Страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

38.38 Исследуйте функцию на монотонность и экстремум и постройте её график:

а) $y = \sqrt{x} - x;$

б) $y = x\sqrt{x+2}.$

а) $y = \sqrt{x} - x$

1. Область определения.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Следовательно, область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Производная и критические точки.
Найдем производную функции:$y' = (\sqrt{x} - x)' = (x^{1/2} - x)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$.
Производная определена для всех $x > 0$.Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$y' = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 \implies \sqrt{x} = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{4}$.Также критической точкой является точка $x=0$, в которой производная не существует (и это граница области определения).

3. Промежутки монотонности.
Критические точки $x=0$ и $x=1/4$ разбивают область определения на промежутки $(0, 1/4)$ и $(1/4, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.
- При $x \in (0, 1/4)$, например $x=1/16$, имеем $y'(1/16) = \frac{1}{2\sqrt{1/16}} - 1 = \frac{1}{2 \cdot 1/4} - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$. Значит, на промежутке $[0, 1/4]$ функция возрастает.
- При $x \in (1/4, +\infty)$, например $x=1$, имеем $y'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -1/2 < 0$. Значит, на промежутке $[1/4, +\infty)$ функция убывает.

4. Точки экстремума.
В точке $x=1/4$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(1/4) = \sqrt{1/4} - 1/4 = 1/2 - 1/4 = 1/4$.
Точка максимума: $(1/4, 1/4)$.
В точке $x=0$ функция начинает возрастать, это точка локального минимума (краевой экстремум).
$y_{min} = y(0) = \sqrt{0} - 0 = 0$.
Точка минимума: $(0, 0)$.

5. Построение графика.
Для построения графика найдем еще несколько точек.
Точки пересечения с осями координат:- с осью Oy: $x=0, y=0 \implies (0,0)$.- с осью Ox: $y=0 \implies \sqrt{x}-x=0 \implies \sqrt{x}(1-\sqrt{x})=0 \implies x=0$ или $x=1$. Точки $(0,0)$ и $(1,0)$.
Контрольные точки:- $x=4, y = \sqrt{4}-4 = 2-4=-2$.График функции начинается в точке (0,0), возрастает до точки максимума (1/4, 1/4), затем убывает, пересекая ось Ox в точке (1,0) и уходя в $-\infty$.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $[0, 1/4]$ и убывает на промежутке $[1/4, +\infty)$. Точка максимума $(1/4, 1/4)$. Точка минимума $(0, 0)$. График представлен выше.

б) $y = x\sqrt{x} + 2$

1. Область определения.
Функцию можно записать в виде $y=x^{3/2}+2$. Подкоренное выражение $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Следовательно, область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Производная и критические точки.
Найдем производную функции:$y' = (x^{3/2} + 2)' = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$.
Производная определена для всех $x \ge 0$.Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$y' = 0 \implies \frac{3\sqrt{x}}{2} = 0 \implies x = 0$.Единственная критическая точка — это $x=0$, которая является границей области определения.

3. Промежутки монотонности.
Рассмотрим знак производной на всей области определения $(0, +\infty)$.
Для любого $x > 0$ имеем $\sqrt{x} > 0$, следовательно, $y' = \frac{3\sqrt{x}}{2} > 0$.Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$.

4. Точки экстремума.
Поскольку функция монотонно возрастает, у нее нет точек локального максимума или минимума внутри области определения.Минимальное значение функция принимает в начальной точке своей области определения, то есть при $x=0$.$y_{min} = y(0) = 0 \cdot \sqrt{0} + 2 = 2$.
Таким образом, точка $(0, 2)$ является точкой глобального минимума.
Для определения характера выпуклости графика найдем вторую производную:
$y'' = (\frac{3}{2}x^{1/2})' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{3}{4\sqrt{x}}$.
Поскольку $y''>0$ для всех $x>0$, график функции является выпуклым вниз (вогнутым) на всей области определения.

5. Построение графика.
Для построения графика найдем несколько точек.
- Начальная точка (минимум): $(0, 2)$.
- Пересечений с осью Ox нет, так как $y=x\sqrt{x}+2 \ge 2$ для всех $x \ge 0$.
Контрольные точки:- $x=1, y = 1\sqrt{1}+2 = 3$.- $x=4, y = 4\sqrt{4}+2 = 4 \cdot 2 + 2 = 10$.
График функции начинается в точке (0,2) и монотонно возрастает, становясь все круче, уходя в $+\infty$.

