Страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Упростите выражение:

37.30 a) $(1 + c^{\frac{1}{2}})^2 - 2c^{\frac{1}{2}};$

б) $(m^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{3}})^2 + 2m^{\frac{7}{12}};$

в) $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}};$

г) $\sqrt{b} + \sqrt{c} - (b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}})^2.$

а) $(1 + c^{\frac{1}{2}})^2 - 2c^{\frac{1}{2}}$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(1 + c^{\frac{1}{2}})^2 - 2c^{\frac{1}{2}} = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot c^{\frac{1}{2}} + (c^{\frac{1}{2}})^2) - 2c^{\frac{1}{2}} = (1 + 2c^{\frac{1}{2}} + c) - 2c^{\frac{1}{2}}$

Приведем подобные слагаемые:

$1 + 2c^{\frac{1}{2}} + c - 2c^{\frac{1}{2}} = 1 + c$

Ответ: $1 + c$

б) $(m^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{3}})^2 + 2m^{\frac{7}{12}}$

Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Также используем свойство степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$.

$(m^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{3}})^2 + 2m^{\frac{7}{12}} = ((m^{\frac{1}{4}})^2 - 2 \cdot m^{\frac{1}{4}} \cdot m^{\frac{1}{3}} + (m^{\frac{1}{3}})^2) + 2m^{\frac{7}{12}}$

Упростим степени:

$m^{\frac{2}{4}} - 2m^{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}} + m^{\frac{2}{3}} + 2m^{\frac{7}{12}} = m^{\frac{1}{2}} - 2m^{\frac{3}{12}+\frac{4}{12}} + m^{\frac{2}{3}} + 2m^{\frac{7}{12}} = m^{\frac{1}{2}} - 2m^{\frac{7}{12}} + m^{\frac{2}{3}} + 2m^{\frac{7}{12}}$

Приведем подобные слагаемые:

$m^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $m^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{2}{3}}$

в) $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$

Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} = ((x^{\frac{1}{2}})^2 - 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + (y^{\frac{1}{2}})^2) + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$

Упростим степени и приведем подобные слагаемые:

$x - 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} = x + y$

Ответ: $x + y$

г) $\sqrt{b} + \sqrt{c} - (b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}})^2$

Перепишем квадратные корни в виде степеней: $b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}})^2$.

Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - ((b^{\frac{1}{4}})^2 + 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} + (c^{\frac{1}{4}})^2) = b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{2}{4}} + 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{2}{4}})$

Упростим степени и раскроем скобки:

$b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{2}}) = b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} - c^{\frac{1}{2}}$

Приведем подобные слагаемые:

$-2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} = -2(bc)^{\frac{1}{4}}$

Ответ: $-2(bc)^{\frac{1}{4}}$

37.34 a) $\left(\left(c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0,4}\right)^3 \cdot c^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0,2}\right)^{-1}$

б) $\left(p^{-1} q^{\frac{5}{4}}\left(p^{-\frac{2}{7}} \cdot q^{\frac{1}{14}}\right)^{3,5}\right)^{-1}$

а) Решим выражение $\left(\left(c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0,4}\right)^{3} \cdot c^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0,2}\right)^{-1}$.

Для упрощения данного выражения последовательно выполним действия со степенями.

1. Сначала возведем в куб выражение в первой внутренней скобке. Для этого используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\left(c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0,4}\right)^{3} = \left(c^{-\frac{3}{7}}\right)^{3} \cdot \left(y^{-0,4}\right)^{3} = c^{-\frac{3}{7} \cdot 3} \cdot y^{-0,4 \cdot 3} = c^{-\frac{9}{7}} \cdot y^{-1,2}$

2. Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\left(c^{-\frac{9}{7}} \cdot y^{-1,2} \cdot c^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0,2}\right)^{-1}$

3. Далее сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$c^{-\frac{9}{7}} \cdot c^{\frac{3}{7}} = c^{-\frac{9}{7} + \frac{3}{7}} = c^{-\frac{6}{7}}$

