Страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию на монотонность:

39.17 a) $y = (\sqrt{3})^x$;

б) $y = 0,3^x$;

в) $y = 21^x$;

г) $y = \left(\frac{4}{\sqrt{19}}\right)^x$.

а) Для того чтобы исследовать показательную функцию $y = a^x$ на монотонность, нужно сравнить её основание $a$ с единицей. Если $a > 1$, функция возрастает. Если $0 < a < 1$, функция убывает.
В данном случае функция $y = (\sqrt{3})^x$. Основание $a = \sqrt{3}$.
Сравним основание с единицей. Так как $3 > 1$, то и $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, следовательно, $\sqrt{3} > 1$.
Поскольку основание больше единицы, функция является возрастающей на всей своей области определения.
Ответ: функция возрастающая.

б) Рассмотрим функцию $y = 0.3^x$. Это показательная функция с основанием $a = 0.3$.
Сравним основание с единицей. Очевидно, что $0 < 0.3 < 1$.
Так как основание находится в интервале $(0, 1)$, функция является убывающей на всей своей области определения.
Ответ: функция убывающая.

в) Дана функция $y = 21^x$. Это показательная функция, у которой основание $a = 21$.
Сравним основание $a = 21$ с единицей.
Так как $21 > 1$, основание больше единицы.
Следовательно, функция является возрастающей на всей своей области определения.
Ответ: функция возрастающая.

г) Исследуем функцию $y = \left(\frac{4}{\sqrt{19}}\right)^x$. Основание этой показательной функции $a = \frac{4}{\sqrt{19}}$.
Для определения монотонности сравним основание $a$ с единицей. Для этого сравним числитель 4 и знаменатель $\sqrt{19}$.
Поскольку оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{19})^2 = 19$.
Так как $16 < 19$, то и $4 < \sqrt{19}$.
Это означает, что числитель дроби $\frac{4}{\sqrt{19}}$ меньше знаменателя, поэтому сама дробь меньше единицы.
Таким образом, основание $a$ удовлетворяет условию $0 < \frac{4}{\sqrt{19}} < 1$. Значит, функция является убывающей на всей своей области определения.
Ответ: функция убывающая.

39.21 Найдите, на каком отрезке функция $y = 2^x$ принимает наибольшее значение, равное 32, и наименьшее, равное $\frac{1}{2}$.

Дана функция $y = 2^x$. Так как основание степени $2 > 1$, данная показательная функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

Это означает, что на любом отрезке $[a, b]$ функция будет принимать свое наименьшее значение в левой точке отрезка ($x=a$) и наибольшее значение в правой точке отрезка ($x=b$).

Нам нужно найти такой отрезок $[a, b]$, что $y(a) = \frac{1}{2}$ и $y(b) = 32$.

Найдем левую границу отрезка $a$, решив уравнение:
$2^a = \frac{1}{2}$
Поскольку $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, получаем:
$2^a = 2^{-1}$
$a = -1$

Теперь найдем правую границу отрезка $b$, решив уравнение:
$2^b = 32$
Поскольку $32 = 2^5$, получаем:
$2^b = 2^5$
$b = 5$

Следовательно, искомый отрезок, на котором функция $y = 2^x$ принимает наименьшее значение $\frac{1}{2}$ и наибольшее значение $32$, это отрезок $[-1; 5]$.

Ответ: $[-1; 5]$.

39.18 а) $y = 2^{-x}$;

б) $y = \left(\frac{2}{9}\right)^{-x}$;

в) $y = 17^{-x}$;

г) $y = \left(\frac{1}{13}\right)^{-x}$.

а) Дана функция $y = 2^{-x}$. Для преобразования выражения в правой части воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-m} = (\frac{1}{a})^m$.
Применив это свойство к нашей функции, где основание $a=2$ и показатель степени равен $x$, получаем:
$y = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x$.
Ответ: $y = (\frac{1}{2})^x$.

б) Дана функция $y = (\frac{2}{9})^{-x}$. Для преобразования этого выражения используем свойство степени с отрицательным показателем для дроби: $(\frac{a}{b})^{-m} = (\frac{b}{a})^m$.
В данном случае основание степени — это дробь $\frac{2}{9}$, а показатель степени равен $x$. Применяя свойство, мы "переворачиваем" дробь в основании и меняем знак показателя степени:
$y = (\frac{2}{9})^{-x} = (\frac{9}{2})^x$.
Ответ: $y = (\frac{9}{2})^x$.

в) Дана функция $y = 17^{-x}$. Преобразование выполняется аналогично пункту а). Используем свойство $a^{-m} = (\frac{1}{a})^m$.
Здесь основание $a=17$ и показатель $x$. Применяем свойство:
$y = 17^{-x} = (\frac{1}{17})^x$.
Ответ: $y = (\frac{1}{17})^x$.

г) Дана функция $y = (\frac{1}{13})^{-x}$. Преобразование выполняется аналогично пункту б). Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-m} = (\frac{b}{a})^m$.
Здесь основание степени — это дробь $\frac{1}{13}$, а показатель $x$. Применяем свойство, "переворачивая" дробь:
$y = (\frac{1}{13})^{-x} = (\frac{13}{1})^x = 13^x$.
Ответ: $y = 13^x$.