Ответ: Функция возрастает на всей области определения $[0, +\infty)$. Точка минимума $(0, 2)$. Локальных экстремумов внутри области определения нет. График представлен выше.

38.39 Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:

a) $2x^5 + x^3 + 5x - 80 = \sqrt[3]{14 - 3x}$;

б) $\sqrt[4]{10 + 3x} = 74 - x^5 - 3x^3 - 8x$.

а) $2x^5 + x^3 + 5x - 80 = \sqrt[3]{14 - 3x}$

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:

$f(x) = 2x^5 + x^3 + 5x - 80$

$g(x) = \sqrt[3]{14 - 3x}$

Обе функции определены для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.

Исследуем на монотонность функцию $f(x)$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (2x^5 + x^3 + 5x - 80)' = 10x^4 + 3x^2 + 5$

Поскольку $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) = 10x^4 + 3x^2 + 5 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Исследуем на монотонность функцию $g(x)$. Найдем ее производную:

$g'(x) = (\sqrt[3]{14 - 3x})' = ((14 - 3x)^{1/3})' = \frac{1}{3}(14 - 3x)^{-2/3} \cdot (-3) = -\frac{1}{\sqrt[3]{(14 - 3x)^2}}$

При $x \ne 14/3$, знаменатель $\sqrt[3]{(14-3x)^2}$ всегда положителен. Значит, $g'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения производной. Следовательно, функция $g(x)$ является строго убывающей на всей числовой прямой.

Уравнение имеет вид $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ — строго возрастающая функция, а $g(x)$ — строго убывающая. Такое уравнение может иметь не более одного корня. Найдем этот корень подбором.

Проверим значение $x=2$:

Левая часть: $f(2) = 2(2)^5 + (2)^3 + 5(2) - 80 = 2 \cdot 32 + 8 + 10 - 80 = 64 + 18 - 80 = 2$.

Правая часть: $g(2) = \sqrt[3]{14 - 3(2)} = \sqrt[3]{14 - 6} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Так как $f(2) = g(2)$, то $x=2$ является корнем уравнения. Поскольку этот корень единственный, других решений нет.

Ответ: $x=2$.

б) $\sqrt[4]{10 + 3x} = 74 - x^5 - 3x^3 - 8x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$\sqrt[4]{10 + 3x} + x^5 + 3x^3 + 8x = 74$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{10 + 3x} + x^5 + 3x^3 + 8x$.

Найдем область определения функции $f(x)$. Выражение под корнем четвертой степени должно быть неотрицательным:

$10 + 3x \ge 0 \implies 3x \ge -10 \implies x \ge -10/3$.

Таким образом, область определения функции $D(f) = [-10/3, +\infty)$.

Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность на ее области определения. Функция $f(x)$ представляет собой сумму двух функций: $h_1(x) = \sqrt[4]{10 + 3x}$ и $h_2(x) = x^5 + 3x^3 + 8x$.

Функция $h_1(x)$ является композицией возрастающей функции $y = \sqrt[4]{u}$ (для $u \ge 0$) и возрастающей линейной функции $u = 10 + 3x$, следовательно, $h_1(x)$ является строго возрастающей на своей области определения.

Найдем производную функции $h_2(x)$:

$h_2'(x) = (x^5 + 3x^3 + 8x)' = 5x^4 + 9x^2 + 8$.

Поскольку $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $h_2'(x) = 5x^4 + 9x^2 + 8 > 0$ при всех $x$. Следовательно, функция $h_2(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой, и в частности на $D(f)$.

Функция $f(x)$ является суммой двух строго возрастающих функций, поэтому она также является строго возрастающей на своей области определения $[-10/3, +\infty)$.

Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает, уравнение $f(x) = 74$ может иметь не более одного корня. Найдем этот корень подбором.

Проверим значение $x=2$. Это значение входит в область определения, так как $2 > -10/3$.

$f(2) = \sqrt[4]{10 + 3(2)} + 2^5 + 3(2)^3 + 8(2) = \sqrt[4]{10+6} + 32 + 3 \cdot 8 + 16 = \sqrt[4]{16} + 32 + 24 + 16 = 2 + 72 = 74$.

Так как $f(2) = 74$, то $x=2$ является корнем уравнения. Поскольку этот корень единственный, других решений нет.

Ответ: $x=2$.

38.40 Проведите касательную к графику заданной функции из данной точки $M$:

a) $y = \sqrt{x}$, $M(0; 1)$;

б) $y = x^{\frac{3}{2}} + 4$, $M(0; 0)$.