$y^{-1,2} \cdot y^{0,2} = y^{-1,2 + 0,2} = y^{-1}$

4. После упрощения выражение в больших скобках принимает вид:

$c^{-\frac{6}{7}} \cdot y^{-1}$

5. Наконец, возведем полученное произведение в степень -1, снова используя свойства $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\left(c^{-\frac{6}{7}} \cdot y^{-1}\right)^{-1} = \left(c^{-\frac{6}{7}}\right)^{-1} \cdot \left(y^{-1}\right)^{-1} = c^{-\frac{6}{7} \cdot (-1)} \cdot y^{-1 \cdot (-1)} = c^{\frac{6}{7}}y$

Ответ: $c^{\frac{6}{7}}y$

б) Решим выражение $\left(p^{-1}q^{\frac{5}{4}}\left(p^{-\frac{2}{7}} \cdot q^{\frac{1}{14}}\right)^{3,5}\right)^{-1}$.

Для упрощения будем действовать пошагово.

1. Преобразуем десятичную степень 3,5 в обыкновенную дробь для удобства вычислений: $3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$.

2. Возведем в степень $\frac{7}{2}$ выражение во внутренней скобке, используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\left(p^{-\frac{2}{7}} \cdot q^{\frac{1}{14}}\right)^{\frac{7}{2}} = \left(p^{-\frac{2}{7}}\right)^{\frac{7}{2}} \cdot \left(q^{\frac{1}{14}}\right)^{\frac{7}{2}} = p^{-\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2}} \cdot q^{\frac{1}{14} \cdot \frac{7}{2}} = p^{-1} \cdot q^{\frac{7}{28}} = p^{-1}q^{\frac{1}{4}}$

3. Подставим полученное выражение в исходное:

$\left(p^{-1}q^{\frac{5}{4}} \cdot p^{-1}q^{\frac{1}{4}}\right)^{-1}$

4. Умножим степени с одинаковыми основаниями внутри скобок, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$p^{-1} \cdot p^{-1} = p^{-1 + (-1)} = p^{-2}$

$q^{\frac{5}{4}} \cdot q^{\frac{1}{4}} = q^{\frac{5}{4} + \frac{1}{4}} = q^{\frac{6}{4}} = q^{\frac{3}{2}}$

5. Выражение в скобках теперь имеет вид:

$p^{-2}q^{\frac{3}{2}}$

6. В последнем шаге возведем это выражение в степень -1:

$\left(p^{-2}q^{\frac{3}{2}}\right)^{-1} = \left(p^{-2}\right)^{-1} \cdot \left(q^{\frac{3}{2}}\right)^{-1} = p^{-2 \cdot (-1)} \cdot q^{\frac{3}{2} \cdot (-1)} = p^{2}q^{-\frac{3}{2}}$

Ответ: $p^{2}q^{-\frac{3}{2}}$

37.31 a) $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2;$

б) $(a^{\frac{3}{2}} + 5a^{\frac{1}{2}})^2 - 10a^2.$

а)

Для упрощения выражения $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2$ можно использовать два способа.

Способ 1: Использование формулы разности квадратов.

Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В нашем случае $x = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$ и $y = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$.

Подставим эти значения в формулу:

$((a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})) \cdot ((a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) + (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}))$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} = 2b^{\frac{1}{3}}$

Вторая скобка: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} = 2a^{\frac{1}{3}}$

Перемножим полученные результаты:

$2b^{\frac{1}{3}} \cdot 2a^{\frac{1}{3}} = 4a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

Способ 2: Раскрытие скобок.

Используем формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

$(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$

$(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) - (a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) = a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$

Приводим подобные слагаемые: $(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{2}{3}}) + (b^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}) + (2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}) = 4a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $4a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

б)

Упростим выражение $(a^{\frac{3}{2}} + 5a^{\frac{1}{2}})^2 - 10a^2$.

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = a^{\frac{3}{2}}$ и $y = 5a^{\frac{1}{2}}$.

