Страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

40.16 a) $4 \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^x - 17 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x + 4 = 0;$

б) $0,01^x + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0;$

в) $3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 6 = 0;$

г) $5 \cdot \left(\frac{4}{25}\right)^x + 23 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 10 = 0.$

а) Решим уравнение $4 \cdot (\frac{1}{16})^x - 17 \cdot (\frac{1}{4})^x + 4 = 0$.
Заметим, что $\frac{1}{16} = (\frac{1}{4})^2$. Тогда уравнение можно переписать в виде:
$4 \cdot ((\frac{1}{4})^2)^x - 17 \cdot (\frac{1}{4})^x + 4 = 0$
$4 \cdot ((\frac{1}{4})^x)^2 - 17 \cdot (\frac{1}{4})^x + 4 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{4})^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$4t^2 - 17t + 4 = 0$
Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 15}{8}$
$t_1 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену:
1) Для $t_1 = \frac{1}{4}$: $(\frac{1}{4})^x = \frac{1}{4}$, откуда $x_1 = 1$.
2) Для $t_2 = 4$: $(\frac{1}{4})^x = 4$. Перепишем как $(4^{-1})^x = 4^1$, или $4^{-x} = 4^1$. Отсюда $-x = 1$, то есть $x_2 = -1$.
Ответ: $\{-1; 1\}$.

б) Решим уравнение $0,01^x + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0$.
Заметим, что $0,01 = (0,1)^2$. Тогда уравнение можно переписать в виде:
$(0,1^x)^2 + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (0,1)^x$. Учитывая, что $t$ - значение показательной функции, $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $t^2 + 9,9t - 1 = 0$.
Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от дробей: $10t^2 + 99t - 10 = 0$.
Найдем корни:
$D = 99^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-10) = 9801 + 400 = 10201 = 101^2$
$t_{1,2} = \frac{-99 \pm 101}{2 \cdot 10} = \frac{-99 \pm 101}{20}$
$t_1 = \frac{-99 - 101}{20} = \frac{-200}{20} = -10$
$t_2 = \frac{-99 + 101}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1$
Корень $t_1 = -10$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Выполним обратную замену для $t_2 = 0,1$:
$(0,1)^x = 0,1$
$(0,1)^x = (0,1)^1$
$x = 1$
Ответ: $\{1\}$.

в) Решим уравнение $3 \cdot (\frac{4}{9})^x + 7 \cdot (\frac{2}{3})^x - 6 = 0$.
Заметим, что $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$. Уравнение принимает вид:
$3 \cdot ((\frac{2}{3})^x)^2 + 7 \cdot (\frac{2}{3})^x - 6 = 0$
Пусть $t = (\frac{2}{3})^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $3t^2 + 7t - 6 = 0$.
Найдем его корни:
$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$
$t_{1,2} = \frac{-7 \pm 11}{2 \cdot 3} = \frac{-7 \pm 11}{6}$
$t_1 = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3$
$t_2 = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Корень $t_1 = -3$ не подходит, так как $t>0$.
Выполним обратную замену для $t_2 = \frac{2}{3}$:
$(\frac{2}{3})^x = \frac{2}{3}$
$(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^1$
$x = 1$
Ответ: $\{1\}$.

г) Решим уравнение $5 \cdot (\frac{4}{25})^x + 23 \cdot (\frac{2}{5})^x - 10 = 0$.
Так как $\frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$, уравнение можно записать как:
$5 \cdot ((\frac{2}{5})^x)^2 + 23 \cdot (\frac{2}{5})^x - 10 = 0$
Введем замену $t = (\frac{2}{5})^x$, при этом $t > 0$.
Получим квадратное уравнение: $5t^2 + 23t - 10 = 0$.
Найдем его корни:
$D = 23^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 529 + 200 = 729 = 27^2$
$t_{1,2} = \frac{-23 \pm 27}{2 \cdot 5} = \frac{-23 \pm 27}{10}$
$t_1 = \frac{-23 - 27}{10} = \frac{-50}{10} = -5$
$t_2 = \frac{-23 + 27}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
Корень $t_1 = -5$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $t>0$.
Сделаем обратную замену для $t_2 = \frac{2}{5}$:
$(\frac{2}{5})^x = \frac{2}{5}$
$(\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{5})^1$
$x = 1$
Ответ: $\{1\}$.

