Страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

39.45 а) $2^x = \frac{2}{x}$;

б) $\left(\frac{1}{4}\right)^x = -\frac{4}{x}$;

в) $5^x = \frac{5}{x}$;

г) $\left(\frac{1}{8}\right)^x = -\frac{8}{x}$.

а) $2^x = \frac{2}{x}$

Данное уравнение является трансцендентным, и его решение находится подбором с последующим доказательством единственности корня. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x \neq 0$.

Рассмотрим две функции: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = \frac{2}{x}$.

Функция $y_1 = 2^x$ является показательной, она определена для всех $x$ и принимает только положительные значения ($y_1 > 0$). Так как основание степени $2 > 1$, функция является возрастающей на всей числовой оси.

Функция $y_2 = \frac{2}{x}$ является гиперболой. Поскольку $y_1 > 0$, то и $y_2$ должно быть больше нуля: $\frac{2}{x} > 0$, что выполняется при $x > 0$.

Таким образом, корень уравнения (если он существует) должен быть положительным. На промежутке $(0; +\infty)$ функция $y_1 = 2^x$ является возрастающей, а функция $y_2 = \frac{2}{x}$ — убывающей. Если корень существует, то он единственный, так как возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза.

Подберем корень. Попробуем $x = 1$.

Левая часть: $2^1 = 2$.

Правая часть: $\frac{2}{1} = 2$.

Так как $2 = 2$, то $x = 1$ является корнем уравнения. Поскольку мы доказали, что корень может быть только один, это и есть решение.

Ответ: $x=1$.

б) $(\frac{1}{4})^x = -\frac{4}{x}$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Рассмотрим две функции: $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2 = -\frac{4}{x}$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ — показательная, всегда положительна ($y_1 > 0$). Так как основание $0 < \frac{1}{4} < 1$, функция является убывающей на всей числовой оси.

Так как $y_1 > 0$, то и $y_2$ должно быть больше нуля: $-\frac{4}{x} > 0$, что эквивалентно $\frac{4}{x} < 0$. Это неравенство выполняется при $x < 0$.

Следовательно, корень уравнения (если он существует) должен быть отрицательным. На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ является убывающей, а функция $y_2 = -\frac{4}{x}$ является возрастающей. Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза, значит, уравнение имеет не более одного корня.

Подберем корень. Попробуем $x = -1$.

Левая часть: $(\frac{1}{4})^{-1} = 4$.

Правая часть: $-\frac{4}{-1} = 4$.

Так как $4 = 4$, то $x = -1$ является корнем уравнения. В силу единственности, это и есть решение.

Ответ: $x=-1$.

в) $5^x = \frac{5}{x}$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Рассмотрим функции $y_1 = 5^x$ и $y_2 = \frac{5}{x}$.

Функция $y_1 = 5^x$ — показательная, возрастающая ($5 > 1$) и всегда положительная.

Из условия $y_1 > 0$ следует, что $y_2 = \frac{5}{x} > 0$, что выполняется при $x > 0$.

На промежутке $(0; +\infty)$ функция $y_1 = 5^x$ возрастает, а функция $y_2 = \frac{5}{x}$ убывает. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Подберем корень. Проверим $x = 1$.

Левая часть: $5^1 = 5$.

Правая часть: $\frac{5}{1} = 5$.

Равенство выполняется, значит $x = 1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x=1$.

г) $(\frac{1}{8})^x = -\frac{8}{x}$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Рассмотрим функции $y_1 = (\frac{1}{8})^x$ и $y_2 = -\frac{8}{x}$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{8})^x$ — показательная, убывающая ($0 < \frac{1}{8} < 1$) и всегда положительная.

Из $y_1 > 0$ следует, что $y_2 = -\frac{8}{x} > 0$, или $\frac{8}{x} < 0$, что выполняется при $x < 0$.

На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $y_1 = (\frac{1}{8})^x$ убывает, а функция $y_2 = -\frac{8}{x}$ возрастает. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Подберем корень. Проверим $x = -1$.

Левая часть: $(\frac{1}{8})^{-1} = 8$.

Правая часть: $-\frac{8}{-1} = 8$.

Равенство выполняется, значит $x = -1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x=-1$.

39.42 a) $y = 2^x$, $y = 3 - x$;

В) $y = (\sqrt{2})^x$, $y = 4 - x$;

б) $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$, $y = -x - 3$;

Г) $y = \left(\frac{3}{7}\right)^x$, $y = -x - 2?$;

а) Чтобы решить уравнение $2^x = 3 - x$, рассмотрим две функции: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = 3 - x$. Решение уравнения — это абсцисса ($x$) точки пересечения графиков этих функций.