39.22 Найдите, на каком отрезке функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ принимает наиболь-шее значение, равное 81, и наименьшее, равное $\frac{1}{27}$.

Дана показательная функция $y = (\frac{1}{3})^x$. Основание степени $a = \frac{1}{3}$. Поскольку $0 < a < 1$, данная функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$, и наоборот.

Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой точке искомого отрезка, а наименьшее — в правой.

Найдем значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение, равное 81.

$y = 81$

$(\frac{1}{3})^x = 81$

Чтобы решить это уравнение, представим 81 как степень с основанием $\frac{1}{3}$.

$81 = 3^4 = ((\frac{1}{3})^{-1})^4 = (\frac{1}{3})^{-4}$

Таким образом, получаем:

$(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^{-4}$

Отсюда $x = -4$.

Теперь найдем значение $x$, при котором функция принимает наименьшее значение, равное $\frac{1}{27}$.

$y = \frac{1}{27}$

$(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27}$

Представим $\frac{1}{27}$ как степень с основанием $\frac{1}{3}$.

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$

Таким образом, получаем:

$(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^3$

Отсюда $x = 3$.

Поскольку функция убывающая, наибольшее значение (81) достигается при меньшем значении аргумента ($x = -4$), а наименьшее значение ($\frac{1}{27}$) — при большем значении аргумента ($x = 3$). Следовательно, искомый отрезок — это $[-4; 3]$.

Ответ: $[-4; 3]$.

39.15 Сравните с единицей заданное число:

а) $17^{-\frac{3}{4}}$;

б) $(9,1)^{\sqrt{7}}$;

в) $\left(\frac{5}{3}\right)^{-2,5}$;

г) $\left(\frac{1}{2}\right)^{8}$.

а) Чтобы сравнить число $17^{-\frac{3}{4}}$ с единицей, необходимо проанализировать его основание и показатель степени. Основание степени $a = 17$, что является числом, большим 1 ($a > 1$). Показатель степени $x = -\frac{3}{4}$, что является отрицательным числом ($x < 0$). Для степенной функции $y = a^x$ с основанием $a > 1$ справедливо следующее: если показатель степени $x < 0$, то значение функции $a^x < 1$. Это следует из того, что $a^x < a^0$, а любое число в нулевой степени равно 1. Таким образом, $17^{-\frac{3}{4}} < 17^0$, что эквивалентно $17^{-\frac{3}{4}} < 1$.
Ответ: $17^{-\frac{3}{4}} < 1$.

б) Рассмотрим число $(9,1)^{\sqrt{7}}$. Основание степени $a = 9,1$, что больше 1 ($a > 1$). Показатель степени $x = \sqrt{7}$. Поскольку $7 > 0$, то и $\sqrt{7} > 0$, то есть показатель степени является положительным числом ($x > 0$). Для степенной функции $y = a^x$ с основанием $a > 1$ справедливо следующее: если показатель степени $x > 0$, то значение функции $a^x > 1$. Это следует из того, что $a^x > a^0 = 1$. Следовательно, $(9,1)^{\sqrt{7}} > 1$.
Ответ: $(9,1)^{\sqrt{7}} > 1$.

в) Сравним с единицей число $(\frac{5}{3})^{-2,5}$. Основание степени $a = \frac{5}{3}$. Так как числитель 5 больше знаменателя 3, то дробь $\frac{5}{3} > 1$. Показатель степени $x = -2,5$, что является отрицательным числом ($x < 0$). Аналогично пункту а), для основания, большего 1, и отрицательного показателя, значение степени будет меньше 1. Таким образом, $(\frac{5}{3})^{-2,5} < (\frac{5}{3})^0$, что означает $(\frac{5}{3})^{-2,5} < 1$.
Другой способ: воспользуемся свойством степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Тогда $(\frac{5}{3})^{-2,5} = (\frac{3}{5})^{2,5}$. Теперь у нас новое основание $a' = \frac{3}{5}$, которое меньше 1 ($0 < a' < 1$), и положительный показатель $x' = 2,5$ ($x' > 0$). Для основания $0 < a' < 1$ и положительного показателя $x' > 0$ значение степени всегда меньше 1, то есть $(a')^{x'} < 1$. Следовательно, $(\frac{3}{5})^{2,5} < 1$.
Ответ: $(\frac{5}{3})^{-2,5} < 1$.

г) Рассмотрим число $(\frac{1}{2})^8$. Основание степени $a = \frac{1}{2}$. В данном случае основание находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$). Показатель степени $x = 8$, что является положительным числом ($x > 0$). Для степенной функции $y = a^x$ с основанием $0 < a < 1$ справедливо следующее: если показатель степени $x > 0$, то значение функции $a^x < 1$. Это следует из того, что $a^x < a^0 = 1$. Значит, $(\frac{1}{2})^8 < 1$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^8 < 1$.

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:

39.19 a) $y = 2^x$, $[1; 4];$

в) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $[0; 4];$

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $[-4; -2];$

г) $y = 2^x$, $[-4; 2].$

а)

Дана функция $y = 2^x$ на промежутке $[1; 4]$.
Основание показательной функции $a=2$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.
Найдем наименьшее значение при $x=1$:
$y_{наим} = 2^1 = 2$.
Найдем наибольшее значение при $x=4$:
$y_{наиб} = 2^4 = 16$.

