Страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

36.9 Внесите множитель под знак корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

а) $7a^2\sqrt{ab}$;

б) $5ab^2\sqrt[3]{a^2b}$;

в) $5x\sqrt{2x}$;

г) $2m\sqrt[3]{3m^2}$.

а)

Чтобы внести множитель $7a^2$ под знак квадратного корня, необходимо возвести этот множитель в степень корня (то есть в квадрат) и умножить на подкоренное выражение. Условие о неотрицательности переменных ($a \ge 0$, $b \ge 0$) гарантирует, что множитель $7a^2$ также неотрицателен, и знак выражения не изменится.

$7a^2\sqrt{ab} = \sqrt{(7a^2)^2 \cdot ab}$

Возводим множитель $7a^2$ в квадрат:

$(7a^2)^2 = 7^2 \cdot (a^2)^2 = 49a^4$

Умножаем результат на исходное подкоренное выражение $ab$:

$\sqrt{49a^4 \cdot ab} = \sqrt{49a^{4+1}b} = \sqrt{49a^5b}$

Ответ: $\sqrt{49a^5b}$.

б)

Чтобы внести множитель $5ab^2$ под знак кубического корня, необходимо возвести его в куб и умножить на подкоренное выражение $a^2b$. Так как $a \ge 0$ и $b \ge 0$, множитель $5ab^2$ является неотрицательным.

$5ab^2\sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{(5ab^2)^3 \cdot a^2b}$

Возводим множитель $5ab^2$ в куб:

$(5ab^2)^3 = 5^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 = 125a^3b^6$

Умножаем результат на исходное подкоренное выражение $a^2b$:

$\sqrt[3]{125a^3b^6 \cdot a^2b} = \sqrt[3]{125a^{3+2}b^{6+1}} = \sqrt[3]{125a^5b^7}$

Ответ: $\sqrt[3]{125a^5b^7}$.

в)

Чтобы внести множитель $5x$ под знак квадратного корня, возводим его в квадрат. По условию $x \ge 0$, поэтому $5x \ge 0$.

$5x\sqrt{2x} = \sqrt{(5x)^2 \cdot 2x}$

Возводим множитель $5x$ в квадрат:

$(5x)^2 = 25x^2$

Умножаем результат на подкоренное выражение $2x$:

$\sqrt{25x^2 \cdot 2x} = \sqrt{50x^{2+1}} = \sqrt{50x^3}$

Ответ: $\sqrt{50x^3}$.

г)

Чтобы внести множитель $2m$ под знак кубического корня, возводим его в куб. По условию $m \ge 0$, поэтому $2m \ge 0$.

$2m\sqrt[3]{3m^2} = \sqrt[3]{(2m)^3 \cdot 3m^2}$

Возводим множитель $2m$ в куб:

$(2m)^3 = 2^3 \cdot m^3 = 8m^3$

Умножаем результат на подкоренное выражение $3m^2$:

$\sqrt[3]{8m^3 \cdot 3m^2} = \sqrt[3]{24m^{3+2}} = \sqrt[3]{24m^5}$

Ответ: $\sqrt[3]{24m^5}$.

36.13 а) $(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y);$

б) $(3 + \sqrt[4]{a})(9 - 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a});$

в) $(2\sqrt{p} + \sqrt{q})(4p - 2\sqrt{pq} + q);$

г) $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}).$

а) Чтобы упростить выражение $(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)$, воспользуемся формулой суммы кубов: $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$.

В данном случае, пусть $A = \sqrt{x}$ и $B = \sqrt{y}$. Тогда второй множитель $x - \sqrt{xy} + y$ можно представить как $(\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = A^2 - AB + B^2$.

Следовательно, все выражение равно $A^3+B^3 = (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3$.

Упростим кубы: $(\sqrt{x})^3 = (\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x} = x\sqrt{x}$ и $(\sqrt{y})^3 = (\sqrt{y})^2 \cdot \sqrt{y} = y\sqrt{y}$.

Ответ: $x\sqrt{x} + y\sqrt{y}$.

б) Рассмотрим выражение $(3 + \sqrt[4]{a})(9 - 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a})$. Оно также соответствует формуле суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$.

Пусть $A = 3$ и $B = \sqrt[4]{a}$. Тогда $A^2 = 3^2 = 9$, $B^2 = (\sqrt[4]{a})^2 = a^{2/4} = a^{1/2} = \sqrt{a}$, и $AB = 3\sqrt[4]{a}$.

