Страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

42.19 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -3x + 3, & \text{если } x \le 1, \\ \log_{\frac{1}{3}} x, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-8), f(-6), f(0), f(3), f(9)$;

б) постройте график функции;

в) прочитайте график функции.

Данная функция является кусочно-заданной. Для вычисления ее значения при конкретном значении аргумента $x$, нужно сначала определить, какому из двух промежутков, $(-\infty, 1]$ или $(1, +\infty)$, принадлежит этот аргумент.

- Для $x = -8$: так как $-8 \le 1$, используем первую формулу $f(x) = -3x + 3$.
$f(-8) = -3 \cdot (-8) + 3 = 24 + 3 = 27$.

- Для $x = -6$: так как $-6 \le 1$, используем первую формулу.
$f(-6) = -3 \cdot (-6) + 3 = 18 + 3 = 21$.

- Для $x = 0$: так как $0 \le 1$, используем первую формулу.
$f(0) = -3 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$.

- Для $x = 3$: так как $3 > 1$, используем вторую формулу $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$.
$f(3) = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$, так как $(\frac{1}{3})^{-1} = 3$.

- Для $x = 9$: так как $9 > 1$, используем вторую формулу.
$f(9) = \log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$, так как $(\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9$.

Ответ: $f(-8) = 27$, $f(-6) = 21$, $f(0) = 3$, $f(3) = -1$, $f(9) = -2$.

График функции $y=f(x)$ состоит из двух частей, соответствующих двум разным формулам на разных участках оси $x$.
1. На промежутке $x \in (-\infty, 1]$ график функции совпадает с графиком линейной функции $y = -3x + 3$. Это луч. Для его построения найдем координаты двух точек. Крайняя точка луча соответствует $x=1$, ее ордината $y = -3(1) + 3 = 0$. Точка $(1, 0)$ принадлежит графику. Возьмем еще одну точку, например, при $x=0$, получим $y = -3(0) + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$ также принадлежит графику.
2. На промежутке $x \in (1, +\infty)$ график совпадает с графиком логарифмической функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, функция убывает на этом промежутке. Найдем несколько точек для построения: при $x=3$, $y=\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$ (точка $(3, -1)$); при $x=9$, $y=\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$ (точка $(9, -2)$).
Так как значение функции в точке $x=1$ для первой части ($y=0$) совпадает с пределом функции для второй части при $x \to 1^+$ ($\lim_{x \to 1^+} \log_{\frac{1}{3}} x = 0$), то график функции является непрерывной линией.

Ответ: График функции построен выше.

Основные свойства функции $y=f(x)$ на основе ее графика и определения:
1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: функция принимает все действительные значения. $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: график пересекает ось абсцисс в одной точке. $f(x)=0$ при $x=1$.
4. Промежутки знакопостоянства:
- $f(x)>0$ (график выше оси $x$) при $x \in (-\infty; 1)$;
- $f(x)<0$ (график ниже оси $x$) при $x \in (1; +\infty)$.
5. Монотонность: функция является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.
6. Четность/нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.
7. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
8. Экстремумы: так как функция строго монотонна, она не имеет точек локального максимума или минимума.
9. Ограниченность: функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.

42.20 Постройте и прочитайте график функции:

а) $y = \begin{cases} -4x + 4, & \text{если } x < 1 \\ \log_2 x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -(x - 4)^2, & \text{если } x < 5 \\ \log_{0.2} x, & \text{если } x \ge 5 \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} \log_2 x, & \text{если } 0 < x < 2 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^x, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \\ \log_{\sqrt{2}} x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} -4x + 4, & \text{если } x < 1 \\ \log_2 x, & \text{если } x \geq 1 \end{cases}$

Построение графика:

1. На промежутке $(-\infty, 1)$ график функции совпадает с графиком линейной функции $y = -4x + 4$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=4$; если $x=1$ (граничная точка), то $y = -4(1) + 4 = 0$. Таким образом, график на этом промежутке — это луч, проходящий через точку $(0, 4)$ с началом в точке $(1, 0)$ (точка не включена, "выколота").

