cdot b^{1/4} = 2a \cdot (a^2)^{1/4} \cdot b^{1/4} = 2a\sqrt[4]{a^2b}$
Следовательно, числитель $\sqrt{b} + 2a\sqrt[4]{a^2b} + a^3$ можно записать как $(a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b})^2$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{(a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b})^2}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$
Сократим дробь на общий множитель $(a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b})$:
$a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}$
Ответ: $a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}$.

36.15 а) $(a - b) : (\sqrt{a} - \sqrt{b});$

В) $(m - n) : (\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n});$

б) $(k + l) : (\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l});$

Г) $(x - 4y) : (\sqrt{x} + 2\sqrt{y}).$

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим выражение $a - b$ как разность квадратов: $a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Теперь выполним деление:
$(a - b) : (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
Ответ: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

б) Для решения данного примера воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Представим выражение $k + l$ как сумму кубов: $k + l = (\sqrt[3]{k})^3 + (\sqrt[3]{l})^3 = (\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l})((\sqrt[3]{k})^2 - \sqrt[3]{k}\sqrt[3]{l} + (\sqrt[3]{l})^2) = (\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l})(\sqrt[3]{k^2} - \sqrt[3]{kl} + \sqrt[3]{l^2})$.
Теперь выполним деление:
$(k + l) : (\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l}) = \frac{(\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l})(\sqrt[3]{k^2} - \sqrt[3]{kl} + \sqrt[3]{l^2})}{\sqrt[3]{k} + \sqrt[3]{l}} = \sqrt[3]{k^2} - \sqrt[3]{kl} + \sqrt[3]{l^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{k^2} - \sqrt[3]{kl} + \sqrt[3]{l^2}$.

в) Для решения данного примера воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Представим выражение $m - n$ как разность кубов: $m - n = (\sqrt[3]{m})^3 - (\sqrt[3]{n})^3 = (\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n})((\sqrt[3]{m})^2 + \sqrt[3]{m}\sqrt[3]{n} + (\sqrt[3]{n})^2) = (\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})$.
Теперь выполним деление:
$(m - n) : (\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n}) = \frac{(\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})}{\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n}} = \sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2}$.

г) Для решения данного примера воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим выражение $x - 4y$ как разность квадратов: $x - 4y = (\sqrt{x})^2 - (2\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})$.
Теперь выполним деление:
$(x - 4y) : (\sqrt{x} + 2\sqrt{y}) = \frac{(\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})}{\sqrt{x} + 2\sqrt{y}} = \sqrt{x} - 2\sqrt{y}$.
Ответ: $\sqrt{x} - 2\sqrt{y}$.

36.19 а) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$;

б) $\frac{\sqrt[5]{x^9} - 1}{\sqrt[5]{x^3} - 1}$;

в) $\frac{\sqrt{b} - a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$;

г) $\frac{\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt{b}}$.

а)Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{a} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}} $.
Для упрощения представим корни в виде степеней с дробными показателями: $ \sqrt{a} = a^{1/2} $, $ \sqrt[3]{b^2} = b^{2/3} $, $ \sqrt[4]{a} = a^{1/4} $, $ \sqrt[3]{b} = b^{1/3} $.
Выражение примет вид: $ \frac{a^{1/2} - b^{2/3}}{a^{1/4} - b^{1/3}} $.
Заметим, что числитель можно представить как разность квадратов. Так как $ a^{1/2} = (a^{1/4})^2 $ и $ b^{2/3} = (b^{1/3})^2 $, то числитель является разностью квадратов выражений $ a^{1/4} $ и $ b^{1/3} $.
Применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $, где $ x = a^{1/4} $ и $ y = b^{1/3} $:
$ a^{1/2} - b^{2/3} = (a^{1/4})^2 - (b^{1/3})^2 = (a^{1/4} - b^{1/3})(a^{1/4} + b^{1/3}) $.
Подставим это в исходную дробь:
$ \frac{(a^{1/4} - b^{1/3})(a^{1/4} + b^{1/3})}{a^{1/4} - b^{1/3}} $.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе $ (a^{1/4} - b^{1/3}) $:
$ a^{1/4} + b^{1/3} $.
Вернемся к записи с корнями: $ \sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b} $.
Ответ: $ \sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b} $