Второй множитель $9 - 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a}$ является неполным квадратом разности $A^2 - AB + B^2$.

Таким образом, произведение равно $A^3+B^3 = 3^3 + (\sqrt[4]{a})^3 = 27 + a^{3/4} = 27 + \sqrt[4]{a^3}$.

Ответ: $27 + \sqrt[4]{a^3}$.

в) Выражение $(2\sqrt{p} + \sqrt{q})(4p - 2\sqrt{pq} + q)$ является произведением суммы на неполный квадрат разности, что соответствует формуле суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$.

Обозначим $A = 2\sqrt{p}$ и $B = \sqrt{q}$.

Тогда $A^2 = (2\sqrt{p})^2 = 4p$, $B^2 = (\sqrt{q})^2 = q$, и $AB = (2\sqrt{p})(\sqrt{q}) = 2\sqrt{pq}$.

Применяя формулу, получаем: $(2\sqrt{p})^3 + (\sqrt{q})^3 = 8p\sqrt{p} + q\sqrt{q}$.

Ответ: $8p\sqrt{p} + q\sqrt{q}$.

г) Для упрощения выражения $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})$ воспользуемся формулой разности кубов: $(A-B)(A^2+AB+B^2) = A^3-B^3$.

Пусть $A = \sqrt[6]{a}$ и $B = \sqrt[6]{b}$.

Преобразуем первый множитель: $\sqrt[3]{a} = a^{1/3} = a^{2/6} = (\sqrt[6]{a})^2 = A^2$, $\sqrt[3]{b} = b^{1/3} = b^{2/6} = (\sqrt[6]{b})^2 = B^2$ и $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b} = AB$.

Таким образом, выражение можно записать в виде $(A^2+AB+B^2)(A-B)$, что равно $A^3-B^3$.

Подставим значения $A$ и $B$ обратно: $(\sqrt[6]{a})^3 - (\sqrt[6]{b})^3 = a^{3/6} - b^{3/6} = a^{1/2} - b^{1/2} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.

36.6 Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные могут принимать как положительные, так и отрицательные значения:

а) $\sqrt{a^2b}$;

б) $\sqrt[3]{a^3b}$;

в) $\sqrt[4]{a^4b}$;

г) $\sqrt{a^5b}$.

а)

Рассмотрим выражение $\sqrt{a^2b}$. Так как корень квадратный (четной степени), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^2b \ge 0$. Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$, это условие выполняется только если $b \ge 0$. Используем свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$): $\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b}$. По основному свойству арифметического корня четной степени, $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$, в нашем случае $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, получаем: $\sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b}$.
Ответ: $|a|\sqrt{b}$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{a^3b}$. Так как корень кубический (нечетной степени), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Ограничений на знаки переменных $a$ и $b$ не накладывается. Используем свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$: $\sqrt[3]{a^3b} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b}$. Для корня нечетной степени $n$ справедливо равенство $\sqrt[n]{x^n} = x$ для любого действительного $x$. В нашем случае $n=3$, поэтому $\sqrt[3]{a^3} = a$. Таким образом, получаем: $\sqrt[3]{a^3b} = a\sqrt[3]{b}$.
Ответ: $a\sqrt[3]{b}$

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{a^4b}$. Так как корень четвертой степени (четной степени), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^4b \ge 0$. Поскольку $a^4 \ge 0$ для любого действительного значения $a$, это условие выполняется только если $b \ge 0$. Используем свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$): $\sqrt[4]{a^4b} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b}$. Для корня четной степени $n$ справедливо равенство $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для любого действительного $x$. В нашем случае $n=4$, поэтому $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Таким образом, получаем: $\sqrt[4]{a^4b} = |a|\sqrt[4]{b}$.
Ответ: $|a|\sqrt[4]{b}$

г)

Рассмотрим выражение $\sqrt{a^5b}$. Это корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^5b \ge 0$. Чтобы вынести множитель, представим $a^5$ в виде произведения, содержащего множитель в четной степени. $a^5 = a^4 \cdot a$. Тогда выражение под корнем можно переписать как $a^4 \cdot a \cdot b = a^4(ab)$. $\sqrt{a^5b} = \sqrt{a^4(ab)} = \sqrt{a^4}\sqrt{ab}$. Вычисляем корень из первого множителя: $\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2}$. Поскольку $a^2$ всегда неотрицательно, $\sqrt{(a^2)^2} = a^2$. Следовательно, $\sqrt{a^5b} = a^2\sqrt{ab}$. Проверим область определения. Исходное выражение определено при $a^5b \ge 0$. Полученное выражение определено при $ab \ge 0$. Эти условия эквивалентны, так как знак произведения $a^5b$ совпадает со знаком произведения $ab$ (или оба равны нулю).
Ответ: $a^2\sqrt{ab}$