Функция $y_1 = 2^x$ — показательная с основанием $2 > 1$, поэтому она является строго возрастающей на всей области определения.

Функция $y_2 = 3 - x$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом ($k = -1$), поэтому она является строго убывающей.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение имеет не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора.

Проверим значение $x=1$:
Левая часть: $2^1 = 2$.
Правая часть: $3 - 1 = 2$.
Поскольку левая и правая части равны ($2=2$), $x=1$ является решением уравнения. Так как решение единственное, это и есть ответ.
Ответ: $1$.

б) Чтобы решить уравнение $(\frac{2}{5})^x = -x - 3$, рассмотрим функции $y_1 = (\frac{2}{5})^x$ и $y_2 = -x - 3$.

Функция $y_1 = (\frac{2}{5})^x$ — показательная с основанием $a = \frac{2}{5}$ ($0 < a < 1$), поэтому она строго убывает на всей области определения. Также, значения этой функции всегда положительны ($y_1 > 0$ для любого $x$).

Функция $y_2 = -x - 3$ — линейная, её график — прямая. Она также является убывающей.

Для определения числа решений проанализируем функцию $f(x) = y_1 - y_2 = (\frac{2}{5})^x + x + 3$. Корни исходного уравнения — это нули функции $f(x)$. Найдем наименьшее значение функции $f(x)$ с помощью производной.

$f'(x) = ((\frac{2}{5})^x + x + 3)' = (\frac{2}{5})^x \ln(\frac{2}{5}) + 1$.

Приравняем производную к нулю для поиска точки экстремума $x_0$:
$f'(x_0) = 0 \implies (\frac{2}{5})^{x_0} \ln(\frac{2}{5}) + 1 = 0 \implies (\frac{2}{5})^{x_0} = -\frac{1}{\ln(\frac{2}{5})} = \frac{1}{\ln(\frac{5}{2})}$.

Поскольку $f''(x) = (\frac{2}{5})^x (\ln(\frac{2}{5}))^2 > 0$, точка $x_0$ является точкой минимума. Оценим наименьшее значение $f(x_0) = (\frac{2}{5})^{x_0} + x_0 + 3$.

Так как $e > \frac{5}{2} > 1$, то $1 = \ln(e) > \ln(\frac{5}{2}) > 0$. Отсюда следует, что $(\frac{2}{5})^{x_0} = \frac{1}{\ln(5/2)} > 1$. Из $(\frac{2}{5})^{x_0} > 1$ и убывания функции $y=(\frac{2}{5})^x$ следует, что $x_0 < 0$. В то же время, $(\frac{2}{5})^{-1} = 2.5 > \frac{1}{\ln(5/2)} \approx 1.09$, значит $x_0 > -1$. Таким образом, $-1 < x_0 < 0$.

Тогда наименьшее значение функции: $f(x_0) = (\frac{2}{5})^{x_0} + x_0 + 3 > 1 + (-1) + 3 = 3$.

Так как минимальное значение функции $f(x)$ строго больше нуля, $f(x)$ никогда не обращается в ноль. Следовательно, графики функций $y_1$ и $y_2$ не пересекаются.
Ответ: корней нет.

в) Чтобы решить уравнение $(\sqrt{2})^x = 4 - x$, рассмотрим две функции: $y_1 = (\sqrt{2})^x$ и $y_2 = 4 - x$.

Функция $y_1 = (\sqrt{2})^x$ — показательная с основанием $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, она строго возрастает.

Функция $y_2 = 4 - x$ — линейная, она строго убывает.

Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза, значит, уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим значение $x=2$:
Левая часть: $(\sqrt{2})^2 = 2$.
Правая часть: $4 - 2 = 2$.
Равенство $2=2$ верное, следовательно $x=2$ — единственный корень уравнения.
Ответ: $2$.

г) Чтобы решить уравнение $(\frac{3}{7})^x = -x - 2$, рассмотрим функции $y_1 = (\frac{3}{7})^x$ и $y_2 = -x - 2$.

Функция $y_1 = (\frac{3}{7})^x$ — показательная с основанием $a = \frac{3}{7}$ ($0 < a < 1$), она строго убывает и всегда положительна ($y_1 > 0$).

Функция $y_2 = -x - 2$ — линейная, убывающая функция.

Для анализа решений рассмотрим функцию $f(x) = y_1 - y_2 = (\frac{3}{7})^x + x + 2$. Корни уравнения — это нули функции $f(x)$. Найдем ее наименьшее значение.

$f'(x) = (\frac{3}{7})^x \ln(\frac{3}{7}) + 1$.

В точке минимума $x_0$ производная равна нулю: $(\frac{3}{7})^{x_0} = -\frac{1}{\ln(\frac{3}{7})} = \frac{1}{\ln(\frac{7}{3})}$.