а)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = \sqrt{x}$, которая проходит через точку $M(0; 1)$. Точка $M$ не лежит на графике функции, так как $1 \neq \sqrt{0}$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \sqrt{x}$: $f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Пусть $A(x_0; \sqrt{x_0})$ – неизвестная точка касания. Уравнение касательной в этой точке: $y = \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}(x - x_0)$.

Так как касательная должна проходить через точку $M(0; 1)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x = 0$ и $y = 1$ в это уравнение, чтобы найти $x_0$: $1 = \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}(0 - x_0)$.

Упростим и решим полученное уравнение: $1 = \sqrt{x_0} - \frac{x_0}{2\sqrt{x_0}}$ $1 = \sqrt{x_0} - \frac{\sqrt{x_0}}{2}$ $1 = \frac{1}{2}\sqrt{x_0}$ $\sqrt{x_0} = 2$. Отсюда абсцисса точки касания $x_0 = 4$.

Теперь, когда мы знаем $x_0 = 4$, мы можем найти все компоненты для уравнения касательной:

• Абсцисса точки касания: $x_0 = 4$.
• Ордината точки касания: $f(x_0) = f(4) = \sqrt{4} = 2$.
• Угловой коэффициент касательной (значение производной в точке $x_0$): $f'(x_0) = f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$.

Подставляем эти значения в общее уравнение касательной: $y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$ $y = 2 + \frac{1}{4}x - 1$ $y = \frac{1}{4}x + 1$.

Ответ: $y = \frac{1}{4}x + 1$.

б)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = x^{\frac{3}{2}} + 4$, которая проходит через точку $M(0; 0)$. Точка $M$ не лежит на графике функции, так как $0 \neq 0^{\frac{3}{2}} + 4$.

Общее уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0$: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции $f(x) = x^{\frac{3}{2}} + 4$: $f'(x) = (x^{\frac{3}{2}} + 4)' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Пусть $A(x_0; x_0^{\frac{3}{2}} + 4)$ – неизвестная точка касания. Уравнение касательной в этой точке: $y = (x_0^{\frac{3}{2}} + 4) + \frac{3}{2}\sqrt{x_0}(x - x_0)$.

Касательная проходит через точку $M(0; 0)$, поэтому подставим ее координаты ($x = 0$, $y = 0$) в уравнение, чтобы найти $x_0$: $0 = (x_0^{\frac{3}{2}} + 4) + \frac{3}{2}\sqrt{x_0}(0 - x_0)$.

Упростим и решим полученное уравнение. Учитывая, что $x_0 \cdot \sqrt{x_0} = x_0^1 \cdot x_0^{\frac{1}{2}} = x_0^{\frac{3}{2}}$: $0 = x_0^{\frac{3}{2}} + 4 - \frac{3}{2}x_0^{\frac{3}{2}}$ $0 = 4 - \frac{1}{2}x_0^{\frac{3}{2}}$ $\frac{1}{2}x_0^{\frac{3}{2}} = 4$ $x_0^{\frac{3}{2}} = 8$.

Чтобы найти $x_0$, возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$: $x_0 = 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Теперь, когда мы знаем абсциссу точки касания $x_0 = 4$, найдем остальные параметры:

• Абсцисса точки касания: $x_0 = 4$.
• Ордината точки касания: $f(4) = 4^{\frac{3}{2}} + 4 = (\sqrt{4})^3 + 4 = 2^3 + 4 = 8 + 4 = 12$.
• Угловой коэффициент касательной: $f'(4) = \frac{3}{2}\sqrt{4} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

Подставляем найденные значения в общее уравнение касательной: $y = 12 + 3(x - 4)$ $y = 12 + 3x - 12$ $y = 3x$.

Ответ: $y = 3x$.

1. Представьте в виде суммы тригонометрических функций произведе-ние:

а) $2 \sin \alpha \sin \beta$;

б) $2 \sin u \cos v$;

в) $2 \cos z \cos t$.

Для преобразования произведений тригонометрических функций в сумму используются следующие формулы:

• $2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$
• $2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$
• $2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$

Применим эти формулы для решения каждого пункта.

а) $2 \sin \alpha \sin \beta$

Используем формулу произведения синусов: $2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.

Это прямое применение формулы, где в качестве аргументов выступают $\alpha$ и $\beta$.

Ответ: $\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$

б) $2 \sin u \cos v$

Используем формулу произведения синуса на косинус: $2 \sin u \cos v = \sin(u + v) + \sin(u - v)$.

Подставляем в формулу аргументы $u$ и $v$.

