Страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

43.26 а) $2^{3 \log_2 4}$;

б) $(\frac{1}{2})^{2 \log_{\frac{1}{2}} 7}$;

В) $5^{2 \log_5 3}$;

Г) $(0,3)^{3 \log_{0,3} 6}$.

а) Для вычисления значения выражения $2^{3 \log_2 4}$ воспользуемся свойством логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a x} = x$.
Сначала преобразуем показатель степени:
$3 \log_2 4 = \log_2 (4^3) = \log_2 64$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$2^{3 \log_2 4} = 2^{\log_2 64}$.
Наконец, применяя основное логарифмическое тождество, получаем:
$2^{\log_2 64} = 64$.
Ответ: 64.

б) Для вычисления значения выражения $(\frac{1}{2})^{2 \log_{\frac{1}{2}} 7}$ используем те же свойства.
Преобразуем показатель степени, используя свойство $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$2 \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} (7^2) = \log_{\frac{1}{2}} 49$.
Подставим преобразованный показатель в исходное выражение:
$(\frac{1}{2})^{2 \log_{\frac{1}{2}} 7} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 49}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a x} = x$:
$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 49} = 49$.
Ответ: 49.

в) Вычислим значение выражения $5^{2 \log_5 3}$.
Применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$ к показателю степени:
$2 \log_5 3 = \log_5 (3^2) = \log_5 9$.
Подставим это в исходное выражение:
$5^{2 \log_5 3} = 5^{\log_5 9}$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a x} = x$, получаем:
$5^{\log_5 9} = 9$.
Ответ: 9.

г) Вычислим значение выражения $(0,3)^{3 \log_{0,3} 6}$.
Воспользуемся свойством $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$ для преобразования показателя степени:
$3 \log_{0,3} 6 = \log_{0,3} (6^3) = \log_{0,3} 216$.
Теперь подставим полученное выражение обратно:
$(0,3)^{3 \log_{0,3} 6} = (0,3)^{\log_{0,3} 216}$.
Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a x} = x$, находим результат:
$(0,3)^{\log_{0,3} 216} = 216$.
Ответ: 216.

43.30 а) $\sqrt[3]{81^{\log_9 6} - 7^{\log_7 9}}$;

б) $\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}}$.

а) $\sqrt[3]{81^{\log_9 6} - 7^{\log_7 9}}$

Для решения данного примера необходимо упростить выражение, находящееся под знаком кубического корня. Для этого воспользуемся свойствами логарифмов и степеней.

Рассмотрим первое слагаемое в подкоренном выражении: $81^{\log_9 6}$.

1. Представим основание 81 в виде степени числа 9: $81 = 9^2$.

2. Подставим это в выражение: $(9^2)^{\log_9 6}$.

3. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $9^{2 \cdot \log_9 6}$.

4. Применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$: $9^{\log_9 (6^2)} = 9^{\log_9 36}$.

5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем: $9^{\log_9 36} = 36$.

Теперь рассмотрим второе слагаемое: $7^{\log_7 9}$.

Здесь также применяется основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, поэтому:

$7^{\log_7 9} = 9$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\sqrt[3]{81^{\log_9 6} - 7^{\log_7 9}} = \sqrt[3]{36 - 9} = \sqrt[3]{27}$.

Вычисляем значение кубического корня:

$\sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: 3

б) $\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}}$

Упростим выражение под знаком корня четвертой степени, используя те же свойства, что и в предыдущем пункте.

Рассмотрим первый член подкоренного выражения: $36^{\log_6 5}$.

1. Представим основание 36 в виде степени числа 6: $36 = 6^2$.

2. Подставим в выражение: $(6^2)^{\log_6 5}$.

3. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ имеем: $6^{2 \cdot \log_6 5}$.

4. Используя свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$, получаем: $6^{\log_6 (5^2)} = 6^{\log_6 25}$.

5. Применив основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, находим: $6^{\log_6 25} = 25$.

Рассмотрим второй член: $5^{\log_5 9}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:

$5^{\log_5 9} = 9$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}} = \sqrt[4]{25 - 9} = \sqrt[4]{16}$.