40.20 a) $3^x \cdot 7^{x+2} = 49 \cdot 4^x;$

б) $2^{x+1} \cdot 5^{x+3} = 250 \cdot 9^x.$

а) $3^x \cdot 7^{x+2} = 49 \cdot 4^x$

Для решения данного показательного уравнения преобразуем его, приведя к удобному для сравнения виду.

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для члена $7^{x+2}$ и представим число 49 как степень семерки ($49 = 7^2$):

$3^x \cdot (7^x \cdot 7^2) = 7^2 \cdot 4^x$

$3^x \cdot 7^x \cdot 49 = 49 \cdot 4^x$

Разделим обе части уравнения на 49. Так как $49 \neq 0$, это допустимое действие:

$3^x \cdot 7^x = 4^x$

Сгруппируем члены с переменной $x$ в одной части уравнения. Для этого разделим обе части на $4^x$. Так как $4^x > 0$ при любом значении $x$, деление на $4^x$ не приведет к потере корней.

$\frac{3^x \cdot 7^x}{4^x} = 1$

Используя свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, объединим основания:

$(\frac{3 \cdot 7}{4})^x = 1$

$(\frac{21}{4})^x = 1$

Уравнение вида $a^x = 1$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) имеет единственное решение $x=0$. В нашем случае основание $\frac{21}{4} \neq 1$, следовательно:

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

б) $2^{x+1} \cdot 5^{x+3} = 250 \cdot 9^x$

Преобразуем данное показательное уравнение, используя свойства степеней и разложение чисел на множители.

Применим свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$(2^x \cdot 2^1) \cdot (5^x \cdot 5^3) = 250 \cdot 9^x$

Вычислим числовые коэффициенты: $2^1 = 2$ и $5^3 = 125$.

$2 \cdot 2^x \cdot 125 \cdot 5^x = 250 \cdot 9^x$

Сгруппируем коэффициенты и степени с одинаковым показателем $x$ в левой части уравнения:

$(2 \cdot 125) \cdot (2^x \cdot 5^x) = 250 \cdot 9^x$

$250 \cdot (2 \cdot 5)^x = 250 \cdot 9^x$

$250 \cdot 10^x = 250 \cdot 9^x$

Разделим обе части уравнения на 250 (так как $250 \neq 0$):

$10^x = 9^x$

Разделим обе части на $9^x$. Так как $9^x > 0$ при любом значении $x$, это преобразование является равносильным.

$\frac{10^x}{9^x} = 1$

$(\frac{10}{9})^x = 1$

Поскольку основание степени $\frac{10}{9}$ не равно 1, равенство выполняется только тогда, когда показатель степени равен нулю.

$x=0$

Ответ: $x=0$.

40.17 а) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0;$

Б) $(\frac{1}{2})^{2x} - (\frac{1}{2})^{x-2} - 32 = 0;$

В) $5^{2x+1} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0;$

Г) $(\frac{1}{3})^{2x} + (\frac{1}{3})^{x-2} - 162 = 0.$

а)

Преобразуем исходное уравнение $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$, используя свойства степеней $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$ и $a^{2m}=(a^m)^2$. Получаем: $2^{2x} \cdot 2^1 - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$, что эквивалентно $2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$. С учетом замены уравнение принимает вид квадратного уравнения: $2t^2 - 5t - 88 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-88) = 25 + 704 = 729$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{729}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 27}{4} = 8$ и $t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{729}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 27}{4} = -5.5$.

Корень $t_2 = -5.5$ не удовлетворяет условию $t>0$, поэтому он является посторонним. Используем корень $t_1=8$.

Выполним обратную замену: $2^x = t_1 \implies 2^x = 8$. Представим 8 как степень двойки: $2^x = 2^3$. Отсюда следует, что $x=3$.

Ответ: $3$.

б)

Преобразуем исходное уравнение $(\frac{1}{2})^{2x} - (\frac{1}{2})^{x-2} - 32 = 0$. Используя свойства степеней $(a^m)^n=a^{mn}$ и $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}=a^m \cdot a^{-n}$, получим: $((\frac{1}{2})^x)^2 - (\frac{1}{2})^x \cdot (\frac{1}{2})^{-2} - 32 = 0$. Так как $(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$, уравнение примет вид: $((\frac{1}{2})^x)^2 - 4 \cdot (\frac{1}{2})^x - 32 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$. Так как $t$ - значение показательной функции, то $t>0$. Уравнение превращается в квадратное: $t^2 - 4t - 32 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 4, а их произведение равно -32. Корнями являются $t_1 = 8$ и $t_2 = -4$.