Так как $e > \frac{7}{3} > 1$, то $1 = \ln(e) > \ln(\frac{7}{3}) > 0$, и значит $(\frac{3}{7})^{x_0} = \frac{1}{\ln(7/3)} > 1$. Из этого следует, что $x_0 < 0$. С другой стороны, $(\frac{3}{7})^{-1} = \frac{7}{3} > \frac{1}{\ln(7/3)}$, из чего следует, что $x_0 > -1$. Таким образом, $-1 < x_0 < 0$.

Наименьшее значение функции $f(x)$ равно $f(x_0) = (\frac{3}{7})^{x_0} + x_0 + 2$. Используя полученные оценки: $f(x_0) > 1 + (-1) + 2 = 2$.

Минимальное значение функции $f(x)$ строго больше нуля, поэтому $f(x) > 0$ для всех $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

Решите неравенство:

39.46 a) $3^x \ge 4 - x;$

б) $(\frac{1}{2})^x \le x + 3;$

в) $5^x < 6 - x;$

г) $(\frac{1}{7})^x > x + 8.$

а) $3^x \ge 4 - x$

Для решения этого неравенства рассмотрим две функции: $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = 4 - x$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y_1(x)$ находится не ниже графика функции $y_2(x)$.

Проанализируем свойства функций. Функция $y_1(x) = 3^x$ является показательной с основанием $3 > 1$, поэтому она строго возрастает на всей числовой прямой. Функция $y_2(x) = 4 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $-1$, поэтому она строго убывает на всей числовой прямой.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $y_1(x) = y_2(x)$: $3^x = 4 - x$. Методом подбора легко найти корень. При $x=1$ левая часть равна $3^1 = 3$, и правая часть равна $4 - 1 = 3$. Значит, $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Поскольку $y_1(x)$ возрастает, а $y_2(x)$ убывает, то при $x > 1$ значения $y_1(x)$ будут больше значений $y_2(x)$, а при $x < 1$ — наоборот. В точке $x=1$ значения функций равны. Исходное неравенство $3^x \ge 4 - x$ является нестрогим, поэтому точка $x=1$ входит в решение. Таким образом, неравенство выполняется при всех $x$, больших или равных 1.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

б) $(\frac{1}{2})^x \le x + 3$

Рассмотрим функции $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2(x) = x + 3$. Необходимо найти $x$, при которых $y_1(x) \le y_2(x)$.

Функция $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ — показательная с основанием $\frac{1}{2} \in (0, 1)$, она является строго убывающей. Функция $y_2(x) = x + 3$ — линейная с положительным угловым коэффициентом $1$, она является строго возрастающей.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересечься только в одной точке. Найдем ее из уравнения $(\frac{1}{2})^x = x + 3$. Подбором находим корень. При $x=-1$ левая часть равна $(\frac{1}{2})^{-1} = 2$, и правая часть равна $-1 + 3 = 2$. Следовательно, $x=-1$ — точка пересечения.

Так как $y_1(x)$ убывает, а $y_2(x)$ возрастает, то при $x > -1$ будет выполняться неравенство $y_1(x) < y_2(x)$, а при $x < -1$ — неравенство $y_1(x) > y_2(x)$. В точке $x=-1$ функции равны. Так как исходное неравенство нестрогое ($\le$), точка $x=-1$ включается в решение.

Ответ: $x \in [-1, +\infty)$.

в) $5^x < 6 - x$

Рассмотрим функции $y_1(x) = 5^x$ и $y_2(x) = 6 - x$. Необходимо найти $x$, при которых $y_1(x) < y_2(x)$.

Функция $y_1(x) = 5^x$ — показательная с основанием $5 > 1$, она строго возрастает. Функция $y_2(x) = 6 - x$ — линейная, она строго убывает.

Найдем точку пересечения, решив уравнение $5^x = 6 - x$. Подбором находим корень. При $x=1$ левая часть равна $5^1 = 5$, и правая часть равна $6 - 1 = 5$. Значит, $x=1$ — единственный корень.

Поскольку $y_1(x)$ возрастает, а $y_2(x)$ убывает, то для $x < 1$ выполняется неравенство $y_1(x) < y_2(x)$, а для $x > 1$ — неравенство $y_1(x) > y_2(x)$. Исходное неравенство строгое (<), поэтому сама точка пересечения $x=1$ в решение не входит.

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

г) $(\frac{1}{7})^x > x + 8$

Рассмотрим функции $y_1(x) = (\frac{1}{7})^x$ и $y_2(x) = x + 8$. Необходимо найти $x$, при которых $y_1(x) > y_2(x)$.