Ответ: наименьшее значение $2$, наибольшее значение $16$.

б)

Дана функция $y = (\frac{1}{3})^x$ на промежутке $[-4; -2]$.
Основание показательной функции $a=\frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает на правом конце промежутка, а наибольшее — на левом.
Найдем наибольшее значение при $x=-4$:
$y_{наиб} = (\frac{1}{3})^{-4} = 3^4 = 81$.
Найдем наименьшее значение при $x=-2$:
$y_{наим} = (\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$.

Ответ: наименьшее значение $9$, наибольшее значение $81$.

в)

Дана функция $y = (\frac{1}{3})^x$ на промежутке $[0; 4]$.
Основание показательной функции $a=\frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает на правом конце промежутка, а наибольшее — на левом.
Найдем наибольшее значение при $x=0$:
$y_{наиб} = (\frac{1}{3})^0 = 1$.
Найдем наименьшее значение при $x=4$:
$y_{наим} = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{81}$, наибольшее значение $1$.

г)

Дана функция $y = 2^x$ на промежутке $[-4; 2]$.
Основание показательной функции $a=2$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.
Найдем наименьшее значение при $x=-4$:
$y_{наим} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Найдем наибольшее значение при $x=2$:
$y_{наиб} = 2^2 = 4$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{16}$, наибольшее значение $4$.

39.16 Расположите числа в порядке возрастания:

a) $2^{\frac{1}{3}}$, $2^{1.5}$, $2^{\sqrt{2}}$, $2^{-\sqrt{2}}$, $2^{1.4}$, $1$;

б) $0.3^9$, $1$, $0.3^{-\sqrt{5}}$, $0.3^{\frac{1}{2}}$, $0.3^{-9}$, $0.3^{\frac{1}{3}}$.

a) Чтобы расположить числа $2^{\frac{1}{3}}$, $2^{1.5}$, $2^{\sqrt{2}}$, $2^{-\sqrt{2}}$, $2^{1.4}$, $1$ в порядке возрастания, мы воспользуемся свойствами показательной функции $y=a^x$.

Сначала представим все числа в виде степени с одинаковым основанием. Число $1$ можно записать как $2^0$. Таким образом, нам нужно сравнить числа: $2^{\frac{1}{3}}$, $2^{1.5}$, $2^{\sqrt{2}}$, $2^{-\sqrt{2}}$, $2^{1.4}$, $2^0$.

Основание степени $a=2$ больше единицы ($a>1$). Для показательной функции с основанием больше 1 справедливо правило: чем больше показатель степени, тем больше значение функции. Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, нам нужно расположить их показатели в порядке возрастания.

Сравним показатели степеней: $\frac{1}{3}$, $1.5$, $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$, $1.4$, $0$.

Для удобства сравнения, представим их в виде десятичных дробей (приблизительно):

• $-\sqrt{2} \approx -1.414$
• $0$
• $\frac{1}{3} \approx 0.333$
• $1.4$
• $\sqrt{2} \approx 1.414$
• $1.5$

Теперь расположим показатели в порядке возрастания:

$-\sqrt{2} < 0 < \frac{1}{3} < 1.4 < \sqrt{2} < 1.5$

Соответственно, исходные числа в порядке возрастания будут:

$2^{-\sqrt{2}} < 2^0 < 2^{\frac{1}{3}} < 2^{1.4} < 2^{\sqrt{2}} < 2^{1.5}$

Заменив $2^0$ обратно на $1$, получаем итоговый ряд.

Ответ: $2^{-\sqrt{2}}$, $1$, $2^{\frac{1}{3}}$, $2^{1.4}$, $2^{\sqrt{2}}$, $2^{1.5}$.

б) Чтобы расположить числа $0.3^9$, $1$, $0.3^{-\sqrt{5}}$, $0.3^{\frac{1}{2}}$, $0.3^{-9}$, $0.3^{\frac{1}{3}}$ в порядке возрастания, мы также воспользуемся свойствами показательной функции.

Представим число $1$ как $0.3^0$. Теперь нам нужно сравнить числа: $0.3^9$, $0.3^0$, $0.3^{-\sqrt{5}}$, $0.3^{\frac{1}{2}}$, $0.3^{-9}$, $0.3^{\frac{1}{3}}$.

Основание степени $a=0.3$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$). Для показательной функции с таким основанием справедливо правило: чем больше показатель степени, тем меньше значение функции (функция является убывающей). Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), нам нужно расположить их показатели в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему).

Сравним показатели степеней: $9$, $0$, $-\sqrt{5}$, $\frac{1}{2}$, $-9$, $\frac{1}{3}$.

Для удобства сравнения, представим их в виде десятичных дробей (приблизительно):

• $9$
• $\frac{1}{2} = 0.5$
• $\frac{1}{3} \approx 0.333$
• $0$
• $-\sqrt{5} \approx -2.236$
• $-9$

Теперь расположим показатели в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему):

$9 > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > 0 > -\sqrt{5} > -9$

Поскольку функция $y=0.3^x$ убывающая, то меньшему значению функции соответствует больший показатель. Значит, числа в порядке возрастания будут расположены так:

$0.3^9 < 0.3^{\frac{1}{2}} < 0.3^{\frac{1}{3}} < 0.3^0 < 0.3^{-\sqrt{5}} < 0.3^{-9}$

Заменив $0.3^0$ обратно на $1$, получаем итоговый ряд.