36.10 Упростите выражение:

a) $\sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{3}$;

б) $2\sqrt[7]{3} + \sqrt[7]{384}$;

в) $2\sqrt[5]{64} + \sqrt[5]{486}$;

г) $\sqrt[4]{512} - \sqrt[4]{2}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{3} $, необходимо вынести множитель из-под знака первого корня, приведя его к такому же подкоренному выражению, как и у второго члена.

1. Разложим число 24 на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа: $ 24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 $.

2. Вынесем множитель из-под знака корня:

$ \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3} $.

3. Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$ 2\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3} $.

4. Выполним вычитание, так как подкоренные выражения одинаковы:

$ (2-1)\sqrt[3]{3} = 1 \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{3} $.

б) Чтобы упростить выражение $ 2\sqrt[7]{3} + \sqrt[7]{384} $, упростим второй член, вынеся множитель из-под знака корня.

1. Разложим число 384 на множители. Заметив, что первый член содержит корень из 3, проверим, делится ли 384 на 3: $ 384 \div 3 = 128 $.

2. Число 128 является седьмой степенью числа 2: $ 2^7 = 128 $. Таким образом, $ 384 = 128 \cdot 3 = 2^7 \cdot 3 $.

3. Вынесем множитель из-под знака корня:

$ \sqrt[7]{384} = \sqrt[7]{128 \cdot 3} = \sqrt[7]{2^7} \cdot \sqrt[7]{3} = 2\sqrt[7]{3} $.

4. Подставим упрощенный корень в исходное выражение:

$ 2\sqrt[7]{3} + 2\sqrt[7]{3} $.

5. Сложим подобные члены:

$ (2+2)\sqrt[7]{3} = 4\sqrt[7]{3} $.

Ответ: $ 4\sqrt[7]{3} $.

в) Чтобы упростить выражение $ 2\sqrt[5]{64} + \sqrt[5]{486} $, упростим оба члена, вынося множители из-под знаков корней.

1. Упростим первый член $ 2\sqrt[5]{64} $. Разложим 64 на множители: $ 64 = 32 \cdot 2 = 2^5 \cdot 2 $. Вынесем множитель:

$ 2\sqrt[5]{64} = 2\sqrt[5]{32 \cdot 2} = 2 \cdot (\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{2}) = 2 \cdot (2\sqrt[5]{2}) = 4\sqrt[5]{2} $.

2. Упростим второй член $ \sqrt[5]{486} $. Разложим 486 на множители: $ 486 = 243 \cdot 2 = 3^5 \cdot 2 $. Вынесем множитель:

$ \sqrt[5]{486} = \sqrt[5]{243 \cdot 2} = \sqrt[5]{3^5} \cdot \sqrt[5]{2} = 3\sqrt[5]{2} $.

3. Подставим упрощенные члены в исходное выражение:

$ 4\sqrt[5]{2} + 3\sqrt[5]{2} $.

4. Сложим подобные члены:

$ (4+3)\sqrt[5]{2} = 7\sqrt[5]{2} $.

Ответ: $ 7\sqrt[5]{2} $.

г) Чтобы упростить выражение $ \sqrt[4]{512} - \sqrt[4]{2} $, упростим первый член, вынеся множитель из-под знака корня.

1. Разложим число 512 на множители. Поскольку второй член содержит корень из 2, проверим деление на 2: $ 512 \div 2 = 256 $.

2. Число 256 является четвертой степенью числа 4: $ 4^4 = 256 $. Таким образом, $ 512 = 256 \cdot 2 = 4^4 \cdot 2 $.

3. Вынесем множитель из-под знака корня:

$ \sqrt[4]{512} = \sqrt[4]{256 \cdot 2} = \sqrt[4]{4^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 4\sqrt[4]{2} $.

4. Подставим полученное значение в исходное выражение:

$ 4\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} $.

5. Выполним вычитание:

$ (4-1)\sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2} $.

Ответ: $ 3\sqrt[4]{2} $.

36.14 a) $ \left(\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n}\right)^2; $

б) $ \left(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3}\right)^2; $

В) $ \left(a^2 - \sqrt{a}\right)^2; $

Г) $ \left(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2}\right)^2. $

а)

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = \sqrt[3]{m}$ и $b = 2\sqrt[3]{n}$.