Функция $y_1(x) = (\frac{1}{7})^x$ — показательная с основанием $\frac{1}{7} \in (0, 1)$, она является строго убывающей. Функция $y_2(x) = x + 8$ — линейная, она является строго возрастающей.

Найдем точку пересечения из уравнения $(\frac{1}{7})^x = x + 8$. Подбором находим корень. При $x=-1$ левая часть равна $(\frac{1}{7})^{-1} = 7$, и правая часть равна $-1 + 8 = 7$. Следовательно, $x=-1$ — единственный корень.

Так как $y_1(x)$ убывает, а $y_2(x)$ возрастает, то при $x < -1$ выполняется неравенство $y_1(x) > y_2(x)$, а при $x > -1$ — неравенство $y_1(x) < y_2(x)$. Исходное неравенство строгое ($>$), поэтому точка пересечения $x=-1$ в решение не входит.

Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.

39.43 При каких значениях x график заданной показательной функции лежит ниже графика заданной линейной функции:

а) $y = 2^x$, $y = -\frac{3}{2}x - 1$;

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $y = -x - 2$;

в) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$, $y = 3x + 1$;

г) $y = 3^x$, $y = -2x + 5?$

а) Чтобы найти значения $x$, при которых график функции $y = 2^x$ лежит ниже графика функции $y = -\frac{3}{2}x - 1$, необходимо решить неравенство $2^x < -\frac{3}{2}x - 1$.

Рассмотрим функции $f(x) = 2^x$ и $g(x) = -\frac{3}{2}x - 1$. Функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Функция $g(x)$ является строго убывающей.

Две монотонные функции, одна из которых возрастает, а другая убывает, могут пересекаться не более чем в одной точке. Попробуем найти эту точку пересечения, решив уравнение $2^x = -\frac{3}{2}x - 1$.

Методом подбора легко проверить, что $x=-1$ является корнем этого уравнения:

При $x=-1$: $2^{-1} = \frac{1}{2}$

При $x=-1$: $-\frac{3}{2}(-1) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

Так как $f(-1) = g(-1)$, то $x=-1$ — единственная точка пересечения графиков.

Поскольку $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x < -1$ будет выполняться неравенство $f(x) < g(x)$, а при $x > -1$ — неравенство $f(x) > g(x)$. Следовательно, график показательной функции лежит ниже графика линейной при $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

б) Нам нужно найти значения $x$, при которых $y = (\frac{1}{2})^x$ лежит ниже $y = -x - 2$, то есть решить неравенство $(\frac{1}{2})^x < -x - 2$.

Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $g(x) = -x - 2$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ является показательной, её значения всегда строго положительны ($f(x) > 0$ для любого $x$).

Функция $g(x) = -x - 2$ является линейной. Найдем, при каких значениях $x$ она принимает неположительные значения: $-x - 2 \le 0 \Rightarrow -x \le 2 \Rightarrow x \ge -2$.

Таким образом, для всех $x \ge -2$ функция $g(x)$ неположительна, в то время как $f(x)$ всегда положительна. На этом интервале неравенство $(\frac{1}{2})^x < -x - 2$ выполняться не может, так как положительное число не может быть меньше неположительного.

Рассмотрим интервал $x < -2$. На этом интервале обе функции положительны. Однако, при движении $x$ влево (к $-\infty$), показательная функция $f(x) = (\frac{1}{2})^x = 2^{-x}$ растет экспоненциально, в то время как линейная функция $g(x) = -x - 2$ растет только линейно. Это означает, что для достаточно больших по модулю отрицательных $x$ значение $f(x)$ будет значительно больше $g(x)$. Например, при $x=-3$, $f(-3)=8$, $g(-3)=1$. При $x=-4$, $f(-4)=16$, $g(-4)=2$. Графики этих функций не пересекаются, и график $f(x)$ всегда лежит выше графика $g(x)$.

Таким образом, неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

в) Требуется найти значения $x$, для которых график $y = (\frac{1}{5})^x$ лежит ниже графика $y = 3x + 1$. Это соответствует неравенству $(\frac{1}{5})^x < 3x + 1$.

Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{5})^x$ (строго убывающая) и $g(x) = 3x + 1$ (строго возрастающая).

Такие функции могут пересечься не более одного раза. Найдем точку пересечения, решив уравнение $(\frac{1}{5})^x = 3x + 1$.

Подбором находим, что $x=0$ является корнем:

При $x=0$: $(\frac{1}{5})^0 = 1$

При $x=0$: $3(0) + 1 = 1$

Так как $f(0) = g(0)$, то $x=0$ — единственная точка пересечения.