Ответ: $0.3^9$, $0.3^{\frac{1}{2}}$, $0.3^{\frac{1}{3}}$, $1$, $0.3^{-\sqrt{5}}$, $0.3^{-9}$.

39.20 a) $y = (\sqrt{2})^x$, $(-\infty; 4];$

B) $y = (\sqrt[3]{5})^x$, $[0; +\infty);$

б) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x$, $(-\infty; 2];$

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x$, $[-2; +\infty).$

Для нахождения множества значений (области значений) показательной функции $y = a^x$ на заданном промежутке необходимо проанализировать основание $a$ и поведение функции на границах промежутка.

• Если $a > 1$, функция монотонно возрастает.
• Если $0 < a < 1$, функция монотонно убывает.

Дана функция $y = (\sqrt{2})^x$ на промежутке $(-\infty; 4]$.

Основание функции $a = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $a > 1$. Это означает, что функция является монотонно возрастающей.

Поскольку функция возрастает, ее наибольшее значение на промежутке $(-\infty; 4]$ будет достигаться в правой крайней точке $x = 4$. $y_{max} = (\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{4/2} = 2^2 = 4$.

При $x$, стремящемся к $-\infty$, значение функции $y$ стремится к 0, но никогда его не достигает: $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{2})^x = 0$.

Таким образом, множество значений функции на промежутке $(-\infty; 4]$ — это интервал от 0 (не включая) до 4 (включая).

Ответ: $(0; 4]$.

Дана функция $y = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x$ на промежутке $(-\infty; 2]$.

Основание функции $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} > 1$, то $0 < \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$. Это означает, что функция является монотонно убывающей.

Поскольку функция убывает, ее наименьшее значение на промежутке $(-\infty; 2]$ будет достигаться в правой крайней точке $x = 2$. $y_{min} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{3}$.

При $x$, стремящемся к $-\infty$, значение функции $y$ стремится к $+\infty$: $\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x = \lim_{x \to -\infty} (3^{-1/2})^x = \lim_{x \to -\infty} 3^{-x/2} = +\infty$.

Таким образом, множество значений функции на промежутке $(-\infty; 2]$ — это луч от $\frac{1}{3}$ (включая) до $+\infty$.

Ответ: $[\frac{1}{3}; +\infty)$.

Дана функция $y = (\sqrt[3]{5})^x$ на промежутке $[0; +\infty)$.

Основание функции $a = \sqrt[3]{5}$. Так как $1^3=1$ и $2^3=8$, то $\sqrt[3]{5} > 1$. Это означает, что функция является монотонно возрастающей.

Поскольку функция возрастает, ее наименьшее значение на промежутке $[0; +\infty)$ будет достигаться в левой крайней точке $x = 0$. $y_{min} = (\sqrt[3]{5})^0 = 1$.

При $x$, стремящемся к $+\infty$, значение функции $y$ также стремится к $+\infty$: $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt[3]{5})^x = +\infty$.

Таким образом, множество значений функции на промежутке $[0; +\infty)$ — это луч от 1 (включая) до $+\infty$.

Ответ: $[1; +\infty)$.

Дана функция $y = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x$ на промежутке $[-2; +\infty)$.

Основание функции $a = \frac{1}{\sqrt{7}}$. Так как $\sqrt{7} > 1$, то $0 < \frac{1}{\sqrt{7}} < 1$. Это означает, что функция является монотонно убывающей.

Поскольку функция убывает, ее наибольшее значение на промежутке $[-2; +\infty)$ будет достигаться в левой крайней точке $x = -2$. $y_{max} = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2} = (\sqrt{7})^2 = 7$.

При $x$, стремящемся к $+\infty$, значение функции $y$ стремится к 0, но никогда его не достигает: $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x = 0$.

Таким образом, множество значений функции на промежутке $[-2; +\infty)$ — это интервал от 0 (не включая) до 7 (включая).

Ответ: $(0; 7]$.

1. Тригонометрия вокруг нас: применения тригонометрии в астрономии, географии, геодезии, медицине, биологии и т. д.

Тригонометрия — это раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольников. Благодаря своей способности описывать колебательные процессы и выполнять точные пространственные расчеты, она находит широчайшее применение в самых разных областях науки и техники.

Астрономия

В астрономии тригонометрия является фундаментальным инструментом. Основное ее применение — измерение расстояний до небесных тел. Метод тригонометрического параллакса позволяет определять расстояние до ближайших звезд. Астрономы измеряют угол $p$ (параллакс), на который смещается звезда на фоне далеких объектов при наблюдении из двух противоположных точек орбиты Земли. Зная этот угол и радиус земной орбиты $a$ (базис), можно вычислить расстояние до звезды $d$ как катет в прямоугольном треугольнике: $d = \frac{a}{\tan p}$. Для малых углов формула упрощается до $d \approx \frac{a}{p}$ (где угол $p$ выражен в радианах). Также тригонометрия используется для вычисления размеров планет и их спутников, высоты гор на Луне (по длине тени и углу падения солнечных лучей) и для точного описания орбит небесных тел.