Подставим эти значения в формулу:

$(\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n})^2 = (\sqrt[3]{m})^2 - 2 \cdot \sqrt[3]{m} \cdot 2\sqrt[3]{n} + (2\sqrt[3]{n})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt[3]{m})^2 = \sqrt[3]{m^2}$

$2 \cdot \sqrt[3]{m} \cdot 2\sqrt[3]{n} = 4\sqrt[3]{mn}$

$(2\sqrt[3]{n})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt[3]{n})^2 = 4\sqrt[3]{n^2}$

Соберем все вместе:

$\sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{mn} + 4\sqrt[3]{n^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{mn} + 4\sqrt[3]{n^2}$.

б)

Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = \sqrt[3]{5}$ и $b = \sqrt{3}$.

Подставляем в формулу:

$(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt[3]{5})^2 - 2 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

Упрощаем:

$(\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Средний член $2 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{3}$ упростить нельзя, так как корни имеют разные степени.

Получаем выражение:

$\sqrt[3]{25} - 2\sqrt[3]{5}\sqrt{3} + 3$

Ответ: $\sqrt[3]{25} - 2\sqrt[3]{5}\sqrt{3} + 3$.

в)

Снова применяем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном примере $x = a^2$ и $y = \sqrt{a}$.

Подставляем в формулу:

$(a^2 - \sqrt{a})^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{a})^2$

Выполняем действия:

$(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$

$(\sqrt{a})^2 = a$

Собираем все части:

$a^4 - 2a^2\sqrt{a} + a$

Ответ: $a^4 - 2a^2\sqrt{a} + a$.

г)

Для этого выражения используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a = \sqrt[3]{4}$ и $b = 2\sqrt{2}$.

Подставляем в формулу:

$(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})^2 = (\sqrt[3]{4})^2 + 2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$

$2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot 2\sqrt{2} = 4 \cdot \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2^{2/3} \cdot 2^{1/2} = 4 \cdot 2^{2/3 + 1/2} = 4 \cdot 2^{4/6 + 3/6} = 4 \cdot 2^{7/6} = 4 \cdot \sqrt[6]{2^7} = 4 \cdot \sqrt[6]{64 \cdot 2} = 4 \cdot 2\sqrt[6]{2} = 8\sqrt[6]{2}$

$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

Складываем полученные выражения и для удобства располагаем целое число в начале:

$8 + 2\sqrt[3]{2} + 8\sqrt[6]{2}$

Ответ: $8 + 2\sqrt[3]{2} + 8\sqrt[6]{2}$.

Внесите множитель под знак корня:

36.7 a) $2\sqrt{5}$;

б) $6\sqrt[3]{1\frac{1}{9}};

в) $5\sqrt{3};

г) $3\sqrt[4]{2\frac{5}{27}}.$

а) Чтобы внести множитель $2$ под знак квадратного корня, необходимо возвести этот множитель во вторую степень (так как корень квадратный) и умножить на подкоренное выражение.
$2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.
Ответ: $\sqrt{20}$.

б) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$.
Теперь внесем множитель $6$ под знак кубического корня. Для этого возведем $6$ в третью степень (так как корень кубический) и умножим на подкоренное выражение:
$6\sqrt[3]{1\frac{1}{9}} = 6\sqrt[3]{\frac{10}{9}} = \sqrt[3]{6^3 \cdot \frac{10}{9}} = \sqrt[3]{216 \cdot \frac{10}{9}} = \sqrt[3]{\frac{216 \cdot 10}{9}} = \sqrt[3]{24 \cdot 10} = \sqrt[3]{240}$.
Ответ: $\sqrt[3]{240}$.

в) Чтобы внести множитель $5$ под знак квадратного корня, возведем $5$ во вторую степень и умножим на подкоренное выражение:
$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.
Ответ: $\sqrt{75}$.

г) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{5}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 5}{27} = \frac{54+5}{27} = \frac{59}{27}$.
Теперь внесем множитель $3$ под знак корня четвертой степени. Для этого возведем $3$ в четвертую степень и умножим на подкоренное выражение:
$3\sqrt[4]{2\frac{5}{27}} = 3\sqrt[4]{\frac{59}{27}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot \frac{59}{27}} = \sqrt[4]{81 \cdot \frac{59}{27}} = \sqrt[4]{\frac{81 \cdot 59}{27}} = \sqrt[4]{3 \cdot 59} = \sqrt[4]{177}$.
Ответ: $\sqrt[4]{177}$.