$(a^{\frac{3}{2}} + 5a^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{3}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{3}{2}} \cdot 5a^{\frac{1}{2}} + (5a^{\frac{1}{2}})^2$

Упростим каждый член выражения, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(a^{\frac{3}{2}})^2 = a^{\frac{3}{2} \cdot 2} = a^3$

$2 \cdot a^{\frac{3}{2}} \cdot 5a^{\frac{1}{2}} = 10 \cdot a^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = 10a^{\frac{4}{2}} = 10a^2$

$(5a^{\frac{1}{2}})^2 = 5^2 \cdot (a^{\frac{1}{2}})^2 = 25 \cdot a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 25a$

Таким образом, выражение в скобках равно $a^3 + 10a^2 + 25a$.

Теперь подставим это в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 + 10a^2 + 25a) - 10a^2 = a^3 + (10a^2 - 10a^2) + 25a = a^3 + 25a$

Ответ: $a^3 + 25a$

Вычислите:

37.35 a) $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 81^{\frac{1}{2}} \cdot 125^{\frac{1}{3}}$;

б) $49^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{7})^{-2} + 2^{-1} \cdot (-2)^{-2}$;

в) $216^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{6})^{-2} - 5^{-1} \cdot (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} ;

г) $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2^{-1} \cdot (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{3}}$.

а) Для решения данного выражения воспользуемся свойствами степеней: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
$(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 81^{\frac{1}{2}} \cdot 125^{-\frac{1}{3}} = (4^{\frac{1}{2}}) \cdot (25^{\frac{1}{2}}) - (81^{\frac{1}{2}}) \cdot (\frac{1}{125^{\frac{1}{3}}})$
Вычислим каждое значение по отдельности:
$(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$
$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$
$81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$
$125^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{125^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5}$
Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:
$2 \cdot 5 - 9 \cdot \frac{1}{5} = 10 - \frac{9}{5} = \frac{50}{5} - \frac{9}{5} = \frac{41}{5} = 8,2$
Ответ: 8,2

б) Используем те же свойства степеней.
$49^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{7})^{-2} + 2^{-1} \cdot (-2)^{-2} = (\frac{1}{49^{\frac{1}{2}}}) \cdot (7^2) + (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{(-2)^2})$
Вычислим каждое значение:
$49^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{49}} = \frac{1}{7}$
$(\frac{1}{7})^{-2} = 7^2 = 49$
$2^{-1} = \frac{1}{2}$
$(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$
Подставим значения в выражение:
$\frac{1}{7} \cdot 49 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{49}{7} + \frac{1}{8} = 7 + \frac{1}{8} = 7\frac{1}{8}$
Ответ: $7\frac{1}{8}$

в) Применим свойства степеней для вычисления выражения.
$216^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{6})^{-2} - 5^{-1} \cdot (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{216^{\frac{1}{3}}}) \cdot (6^2) - (\frac{1}{5}) \cdot (25^{\frac{1}{2}})$
Вычислим каждое значение:
$216^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{216}} = \frac{1}{6}$
$(\frac{1}{6})^{-2} = 6^2 = 36$
$5^{-1} = \frac{1}{5}$
$(\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$
Подставим значения в выражение:
$\frac{1}{6} \cdot 36 - \frac{1}{5} \cdot 5 = \frac{36}{6} - 1 = 6 - 1 = 5$
Ответ: 5

г) Решим выражение, применяя свойства степеней.
$(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2^{-1} \cdot (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{3}} = (4^{\frac{1}{2}}) \cdot (16^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2}) \cdot (25^{\frac{1}{2}}) \cdot (8^{\frac{1}{3}})$
Вычислим каждое значение:
$(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$
$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$
$2^{-1} = \frac{1}{2}$
$(\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$
$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$
Подставим значения в выражение:
$2 \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 8 - \frac{10}{2} = 8 - 5 = 3$
Ответ: 3

37.32 a) $(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1);$

б) $(k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}})(k^{\frac{1}{8}} + l^{\frac{1}{8}})(k^{\frac{1}{8}} - l^{\frac{1}{8}}).$

а) Чтобы упростить данное выражение, применим формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $ дважды.