Ответ: В астрономии тригонометрия используется для измерения расстояний до небесных тел (метод параллакса), определения их размеров и моделирования орбит, основываясь на измерении углов и решении треугольников.

География

В географии и картографии тригонометрия незаменима для создания точных карт и определения местоположения объектов. С ее помощью вычисляют высоты гор, глубины озер и океанов, ширину рек. Например, для определения высоты горы $h$ можно из точки $A$ измерить угол возвышения ее вершины $\alpha$, затем отойти на известное расстояние $s$ до точки $B$ и измерить новый угол $\beta$. Решая систему уравнений с использованием тангенсов, можно найти высоту. Для навигации и расчетов больших расстояний на поверхности Земли, которая имеет форму сферы, применяется сферическая тригонометрия, оперирующая с треугольниками на поверхности сферы. Это позволяет морским судам и самолетам прокладывать наиболее точные и короткие маршруты (ортодромии).

Ответ: В географии тригонометрия применяется для картографии, определения высот и глубин, а также для навигации и расчета расстояний на сферической поверхности Земли.

Геодезия

Геодезия, наука об измерениях на земной поверхности, целиком и полностью построена на тригонометрии. Ключевой метод — триангуляция. Он заключается в построении на местности сети из смежных треугольников. С высокой точностью измеряется длина одной стороны в сети (базис), а затем — все углы во всех треугольниках. Используя теорему синусов, $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $, геодезисты последовательно вычисляют длины всех остальных сторон в сети треугольников. Это позволяет создать точный координатный каркас для составления топографических карт и планов, а также для строительства крупных инженерных сооружений. Принципы тригонометрии лежат и в основе работы глобальных систем позиционирования (GPS, ГЛОНАСС).

Ответ: В геодезии тригонометрия является основой метода триангуляции, который позволяет создавать точные карты и определять координаты точек на земной поверхности путем построения и расчета сетей треугольников.

Медицина

Тригонометрические функции идеально подходят для описания периодических процессов, происходящих в человеческом организме. Например, электрокардиограмма (ЭКГ), отражающая ритм сердечных сокращений, или электроэнцефалограмма (ЭЭГ), показывающая волновую активность мозга, представляют собой сложные колебательные сигналы. С помощью математического аппарата (ряды Фурье), который разлагает любую периодическую функцию в сумму синусов и косинусов, врачи анализируют эти сигналы, выявляя патологии. Тригонометрия также играет ключевую роль в медицинской визуализации. В компьютерной томографии (КТ) и магнитно-резонансной томографии (МРТ) итоговое изображение реконструируется из множества одномерных проекций, полученных при сканировании объекта под разными углами. Алгоритмы восстановления изображений используют тригонометрические преобразования для синтеза целостной картины.

Ответ: В медицине тригонометрия используется для анализа периодических биосигналов (ЭКГ, ЭЭГ) и для реконструкции изображений в томографии (КТ, МРТ) на основе данных, собранных под разными углами.

Биология

В биологии тригонометрия применяется для моделирования циклических процессов и анализа структур. С помощью синусоидальных функций описывают сезонные колебания численности популяций (например, в модели "хищник-жертва"), суточные (циркадные) ритмы активности организмов, а также процессы деления клеток. В биомеханике тригонометрия позволяет рассчитать углы в суставах при движении, силы и нагрузки на костно-мышечный аппарат животных и человека. На молекулярном уровне тригонометрия используется для описания пространственной структуры биомолекул. Например, знаменитая двойная спираль ДНК характеризуется тригонометрическими параметрами: шагом витка, радиусом спирали и углом поворота, что имеет решающее значение для понимания механизмов хранения и передачи генетической информации.

Ответ: В биологии тригонометрия применяется для моделирования циклических явлений (динамика популяций, биоритмы), анализа движений в биомеханике и описания пространственной структуры макромолекул, таких как ДНК.

2. Применение тригонометрии для решения задач планиметрии.

Тригонометрия — это раздел математики, который устанавливает фундаментальные соотношения между сторонами и углами треугольников. Поскольку любую плоскую фигуру (многоугольник) можно разбить на треугольники, тригонометрический аппарат становится универсальным и мощным инструментом для решения широкого круга задач планиметрии: нахождения неизвестных сторон, углов, площадей и других геометрических величин.

Основные тригонометрические определения в прямоугольном треугольнике

Основой тригонометрии являются определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$, и острым углом $\alpha$, противолежащим катету $a$.

• Синус угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin\alpha = \frac{a}{c}$

• Косинус угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos\alpha = \frac{b}{c}$

• Тангенс угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $\tan\alpha = \frac{a}{b}$

• Котангенс угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к противолежащему: $\cot\alpha = \frac{b}{a}$

Эти соотношения позволяют, зная одну сторону и один острый угол, найти все остальные элементы прямоугольного треугольника.

Ответ: Основные тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике определяются как отношения длин его сторон и служат для нахождения неизвестных элементов треугольника.

Теорема синусов

Теорема синусов применяется к произвольным (не обязательно прямоугольным) треугольникам. Она гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, выполняется равенство:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$

Здесь $R$ — это радиус окружности, описанной около данного треугольника. Эта теорема незаменима в случаях, когда нужно найти:

• сторону, если известны два угла и другая сторона;

• угол, если известны две стороны и угол, противолежащий одной из них;

• радиус описанной окружности.