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t>0$, поэтому отбрасываем его. Остается $t_1 = 8$.

Выполним обратную замену: $(\frac{1}{2})^x = 8$. Запишем обе части уравнения как степени числа 2: $(2^{-1})^x = 2^3$, что равносильно $2^{-x} = 2^3$. Приравнивая показатели степеней, получаем $-x=3$, откуда $x=-3$.

Ответ: $-3$.

в)

Рассмотрим уравнение $5^{2x+1} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$. Преобразуем его, используя свойства степеней: $5^{2x} \cdot 5^1 - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$, или $5 \cdot (5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$.

Произведем замену переменной: пусть $t = 5^x$, где $t>0$. Уравнение становится квадратным: $5t^2 - 26t + 5 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Находим корни: $t_1 = \frac{26+24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$ и $t_2 = \frac{26-24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Оба корня, $t_1=5$ и $t_2=\frac{1}{5}$, положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $5^x = t_1 \implies 5^x = 5$. Отсюда $5^x = 5^1$, следовательно, $x_1=1$.

2) $5^x = t_2 \implies 5^x = \frac{1}{5}$. Отсюда $5^x = 5^{-1}$, следовательно, $x_2=-1$.

Ответ: $-1; 1$.

г)

Преобразуем уравнение $(\frac{1}{3})^{2x} + (\frac{1}{3})^{x-2} - 162 = 0$, используя свойства степеней: $((\frac{1}{3})^x)^2 + (\frac{1}{3})^x \cdot (\frac{1}{3})^{-2} - 162 = 0$. Учитывая, что $(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$, получаем: $((\frac{1}{3})^x)^2 + 9 \cdot (\frac{1}{3})^x - 162 = 0$.

Введем замену переменной $t = (\frac{1}{3})^x$, при этом $t>0$. Уравнение принимает вид: $t^2 + 9t - 162 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 81 + 648 = 729 = 27^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-9+27}{2} = \frac{18}{2} = 9$ и $t_2 = \frac{-9-27}{2} = \frac{-36}{2} = -18$.

Корень $t_2 = -18$ не удовлетворяет условию $t>0$. Используем корень $t_1=9$.

Выполним обратную замену: $(\frac{1}{3})^x = 9$. Представим обе части как степени числа 3: $(3^{-1})^x = 3^2$, что дает $3^{-x}=3^2$. Приравниваем показатели: $-x=2$, откуда $x=-2$.

Ответ: $-2$.

40.21 a) $6^{2x + 4} = 2^{8 + x} \cdot 3^{3x}$

б) $35^{4x + 2} = 5^{3x + 4} \cdot 7^{5x}$

а)

Дано показательное уравнение:

$6^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$

Чтобы решить это уравнение, представим основание 6 в виде произведения его простых множителей, то есть $6 = 2 \cdot 3$.

$(2 \cdot 3)^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$

Используя свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, раскроем скобки в левой части уравнения:

$2^{2x+4} \cdot 3^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$

Теперь разделим обе части уравнения так, чтобы сгруппировать степени с одинаковыми основаниями. Разделим левую и правую части на $2^{8+x}$ и $3^{2x+4}$ (при условии, что они не равны нулю, что всегда верно для показательных функций):

$\frac{2^{2x+4}}{2^{8+x}} = \frac{3^{3x}}{3^{2x+4}}$

Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{(2x+4) - (8+x)} = 3^{3x - (2x+4)}$

$2^{2x+4-8-x} = 3^{3x-2x-4}$

$2^{x-4} = 3^{x-4}$

Разделим обе части уравнения на $3^{x-4}$:

$\frac{2^{x-4}}{3^{x-4}} = 1$

Используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, получим:

$(\frac{2}{3})^{x-4} = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Следовательно, показатель степени должен быть равен нулю:

$x-4 = 0$

$x = 4$

Ответ: $x=4$

б)

Дано показательное уравнение:

$35^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$

Аналогично предыдущему пункту, представим основание 35 в виде произведения простых множителей: $35 = 5 \cdot 7$.

