Страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

40.64 a) $(x - 6)(5^x - 25) < 0$;

б) $(2x + 1)(3^{3 - x} - 9) > 0$.

а) Решим неравенство $(x - 6)(5^{x-6} - 25) < 0$.

Данное неравенство представляет собой произведение двух множителей. Неравенство будет верным, если множители имеют разные знаки. Для решения применим обобщенный метод интервалов (метод рационализации).

Суть метода заключается в замене сложного множителя на более простой, имеющий те же знаки и те же нули. Знак выражения вида $a^{f(x)} - a^{g(x)}$ на его области определения совпадает со знаком выражения $(a-1)(f(x) - g(x))$.

Преобразуем второй множитель: $5^{x-6} - 25 = 5^{x-6} - 5^2$.

В данном случае $a=5$, $f(x) = x-6$ и $g(x) = 2$. Так как основание $a=5>1$, то множитель $(a-1)$ является положительным числом, и знак выражения $5^{x-6} - 5^2$ будет совпадать со знаком выражения $f(x) - g(x) = (x-6) - 2 = x-8$.

Таким образом, исходное неравенство $(x - 6)(5^{x-6} - 25) < 0$ равносильно следующему неравенству: $(x-6)(x-8) < 0$.

Это квадратичное неравенство. Решим его методом интервалов. Корни левой части: $x_1 = 6$, $x_2 = 8$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 6)$, $(6; 8)$ и $(8; +\infty)$.

Поскольку график функции $y=(x-6)(x-8)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(6, 8)$.

Ответ: $x \in (6, 8)$.

б) Решим неравенство $(2x + 1)(3^{3-x} - 9) > 0$.

Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся методом рационализации для второго множителя.

Преобразуем второй множитель: $3^{3-x} - 9 = 3^{3-x} - 3^2$.

Здесь $a=3$, $f(x) = 3-x$ и $g(x) = 2$. Так как основание $a=3>1$, то знак выражения $3^{3-x} - 3^2$ совпадает со знаком выражения $f(x) - g(x) = (3-x) - 2 = 1-x$.

Таким образом, исходное неравенство $(2x + 1)(3^{3-x} - 9) > 0$ равносильно неравенству: $(2x+1)(1-x) > 0$.

Чтобы привести второй множитель к стандартному виду $(x-c)$, вынесем $-1$ за скобки: $(2x+1)(-1)(x-1) > 0$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $(2x+1)(x-1) < 0$.

Это квадратичное неравенство. Найдем корни левой части, приравняв каждый множитель к нулю: $2x+1=0 \implies x_1 = -1/2$ и $x-1=0 \implies x_2 = 1$.

График функции $y=(2x+1)(x-1)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-1/2, 1)$.

Ответ: $x \in (-1/2, 1)$.

40.65 a) $(2^x - 8)(3^x - 81) < 0$;

б) $(3^{x+2} - \frac{1}{27})(5^{3-2x} - 0.2) \geq 0.$

a)

Решим неравенство $(2^x - 8)(3^x - 81) < 0$.

Данное неравенство решается методом интервалов. Сначала найдем значения $x$, при которых каждый из сомножителей равен нулю.

1) $2^x - 8 = 0$

$2^x = 8$

$2^x = 2^3$

$x_1 = 3$

2) $3^x - 81 = 0$

$3^x = 81$

$3^x = 3^4$

$x_2 = 4$

Найденные точки $x=3$ и $x=4$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 3)$, $(3; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак выражения $(2^x - 8)(3^x - 81)$ в каждом из этих интервалов.

• Интервал $(-\infty; 3)$. Возьмем пробную точку $x=0$.

  $(2^0 - 8)(3^0 - 81) = (1 - 8)(1 - 81) = (-7)(-80) = 560 > 0$. Знак «+».

• Интервал $(3; 4)$. Возьмем пробную точку $x=3.5$.

  Поскольку функция $y=a^x$ при $a>1$ является возрастающей, то:

  при $x>3$, $2^x > 2^3=8$, значит $2^x-8 > 0$.

  при $x<4$, $3^x < 3^4=81$, значит $3^x-81 < 0$.

  Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно. Знак «−».

• Интервал $(4; +\infty)$. Возьмем пробную точку $x=5$.

  $(2^5 - 8)(3^5 - 81) = (32 - 8)(243 - 81) = (24)(162) > 0$. Знак «+».

Произведение меньше нуля там, где стоит знак «−». Это интервал $(3; 4)$.

Ответ: $x \in (3; 4)$.