Ответ: Теорема синусов устанавливает связь между сторонами треугольника, синусами противолежащих им углов и радиусом описанной окружности, позволяя находить неизвестные элементы по известным.

Теорема косинусов

Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника. Она позволяет найти любую сторону треугольника, зная две другие стороны и угол между ними. Формулировка теоремы для стороны $c$, лежащей против угла $\gamma$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Аналогично можно записать формулы для двух других сторон:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta$

Из этих же формул можно выразить косинус любого угла, если известны все три стороны треугольника. Например:

$\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Таким образом, теорема косинусов — ключевой инструмент для решения треугольника по двум сторонам и углу между ними или по трём сторонам.

Ответ: Теорема косинусов связывает квадрат стороны треугольника с суммой квадратов двух других сторон и косинусом угла между ними, что позволяет находить стороны и углы.

Тригонометрические формулы площади

Тригонометрия предлагает элегантные способы вычисления площади фигур. Для треугольника наиболее известная формула связывает площадь с двумя сторонами и синусом угла между ними:

$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

Эта формула особенно удобна, когда найти высоту затруднительно. Существуют и другие полезные формулы, использующие тригонометрию:

• Через сторону и два прилежащих угла (сначала по теореме синусов находится вторая сторона): $S = \frac{a^2 \sin\beta \sin\gamma}{2\sin\alpha}$

• Через радиус описанной окружности $R$: $S = \frac{abc}{4R}$ или $S = 2R^2 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$

• Через радиус вписанной окружности $r$ и углы: $S = r^2 \cot\frac{\alpha}{2} \cot\frac{\beta}{2} \cot\frac{\gamma}{2}$

Для нахождения площади произвольного выпуклого четырехугольника используется формула, включающая диагонали $d_1, d_2$ и угол $\phi$ между ними:

$S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\phi$

Ответ: Тригонометрия позволяет вычислять площади фигур, используя их стороны, углы и радиусы вписанных/описанных окружностей, часто избегая необходимости проводить высоты.

3. Площадь треугольника и формулы синуса и косинуса суммы (разности).

Площадь треугольника

Площадь треугольника — это численная характеристика, показывающая размер части плоскости, ограниченной сторонами треугольника. Существует несколько основных формул для вычисления площади в зависимости от известных элементов треугольника.

1. Через основание и высоту

Площадь треугольника равна половине произведения длины его основания на длину высоты, проведенной к этому основанию. Это самая базовая формула.

$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

где $a$ — сторона треугольника (основание), а $h_a$ — высота, опущенная на сторону $a$.

2. Через две стороны и угол между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Эта формула особенно полезна в тригонометрии.

$S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$

где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол, заключенный между этими сторонами. Эта формула напрямую следует из предыдущей, если учесть, что высота $h_b$, опущенная на сторону $b$, может быть выражена через сторону $a$ и угол $\gamma$ как $h_b = a \sin \gamma$.

3. Формула Герона (через три стороны)

Если известны длины всех трех сторон треугольника $a, b, c$, то его площадь можно найти по формуле Герона, которая не требует нахождения углов или высот.

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где $p$ — полупериметр треугольника, то есть $p = \frac{a+b+c}{2}$.

4. Через радиус вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

$S = p \cdot r$

где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.

5. Через радиус описанной окружности

Площадь треугольника можно вычислить через произведение длин его сторон и радиус описанной около него окружности.

$S = \frac{abc}{4R}$

где $a, b, c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус описанной окружности.

Ответ: Основные формулы для вычисления площади треугольника:
- Через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} a h_a$
- Через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$
- Формула Герона (через три стороны): $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$
- Через радиус вписанной окружности: $S = pr$
- Через радиус описанной окружности: $S = \frac{abc}{4R}$

Формулы синуса и косинуса суммы (разности)

Формулы сложения углов являются фундаментальными тригонометрическими тождествами. Они выражают тригонометрические функции суммы или разности двух углов ($\alpha$ и $\beta$) через тригонометрические функции самих этих углов.

Вывод формулы косинуса разности

Вывод этих формул удобно начать с косинуса разности, используя метод координат. Рассмотрим на единичной окружности точки $P_1$ и $P_2$, соответствующие углам $\alpha$ и $\beta$. Их координаты: $P_1(\cos\alpha, \sin\alpha)$ и $P_2(\cos\beta, \sin\beta)$. Квадрат расстояния между $P_1$ и $P_2$ равен:

$d^2 = (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2$

$d^2 = \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:

$d^2 = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta) - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$

С другой стороны, по теореме косинусов для треугольника $OP_1P_2$ (где $O$ — начало координат, $OP_1 = OP_2 = 1$ — радиусы, а угол между ними равен $\alpha - \beta$):

$d^2 = OP_1^2 + OP_2^2 - 2 \cdot OP_1 \cdot OP_2 \cdot \cos(\alpha - \beta) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot \cos(\alpha - \beta) = 2 - 2\cos(\alpha - \beta)$

Приравнивая два полученных выражения для $d^2$, имеем: $2 - 2\cos(\alpha - \beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$. Отсюда получаем формулу косинуса разности:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Остальные формулы

Остальные формулы легко выводятся из первой.