$(5 \cdot 7)^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя свойство степени произведения:

$5^{4x+2} \cdot 7^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, разделив обе части уравнения на $5^{3x+4}$ и $7^{4x+2}$:

$\frac{5^{4x+2}}{5^{3x+4}} = \frac{7^{5x}}{7^{4x+2}}$

Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием:

$5^{(4x+2) - (3x+4)} = 7^{5x - (4x+2)}$

$5^{4x+2-3x-4} = 7^{5x-4x-2}$

$5^{x-2} = 7^{x-2}$

Разделим обе части на $7^{x-2}$:

$\frac{5^{x-2}}{7^{x-2}} = 1$

$(\frac{5}{7})^{x-2} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, приравниваем показатель степени к нулю:

$x-2 = 0$

$x = 2$

Ответ: $x=2$

40.14 a) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0;$

Б) $3^{2x} - 6 \cdot 3^x - 27 = 0;$

В) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x - 6 = 0;$

Г) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x - 6 = 0.$

а) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Данное уравнение является показательным, и его можно свести к квадратному уравнению. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$.

Выполним замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью теоремы Виета или через дискриминант.
По теореме Виета:
Сумма корней: $t_1 + t_2 = 6$
Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 8$
Подбором находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену:

1) Если $t_1 = 2$, то $2^x = 2$. Отсюда $2^x = 2^1$, следовательно, $x = 1$.

2) Если $t_2 = 4$, то $2^x = 4$. Отсюда $2^x = 2^2$, следовательно, $x = 2$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; 2$.

б) $3^{2x} - 6 \cdot 3^x - 27 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степени $a^{mn} = (a^m)^n$: $(3^x)^2 - 6 \cdot 3^x - 27 = 0$.

Введем замену переменной: $t = 3^x$. Учитывая, что $3^x > 0$ для любого $x$, получаем ограничение $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 6t - 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$.

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$. Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $t_2 = 9$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t_2 = 9$:

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $2$.

в) $(\frac{1}{6})^{2x} - 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Заметим, что $(\frac{1}{6})^{2x} = ((\frac{1}{6})^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{6})^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.

После замены уравнение примет вид:

$t^2 - 5t - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому отбрасываем его. Корень $t_2 = 6$ подходит.

Выполним обратную замену:

$(\frac{1}{6})^x = 6$

Представим $\frac{1}{6}$ как $6^{-1}$:

$(6^{-1})^x = 6^1$

$6^{-x} = 6^1$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = 1$

$x = -1$

Ответ: $-1$.

г) $(\frac{1}{6})^{2x} + 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Это уравнение также сводится к квадратному. Пусть $t = (\frac{1}{6})^x$, при этом $t > 0$.

Подставляем $t$ в уравнение:

$t^2 + 5t - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:

Сумма корней: $t_1 + t_2 = -5$
Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = -6$
Корни: $t_1 = -6$ и $t_2 = 1$.

Проверим корни по условию $t > 0$. Корень $t_1 = -6$ не является решением, так как он отрицательный. Корень $t_2 = 1$ удовлетворяет условию.

Сделаем обратную замену для $t_2 = 1$:

$(\frac{1}{6})^x = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, мы можем записать:

$(\frac{1}{6})^x = (\frac{1}{6})^0$

Отсюда следует, что $x = 0$.

Ответ: $0$.

40.18 a) $3^{x-1} - \left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} + 207;$

б) $\sqrt[4]{16^{x+1}} + 188 = 8 \cdot 2^x - 0.5^{3-x}.$

а) $3^{x-1} - (\frac{1}{3})^{3-x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} + 207$

Приведем все степени в уравнении к одному основанию 3. Для этого преобразуем каждый член уравнения, используя свойства степеней:

$(\frac{1}{3})^{3-x} = (3^{-1})^{3-x} = 3^{-1 \cdot (3-x)} = 3^{x-3}$

$\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} = \sqrt{\frac{1}{(3^2)^{4-x}}} = \sqrt{\frac{1}{3^{8-2x}}} = \sqrt{3^{-(8-2x)}} = \sqrt{3^{2x-8}} = (3^{2x-8})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{2x-8}{2}} = 3^{x-4}$

Подставим преобразованные выражения обратно в исходное уравнение:

$3^{x-1} - 3^{x-3} = 3^{x-4} + 207$

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и вынесем $3^x$:

$\frac{3^x}{3^1} - \frac{3^x}{3^3} = \frac{3^x}{3^4} + 207$

$\frac{3^x}{3} - \frac{3^x}{27} = \frac{3^x}{81} + 207$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$, при этом $y > 0$.