2. На промежутке $[1, +\infty)$ график функции совпадает с графиком логарифмической функции $y = \log_2 x$. Это возрастающая кривая. Найдем несколько точек: если $x=1$, то $y=\log_2 1 = 0$; если $x=2$, то $y=\log_2 2 = 1$; если $x=4$, то $y=\log_2 4 = 2$. График на этом промежутке — это часть логарифмической кривой, начинающаяся в точке $(1, 0)$ (точка включена).

3. Совмещая два графика, видим, что в точке $x=1$ они стыкуются (выколотая точка на луче совпадает с начальной точкой логарифмической кривой), поэтому функция непрерывна.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Функция непрерывна на всей области определения.
• Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.
• Точка минимума $x_{min} = 1$, минимальное значение функции $y_{min} = 0$.
• Нули функции: $y=0$ при $x=1$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: График состоит из луча прямой $y=-4x+4$ для $x < 1$ и ветви логарифмической кривой $y=\log_2 x$ для $x \geq 1$, которые соединяются в точке $(1,0)$. Основные свойства: область определения - все действительные числа, область значений - $[0, +\infty)$, функция убывает на $(-\infty, 1]$ и возрастает на $[1, +\infty)$, имеет точку минимума $(1, 0)$.

б) $y = \begin{cases} -(x - 4)^2, & \text{если } x < 5 \\ \log_{0,2} x, & \text{если } x \geq 5 \end{cases}$

Построение графика:

1. На промежутке $(-\infty, 5)$ график функции совпадает с графиком $y = -(x - 4)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(4, 0)$. В граничной точке $x=5$ имеем $y=-(5-4)^2=-1$. Точка $(5, -1)$ является "выколотой".

2. На промежутке $[5, +\infty)$ график функции совпадает с графиком $y = \log_{0,2} x$. Так как основание логарифма $0,2 < 1$, это убывающая функция. В начальной точке $x=5$ имеем $y=\log_{0,2} 5 = \log_{1/5} 5 = -1$. Точка $(5, -1)$ включена. Другая точка: при $x=25$, $y=\log_{0,2} 25 = -2$.

3. Графики стыкуются в точке $(5, -1)$, следовательно, функция непрерывна.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Функция непрерывна на всей области определения.
• Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 4]$ и убывает на промежутке $[4, +\infty)$.
• Точка максимума $x_{max} = 4$, максимальное значение функции $y_{max} = 0$.
• Нули функции: $y=0$ при $x=4$.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$.

Ответ: График состоит из части параболы $y=-(x-4)^2$ для $x < 5$ и ветви логарифмической кривой $y=\log_{0,2} x$ для $x \geq 5$, которые соединяются в точке $(5,-1)$. Основные свойства: область определения - все действительные числа, область значений - $(-\infty, 0]$, функция возрастает на $(-\infty, 4]$ и убывает на $[4, +\infty)$, имеет точку максимума $(4, 0)$.

в) $y = \begin{cases} \log_2 x, & \text{если } 0 < x < 2 \\ (\frac{1}{2})^x, & \text{если } x \geq 2 \end{cases}$

Построение графика:

1. На интервале $(0, 2)$ график функции совпадает с графиком $y = \log_2 x$. Это возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точку $(1, 0)$. Ось $y$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой. В граничной точке $x=2$ имеем $y=\log_2 2=1$. Точка $(2, 1)$ "выколота".

2. На промежутке $[2, +\infty)$ график совпадает с графиком показательной функции $y = (\frac{1}{2})^x$. Так как основание $1/2 < 1$, это убывающая функция. Ось $x$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to \infty$. В начальной точке $x=2$ имеем $y=(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Точка $(2, 1/4)$ включена.

3. В точке $x=2$ функция имеет разрыв. Предел слева равен 1, а значение функции в точке равно $1/4$. Это разрыв первого рода (скачок).

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 1)$.
• Функция имеет разрыв в точке $x=2$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Функция возрастает на интервале $(0, 2)$ и убывает на промежутке $[2, +\infty)$.
• Экстремумов нет.
• Нули функции: $y=0$ при $x=1$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (0, 1)$.

Ответ: График состоит из ветви логарифмической кривой $y=\log_2 x$ на интервале $(0,2)$ и ветви показательной кривой $y=(1/2)^x$ на промежутке $[2, \infty)$. В точке $x=2$ происходит скачок. Основные свойства: область определения - $(0, +\infty)$, область значений - $(-\infty, 1)$, функция возрастает на $(0,2)$ и убывает на $[2, \infty)$, имеет ноль в точке $x=1$.

г) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \\ \log_{\sqrt{2}} x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика:

1. На промежутке $(-\infty, 0)$ график функции совпадает с графиком $y = \frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. Оси координат являются асимптотами. Ключевая точка: $(-1, -1)$.

2. На промежутке $(0, +\infty)$ график функции совпадает с графиком $y = \log_{\sqrt{2}} x$. Так как основание $\sqrt{2} > 1$, это возрастающая логарифмическая функция. Ось $y$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой. Ключевые точки: $(1, 0)$, $(\sqrt{2}, 1)$, $(2, 2)$.

3. Функция не определена в точке $x=0$. В этой точке она имеет бесконечный разрыв. График состоит из двух отдельных ветвей.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Функция имеет бесконечный разрыв в точке $x=0$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0)$ и возрастает на промежутке $(0, +\infty)$.
• Экстремумов нет.
• Нули функции: $y=0$ при $x=1$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$.

Ответ: График состоит из ветви гиперболы $y=1/x$ в третьей четверти (для $x<0$) и ветви логарифмической кривой $y=\log_{\sqrt{2}} x$ (для $x>0$). Основные свойства: область определения - $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, область значений - $(-\infty, +\infty)$, функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, \infty)$, имеет ноль в точке $x=1$.

42.17 Найдите область значений функции:

а) $y = \log_{\sqrt{3}} x;$

б) $y = -22 \log_7 x;$

в) $y = -\log_{\frac{1}{10}} x;$

г) $y = 12 \log_{\frac{1}{3}} x.$

а) Областью значений для любой логарифмической функции вида $y = \log_a x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$, является множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$. В данном случае, функция $y = \log_{\sqrt{3}} x$ имеет основание $a = \sqrt{3}$, которое удовлетворяет условиям ($ \sqrt{3} > 0$ и $\sqrt{3} \neq 1$). Следовательно, область ее значений — это все действительные числа.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

б) В основе этой функции лежит логарифмическая функция $z = \log_7 x$. Область значений для $z = \log_7 x$ — это множество всех действительных чисел, то есть $z \in (-\infty; +\infty)$. Функция $y = -22 \log_{7} x$ получается путем умножения каждого значения $z$ на постоянный ненулевой коэффициент $k = -22$. Так как $z$ может принимать любое значение из $\mathbb{R}$, то и произведение $-22z$ также может принимать любое значение из $\mathbb{R}$. Таким образом, область значений исходной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

в) Рассмотрим функцию $y = -\log_{\frac{1}{10}} x$. Данную функцию можно преобразовать, используя свойство логарифмов $-\log_a b = \log_{a^{-1}} b$. Применим это свойство:

$y = -\log_{\frac{1}{10}} x = \log_{(\frac{1}{10})^{-1}} x = \log_{10} x$.

Функция $y = \log_{10} x$ — это десятичный логарифм. Как и у любой стандартной логарифмической функции, ее область значений — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

г) В основе функции $y = 12 \log_{\frac{1}{3}} x$ лежит логарифмическая функция $z = \log_{\frac{1}{3}} x$. Область значений для $z = \log_{\frac{1}{3}} x$ — это множество всех действительных чисел, $z \in (-\infty; +\infty)$. Функция $y$ получается путем умножения каждого значения $z$ на постоянный ненулевой коэффициент $k = 12$. Так как $z$ может принимать любое значение из $\mathbb{R}$, то и произведение $12z$ также может принимать любое значение из $\mathbb{R}$. Следовательно, область значений исходной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

42.21 Решите уравнение:

а) $log_3x = 4 - x$;

б) $log_{\frac{1}{2}}x = x + \frac{1}{2}$;

в) $log_5x = 6 - x$;

г) $log_{\frac{1}{3}}x = x + \frac{2}{3}$.

а) $\log_3 x = 4 - x$

Данное уравнение является трансцендентным, и для его решения используется метод анализа свойств функций. Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $x > 0$.