б)Исходное выражение: $ \frac{\sqrt[5]{x^9} - 1}{\sqrt[5]{x^3} - 1} $.
Представим корни в виде степеней: $ \sqrt[5]{x^9} = x^{9/5} $, $ \sqrt[5]{x^3} = x^{3/5} $.
Выражение примет вид: $ \frac{x^{9/5} - 1}{x^{3/5} - 1} $.
Сделаем замену переменной. Пусть $ y = x^{3/5} $. Тогда $ y^3 = (x^{3/5})^3 = x^{9/5} $.
Подставив $ y $, получим выражение: $ \frac{y^3 - 1}{y - 1} $.
Это формула для разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $. Применив ее, получаем:
$ \frac{(y - 1)(y^2 + y \cdot 1 + 1^2)}{y - 1} = y^2 + y + 1 $.
Теперь выполним обратную замену, подставив $ y = x^{3/5} $:
$ (x^{3/5})^2 + x^{3/5} + 1 = x^{6/5} + x^{3/5} + 1 $.
Запишем результат в виде корней: $ \sqrt[5]{x^6} + \sqrt[5]{x^3} + 1 $.
Можно также упростить первый член: $ \sqrt[5]{x^6} = \sqrt[5]{x^5 \cdot x} = x\sqrt[5]{x} $.
Тогда выражение будет $ x\sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x^3} + 1 $. Оба варианта записи корректны.
Ответ: $ \sqrt[5]{x^6} + \sqrt[5]{x^3} + 1 $

в)Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{b} - a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}} $.
Представим все члены в виде степеней с дробными показателями:
$ \sqrt{b} = b^{1/2} $
$ a\sqrt{a} = a^1 \cdot a^{1/2} = a^{3/2} $
$ \sqrt[4]{b} = b^{1/4} $
Выражение примет вид: $ \frac{b^{1/2} - a^3}{a^{3/2} + b^{1/4}} $.
Заметим, что числитель можно представить в виде разности квадратов: $ b^{1/2} = (b^{1/4})^2 $ и $ a^3 = (a^{3/2})^2 $.
Применим формулу $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $, где $ x = b^{1/4} $ и $ y = a^{3/2} $:
$ b^{1/2} - a^3 = (b^{1/4})^2 - (a^{3/2})^2 = (b^{1/4} - a^{3/2})(b^{1/4} + a^{3/2}) $.
Подставим это в исходную дробь:
$ \frac{(b^{1/4} - a^{3/2})(b^{1/4} + a^{3/2})}{a^{3/2} + b^{1/4}} $.
Сократим одинаковые множители $ (b^{1/4} + a^{3/2}) $:
$ b^{1/4} - a^{3/2} $.
Вернемся к записи с корнями: $ \sqrt[4]{b} - a\sqrt{a} $.
Ответ: $ \sqrt[4]{b} - a\sqrt{a} $

г)Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt{b}} $.
Представим все члены в виде степеней:
$ \sqrt{a} = a^{1/2} $
$ b\sqrt{b} = b^1 \cdot b^{1/2} = b^{3/2} $
$ \sqrt[6]{a} = a^{1/6} $
$ \sqrt{b} = b^{1/2} $
Выражение примет вид: $ \frac{a^{1/2} - b^{3/2}}{a^{1/6} - b^{1/2}} $.
Сделаем замену. Пусть $ x = a^{1/6} $ и $ y = b^{1/2} $.
Тогда $ x^3 = (a^{1/6})^3 = a^{3/6} = a^{1/2} $ и $ y^3 = (b^{1/2})^3 = b^{3/2} $.
Подставив $ x $ и $ y $, получим выражение: $ \frac{x^3 - y^3}{x - y} $.
Применим формулу для разности кубов $ \frac{a^3-b^3}{a-b} = a^2+ab+b^2 $:
$ \frac{x^3 - y^3}{x - y} = x^2 + xy + y^2 $.
Выполним обратную замену:
$ (a^{1/6})^2 + (a^{1/6})(b^{1/2}) + (b^{1/2})^2 = a^{2/6} + a^{1/6}b^{1/2} + b^1 = a^{1/3} + a^{1/6}b^{1/2} + b $.
Запишем результат в виде корней: $ \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a}\sqrt{b} + b $.
Для приведения второго слагаемого к одному корню, представим $ \sqrt{b} $ как $ \sqrt[6]{b^3} $:
$ \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b^3} + b = \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab^3} + b $.
Ответ: $ \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab^3} + b $