$\frac{y}{3} - \frac{y}{27} = \frac{y}{81} + 207$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 81:

$81 \cdot \frac{y}{3} - 81 \cdot \frac{y}{27} = 81 \cdot \frac{y}{81} + 81 \cdot 207$

$27y - 3y = y + 16767$

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения:

$24y - y = 16767$

$23y = 16767$

$y = \frac{16767}{23}$

$y = 729$

Полученное значение $y=729$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$3^x = y$

$3^x = 729$

Представим 729 как степень числа 3. Так как $729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$, получаем:

$3^x = 3^6$

Отсюда следует, что $x = 6$.

Ответ: $x = 6$.

б) $\sqrt[4]{16^{x+1}} + 188 = 8 \cdot 2^x - 0.5^{3-x}$

Приведем все степени в уравнении к одному основанию 2. Для этого преобразуем члены уравнения:

$\sqrt[4]{16^{x+1}} = (16^{x+1})^{\frac{1}{4}} = ((2^4)^{x+1})^{\frac{1}{4}} = (2^{4(x+1)})^{\frac{1}{4}} = 2^{x+1}$

$0.5^{3-x} = (\frac{1}{2})^{3-x} = (2^{-1})^{3-x} = 2^{-1 \cdot (3-x)} = 2^{x-3}$

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$2^{x+1} + 188 = 8 \cdot 2^x - 2^{x-3}$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^x \cdot 2^1 + 188 = 8 \cdot 2^x - \frac{2^x}{2^3}$

$2 \cdot 2^x + 188 = 8 \cdot 2^x - \frac{2^x}{8}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$.

$2t + 188 = 8t - \frac{t}{8}$

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дроби:

$8 \cdot (2t) + 8 \cdot 188 = 8 \cdot (8t) - 8 \cdot \frac{t}{8}$

$16t + 1504 = 64t - t$

$16t + 1504 = 63t$

Перенесем члены с переменной $t$ в одну сторону:

$1504 = 63t - 16t$

$1504 = 47t$

$t = \frac{1504}{47}$

$t = 32$

Полученное значение $t=32$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$2^x = t$

$2^x = 32$

Так как $32 = 2^5$, получаем:

$2^x = 2^5$

Отсюда следует, что $x = 5$.

Ответ: $x = 5$.

40.15 a) $2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x + 2 = 0;$

В) $4\left(\frac{1}{16}\right)^x + 15\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^x - 4 = 0;$

Б) $3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0;$

Г) $(0,25)^x + 1,5 \cdot (0,5)^x - 1 = 0.$

а) $2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=a^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{4}$

$t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = \frac{1}{2}$, то $2^x = \frac{1}{2}$, откуда $2^x = 2^{-1}$, следовательно, $x = -1$.

2) Если $t = 2$, то $2^x = 2$, откуда $2^x = 2^1$, следовательно, $x = 1$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

б) $3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Найдем его корни через дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = \frac{1}{3}$, то $3^x = \frac{1}{3}$, откуда $3^x = 3^{-1}$, следовательно, $x = -1$.

2) Если $t = 3$, то $3^x = 3$, откуда $3^x = 3^1$, следовательно, $x = 1$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

в) $4 \left(\frac{1}{16}\right)^x + 15 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x - 4 = 0$

Преобразуем уравнение, заметив, что $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$. Тогда $\left(\frac{1}{16}\right)^x = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^2\right)^x = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^x\right)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{1}{4}\right)^x$, при этом $t > 0$.

Уравнение примет вид:

$4t^2 + 15t - 4 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$

$t_{1,2} = \frac{-15 \pm 17}{8}$

$t_1 = \frac{-15 - 17}{8} = \frac{-32}{8} = -4$

$t_2 = \frac{-15 + 17}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним.

Рассмотрим корень $t_2 = \frac{1}{4}$.