Вычисляем значение корня четвертой степени:

$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.

Ответ: 2

43.27 a) $8^{\log_2 3}$;

б) $\left(\frac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{3}} 13}$;

В) $100^{\lg 5}$;

Г) $\left(\frac{1}{16}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 5}$.

а) $8^{\log_2 3}$

Для решения воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. Чтобы его применить, необходимо, чтобы основание степени совпадало с основанием логарифма.

1. Приведем основание степени (8) к основанию логарифма (2). Мы знаем, что $8 = 2^3$.

2. Подставим это в исходное выражение: $8^{\log_2 3} = (2^3)^{\log_2 3}$.

3. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(2^3)^{\log_2 3} = 2^{3 \cdot \log_2 3}$.

4. Теперь применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$: $2^{3 \cdot \log_2 3} = 2^{\log_2 (3^3)} = 2^{\log_2 27}$.

5. Теперь, когда основания совпадают, используем основное логарифмическое тождество: $2^{\log_2 27} = 27$.

Ответ: 27

б) $(\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{3}} 13}$

Аналогично предыдущему пункту, приведем основание степени $(\frac{1}{9})$ к основанию логарифма $(\frac{1}{3})$.

1. Представим $\frac{1}{9}$ как степень числа $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$.

2. Подставим это в исходное выражение: $(\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{3}} 13} = ((\frac{1}{3})^2)^{\log_{\frac{1}{3}} 13}$.

3. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $((\frac{1}{3})^2)^{\log_{\frac{1}{3}} 13} = (\frac{1}{3})^{2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 13}$.

4. По свойству логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$: $(\frac{1}{3})^{2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 13} = (\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} (13^2)} = (\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 169}$.

5. Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $(\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 169} = 169$.

Ответ: 169

в) $100^{\lg 5}$

Запись $\lg 5$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg 5 = \log_{10} 5$. Приведем основание степени (100) к основанию логарифма (10).

1. Представим 100 как степень числа 10: $100 = 10^2$.

2. Подставим в исходное выражение: $100^{\lg 5} = (10^2)^{\log_{10} 5}$.

3. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(10^2)^{\log_{10} 5} = 10^{2 \cdot \log_{10} 5}$.

4. Применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$: $10^{2 \cdot \log_{10} 5} = 10^{\log_{10} (5^2)} = 10^{\log_{10} 25}$.

5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$: $10^{\log_{10} 25} = 25$.

Ответ: 25

г) $(\frac{1}{16})^{\log_{\frac{1}{2}} 5}$

Приведем основание степени $(\frac{1}{16})$ к основанию логарифма $(\frac{1}{2})$.

1. Представим $\frac{1}{16}$ как степень числа $\frac{1}{2}$. Так как $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = (\frac{1}{2})^4$.

2. Подставим в исходное выражение: $(\frac{1}{16})^{\log_{\frac{1}{2}} 5} = ((\frac{1}{2})^4)^{\log_{\frac{1}{2}} 5}$.

3. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $((\frac{1}{2})^4)^{\log_{\frac{1}{2}} 5} = (\frac{1}{2})^{4 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 5}$.

4. По свойству логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$: $(\frac{1}{2})^{4 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 5} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} (5^4)} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 625}$.

5. Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 625} = 625$.

Ответ: 625

43.31 Положительное число $b$ записано в стандартном виде $b = b_0 \cdot 10^n$, где $1 \le b_0 < 10$ и $n$ — целое число. Найдите десятичный логарифм числа $b$:

а) $b = 9 \cdot 10^2;$
б) $b = 9 \cdot 10^{-3};$
в) $b = 9 \cdot 10^4;$
г) $b = 9 \cdot 10^{-5}.$

(Для справки: $lg9 \approx 0,95$.)

Для нахождения десятичного логарифма числа $b$, записанного в стандартном виде $b = b_0 \cdot 10^n$, используется свойство логарифма произведения и логарифма степени. Десятичный логарифм (обозначается как $\lg$) — это логарифм по основанию 10.