36.16 Упростите выражение:

a) $ \sqrt{50} - \sqrt[3]{3} - 6\sqrt{2} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{8} $;

б) $ 6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} - \sqrt{9xy} - \sqrt[8]{x^2} + \frac{7}{x}\sqrt{x^3}y $.

Для упрощения выражения $ \sqrt{50} - \sqrt[3]{3} - 6\sqrt{2} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{8} $ необходимо вынести множители из-под знаков корней, чтобы привести их к одинаковым подкоренным выражениям, а затем сгруппировать и сложить подобные слагаемые.

1. Упростим каждый член выражения, содержащий корень, вынося множитель из-под знака корня:
$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} $
$ \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3} $
$ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} $

2. Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:
$ 5\sqrt{2} - \sqrt[3]{3} - 6\sqrt{2} + 2\sqrt[3]{3} + 2\sqrt{2} $

3. Сгруппируем подобные слагаемые (члены с $ \sqrt{2} $ и члены с $ \sqrt[3]{3} $):
$ (5\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + (-\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{3}) $

4. Выполним сложение и вычитание коэффициентов при одинаковых корнях:
$ (5 - 6 + 2)\sqrt{2} + (-1 + 2)\sqrt[3]{3} = 1\sqrt{2} + 1\sqrt[3]{3} = \sqrt{2} + \sqrt[3]{3} $

Ответ: $ \sqrt{2} + \sqrt[3]{3} $

Для упрощения выражения $ 6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} - \sqrt{9xy} - \sqrt[8]{x^2} + \frac{7}{x}\sqrt{x^3y} $ необходимо упростить каждый член, используя свойства корней и степеней, а затем привести подобные слагаемые. Предполагается, что переменные принимают значения, при которых выражение имеет смысл ($ x > 0 $, $ y \ge 0 $).

1. Упростим каждый член выражения:
$ \sqrt{9xy} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{xy} = 3\sqrt{xy} $
$ \sqrt[8]{x^2} = x^{\frac{2}{8}} = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x} $
$ \frac{7}{x}\sqrt{x^3y} = \frac{7}{x}\sqrt{x^2 \cdot xy} = \frac{7}{x} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{xy} = \frac{7}{x} \cdot x\sqrt{xy} = 7\sqrt{xy} $

2. Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:
$ 6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} - 3\sqrt{xy} - \sqrt[4]{x} + 7\sqrt{xy} $

3. Сгруппируем подобные слагаемые (члены с $ \sqrt[4]{x} $ и члены с $ \sqrt{xy} $):
$ (6\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{x}) + (\sqrt{xy} - 3\sqrt{xy} + 7\sqrt{xy}) $

4. Выполним сложение и вычитание коэффициентов:
$ (6 - 1)\sqrt[4]{x} + (1 - 3 + 7)\sqrt{xy} = 5\sqrt[4]{x} + 5\sqrt{xy} $

Ответ: $ 5\sqrt[4]{x} + 5\sqrt{xy} $

Преобразуйте заданное выражение к виду $\sqrt[n]{A}$:

36.20 a) $\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2m^4n^8}}$;

б) $\sqrt{y^5\sqrt{9x^4y^2}}$;

в) $\sqrt[5]{4\sqrt[3]{k^2l^5}}$;

г) $\sqrt[7]{q^5\sqrt{2p^3q}}$.