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:

$y_1 = \log_3 x$ — логарифмическая функция с основанием $3 > 1$, следовательно, она является строго возрастающей на всей своей области определения ($x > 0$).

$y_2 = 4 - x$ — линейная функция с угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она является строго убывающей на всей числовой прямой.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим целые значения $x$.

При $x = 3$:

Левая часть: $\log_3 3 = 1$.

Правая часть: $4 - 3 = 1$.

Так как $1 = 1$, значение $x=3$ является корнем уравнения. Поскольку корень единственный, других решений нет.

Ответ: $3$.

б) $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$

ОДЗ уравнения: $x > 0$.

Рассмотрим функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = x + \frac{1}{2}$.

Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ — логарифмическая с основанием $\frac{1}{2}$ ($0 < \frac{1}{2} < 1$), поэтому она является строго убывающей на области определения $x > 0$.

Функция $y_2 = x + \frac{1}{2}$ — линейная функция, она является строго возрастающей.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень методом подбора. Попробуем подставить $x = \frac{1}{2}$:

Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = 1$.

Правая часть: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Левая и правая части равны, значит $x = \frac{1}{2}$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $\log_5 x = 6 - x$

ОДЗ уравнения: $x > 0$.

Рассмотрим функции $y_1 = \log_5 x$ (строго возрастающая, так как основание $5 > 1$) и $y_2 = 6 - x$ (строго убывающая).

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, уравнение имеет не более одного решения.

Найдем его подбором. Проверим $x=5$:

Левая часть: $\log_5 5 = 1$.

Правая часть: $6 - 5 = 1$.

Равенство $1=1$ верное, значит $x = 5$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $5$.

г) $\log_{\frac{1}{3}} x = x + \frac{2}{3}$

ОДЗ уравнения: $x > 0$.

Рассмотрим функции $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ (строго убывающая, так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$) и $y_2 = x + \frac{2}{3}$ (строго возрастающая).

Уравнение имеет не более одного корня.

Найдем его подбором. Проверим $x=\frac{1}{3}$:

Левая часть: $\log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3}) = 1$.

Правая часть: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

Равенство $1=1$ верное, значит $x = \frac{1}{3}$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

42.18 Дано: $f(x) = \log_2 x$. Докажите, что выполняется следующее соотношение:

a) $f(2^x) = x$;

б) $f(4^x) + f(8^x) = 5x$.

а) Для того чтобы доказать равенство $f(2^x) = x$, необходимо подставить выражение $2^x$ в качестве аргумента в заданную функцию $f(x) = \log_2x$.
Выполним подстановку:
$f(2^x) = \log_2(2^x)$.
Воспользуемся основным свойством логарифмов: $\log_a(a^b) = b$. В данном случае основание $a=2$, а показатель степени $b=x$.
Применяя это свойство, получаем:
$\log_2(2^x) = x$.
Таким образом, мы доказали, что $f(2^x) = x$.
Ответ: Доказано.

б) Для того чтобы доказать равенство $f(4^x) + f(8^x) = 5x$, рассмотрим левую часть равенства и преобразуем каждое слагаемое по отдельности, используя определение функции $f(x) = \log_2x$.
1. Найдем значение $f(4^x)$:
$f(4^x) = \log_2(4^x)$.
Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$. Тогда $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.
Подставим это в логарифм:
$f(4^x) = \log_2(2^{2x})$.
По свойству логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:
$f(4^x) = 2x$.
2. Найдем значение $f(8^x)$:
$f(8^x) = \log_2(8^x)$.
Представим число 8 как степень двойки: $8 = 2^3$. Тогда $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$.
Подставим это в логарифм:
$f(8^x) = \log_2(2^{3x})$.
По тому же свойству логарифма получаем:
$f(8^x) = 3x$.
3. Теперь сложим полученные результаты:
$f(4^x) + f(8^x) = 2x + 3x = 5x$.
Мы получили, что левая часть исходного соотношения равна $5x$, что совпадает с его правой частью. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Доказано.

Решите графически уравнение:

42.22 а) $ \log_2 x = -x + 1; $
б) $ \log_{\frac{1}{3}} x = 2x - 2; $
в) $ \log_9 x = -x + 1; $
г) $ \log_{\frac{3}{7}} x = 4x - 4. $

a) Для решения уравнения $\log_2 x = -x + 1$ графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \log_2 x$ и $y = -x + 1$.