Общая формула для вычисления выглядит так:

$\lg b = \lg(b_0 \cdot 10^n)$

Используя свойство логарифма произведения $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, получаем:

$\lg(b_0 \cdot 10^n) = \lg b_0 + \lg 10^n$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(x^p) = p \log_a x$, получаем:

$\lg 10^n = n \cdot \lg 10$

Поскольку $\lg 10 = \log_{10} 10 = 1$, то $\lg 10^n = n$.

Таким образом, итоговая формула: $\lg b = \lg b_0 + n$.

В условии дано приближенное значение $\lg 9 \approx 0,95$. Применим эту формулу для каждого случая.

а) $b = 9 \cdot 10^2$

Здесь $b_0 = 9$ и $n = 2$.

$\lg(9 \cdot 10^2) = \lg 9 + 2$

Подставляем значение $\lg 9$:

$\lg b \approx 0,95 + 2 = 2,95$

Ответ: $2,95$

б) $b = 9 \cdot 10^{-3}$

Здесь $b_0 = 9$ и $n = -3$.

$\lg(9 \cdot 10^{-3}) = \lg 9 + (-3) = \lg 9 - 3$

Подставляем значение $\lg 9$:

$\lg b \approx 0,95 - 3 = -2,05$

Ответ: $-2,05$

в) $b = 9 \cdot 10^4$

Здесь $b_0 = 9$ и $n = 4$.

$\lg(9 \cdot 10^4) = \lg 9 + 4$

Подставляем значение $\lg 9$:

$\lg b \approx 0,95 + 4 = 4,95$

Ответ: $4,95$

г) $b = 9 \cdot 10^{-5}$

Здесь $b_0 = 9$ и $n = -5$.

$\lg(9 \cdot 10^{-5}) = \lg 9 + (-5) = \lg 9 - 5$

Подставляем значение $\lg 9$:

$\lg b \approx 0,95 - 5 = -4,05$

Ответ: $-4,05$

43.28 a) $36^{\frac{1}{2} \log_6 18}$;

б) $64^{\frac{1}{4} \log_8 25}$;

В) $121^{\frac{1}{2} \log_{11} 35}$;

Г) $25^{\frac{1}{4} \log_5 9}$.

а) Для решения выражения $36^{\frac{1}{2}\log_{6}18}$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.
1. Представим основание 36 как степень числа 6, так как основание логарифма в показателе степени также равно 6: $36 = 6^2$.
Подставим это в исходное выражение: $(6^2)^{\frac{1}{2}\log_{6}18}$.
2. Используем свойство степени «возведение степени в степень» $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Перемножим показатели:
$6^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_{6}18} = 6^{1 \cdot \log_{6}18} = 6^{\log_{6}18}$.
3. Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_{a}b} = b$. В нашем случае $a=6$ и $b=18$.
$6^{\log_{6}18} = 18$.
Ответ: 18

б) Рассмотрим выражение $64^{\frac{1}{4}\log_{8}25}$.
1. Представим основание 64 как степень числа 8, так как основание логарифма в показателе равно 8: $64 = 8^2$.
Получим: $(8^2)^{\frac{1}{4}\log_{8}25}$.
2. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ упростим показатель:
$8^{2 \cdot \frac{1}{4}\log_{8}25} = 8^{\frac{2}{4}\log_{8}25} = 8^{\frac{1}{2}\log_{8}25}$.
3. Используем свойство логарифма «коэффициент перед логарифмом» $c \cdot \log_{a}b = \log_{a}(b^c)$. Внесем коэффициент $\frac{1}{2}$ в показатель подлогарифмического выражения:
$\frac{1}{2}\log_{8}25 = \log_{8}(25^{\frac{1}{2}}) = \log_{8}\sqrt{25} = \log_{8}5$.
4. Подставим полученный показатель обратно в выражение: $8^{\log_{8}5}$.
5. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_{a}b} = b$. В нашем случае $a=8$ и $b=5$.
$8^{\log_{8}5} = 5$.
Ответ: 5