Ответ: $\sin(u + v) + \sin(u - v)$

в) $2 \cos z \cos t$

Используем формулу произведения косинусов: $2 \cos z \cos t = \cos(z + t) + \cos(z - t)$.

Подставляем в формулу аргументы $z$ и $t$. Порядок слагаемых в сумме не имеет значения, но традиционно первым записывают косинус суммы.

Ответ: $\cos(z + t) + \cos(z - t)$

2. Дано тождество $f(x) = 2 \sin 9x \sin 5x$. Какое из приведённых ниже утверждений верно:

a) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 14x - \cos 4x;$

в) $f(x) = \cos 7x - \cos 2x;$

г) $f(x) = \cos 4x - \cos 14x?$

Для того чтобы определить, какое из приведённых утверждений является верным, необходимо преобразовать исходное выражение $f(x) = 2 \sin 9x \sin 5x$ с помощью формулы преобразования произведения синусов в разность косинусов. Формула выглядит следующим образом:

$2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$

В данном случае, пусть $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$. Применим формулу к нашей функции $f(x)$:

$f(x) = \cos(9x - 5x) - \cos(9x + 5x)$

Выполним вычисления в аргументах косинусов:

$f(x) = \cos 4x - \cos 14x$

Теперь сравним полученное выражение с каждым из предложенных вариантов.

а) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x$. Это утверждение неверно, так как наше выражение представляет собой разность косинусов, а не сумму синусов.

б) $f(x) = \cos 14x - \cos 4x$. Это утверждение неверно. Оно отличается от нашего результата знаком, поскольку $\cos 14x - \cos 4x = -(\cos 4x - \cos 14x)$.

в) $f(x) = \cos 7x - \cos 2x$. Это утверждение неверно, так как аргументы функций ($7x$ и $2x$) не совпадают с полученными нами ($4x$ и $14x$).

г) $f(x) = \cos 4x - \cos 14x$. Это утверждение верно, так как оно в точности совпадает с выражением, которое мы получили после преобразования.

Ответ: г)

3. Дано тождество $f(x) = 2 \cos 9x \cos 5x$. Какое из приведённых ниже утверждений верно:

a) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 14x + \cos 4x;$

в) $f(x) = \cos 7x + \cos 2x;$

г) $f(x) = \sin 4x + \sin x?$

Для того чтобы определить, какое из приведённых утверждений верно, необходимо преобразовать исходное выражение $f(x) = 2 \cos 9x \cos 5x$, используя формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Нужная нам формула — это формула произведения косинусов:

$2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$

В нашем случае $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$. Подставим эти значения в формулу:

$f(x) = 2 \cos 9x \cos 5x = \cos(9x + 5x) + \cos(9x - 5x)$

Теперь выполним сложение и вычитание аргументов в скобках:

$f(x) = \cos(14x) + \cos(4x)$

Сравнивая полученное выражение с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом б).

б) Утверждение $f(x) = \cos 14x + \cos 4x$ является верным, так как оно в точности соответствует выражению, полученному после преобразования исходного тождества.

Ответ: б)

4. Дано тождество $f(x) = 2 \sin 9x \cos 5x$. Какое из приведённых ниже утверждений верно:

а) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 14x + \cos 4x;$

в) $f(x) = \cos 14x - \cos 4x;$

г) $f(x) = \sin 4x + \sin 14x?$

Для того чтобы определить, какое из приведённых утверждений является верным, необходимо преобразовать исходное выражение $f(x) = 2 \sin 9x \cos 5x$. Для этого преобразуем произведение тригонометрических функций в их сумму.

Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов:
$2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$

В нашем выражении $f(x) = 2 \sin 9x \cos 5x$ положим $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$. Подставим эти значения в формулу:
$f(x) = \sin(9x + 5x) + \sin(9x - 5x)$

Упростим выражения в аргументах функций:
$f(x) = \sin 14x + \sin 4x$

Теперь, когда мы нашли истинное выражение для $f(x)$, сравним его с предложенными вариантами:

а) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x$. Данное утверждение неверно, так как $\sin 14x + \sin 4x \neq \sin 7x + \sin 2x$.

б) $f(x) = \cos 14x + \cos 4x$. Данное утверждение неверно, так как наше выражение содержит синусы, а не косинусы.

в) $f(x) = \cos 14x - \cos 4x$. Данное утверждение также неверно.

г) $f(x) = \sin 4x + \sin 14x$. Данное утверждение верно. В силу коммутативного свойства сложения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), $\sin 14x + \sin 4x = \sin 4x + \sin 14x$.

Ответ: г) $f(x) = \sin 4x + \sin 14x$