Поскольку $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, то при $x > 0$ будет выполняться $f(x) < g(x)$, а при $x < 0$ — $f(x) > g(x)$. Нам нужно, чтобы график показательной функции был ниже, что соответствует $x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

г) Нужно найти значения $x$, при которых $y = 3^x$ лежит ниже $y = -2x + 5$, то есть решить неравенство $3^x < -2x + 5$.

Рассмотрим функции $f(x) = 3^x$ (строго возрастающая) и $g(x) = -2x + 5$ (строго убывающая).

Графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку из уравнения $3^x = -2x + 5$.

Подбором находим корень $x=1$:

При $x=1$: $3^1 = 3$

При $x=1$: $-2(1) + 5 = 3$

Точка пересечения — $x=1$.

Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x < 1$ будет выполняться неравенство $f(x) < g(x)$, а при $x > 1$ — $f(x) > g(x)$. Нас интересует случай, когда график $y=3^x$ лежит ниже, то есть $x < 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

39.47 а) $2^x \ge \frac{2}{x}$;

б) $(\frac{1}{4})^x < -\frac{4}{x}$;

в) $5^x \le \frac{5}{x}$;

г) $(\frac{1}{8})^x > -\frac{8}{x}$.

а) $2^x \ge \frac{2}{x}$

Решим данное неравенство графическим методом. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства: $x \ne 0$.

Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 2^x$ и $y_2(x) = \frac{2}{x}$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1$ находится не ниже графика функции $y_2$.

• Функция $y_1 = 2^x$ — это показательная функция. Её график — возрастающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$. Функция всегда положительна ($2^x > 0$ для любых $x$).

• Функция $y_2 = \frac{2}{x}$ — это гипербола. Её ветви расположены в I и III координатных четвертях.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

1. Случай $x < 0$.
В этом случае функция $y_1 = 2^x$ принимает положительные значения ($y_1 > 0$), а функция $y_2 = \frac{2}{x}$ принимает отрицательные значения ($y_2 < 0$).
Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, при $x < 0$ неравенство $2^x \ge \frac{2}{x}$ всегда выполняется.
Решением в этом случае является интервал $(-\infty, 0)$.

2. Случай $x > 0$.
В этом случае обе функции принимают положительные значения. Найдем точку их пересечения, решив уравнение $2^x = \frac{2}{x}$.
Легко заметить, что $x=1$ является корнем этого уравнения: $2^1 = 2$ и $\frac{2}{1} = 2$.
Поскольку на промежутке $(0, +\infty)$ функция $y_1 = 2^x$ строго возрастает, а функция $y_2 = \frac{2}{x}$ строго убывает, их графики могут пересечься только в одной точке.
При $x > 1$ (например, $x=2$) имеем $2^2 = 4$, а $\frac{2}{2} = 1$, то есть $4 \ge 1$. Значит, на промежутке $[1, +\infty)$ выполняется неравенство $2^x \ge \frac{2}{x}$.
При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$) имеем $2^{0.5} = \sqrt{2} \approx 1.41$, а $\frac{2}{0.5} = 4$, то есть $1.41 < 4$. Неравенство не выполняется.
Решением в этом случае является промежуток $[1, +\infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$.

б) $(\frac{1}{4})^x < -\frac{4}{x}$

Решим неравенство графическим методом. ОДЗ: $x \ne 0$.

Рассмотрим функции $y_1(x) = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2(x) = -\frac{4}{x}$. Требуется найти значения $x$, для которых график $y_1$ лежит ниже графика $y_2$.

• Функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ — показательная, её график — убывающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$. Функция всегда положительна.

• Функция $y_2 = -\frac{4}{x}$ — гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Рассмотрим два случая.

1. Случай $x > 0$.
В этом случае $y_1 = (\frac{1}{4})^x > 0$, а $y_2 = -\frac{4}{x} < 0$.
Положительное число не может быть меньше отрицательного, поэтому на промежутке $(0, +\infty)$ неравенство решений не имеет.

2. Случай $x < 0$.
В этом случае обе функции положительны. Найдем точку пересечения их графиков из уравнения $(\frac{1}{4})^x = -\frac{4}{x}$.
Подбором находим корень $x=-1$: $(\frac{1}{4})^{-1} = 4$ и $-\frac{4}{-1} = 4$.
На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x = 4^{-x}$ является строго убывающей, а функция $y_2 = -\frac{4}{x}$ — строго возрастающей. Следовательно, их графики пересекаются только один раз.
Чтобы определить, где выполняется неравенство $(\frac{1}{4})^x < -\frac{4}{x}$, проверим любую точку из интервалов $(-\infty, -1)$ и $(-1, 0)$.
Возьмем $x = -0.5$ из интервала $(-1, 0)$: $y_1(-0.5) = (\frac{1}{4})^{-0.5} = 4^{0.5} = 2$; $y_2(-0.5) = -\frac{4}{-0.5} = 8$. Неравенство $2 < 8$ выполняется.
Возьмем $x = -2$ из интервала $(-\infty, -1)$: $y_1(-2) = (\frac{1}{4})^{-2} = 16$; $y_2(-2) = -\frac{4}{-2} = 2$. Неравенство $16 < 2$ не выполняется.
Таким образом, решение в этом случае — интервал $(-1, 0)$.