б)

Решим неравенство $(3^{x+2} - \frac{1}{27})(5^{3-2x} - 0,2) \ge 0$.

Преобразуем числа в сомножителях к степеням с основаниями 3 и 5 соответственно.

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

Подставим эти значения в неравенство:

$(3^{x+2} - 3^{-3})(5^{3-2x} - 5^{-1}) \ge 0$.

Применим метод интервалов. Найдем корни каждого сомножителя.

1) $3^{x+2} - 3^{-3} = 0$

$3^{x+2} = 3^{-3}$

$x+2 = -3$

$x_1 = -5$

2) $5^{3-2x} - 5^{-1} = 0$

$5^{3-2x} = 5^{-1}$

$3-2x = -1$

$4 = 2x$

$x_2 = 2$

Точки $x=-5$ и $x=2$ делят числовую прямую на три интервала. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут включены в решение.

• Интервал $(-\infty; -5]$. Возьмем пробную точку $x=-6$.

  Первый множитель: $3^{-6+2} - 3^{-3} = 3^{-4} - 3^{-3} = \frac{1}{81} - \frac{1}{27} < 0$.

  Второй множитель: $5^{3-2(-6)} - 5^{-1} = 5^{15} - 5^{-1} > 0$.

  Произведение: $(-)(+) = -$.

• Интервал $[-5; 2]$. Возьмем пробную точку $x=0$.

  Первый множитель: $3^{0+2} - 3^{-3} = 3^2 - 3^{-3} = 9 - \frac{1}{27} > 0$.

  Второй множитель: $5^{3-2(0)} - 5^{-1} = 5^3 - 5^{-1} = 125 - \frac{1}{5} > 0$.

  Произведение: $(+)(+) = +$.

• Интервал $[2; +\infty)$. Возьмем пробную точку $x=3$.

  Первый множитель: $3^{3+2} - 3^{-3} = 3^5 - 3^{-3} > 0$.

  Второй множитель: $5^{3-2(3)} - 5^{-1} = 5^{-3} - 5^{-1} = \frac{1}{125} - \frac{1}{5} < 0$.

  Произведение: $(+)(-) = -$.

Неравенство выполняется, когда произведение неотрицательно (знак «+» или равно 0). Это происходит на отрезке $[-5; 2]$.

Ответ: $x \in [-5; 2]$.

40.66 a) $2^{2-x} > 2x - 3;$

б) $3^{3-2x} \le 2x + 1.$

а)

Рассмотрим неравенство $2^{2-x} > 2x - 3$.

Для решения этого неравенства введем две функции: $f(x) = 2^{2-x}$ (левая часть) и $g(x) = 2x - 3$ (правая часть).

Проанализируем свойства этих функций:

1. Функция $f(x) = 2^{2-x} = 2^2 \cdot 2^{-x} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^x$. Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, функция $f(x)$ является монотонно убывающей на всей своей области определения, то есть на $(-\infty; +\infty)$.
2. Функция $g(x) = 2x - 3$ — это линейная функция с угловым коэффициентом $k=2$. Так как $k > 0$, функция $g(x)$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, то есть на $(-\infty; +\infty)$.

Поскольку одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем точку их пересечения, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$2^{2-x} = 2x - 3$

Подберем корень этого уравнения. Проверим целые значения $x$.

При $x=2$:

Левая часть: $2^{2-2} = 2^0 = 1$.

Правая часть: $2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.

Поскольку левая и правая части равны, $x=2$ является единственным корнем уравнения.

Теперь вернемся к неравенству $f(x) > g(x)$. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, и их графики пересекаются в точке $x=2$, то для всех $x$ левее этой точки (т.е. при $x < 2$) значение функции $f(x)$ будет больше значения функции $g(x)$, а для всех $x$ правее (т.е. при $x > 2$) — наоборот.

Таким образом, неравенство $2^{2-x} > 2x - 3$ выполняется при $x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

б)

Рассмотрим неравенство $3^{3-2x} \le 2x + 1$.

Аналогично предыдущему пункту, введем функции $f(x) = 3^{3-2x}$ и $g(x) = 2x + 1$.

Проанализируем свойства этих функций:

1. Функция $f(x) = 3^{3-2x} = 3^3 \cdot 3^{-2x} = 27 \cdot (3^{-2})^x = 27 \cdot (\frac{1}{9})^x$. Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{9}$. Так как $0 < a < 1$, функция $f(x)$ является монотонно убывающей на $(-\infty; +\infty)$.
2. Функция $g(x) = 2x + 1$ — это линейная функция с угловым коэффициентом $k=2 > 0$. Следовательно, функция $g(x)$ является монотонно возрастающей на $(-\infty; +\infty)$.