Выполним обратную замену:

$\left(\frac{1}{4}\right)^x = \frac{1}{4}$, откуда $\left(\frac{1}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{4}\right)^1$, следовательно, $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

г) $(0,25)^x + 1,5 \cdot (0,5)^x - 1 = 0$

Заметим, что $0,25 = (0,5)^2$. Тогда $(0,25)^x = ((0,5)^2)^x = ((0,5)^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (0,5)^x$, при этом $t > 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 + 1,5t - 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$t_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

$t_1 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Корень $t_2 = 0,5$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$(0,5)^x = 0,5$, откуда $(0,5)^x = (0,5)^1$, следовательно, $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

40.19 а) $2^x = 3^x$;

б) $25^x = 7^{2x}$;

В) $(\frac{1}{3})^{2x} = 8^x$;

Г) $(\frac{1}{4})^x = (\frac{1}{5})^x$.

а) $2^x = 3^x$

Данное показательное уравнение имеет разные основания ($2$ и $3$), но одинаковые показатели ($x$). Для его решения разделим обе части уравнения на $3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$, эта операция является равносильной и не приводит к потере корней.

$\frac{2^x}{3^x} = \frac{3^x}{3^x}$

Используя свойство степени $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$(\frac{2}{3})^x = 1$

Любое число (кроме нуля), возведенное в степень $0$, равно $1$. Следовательно, чтобы равенство выполнялось, показатель степени должен быть равен нулю.

$x = 0$

Проверка: $2^0 = 1$ и $3^0 = 1$. Равенство $1 = 1$ является верным.

Ответ: $x=0$

б) $25^x = 7^{2x}$

Преобразуем левую часть уравнения, представив основание $25$ как степень числа $5$, то есть $25 = 5^2$.

Уравнение примет вид:

$(5^2)^x = 7^{2x}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$5^{2x} = 7^{2x}$

Теперь мы получили уравнение с разными основаниями ($5$ и $7$), но одинаковыми показателями ($2x$). Разделим обе части на $7^{2x}$ (выражение $7^{2x}$ всегда положительно).

$\frac{5^{2x}}{7^{2x}} = 1$

$(\frac{5}{7})^{2x} = 1$

Приравниваем показатель степени к нулю, так как любое основание (кроме 0) в степени 0 равно 1.

$2x = 0$

$x = 0$

Проверка: $25^0 = 1$ и $7^{2 \cdot 0} = 7^0 = 1$. Равенство $1 = 1$ является верным.

Ответ: $x=0$

в) $(\frac{1}{3})^{2x} = 8^x$

Преобразуем левую часть уравнения так, чтобы показатель степени стал равен $x$, как и в правой части. Для этого воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = (a^n)^m$.

$(\frac{1}{3})^{2x} = ((\frac{1}{3})^2)^x = (\frac{1}{9})^x$

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{1}{9})^x = 8^x$

Это уравнение с разными основаниями ($\frac{1}{9}$ и $8$) и одинаковым показателем ($x$). Разделим обе части на $8^x$ (что всегда больше нуля).

$\frac{(\frac{1}{9})^x}{8^x} = 1$

$(\frac{1/9}{8})^x = 1$

$(\frac{1}{72})^x = 1$

Чтобы равенство было верным, показатель степени должен быть равен нулю.

$x = 0$

Проверка: $(\frac{1}{3})^{2 \cdot 0} = (\frac{1}{3})^0 = 1$ и $8^0 = 1$. Равенство $1 = 1$ является верным.

Ответ: $x=0$

г) $(\frac{1}{4})^x = (\frac{1}{5})^x$

Это показательное уравнение с разными основаниями ($\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{5}$), но одинаковыми показателями ($x$). Разделим обе части уравнения на $(\frac{1}{5})^x$. Эта операция является равносильной, так как $(\frac{1}{5})^x > 0$ для любого действительного $x$.

$\frac{(\frac{1}{4})^x}{(\frac{1}{5})^x} = 1$

Применяя свойство частного степеней с одинаковым показателем, получаем:

$(\frac{1/4}{1/5})^x = 1$

Упростим основание степени в левой части:

$(\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{1})^x = 1$

$(\frac{5}{4})^x = 1$

Равенство верно только в том случае, когда показатель степени равен нулю.

$x = 0$

Проверка: $(\frac{1}{4})^0 = 1$ и $(\frac{1}{5})^0 = 1$. Равенство $1 = 1$ является верным.

Ответ: $x=0$