в) Решим выражение $121^{\frac{1}{2}\log_{11}35}$.
1. Представим основание 121 как степень числа 11, так как основание логарифма равно 11: $121 = 11^2$.
Выражение примет вид: $(11^2)^{\frac{1}{2}\log_{11}35}$.
2. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ перемножим показатели:
$11^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_{11}35} = 11^{1 \cdot \log_{11}35} = 11^{\log_{11}35}$.
3. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_{a}b} = b$. Здесь $a=11$ и $b=35$.
$11^{\log_{11}35} = 35$.
Ответ: 35

г) Рассмотрим выражение $25^{\frac{1}{4}\log_{5}9}$.
1. Представим основание 25 как степень числа 5, так как основание логарифма равно 5: $25 = 5^2$.
Получим: $(5^2)^{\frac{1}{4}\log_{5}9}$.
2. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ упростим показатель:
$5^{2 \cdot \frac{1}{4}\log_{5}9} = 5^{\frac{2}{4}\log_{5}9} = 5^{\frac{1}{2}\log_{5}9}$.
3. Используем свойство логарифма $c \cdot \log_{a}b = \log_{a}(b^c)$. Внесем коэффициент $\frac{1}{2}$ в показатель подлогарифмического выражения:
$\frac{1}{2}\log_{5}9 = \log_{5}(9^{\frac{1}{2}}) = \log_{5}\sqrt{9} = \log_{5}3$.
4. Подставим полученный показатель обратно в выражение: $5^{\log_{5}3}$.
5. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_{a}b} = b$. Здесь $a=5$ и $b=3$.
$5^{\log_{5}3} = 3$.
Ответ: 3

43.32 Найдите десятичный логарифм числа:

а) $\lg 50$;

б) $\lg 0.005$;

в) $\lg 5000$;

г) $\lg 0.00005$.

(Для справок: $\lg 5 \approx 0.7$.)

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами десятичного логарифма (логарифма по основанию 10, обозначаемого как $lg$) и данным значением $lg 5 \approx 0,7$.

Основные свойства, которые нам понадобятся:

• Логарифм произведения: $lg(a \cdot b) = lg(a) + lg(b)$
• Логарифм степени: $lg(a^n) = n \cdot lg(a)$
• Из определения десятичного логарифма: $lg(10^n) = n$

а)

Чтобы найти $lg 50$, представим число 50 в виде произведения $5 \cdot 10$.

Используя свойство логарифма произведения, получаем:

$lg 50 = lg(5 \cdot 10) = lg 5 + lg 10$

Мы знаем, что $lg 10 = 1$ (поскольку $10^1 = 10$) и, по условию, $lg 5 \approx 0,7$.

Следовательно:

$lg 50 \approx 0,7 + 1 = 1,7$

Ответ: 1,7.

б)

Чтобы найти $lg 0,005$, представим число 0,005 в виде произведения $5 \cdot 0,001$.

Число $0,001$ можно записать как $10^{-3}$. Тогда:

$lg 0,005 = lg(5 \cdot 10^{-3}) = lg 5 + lg(10^{-3})$

Мы знаем, что $lg(10^{-3}) = -3$ и $lg 5 \approx 0,7$.

Таким образом:

$lg 0,005 \approx 0,7 + (-3) = 0,7 - 3 = -2,3$

Ответ: -2,3.

в)

Чтобы найти $lg 5000$, представим число 5000 как произведение $5 \cdot 1000$.

Число $1000$ можно записать как $10^3$. Тогда:

$lg 5000 = lg(5 \cdot 10^3) = lg 5 + lg(10^3)$

Мы знаем, что $lg(10^3) = 3$ и $lg 5 \approx 0,7$.

Следовательно:

$lg 5000 \approx 0,7 + 3 = 3,7$

Ответ: 3,7.

г)

Чтобы найти $lg 0,00005$, представим число 0,00005 как произведение $5 \cdot 0,00001$.

Число $0,00001$ можно записать как $10^{-5}$. Тогда:

$lg 0,00005 = lg(5 \cdot 10^{-5}) = lg 5 + lg(10^{-5})$

Мы знаем, что $lg(10^{-5}) = -5$ и $lg 5 \approx 0,7$.

Таким образом:

$lg 0,00005 \approx 0,7 + (-5) = 0,7 - 5 = -4,3$

Ответ: -4,3.