Монотонно убывающая и монотонно возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем эту точку из уравнения $f(x) = g(x)$:

$3^{3-2x} = 2x + 1$

Подберем корень, проверив целые значения $x$.

При $x=1$:

Левая часть: $3^{3 - 2 \cdot 1} = 3^{1} = 3$.

Правая часть: $2 \cdot 1 + 1 = 3$.

Значит, $x=1$ — единственный корень уравнения.

Нам нужно решить неравенство $f(x) \le g(x)$. Равенство достигается при $x=1$. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, то при $x > 1$ будет выполняться строгое неравенство $f(x) < g(x)$.

Объединяя оба случая ($f(x) = g(x)$ и $f(x) < g(x)$), получаем, что неравенство $3^{3-2x} \le 2x + 1$ выполняется при $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

40.63 Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} 2^{x+1} > 4, \\ 7^{3x-10} < 49; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (\frac{1}{2})^{4x+2,5} > \sqrt{2}, \\ 10^{x^2-1} > 1000; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 0,4^{-x+3} < 0,16, \\ 0,1^{x^2+1} > 0,01; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt{5} \cdot 5^{2x-0,5} \ge 1, \\ 0,2^{6-9x} \le 125. \end{cases}$

а)

Решим первое неравенство системы:

$2^{x+1} > 4$

Представим 4 как степень 2: $4 = 2^2$.

$2^{x+1} > 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$x+1 > 2$

$x > 1$

Решим второе неравенство системы:

$7^{3x-10} < 49$

Представим 49 как степень 7: $49 = 7^2$.

$7^{3x-10} < 7^2$

Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$3x-10 < 2$

$3x < 12$

$x < 4$

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > 1$ и $x < 4$.

Решением системы является интервал $(1, 4)$.

Ответ: $x \in (1, 4)$

б)

Решим первое неравенство системы:

$(\frac{1}{2})^{4x+2,5} > \sqrt{2}$

Приведем обе части к основанию 2. Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{0,5}$, неравенство принимает вид:

$(2^{-1})^{4x+2,5} > 2^{0,5}$

$2^{-(4x+2,5)} > 2^{0,5}$

$2^{-4x-2,5} > 2^{0,5}$

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$-4x-2,5 > 0,5$

$-4x > 3$

$x < -\frac{3}{4}$, что эквивалентно $x < -0,75$.

Решим второе неравенство системы:

$10^{x^2-1} > 1000$

Представим 1000 как степень 10: $1000 = 10^3$.

$10^{x^2-1} > 10^3$

Так как основание $10 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$x^2-1 > 3$

$x^2 > 4$

Это неравенство равносильно совокупности $x > 2$ или $x < -2$.

Найдем пересечение решений: $x < -0,75$ и ($x < -2$ или $x > 2$).

Пересечением множеств $(-\infty, -0,75)$ и $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ является интервал $(-\infty, -2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$

в)

Решим первое неравенство системы:

$0,4^{-x+3} < 0,16$

Представим 0,16 как степень 0,4: $0,16 = 0,4^2$.

$0,4^{-x+3} < 0,4^2$

Так как основание $0,4 < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$-x+3 > 2$

$-x > -1$

$x < 1$

Решим второе неравенство системы:

$0,1^{x^2+1} > 0,01$

Представим 0,01 как степень 0,1: $0,01 = 0,1^2$.

$0,1^{x^2+1} > 0,1^2$

Так как основание $0,1 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2+1 < 2$

$x^2 < 1$

Решением этого неравенства является интервал $-1 < x < 1$.

Найдем пересечение решений: $x < 1$ и $-1 < x < 1$.

Пересечением является интервал $(-1, 1)$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$

г)

Решим первое неравенство системы:

$\sqrt{5} \cdot 5^{2x-0,5} \ge 1$

Приведем обе части к основанию 5: $\sqrt{5} = 5^{0,5}$ и $1 = 5^0$.

$5^{0,5} \cdot 5^{2x-0,5} \ge 5^0$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{0,5 + 2x - 0,5} \ge 5^0$

$5^{2x} \ge 5^0$

Так как основание $5 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$2x \ge 0$

$x \ge 0$

Решим второе неравенство системы:

$0,2^{6-9x} \le 125$

Приведем обе части к основанию 5: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $125 = 5^3$.