Сначала сгруппируем первые два множителя: $ (x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} - 1) $. Здесь $ a = x^{\frac{1}{4}} $ и $ b = 1 $. Применяя формулу, получаем: $ (x^{\frac{1}{4}})^2 - 1^2 = x^{\frac{1}{4} \cdot 2} - 1 = x^{\frac{2}{4}} - 1 = x^{\frac{1}{2}} - 1 $.

Теперь исходное выражение выглядит так: $ (x^{\frac{1}{2}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1) $.

Снова применяем формулу разности квадратов, где $ a = x^{\frac{1}{2}} $ и $ b = 1 $: $ (x^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 = x^1 - 1 = x - 1 $.

Ответ: $ x - 1 $

б) В этом выражении для удобства вычислений изменим порядок умножения и сначала перемножим вторую и третью скобки. Мы снова будем использовать формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.

Рассмотрим произведение $ (k^{\frac{1}{8}} + l^{\frac{1}{8}})(k^{\frac{1}{8}} - l^{\frac{1}{8}}) $. Здесь $ a = k^{\frac{1}{8}} $ и $ b = l^{\frac{1}{8}} $. Применяя формулу, получаем: $ (k^{\frac{1}{8}})^2 - (l^{\frac{1}{8}})^2 = k^{\frac{1}{8} \cdot 2} - l^{\frac{1}{8} \cdot 2} = k^{\frac{2}{8}} - l^{\frac{2}{8}} = k^{\frac{1}{4}} - l^{\frac{1}{4}} $.

Теперь исходное выражение можно записать как: $ (k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}})(k^{\frac{1}{4}} - l^{\frac{1}{4}}) $.

И вновь применяем ту же формулу, где $ a = k^{\frac{1}{4}} $ и $ b = l^{\frac{1}{4}} $: $ (k^{\frac{1}{4}})^2 - (l^{\frac{1}{4}})^2 = k^{\frac{1}{4} \cdot 2} - l^{\frac{1}{4} \cdot 2} = k^{\frac{2}{4}} - l^{\frac{2}{4}} = k^{\frac{1}{2}} - l^{\frac{1}{2}} $.

Ответ: $ k^{\frac{1}{2}} - l^{\frac{1}{2}} $

37.33

a) $ \frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a - b} $;

б) $ \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{y}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $.

а) Упростим выражение $ \frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a - b} $.
Для этого преобразуем каждую дробь по отдельности.
1. Рассмотрим первую дробь $ \frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} $. Применим в числителе формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $, где $ x = a^{\frac{1}{2}} $ и $ y = b^{\frac{1}{2}} $.
$ a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.
Тогда дробь принимает вид:
$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} $.
2. Рассмотрим вторую дробь $ \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a - b} $. Применим в числителе формулу разности кубов $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $, где $ x = a^{\frac{1}{2}} $ и $ y = b^{\frac{1}{2}} $.
$ a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})( (a^{\frac{1}{2}})^2 + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + (b^{\frac{1}{2}})^2 ) = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) $.
Знаменатель $ a - b $ мы уже раскладывали: $ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.
Тогда вторая дробь принимает вид:
$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.
3. Теперь выполним вычитание:
$ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) - \frac{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.
Приведем к общему знаменателю $ a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} $:
$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} - \frac{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b - (a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b - a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.
Ответ: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.

б) Упростим выражение $ \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{y}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $.
Заметим, что $ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $ и $ \sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}} $. Перепишем выражение:
$ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей: $ (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) $.
Используя формулу разности квадратов, получим: $ (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = x - y $.
Домножим числитель первой дроби на $ (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) $, а числитель второй дроби на $ (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) $:
$ \frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}}{x - y} = \frac{x - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y}{x - y} $.
Приведем подобные слагаемые в числителе ( $ - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} $ и $ + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} $ взаимно уничтожаются):
$ \frac{x + y}{x - y} $.
Ответ: $ \frac{x + y}{x - y} $.