Вычислите:

43.25 a) $2^{2 + \log_2 5}$;

б) $5^{\log_5 16 - 1}$;

в) $3^{1 + \log_3 8}$;

г) $8^{\log_8 3 - 2}$.

а)

Для вычисления значения выражения $2^{2 + \log_2 5}$ воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$2^{2 + \log_2 5} = 2^2 \cdot 2^{\log_2 5}$

Теперь вычислим каждую часть отдельно.

$2^2 = 4$

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$2^{\log_2 5} = 5$

Перемножим полученные значения:

$4 \cdot 5 = 20$

Ответ: $20$

б)

Для вычисления значения выражения $5^{\log_5 16 - 1}$ воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

$5^{\log_5 16 - 1} = \frac{5^{\log_5 16}}{5^1}$

Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ к числителю:

$5^{\log_5 16} = 16$

Знаменатель равен $5^1 = 5$.

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{16}{5} = 3.2$

Ответ: $3.2$

в)

Для вычисления значения выражения $3^{1 + \log_3 8}$ воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$3^{1 + \log_3 8} = 3^1 \cdot 3^{\log_3 8}$

Вычислим каждую часть отдельно.

$3^1 = 3$

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$3^{\log_3 8} = 8$

Перемножим результаты:

$3 \cdot 8 = 24$

Ответ: $24$

г)

Для вычисления значения выражения $8^{\log_8 3 - 2}$ воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

$8^{\log_8 3 - 2} = \frac{8^{\log_8 3}}{8^2}$

Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ к числителю:

$8^{\log_8 3} = 3$

Вычислим знаменатель:

$8^2 = 64$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{3}{64}$

Ответ: $\frac{3}{64}$

43.29 а) $(\frac{1}{4})^{1+0.5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$;

Б) $25^{1-0.5 \log_5 11}$.

В) $(\frac{1}{9})^{1+\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$;

Г) $49^{1-0.5 \log_7 14}$.

а)

Для решения примера $(\frac{1}{4})^{1 + 0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.

Сначала используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$(\frac{1}{4})^{1 + 0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14} = (\frac{1}{4})^1 \cdot (\frac{1}{4})^{0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$

Теперь преобразуем второй множитель. Представим основание $\frac{1}{4}$ как $(\frac{1}{2})^2$:

$(\frac{1}{4})^{0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14} = ((\frac{1}{2})^2)^{0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{1}{2})^{2 \cdot 0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14} = (\frac{1}{2})^{1 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 14} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 14}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 14} = 14$

Подставим найденное значение обратно в исходное выражение:

$\frac{1}{4} \cdot 14 = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3,5$

Ответ: $3,5$.

б)

Для решения примера $25^{1 - 0,5 \log_5 11}$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$25^{1 - 0,5 \log_5 11} = \frac{25^1}{25^{0,5 \log_5 11}}$

Преобразуем знаменатель. Представим основание $25$ как $5^2$:

$25^{0,5 \log_5 11} = (5^2)^{0,5 \log_5 11}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$5^{2 \cdot 0,5 \log_5 11} = 5^{1 \cdot \log_5 11} = 5^{\log_5 11}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$5^{\log_5 11} = 11$

Подставим найденное значение в знаменатель дроби:

$\frac{25}{11}$

Ответ: $\frac{25}{11}$.

в)

Для решения примера $(\frac{1}{9})^{1 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$(\frac{1}{9})^{1 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18} = (\frac{1}{9})^1 \cdot (\frac{1}{9})^{\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$

Преобразуем второй множитель. Представим основание $\frac{1}{9}$ как $(\frac{1}{3})^2$:

$(\frac{1}{9})^{\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18} = ((\frac{1}{3})^2)^{\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{1}{3})^{2 \cdot \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18} = (\frac{1}{3})^{1 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 18} = (\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 18}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$(\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 18} = 18$

Подставим найденное значение обратно в исходное выражение:

$\frac{1}{9} \cdot 18 = \frac{18}{9} = 2$

Ответ: $2$.