$(5^{-1})^{6-9x} \le 5^3$

$5^{-(6-9x)} \le 5^3$

$5^{9x-6} \le 5^3$

Так как основание $5 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$9x-6 \le 3$

$9x \le 9$

$x \le 1$

Найдем пересечение решений: $x \ge 0$ и $x \le 1$.

Решением системы является отрезок $[0, 1]$.

Ответ: $x \in [0, 1]$

40.67 a) $2x + 2 - x^2 \ge 3x^2 - 2x + x$;

б) $2x^2 - 4x + 5 \ge 4x - 2 - x^2$.

а) $2x + 2 - x^2 \ge 3x^2 - 2x + x$

Сначала упростим правую часть неравенства:

$2x + 2 - x^2 \ge 3x^2 - x$

Перенесем все члены неравенства в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство вида $ax^2+bx+c \le 0$:

$0 \ge 3x^2 - x - (2x + 2 - x^2)$

$0 \ge 3x^2 - x - 2x - 2 + x^2$

$0 \ge 4x^2 - 3x - 2$

Или, что то же самое:

$4x^2 - 3x - 2 \le 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $4x^2 - 3x - 2 = 0$, чтобы найти его корни. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 9 + 32 = 41$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{41}}{2 \cdot 4} = \frac{3 - \sqrt{41}}{8}$

$x_2 = \frac{3 + \sqrt{41}}{2 \cdot 4} = \frac{3 + \sqrt{41}}{8}$

Мы решаем неравенство $4x^2 - 3x - 2 \le 0$. Графиком функции $y = 4x^2 - 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=4>0$). Значения функции будут меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства есть промежуток $[\frac{3 - \sqrt{41}}{8}, \frac{3 + \sqrt{41}}{8}]$.

Ответ: $x \in [\frac{3 - \sqrt{41}}{8}, \frac{3 + \sqrt{41}}{8}]$

б) $2x^2 - 4x + 5 \ge 4x - 2 - x^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$2x^2 - 4x + 5 - (4x - 2 - x^2) \ge 0$

$2x^2 - 4x + 5 - 4x + 2 + x^2 \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 8x + 7 \ge 0$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 - 8x + 7 = 0$.

Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 64 - 84 = -20$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола $y = 3x^2 - 8x + 7$ не пересекает ось абсцисс. Поскольку старший коэффициент $a=3>0$, ветви параболы направлены вверх, и, следовательно, вся парабола находится выше оси абсцисс. Это значит, что выражение $3x^2 - 8x + 7$ всегда принимает положительные значения при любом значении $x$.

Таким образом, неравенство $3x^2 - 8x + 7 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

Докажите, что:

41.1 а) $log_2 2 = 1$; б) $log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$; в) $log_{0,1} 0,1 = 1$; г) $log_5 1 = 0$.

а) Для доказательства равенства $\log_2 2 = 1$ воспользуемся определением логарифма. Логарифм числа $b$ по основанию $a$ есть показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Это записывается как $\log_a b = c$ и эквивалентно $a^c = b$.
В данном случае основание $a=2$ и логарифмируемое число $b=2$. Пусть $\log_2 2 = x$. Тогда, по определению логарифма, мы ищем такое $x$, что $2^x = 2$.
Известно, что любое число в первой степени равно самому себе, то есть $2^1 = 2$.
Следовательно, $x=1$, и $\log_2 2 = 1$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Для доказательства равенства $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$ воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.
В данном случае основание $a=\frac{1}{3}$ и логарифмируемое число $b=1$. Пусть $\log_{\frac{1}{3}} 1 = x$. Тогда, по определению логарифма, мы ищем такое $x$, что $(\frac{1}{3})^x = 1$.
Известно, что любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Так как основание $\frac{1}{3} \neq 0$, то $(\frac{1}{3})^0 = 1$.
Следовательно, $x=0$, и $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

в) Для доказательства равенства $\log_{0.1} 0.1 = 1$ воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.
В данном случае основание $a=0.1$ и логарифмируемое число $b=0.1$. Пусть $\log_{0.1} 0.1 = x$. Тогда, по определению логарифма, мы ищем такое $x$, что $(0.1)^x = 0.1$.
Любое число в первой степени равно самому себе, поэтому $(0.1)^1 = 0.1$.
Следовательно, $x=1$, и $\log_{0.1} 0.1 = 1$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