Косинус суммы: Заменим $\beta$ на $-\beta$ в формуле косинуса разности: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha - (-\beta)) = \cos\alpha \cos(-\beta) + \sin\alpha \sin(-\beta)$. Учитывая, что $\cos(-x)=\cos x$ (четная функция) и $\sin(-x)=-\sin x$ (нечетная функция), получаем:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Синус суммы: Используем формулу приведения $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$: $\sin(\alpha + \beta) = \cos(\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)) = \cos((\frac{\pi}{2} - \alpha) - \beta)$. Теперь применяем формулу косинуса разности: $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)\cos\beta + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)\sin\beta$. И снова по формулам приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$ и $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Синус разности: Заменим $\beta$ на $-\beta$ в формуле синуса суммы: $\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha + (-\beta)) = \sin\alpha \cos(-\beta) + \cos\alpha \sin(-\beta)$. С учетом четности и нечетности функций:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Ответ: Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов:
1. Синус суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
2. Синус разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$
3. Косинус суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$
4. Косинус разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

4. Уравнение движения маятника и его характеристики: период, частота, амплитуда.

Маятником называют твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести или силы упругости. Рассмотрим наиболее простой случай — математический маятник, который представляет собой идеализированную систему, состоящую из материальной точки массой $m$, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити длиной $l$. Движение такого маятника при малых отклонениях от положения равновесия является примером гармонических колебаний.

При отклонении маятника от положения равновесия на угол $\theta$, возвращающая сила, стремящаяся вернуть его в начальное положение, является тангенциальной (касательной) составляющей силы тяжести: $F_{возвр} = -mg \sin(\theta)$. Знак "минус" указывает на то, что сила направлена в сторону, противоположную отклонению. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает телу ускорение $a$: $F = ma$. Ускорение вдоль дуги траектории можно выразить через угловое ускорение: $a = l\frac{d^2\theta}{dt^2}$.

Приравняв оба выражения для силы, получаем дифференциальное уравнение движения маятника:

$ml\frac{d^2\theta}{dt^2} = -mg \sin(\theta)$

После сокращения массы и переноса слагаемых, уравнение принимает вид:

$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin(\theta) = 0$

Это уравнение достаточно сложно для решения. Однако, если рассматривать малые колебания, при которых угол отклонения $\theta$ мал (обычно до 5-10 градусов), то можно воспользоваться приближением $\sin(\theta) \approx \theta$ (где угол $\theta$ выражен в радианах). В этом случае уравнение становится линейным и описывает простое гармоническое колебание:

$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\theta = 0$

Это уравнение имеет стандартный вид дифференциального уравнения гармонических колебаний $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$, где $\omega$ — это циклическая (угловая) частота. Сравнивая уравнения, находим, что для математического маятника $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$.

Решением этого дифференциального уравнения является закон движения маятника — функция, описывающая зависимость смещения от времени. Обычно ее записывают в виде:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$

или для углового смещения:

$\theta(t) = \theta_{max} \cos(\omega t + \phi)$

Здесь $x(t)$ или $\theta(t)$ — смещение от положения равновесия в момент времени $t$; $A$ или $\theta_{max}$ — амплитуда колебаний (максимальное смещение); $\omega$ — циклическая частота; $\phi$ — начальная фаза колебаний (определяет состояние системы в момент $t=0$); выражение $(\omega t + \phi)$ — полная фаза колебаний в момент времени $t$.

Ответ: Уравнение движения маятника (для малых колебаний) имеет вид $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\phi$ — начальная фаза. Это решение дифференциального уравнения $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$, где для математического маятника циклическая частота $\omega = \sqrt{g/l}$.

Период колебаний ($T$) — это время, за которое маятник совершает одно полное колебание (например, от крайнего правого положения до крайнего левого и обратно). Это минимальный промежуток времени, через который состояние колеблющейся системы полностью повторяется. Период связан с циклической частотой $\omega$ следующим соотношением:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Для математического маятника, совершающего малые колебания, мы уже определили, что $\omega = \sqrt{g/l}$. Подставив это значение, получим формулу для периода колебаний математического маятника:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Из этой формулы видно, что при малых колебаниях период математического маятника зависит только от его длины $l$ и ускорения свободного падения $g$. Он не зависит от массы маятника и амплитуды его колебаний. Это свойство называется изохронностью колебаний. Единица измерения периода в СИ — секунда (с).

Ответ: Период ($T$) — это время одного полного колебания. Для малых колебаний математического маятника он вычисляется по формуле $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ и не зависит от амплитуды и массы.

Частота колебаний ($\nu$, иногда обозначается как $f$) — это физическая величина, равная числу полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Частота является обратной величиной по отношению к периоду:

$\nu = \frac{1}{T}$

Единица измерения частоты в СИ — герц (Гц), 1 Гц = 1 с$^{-1}$.

Для математического маятника, используя формулу для периода, можно найти и частоту колебаний:

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Наряду с обычной частотой $\nu$ используется циклическая (угловая) частота $\omega$, которая показывает, на сколько радиан изменяется фаза колебаний за одну секунду. Связь между ними: $\omega = 2\pi\nu$. Как было показано ранее, для математического маятника $\omega = \sqrt{g/l}$.