Объединяя результаты, получаем, что решение неравенства совпадает с решением для второго случая.

Ответ: $x \in (-1, 0)$.

в) $5^x \le \frac{5}{x}$

Решим неравенство графически. ОДЗ: $x \ne 0$.

Рассмотрим функции $y_1(x) = 5^x$ и $y_2(x) = \frac{5}{x}$. Ищем значения $x$, при которых график $y_1$ находится не выше графика $y_2$.

• Функция $y_1 = 5^x$ — показательная, возрастающая, всегда положительная.

• Функция $y_2 = \frac{5}{x}$ — гипербола (ветви в I и III четвертях).

1. Случай $x < 0$.
Здесь $y_1 = 5^x > 0$, а $y_2 = \frac{5}{x} < 0$. Неравенство $5^x \le \frac{5}{x}$ не может выполняться. Решений нет.

2. Случай $x > 0$.
Обе функции положительны. Найдем точку пересечения из уравнения $5^x = \frac{5}{x}$.
Очевидно, что $x=1$ является корнем: $5^1 = 5$ и $\frac{5}{1} = 5$.
На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y_1=5^x$ строго возрастает, а $y_2=\frac{5}{x}$ строго убывает, поэтому точка пересечения единственная.
Нам нужно, чтобы $5^x \le \frac{5}{x}$.
При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $5^{0.5} = \sqrt{5} \approx 2.23$, $\frac{5}{0.5} = 10$. Неравенство $\sqrt{5} \le 10$ выполняется.
При $x > 1$ (например, $x=2$): $5^2 = 25$, $\frac{5}{2} = 2.5$. Неравенство $25 \le 2.5$ не выполняется.
Следовательно, решением является полуинтервал $(0, 1]$.

Итоговое решение — это решение для второго случая.

Ответ: $x \in (0, 1]$.

г) $(\frac{1}{8})^x > -\frac{8}{x}$

Решим неравенство графическим методом. ОДЗ: $x \ne 0$.

Рассмотрим функции $y_1(x) = (\frac{1}{8})^x$ и $y_2(x) = -\frac{8}{x}$. Требуется найти $x$, для которых $y_1 > y_2$.

• Функция $y_1 = (\frac{1}{8})^x$ — показательная, убывающая, всегда положительная.

• Функция $y_2 = -\frac{8}{x}$ — гипербола (ветви во II и IV четвертях).

1. Случай $x > 0$.
Здесь $y_1 = (\frac{1}{8})^x > 0$, а $y_2 = -\frac{8}{x} < 0$.
Неравенство $(\frac{1}{8})^x > -\frac{8}{x}$ выполняется для всех $x > 0$, так как любое положительное число больше любого отрицательного.
Решение в этом случае — интервал $(0, +\infty)$.

2. Случай $x < 0$.
Обе функции положительны. Найдем точку пересечения из уравнения $(\frac{1}{8})^x = -\frac{8}{x}$.
Подбором находим корень $x=-1$: $(\frac{1}{8})^{-1} = 8$ и $-\frac{8}{-1} = 8$.
На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y_1 = (\frac{1}{8})^x$ строго убывает, а $y_2 = -\frac{8}{x}$ строго возрастает, значит, точка пересечения единственная.
Нам нужно, чтобы $(\frac{1}{8})^x > -\frac{8}{x}$.
Проверим точку левее $x=-1$, например $x=-2$: $(\frac{1}{8})^{-2} = 64$, $-\frac{8}{-2} = 4$. Неравенство $64 > 4$ выполняется.
Проверим точку правее $x=-1$, например $x=-0.5$: $(\frac{1}{8})^{-0.5} = 8^{0.5} = \sqrt{8} \approx 2.83$, $-\frac{8}{-0.5} = 16$. Неравенство $2.83 > 16$ не выполняется.
Решение в этом случае — интервал $(-\infty, -1)$.

Объединяя решения для обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

Решите уравнение:

39.44 a) $2^x - 1 = \sqrt{x}$;

б) $(\frac{1}{4})^x = \sqrt{x} + 1$;

в) $3^x - 1 = -\sqrt{x}$;

г) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{x} + 1.

а) $2^x - 1 = \sqrt{x}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия квадратного корня из $x$, должно выполняться условие $x \ge 0$.