36.11 Расположите числа в порядке возрастания:

а) $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{18}$;

б) $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{40}$;

в) $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{30}$;

г) $\sqrt[4]{4}$, $\sqrt[6]{3}$ и $\sqrt[3]{2}$.

а)

Чтобы сравнить числа $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{18}$, необходимо привести их к одному и тому же показателю корня. Показатели данных корней — 2, 3 и 6. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел — 6. Приведем все корни к показателю 6, используя свойство $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$.

$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3 \cdot 2]{4^2} = \sqrt[6]{16}$

Число $\sqrt[6]{18}$ уже имеет показатель 6.

Теперь сравним подкоренные выражения: 27, 16 и 18. Поскольку функция $y=\sqrt[6]{x}$ является возрастающей, большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.

Расположим подкоренные выражения в порядке возрастания: $16 < 18 < 27$.

Следовательно, $\sqrt[6]{16} < \sqrt[6]{18} < \sqrt[6]{27}$.

Возвращаясь к исходным числам, получаем: $\sqrt[3]{4} < \sqrt[6]{18} < \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4}, \sqrt[6]{18}, \sqrt{3}$.

б)

Чтобы сравнить числа $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{40}$, приведем их к общему показателю корня. Показатели корней — 5, 3 и 15. НОК(5, 3, 15) = 15.

Приведем корни к показателю 15:

$\sqrt[5]{4} = \sqrt[5 \cdot 3]{4^3} = \sqrt[15]{64}$

$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$

Число $\sqrt[15]{40}$ уже имеет нужный показатель.

Сравним подкоренные выражения: 64, 32 и 40.

Расположим их в порядке возрастания: $32 < 40 < 64$.

Следовательно, $\sqrt[15]{32} < \sqrt[15]{40} < \sqrt[15]{64}$.

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания: $\sqrt[3]{2} < \sqrt[15]{40} < \sqrt[5]{4}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2}, \sqrt[15]{40}, \sqrt[5]{4}$.

в)

Сравним числа $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{30}$. Общий показатель корня — НОК(5, 3, 15) = 15.

Приведем корни к показателю 15:

$\sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[15]{27}$

$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$

Число $\sqrt[15]{30}$ уже имеет показатель 15.

Сравним подкоренные выражения: 27, 32 и 30.

В порядке возрастания: $27 < 30 < 32$.

Отсюда следует, что $\sqrt[15]{27} < \sqrt[15]{30} < \sqrt[15]{32}$.

Значит, исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $\sqrt[5]{3} < \sqrt[15]{30} < \sqrt[3]{2}$.

Ответ: $\sqrt[5]{3}, \sqrt[15]{30}, \sqrt[3]{2}$.

г)

Сравним числа $\sqrt[4]{4}$, $\sqrt[6]{3}$ и $\sqrt[3]{2}$. Показатели корней — 4, 6 и 3. НОК(4, 6, 3) = 12. Приведем все корни к общему показателю 12.

$\sqrt[4]{4} = \sqrt[4 \cdot 3]{4^3} = \sqrt[12]{64}$

$\sqrt[6]{3} = \sqrt[6 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[12]{9}$

$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 4]{2^4} = \sqrt[12]{16}$

Теперь сравним полученные подкоренные выражения: 64, 9 и 16.

В порядке возрастания: $9 < 16 < 64$.

Следовательно, $\sqrt[12]{9} < \sqrt[12]{16} < \sqrt[12]{64}$.

Возвращаясь к исходным числам, получаем порядок: $\sqrt[6]{3} < \sqrt[3]{2} < \sqrt[4]{4}$.

Ответ: $\sqrt[6]{3}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{4}$.

36.8 a) $\frac{2}{3}\sqrt{3}$;

б) $\frac{1}{2}\sqrt[3]{12}$;

в) $1\frac{2}{5}\sqrt{3\frac{4}{7}} $;

г) $0,2\sqrt[3]{25}$.