1. График функции $y = \log_2 x$ — это логарифмическая кривая. Область определения $x > 0$. Функция является возрастающей, так как основание логарифма $2 > 1$. График проходит через ключевые точки, такие как $(\frac{1}{2}, -1)$, $(1, 0)$ и $(2, 1)$. Вертикальная асимптота — ось $y$ (прямая $x=0$).

2. График функции $y = -x + 1$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = 1$ (точка $(0, 1)$); если $x = 1$, то $y = 0$ (точка $(1, 0)$).

При построении обоих графиков в одной системе координат видно, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки и является решением уравнения. Из графиков очевидно, что точка пересечения — это $(1, 0)$.

Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:
$\log_2 1 = -1 + 1$
$0 = 0$
Равенство верное.

Поскольку функция $y = \log_2 x$ является строго возрастающей на всей области определения, а функция $y = -x + 1$ — строго убывающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, $x = 1$ — единственное решение уравнения.

Ответ: $x=1$.

б) Для решения уравнения $\log_{\frac{1}{3}} x = 2x - 2$ графическим методом, построим в одной системе координат графики функций $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = 2x - 2$.

1. График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — это логарифмическая кривая. Область определения $x > 0$. Функция является убывающей, так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$. График проходит через ключевые точки, такие как $(3, -1)$, $(1, 0)$ и $(\frac{1}{3}, 1)$. Вертикальная асимптота — ось $y$ (прямая $x=0$).

2. График функции $y = 2x - 2$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: если $x = 1$, то $y = 0$ (точка $(1, 0)$); если $x = 2$, то $y = 2$ (точка $(2, 2)$).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в точке с абсциссой $x=1$.

Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:
$\log_{\frac{1}{3}} 1 = 2 \cdot 1 - 2$
$0 = 0$
Равенство верное.

Поскольку функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ является строго убывающей, а функция $y = 2x - 2$ — строго возрастающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, $x = 1$ — единственное решение.

Ответ: $x=1$.

в) Для решения уравнения $\log_9 x = -x + 1$ графическим методом, построим в одной системе координат графики функций $y = \log_9 x$ и $y = -x + 1$.

1. График функции $y = \log_9 x$ — это логарифмическая кривая. Область определения $x > 0$. Функция возрастающая, так как основание $9 > 1$. График проходит через точки $(\frac{1}{9}, -1)$, $(1, 0)$ и $(9, 1)$. Вертикальная асимптота — ось $y$ (прямая $x=0$).

2. График функции $y = -x + 1$ — это прямая линия, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

Нанеся графики на координатную плоскость, мы видим, что они пересекаются в точке $(1, 0)$. Абсцисса этой точки $x=1$ является решением уравнения.

Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:
$\log_9 1 = -1 + 1$
$0 = 0$
Равенство верное.

Так как функция $y = \log_9 x$ является строго возрастающей, а функция $y = -x + 1$ — строго убывающей, они могут пересечься только в одной точке. Следовательно, $x = 1$ — единственное решение.

Ответ: $x=1$.

г) Для решения уравнения $\log_{\frac{3}{7}} x = 4x - 4$ графическим методом, построим в одной системе координат графики функций $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ и $y = 4x - 4$.

1. График функции $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ — это логарифмическая кривая. Область определения $x > 0$. Функция убывающая, так как основание $0 < \frac{3}{7} < 1$. График проходит через точки $(\frac{7}{3}, -1)$, $(1, 0)$ и $(\frac{3}{7}, 1)$. Вертикальная асимптота — ось $y$ (прямая $x=0$).

2. График функции $y = 4x - 4$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: если $x=1$, то $y=0$ (точка $(1, 0)$); если $x=0$, то $y=-4$ (точка $(0, -4)$).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в точке $(1, 0)$. Абсцисса этой точки $x=1$ является решением уравнения.

Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:
$\log_{\frac{3}{7}} 1 = 4 \cdot 1 - 4$
$0 = 0$
Равенство верное.

Так как функция $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ является строго убывающей, а функция $y = 4x - 4$ — строго возрастающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, $x = 1$ — единственное решение.

Ответ: $x=1$.