Рассмотрим две функции: левую часть уравнения $f(x) = 2^x - 1$ и правую часть $g(x) = \sqrt{x}$.

Функция $f(x) = 2^x - 1$ является показательной функцией с основанием $2 > 1$, поэтому она строго возрастает на всей своей области определения, включая $x \ge 0$.

Функция $g(x) = \sqrt{x}$ также является строго возрастающей на своей области определения $x \ge 0$.

Поскольку обе функции возрастают, уравнение может иметь несколько корней. Попробуем найти решения подбором, проверяя целые значения из ОДЗ.

Проверим $x=0$:
Левая часть: $2^0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Правая часть: $\sqrt{0} = 0$.
Так как $0 = 0$, $x=0$ является корнем уравнения.

Проверим $x=1$:
Левая часть: $2^1 - 1 = 2 - 1 = 1$.
Правая часть: $\sqrt{1} = 1$.
Так как $1 = 1$, $x=1$ также является корнем уравнения.

Чтобы доказать, что других корней нет, рассмотрим поведение функций. При $0 < x < 1$ график функции $g(x) = \sqrt{x}$ лежит выше графика прямой $y=x$, а график выпуклой функции $f(x) = 2^x - 1$ лежит ниже ее хорды, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$, то есть ниже прямой $y=x$. Таким образом, на интервале $(0, 1)$ имеем $2^x-1 < x < \sqrt{x}$, и других корней здесь нет. При $x > 1$ показательная функция $2^x$ растет гораздо быстрее, чем степенная функция $\sqrt{x}$, поэтому их разность $2^x - 1 - \sqrt{x}$ будет только увеличиваться. Следовательно, других пересечений графиков не будет.

Формально, можно рассмотреть функцию $h(x) = 2^x - 1 - \sqrt{x}$. Её вторая производная $h''(x) = 2^x (\ln 2)^2 + \frac{1}{4x\sqrt{x}} > 0$ при $x > 0$. Это означает, что функция $h(x)$ выпукла вниз, а значит, может иметь не более двух корней. Мы нашли оба корня.

Ответ: $x=0, x=1$.

б) $(\frac{1}{4})^x = \sqrt{x} + 1$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ и $g(x) = \sqrt{x} + 1$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ — показательная с основанием $a = 1/4$, где $0 < a < 1$. Следовательно, $f(x)$ является строго убывающей функцией на всей своей области определения.

Функция $g(x) = \sqrt{x} + 1$ является суммой строго возрастающей функции $\sqrt{x}$ и константы, поэтому $g(x)$ — строго возрастающая функция на своей области определения $x \ge 0$.

Уравнение, в котором одна часть является строго убывающей функцией, а другая — строго возрастающей, может иметь не более одного корня. Найдем этот корень подбором.

Проверим $x=0$:
Левая часть: $(\frac{1}{4})^0 = 1$.
Правая часть: $\sqrt{0} + 1 = 0 + 1 = 1$.
Так как $1 = 1$, $x=0$ является корнем уравнения.

Поскольку мы доказали, что корень может быть только один, то $x=0$ — единственное решение.

Ответ: $x=0$.

в) $3^x - 1 = -\sqrt{x}$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Рассмотрим функции $f(x) = 3^x - 1$ и $g(x) = -\sqrt{x}$.

Функция $f(x) = 3^x - 1$ — показательная с основанием $a=3 > 1$, поэтому она является строго возрастающей функцией.

Функция $g(x) = -\sqrt{x}$ является произведением $-1$ и строго возрастающей функции $\sqrt{x}$, поэтому $g(x)$ — строго убывающая функция на $x \ge 0$.

Уравнение, в котором строго возрастающая функция равна строго убывающей, может иметь не более одного решения. Найдем его подбором.

Проверим $x=0$:
Левая часть: $3^0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Правая часть: $-\sqrt{0} = 0$.
Так как $0=0$, $x=0$ — корень уравнения.

Поскольку решение единственное, это и есть ответ.

Ответ: $x=0$.

г) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{x} + 1$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ и $g(x) = \sqrt{x} + 1$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ — показательная с основанием $a = 1/3$, где $0 < a < 1$. Следовательно, $f(x)$ является строго убывающей функцией.

Функция $g(x) = \sqrt{x} + 1$ является строго возрастающей функцией на $x \ge 0$.

Уравнение, где убывающая функция равна возрастающей, может иметь не более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим $x=0$:
Левая часть: $(\frac{1}{3})^0 = 1$.
Правая часть: $\sqrt{0} + 1 = 1$.
Так как $1=1$, $x=0$ — корень уравнения.

Поскольку корень единственный, мы нашли решение.

Ответ: $x=0$.