а) Чтобы внести положительный множитель под знак квадратного корня, нужно возвести этот множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение.
$\frac{2}{3}\sqrt{3} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 3} = \sqrt{\frac{2^2}{3^2} \cdot 3} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 3} = \sqrt{\frac{12}{9}}$
Сократим дробь под корнем:
$\sqrt{\frac{12}{9}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{4}{3}}$
Ответ: $\sqrt{\frac{4}{3}}$

б) Чтобы внести множитель под знак кубического корня, нужно возвести этот множитель в куб и умножить на подкоренное выражение.
$\frac{1}{2}\sqrt[3]{12} = \sqrt[3]{(\frac{1}{2})^3 \cdot 12} = \sqrt[3]{\frac{1^3}{2^3} \cdot 12} = \sqrt[3]{\frac{1}{8} \cdot 12} = \sqrt[3]{\frac{12}{8}}$
Сократим дробь под корнем:
$\sqrt[3]{\frac{12}{8}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}} = \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$
Ответ: $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

в) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$
$3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}$
Исходное выражение: $1\frac{2}{5}\sqrt{3\frac{4}{7}} = \frac{7}{5}\sqrt{\frac{25}{7}}$
Внесем множитель $\frac{7}{5}$ под знак квадратного корня, возведя его в квадрат:
$\frac{7}{5}\sqrt{\frac{25}{7}} = \sqrt{(\frac{7}{5})^2 \cdot \frac{25}{7}} = \sqrt{\frac{7^2}{5^2} \cdot \frac{25}{7}} = \sqrt{\frac{49}{25} \cdot \frac{25}{7}}$
Сократим выражение под корнем:
$\sqrt{\frac{49 \cdot 25}{25 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{49}{7}} = \sqrt{7}$
Ответ: $\sqrt{7}$

г) Сначала представим десятичную дробь $0,2$ в виде обыкновенной дроби.
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Исходное выражение: $0,2\sqrt[3]{25} = \frac{1}{5}\sqrt[3]{25}$
Внесем множитель $\frac{1}{5}$ под знак кубического корня, возведя его в куб:
$\frac{1}{5}\sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{(\frac{1}{5})^3 \cdot 25} = \sqrt[3]{\frac{1^3}{5^3} \cdot 25} = \sqrt[3]{\frac{1}{125} \cdot 25} = \sqrt[3]{\frac{25}{125}}$
Сократим дробь под корнем:
$\sqrt[3]{\frac{25}{125}} = \sqrt[3]{\frac{1 \cdot 25}{5 \cdot 25}} = \sqrt[3]{\frac{1}{5}}$
Ответ: $\sqrt[3]{\frac{1}{5}}$

Выполните действия:

36.12 а) $(\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})$;

б) $(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt[3]{5})$;

в) $(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})$;

г) $(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{2} - \sqrt[3]{4})$.

а) $(\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})$

Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Для его упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В нашем случае, пусть $x = \sqrt[3]{m}$ и $y = 2\sqrt[3]{n}$.

Подставим эти значения в формулу:

$(\sqrt[3]{m})^2 - (2\sqrt[3]{n})^2$

Теперь возведем каждый член в квадрат:

$(\sqrt[3]{m})^2 = m^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{m^2}$

$(2\sqrt[3]{n})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt[3]{n})^2 = 4 \cdot n^{\frac{2}{3}} = 4\sqrt[3]{n^2}$

Таким образом, итоговое выражение равно:

$\sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{n^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{n^2}$

б) $(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt[3]{5})$

Чтобы использовать формулу разности квадратов, переставим слагаемые во второй скобке:

$(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})(\sqrt[3]{5} + \sqrt{3})$

Теперь применим формулу $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x = \sqrt[3]{5}$ и $y = \sqrt{3}$.

$(\sqrt[3]{5})^2 - (\sqrt{3})^2$

Вычислим значения квадратов:

$(\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

В результате получаем:

$\sqrt[3]{25} - 3$

Ответ: $\sqrt[3]{25} - 3$

в) $(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})$

Это выражение является классическим примером формулы разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = a$ и $y = \sqrt{b}$.

Применяя формулу, получаем:

$a^2 - (\sqrt{b})^2$

Так как $(\sqrt{b})^2 = b$, выражение упрощается до:

$a^2 - b$

Ответ: $a^2 - b$

г) $(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{2} - \sqrt[3]{4})$

Переставим слагаемые в первой скобке, чтобы привести выражение к удобному виду:

$(2\sqrt{2} + \sqrt[3]{4})(2\sqrt{2} - \sqrt[3]{4})$

Это снова формула разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = 2\sqrt{2}$ и $y = \sqrt[3]{4}$.

Применим формулу:

$(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt[3]{4})^2$

Вычислим каждый член по отдельности:

$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

$(\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16}$

Упростим $\sqrt[3]{16}$, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}$

Подставим вычисленные значения в выражение:

$8 - 2\sqrt[3]{2}$

Ответ: $8 - 2\sqrt[3]{2}$