г) Для доказательства равенства $\log_5 1 = 0$ воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.
В данном случае основание $a=5$ и логарифмируемое число $b=1$. Пусть $\log_5 1 = x$. Тогда, по определению логарифма, мы ищем такое $x$, что $5^x = 1$.
Любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Так как основание $5 \neq 0$, то $5^0 = 1$.
Следовательно, $x=0$, и $\log_5 1 = 0$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

41.2 a) $\log_4 64 = 3;$

б) $\log_2 4\sqrt{2} = 2,5;$

в) $\log_{0,2} 125 = -3;$

г) $\lg (100 \cdot \sqrt[5]{10}) = 2,2.$

a) Чтобы проверить равенство $ \log_4 64 = 3 $, воспользуемся определением логарифма: $ \log_a b = c $ эквивалентно $ a^c = b $. В данном случае $ a=4 $, $ b=64 $ и $ c=3 $. Проверим, выполняется ли равенство $ 4^3 = 64 $.
Вычисляем степень: $ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64 $.
Поскольку $ 64 = 64 $, равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

б) Чтобы проверить равенство $ \log_2 4\sqrt{2} = 2,5 $, преобразуем выражение под знаком логарифма $ 4\sqrt{2} $ в степень с основанием 2.
Поскольку $ 4 = 2^2 $ и $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $, то $ 4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} $.
Используя свойство степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, получаем $ 2^{2 + 1/2} = 2^{2,5} $.
Теперь исходное выражение можно переписать как $ \log_2 (2^{2,5}) $.
По свойству логарифма $ \log_a a^x = x $, получаем, что $ \log_2 (2^{2,5}) = 2,5 $.
Следовательно, равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

в) Чтобы проверить равенство $ \log_{0,2} 125 = -3 $, воспользуемся определением логарифма. Нам нужно проверить, верно ли, что $ (0,2)^{-3} = 125 $.
Представим основание логарифма 0,2 в виде обыкновенной дроби: $ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $.
Теперь возведем эту дробь в степень -3: $ (0,2)^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} $.
Используя свойство степени $ (a/b)^{-n} = (b/a)^n $, получаем $ (\frac{5}{1})^3 = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 $.
Поскольку $ 125 = 125 $, равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

г) Чтобы проверить равенство $ \lg 100\sqrt[5]{10} = 2,2 $, вспомним, что $ \lg $ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10 ($ \log_{10} $).
Преобразуем выражение под знаком логарифма $ 100\sqrt[5]{10} $ в степень с основанием 10.
Мы знаем, что $ 100 = 10^2 $ и $ \sqrt[5]{10} = 10^{1/5} $.
Тогда $ 100\sqrt[5]{10} = 10^2 \cdot 10^{1/5} $.
По свойству степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, получаем $ 10^{2 + 1/5} = 10^{2 + 0,2} = 10^{2,2} $.
Теперь исходное выражение можно переписать как $ \lg(10^{2,2}) = \log_{10}(10^{2,2}) $.
По свойству логарифма $ \log_a a^x = x $, получаем, что $ \log_{10}(10^{2,2}) = 2,2 $.
Следовательно, равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

41.3 Вычислите:

a) $\log_2 2^4$;

б) $\log_{1/3} \left(\frac{1}{3}\right)^{-7}$;

в) $\log_8 8^{-3}$;

г) $\log_{0,1} (0,1)^5$.

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся определением логарифма и его основным свойством: $\log_a a^p = p$. Это свойство гласит, что логарифм степени числа, основание которой равно основанию логарифма, равен показателю этой степени.
В данном случае основание логарифма $a=2$, а число под логарифмом представлено как $2^4$. Следовательно, показатель степени $p=4$.
Применяя формулу, получаем:
$\log_2 2^4 = 4$.
Ответ: 4

б) Здесь мы применяем то же самое свойство логарифма: $\log_a a^p = p$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$, а аргумент логарифма — это $\left(\frac{1}{3}\right)^{-7}$. Показатель степени $p=-7$.
Таким образом, значение выражения равно показателю степени:
$\log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-7} = -7$.
Ответ: -7

в) Аналогично предыдущим пунктам, используем свойство $\log_a a^p = p$.
В выражении $\log_8 8^{-3}$ основание $a=8$, а показатель степени $p=-3$.
Следовательно:
$\log_8 8^{-3} = -3$.
Ответ: -3

г) И в последнем пункте используется это же основное свойство логарифма: $\log_a a^p = p$.
В выражении $\log_{0,1} (0,1)^5$ основание логарифма $a=0,1$, а показатель степени $p=5$.
Поэтому:
$\log_{0,1} (0,1)^5 = 5$.
Ответ: 5