39.48 а) $2^x + 1 \ge \cos x;$

б) $2^{|x|} + 1 > 2 \cos x;$

в) $(\frac{1}{3})^x + 1 < \sin x;$

г) $3^{|x|} \le \cos 2x.$

а) Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = 2^x + 1$ и $g(x) = \cos x$.
Для решения неравенства $f(x) \ge g(x)$ оценим область значений каждой функции.
Область значений функции $g(x) = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $\cos x \le 1$.
Для функции $f(x) = 2^x + 1$: показательная функция $2^x$ всегда строго положительна, то есть $2^x > 0$ для любого $x$. Следовательно, $f(x) = 2^x + 1 > 1$.
Мы получили, что левая часть неравенства $2^x + 1$ всегда строго больше 1, а правая часть $\cos x$ всегда меньше или равна 1.
Таким образом, $2^x + 1 > 1 \ge \cos x$, из чего следует, что неравенство $2^x + 1 \ge \cos x$ выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = 2^{|x|} + 1$ и $g(x) = 2\cos x$.
Оценим область значений каждой функции.
Для функции $f(x) = 2^{|x|} + 1$: так как $|x| \ge 0$, а функция $y=2^u$ является возрастающей, то наименьшее значение $2^{|x|}$ достигается при $x=0$ и равно $2^0 = 1$. Следовательно, наименьшее значение функции $f(x)$ равно $2^{|0|} + 1 = 1 + 1 = 2$. Таким образом, $2^{|x|} + 1 \ge 2$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Для функции $g(x) = 2\cos x$: область значений функции $\cos x$ — это $[-1, 1]$, следовательно, область значений $g(x)$ — это $[-2, 2]$. Таким образом, $2\cos x \le 2$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Сравним левую и правую части. Мы имеем $2^{|x|} + 1 \ge 2$ и $2\cos x \le 2$.
Неравенство $2^{|x|} + 1 > 2\cos x$ может не выполняться только в том случае, если левая часть равна правой. Это возможно только если обе части равны 2.
$2^{|x|} + 1 = 2 \implies 2^{|x|} = 1 \implies |x| = 0 \implies x = 0$.
$2\cos x = 2 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Общим решением системы является $x = 0$. Проверим это значение в исходном неравенстве:
$2^{|0|} + 1 > 2\cos(0) \implies 1 + 1 > 2 \cdot 1 \implies 2 > 2$.
Это утверждение ложно. Значит, $x=0$ не является решением.
Для всех $x \ne 0$, $|x| > 0$, поэтому $2^{|x|} > 1$ и $2^{|x|} + 1 > 2$. При этом $2\cos x \le 2$. Таким образом, для всех $x \ne 0$ неравенство $2^{|x|} + 1 > 2\cos x$ выполняется.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x + 1$ и $g(x) = \sin x$.
Оценим область значений каждой функции.
Для функции $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x + 1$: так как показательная функция $\left(\frac{1}{3}\right)^x$ всегда строго положительна, то $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x + 1 > 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$.
Для функции $g(x) = \sin x$: область значений — это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, $\sin x \le 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$.
Итак, левая часть неравенства всегда строго больше 1, а правая часть — меньше или равна 1.
Неравенство $f(x) < g(x)$ не может выполняться ни при каких значениях $x$, так как $f(x) > 1 \ge g(x)$.
Ответ: нет решений.

г) Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = 3^{|x|}$ и $g(x) = \cos(2x)$.
Оценим область значений каждой функции.
Для функции $f(x) = 3^{|x|}$: так как $|x| \ge 0$, а функция $y=3^u$ является возрастающей, то наименьшее значение $3^{|x|}$ достигается при $x=0$ и равно $3^0 = 1$. Таким образом, $3^{|x|} \ge 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Для функции $g(x) = \cos(2x)$: область значений функции косинус — это $[-1, 1]$. Таким образом, $\cos(2x) \le 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Неравенство $3^{|x|} \le \cos(2x)$ может выполняться только в том случае, когда левая часть равна правой, и обе они равны 1.
Это равносильно системе уравнений:
$\begin{cases} 3^{|x|} = 1 \\ \cos(2x) = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения $3^{|x|} = 1$ получаем $|x|=0$, что означает $x=0$.
Проверим, удовлетворяет ли это значение второму уравнению: $\cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1$. Уравнение выполняется.
Таким образом, единственное значение, при котором неравенство может быть верным, это $x=0$.
Подставим $x=0$ в исходное неравенство: $3^{|0|} \le \cos(2 \cdot 0) \implies 1 \le 1$. Это верное утверждение.
Для любого $x \ne 0$, имеем $3^{|x|} > 1$, а $\cos(2x) \le 1$, поэтому неравенство не выполняется.
Ответ: $x=0$.