Ответ: Частота ($\nu$) — это число полных колебаний в единицу времени. Она определяется как $\nu = 1/T$ и для математического маятника равна $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{g/l}$.

Амплитуда ($A$) — это максимальное значение, на которое колеблющаяся величина отклоняется от своего среднего значения (положения равновесия). В случае маятника амплитуда — это максимальное смещение груза от вертикального положения. Она может быть выражена в единицах длины (например, метры для горизонтального смещения $x_{max}$) или в угловых единицах (радианы для максимального угла отклонения $\theta_{max}$). В уравнении гармонических колебаний $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$, амплитуда $A$ — это постоянный положительный множитель. Ее значение определяется начальными условиями: начальным отклонением и начальной скоростью маятника. Для идеального маятника без трения (незатухающие колебания) амплитуда остается постоянной во времени.

Ответ: Амплитуда ($A$) — это максимальное отклонение маятника от положения равновесия. Ее значение зависит от начальных условий (начального толчка или отклонения) и остается постоянным при отсутствии затухания.

5. Преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции (аркфункции), как правило, сводится к их упрощению, то есть к представлению в виде алгебраического выражения от переменных, или к вычислению их точного числового значения. Основой для таких преобразований служат определения аркфункций и основные тригонометрические тождества.

Основные определения и свойства

Вспомним определения и ключевые свойства обратных тригонометрических функций:

• Арксинус ($y = \arcsin x$): это угол $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Область определения: $x \in [-1, 1]$. Область значений: $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

• Арккосинус ($y = \arccos x$): это угол $y$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $x$. Область определения: $x \in [-1, 1]$. Область значений: $y \in [0, \pi]$.

• Арктангенс ($y = \arctan x$): это угол $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. Область определения: $x \in (-\infty, +\infty)$. Область значений: $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

• Арккотангенс ($y = \operatorname{arcctg} x$): это угол $y$ из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $x$. Область определения: $x \in (-\infty, +\infty)$. Область значений: $y \in (0, \pi)$.

Основные тождества

При преобразованиях часто используются следующие тождества:

1. Тождества, связывающие прямые и обратные функции:

   • $\sin(\arcsin x) = x$ при $x \in [-1, 1]$

   • $\cos(\arccos x) = x$ при $x \in [-1, 1]$

   • $\tan(\arctan x) = x$ для любого $x$

   • $\arcsin(\sin y) = y$ только при $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ (в общем случае $\arcsin(\sin y) = (-1)^k(y-k\pi)$, где $k = \lfloor \frac{y}{\pi} + \frac{1}{2} \rfloor$)

2. Соотношения между аркфункциями:

   • $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ при $x \in [-1, 1]$

   • $\arctan x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}$ для любого $x$

3. Свойства нечетности:

   • $\arcsin(-x) = -\arcsin x$

   • $\arctan(-x) = -\arctan x$

   • $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$

   • $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg} x$

Рассмотрим несколько примеров преобразований.

Примеры преобразований

а) Упростить выражение $\cos(\arcsin x)$.

Пусть $\alpha = \arcsin x$. Согласно определению арксинуса, это означает, что $\sin \alpha = x$ и угол $\alpha$ находится в диапазоне $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Нам необходимо найти $\cos \alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Отсюда $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$. Подставив $\sin \alpha = x$, получим: $\cos^2 \alpha = 1 - x^2$.

Тогда $\cos \alpha = \pm\sqrt{1-x^2}$.

Чтобы выбрать правильный знак, учтем область значений арксинуса: $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В этом интервале (I и IV четверти) косинус всегда неотрицателен, то есть $\cos \alpha \ge 0$.

Следовательно, мы выбираем знак «+».

Таким образом, $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$. Это выражение определено при $x \in [-1, 1]$.

Ответ: $\sqrt{1-x^2}$.

б) Вычислить $\sin(2 \arctan 3)$.

Пусть $\alpha = \arctan 3$. По определению, это означает, что $\tan \alpha = 3$ и $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Нам нужно найти значение выражения $\sin(2\alpha)$. Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Чтобы найти $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$, зная $\tan \alpha$, воспользуемся тождеством $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

$1 + 3^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow 10 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{10}$.

Поскольку $\tan \alpha = 3 > 0$, угол $\alpha$ лежит в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), где косинус положителен. Значит, $\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Теперь найдем синус: $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

Подставляем найденные значения в формулу синуса двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

в) Упростить выражение $\arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3}$.

Пусть $\alpha = \arctan \frac{1}{2}$ и $\beta = \arctan \frac{1}{3}$. Нам нужно найти сумму $\alpha + \beta$.

По определению, $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ и $\tan \beta = \frac{1}{3}$.

Так как аргументы арктангенсов положительны, углы $\alpha$ и $\beta$ находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, их сумма $\alpha + \beta$ находится в интервале $(0, \pi)$.

Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$.

Подставим наши значения:

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3+2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$.

Мы получили, что тангенс искомой суммы равен 1. Теперь нужно найти саму сумму. Мы знаем, что $\alpha + \beta \in (0, \pi)$. Единственный угол в этом интервале, тангенс которого равен 1, это $\frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.