а) Чтобы преобразовать выражение $\sqrt[4]{2 \sqrt[3]{2m^4n^8}}$ к виду $\sqrt[n]{A}$, необходимо выполнить следующие шаги. Сначала внесем множитель $2$, стоящий перед внутренним корнем, под знак этого корня. Для этого возведем $2$ в степень, равную показателю корня, то есть в куб: $2 \sqrt[3]{2m^4n^8} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2m^4n^8} = \sqrt[3]{8 \cdot 2m^4n^8} = \sqrt[3]{16m^4n^8}$. Теперь исходное выражение принимает вид $\sqrt[4]{\sqrt[3]{16m^4n^8}}$. Далее используем свойство корня из корня $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$. В нашем случае показатели корней равны 4 и 3, поэтому получаем: $\sqrt[4 \cdot 3]{16m^4n^8} = \sqrt[12]{16m^4n^8}$. Это выражение можно упростить. Представим $16$ как $2^4$. Тогда подкоренное выражение будет $2^4m^4n^8 = (2mn^2)^4$. Получаем $\sqrt[12]{(2mn^2)^4}$. Сократим показатель корня (12) и показатель степени подкоренного выражения (4) на их общий делитель 4: $\sqrt[12/4]{(2mn^2)^{4/4}} = \sqrt[3]{2mn^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2mn^2}$

б) Преобразуем выражение $\sqrt{y^5 \sqrt[5]{9x^4y^2}}$. Внешний корень является квадратным, то есть его показатель равен 2. Внесем множитель $y^5$ под знак внутреннего корня 5-й степени, возведя его для этого в 5-ю степень: $y^5 \sqrt[5]{9x^4y^2} = \sqrt[5]{(y^5)^5 \cdot 9x^4y^2} = \sqrt[5]{y^{25} \cdot 9x^4y^2} = \sqrt[5]{9x^4y^{27}}$. Теперь исходное выражение выглядит так: $\sqrt{\sqrt[5]{9x^4y^{27}}}$. Применим свойство корня из корня $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$: $\sqrt[2 \cdot 5]{9x^4y^{27}} = \sqrt[10]{9x^4y^{27}}$. Показатели степеней подкоренного выражения ($9=3^2, x^4, y^{27}$) и показатель корня 10 не имеют общих делителей, отличных от 1, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\sqrt[10]{9x^4y^{27}}$

в) Преобразуем выражение $\sqrt[5]{4 \sqrt[3]{k^2l^5}}$. Сначала внесем множитель $4$ под знак внутреннего кубического корня. Для этого возведем $4$ в степень 3: $4 \sqrt[3]{k^2l^5} = \sqrt[3]{4^3 \cdot k^2l^5} = \sqrt[3]{64k^2l^5}$. Исходное выражение примет вид $\sqrt[5]{\sqrt[3]{64k^2l^5}}$. Используя свойство корня из корня $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$, перемножим показатели корней 5 и 3: $\sqrt[5 \cdot 3]{64k^2l^5} = \sqrt[15]{64k^2l^5}$. Представим $64$ как $2^6$. Показатели степеней подкоренного выражения ($2^6, k^2, l^5$) и показатель корня 15 не имеют общих делителей, поэтому выражение дальше не упрощается.
Ответ: $\sqrt[15]{64k^2l^5}$

г) Преобразуем выражение $\sqrt[7]{q \sqrt[5]{2p^3q}}$. Внесем множитель $q$ под знак внутреннего корня 5-й степени, возведя его в 5-ю степень: $q \sqrt[5]{2p^3q} = \sqrt[5]{q^5 \cdot 2p^3q} = \sqrt[5]{2p^3q^{5+1}} = \sqrt[5]{2p^3q^6}$. Подставим полученное выражение в исходное: $\sqrt[7]{\sqrt[5]{2p^3q^6}}$. Применим свойство корня из корня $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$: $\sqrt[7 \cdot 5]{2p^3q^6} = \sqrt[35]{2p^3q^6}$. Показатели степеней подкоренного выражения (1 у множителя 2, 3 у $p$, 6 у $q$) и показатель корня 35 не имеют общих делителей, отличных от 1. Следовательно, выражение не упрощается.
Ответ: $\sqrt[35]{2p^3q^6}$