г)

Для решения примера $49^{1 - 0,5 \log_7 14}$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$49^{1 - 0,5 \log_7 14} = \frac{49^1}{49^{0,5 \log_7 14}}$

Преобразуем знаменатель. Представим основание $49$ как $7^2$:

$49^{0,5 \log_7 14} = (7^2)^{0,5 \log_7 14}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$7^{2 \cdot 0,5 \log_7 14} = 7^{1 \cdot \log_7 14} = 7^{\log_7 14}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$7^{\log_7 14} = 14$

Подставим найденное значение в знаменатель дроби:

$\frac{49}{14} = \frac{7 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{7}{2} = 3,5$

Ответ: $3,5$.

1. Начертите график какой-либо функции $y = f(x)$, для которой выполняется соотношение $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$.

1.

Требуется начертить график функции $y = f(x)$, для которой выполняется соотношение $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$.

Это математическое выражение означает, что по мере того, как значение $x$ становится все больше и больше (стремится к плюс бесконечности), значение функции $f(x)$ становится все ближе и ближе к 3. В графическом представлении это означает, что у графика функции есть горизонтальная асимптота $y=3$ при $x \to +\infty$.

Существует бесконечно много функций, удовлетворяющих этому условию. Выберем одну из самых простых для построения.

Пример функции:

Рассмотрим функцию $f(x) = 3 + \frac{1}{x}$.

Проверим, выполняется ли для нее заданное условие:

$\lim_{x \to +\infty} \left(3 + \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to +\infty} 3 + \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 3 + 0 = 3.$

Условие выполняется. Теперь опишем, как начертить ее график.

Построение графика:

График функции $y = 3 + \frac{1}{x}$ — это стандартная гипербола $y = \frac{1}{x}$, смещенная на 3 единицы вверх по оси ординат (Oy).

1. Сначала в системе координат OXY нужно начертить пунктирной линией горизонтальную асимптоту $y = 3$.
2. График также имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ (ось Oy).
3. Для $x > 0$ значения $f(x)$ будут больше 3 (например, при $x=1, y=4$; при $x=2, y=3.5$). С увеличением $x$ значение $y$ будет уменьшаться, приближаясь к 3. Таким образом, в правой полуплоскости график будет представлять собой кривую, которая "спускается" из точки $(1,4)$ и неограниченно приближается к линии $y=3$ сверху.
4. Для $x < 0$ значения $f(x)$ будут меньше 3 (например, при $x=-1, y=2$; при $x=-2, y=2.5$). В левой полуплоскости кривая будет приближаться к асимптоте $y=3$ снизу.

Так как условие задано только для $x \to +\infty$, для ответа на вопрос достаточно начертить правую ветвь гиперболы, которая показывает, как функция стремится к 3.

Другой, более простой пример:

Функция $f(x) = 3$. Ее график — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 3)$. Для нее предел при $x \to +\infty$ очевидно равен 3.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = 3 + \frac{1}{x}$. Ее график — это гипербола, которая при $x \to +\infty$ неограниченно приближается сверху к горизонтальной прямой $y=3$, являющейся ее асимптотой.

2. Начертите график какой-либо функции $y = f(x)$, для которой выполняется соотношение $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$.

Заданное условие $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$ означает, что при неограниченном уменьшении аргумента $x$ (когда $x$ стремится к минус бесконечности), значения функции $f(x)$ приближаются к 1. С точки зрения геометрии, это говорит о том, что у графика функции $y = f(x)$ есть горизонтальная асимптота $y=1$ в левой части координатной плоскости.

Существует бесконечное множество функций, удовлетворяющих этому требованию. В качестве примера рассмотрим показательную функцию со сдвигом: $f(x) = e^x + 1$.

Проверим, выполняется ли для неё заданное условие, найдя предел:

$\lim_{x \to -\infty} (e^x + 1) = (\lim_{x \to -\infty} e^x) + 1 = 0 + 1 = 1$

Условие выполняется. График этой функции будет приближаться к прямой $y=1$ при $x \to -\infty$. Также отметим, что при $x=0$ значение функции равно $y = e^0+1 = 2$, то есть график проходит через точку $(0, 2)$.

Ниже приведён эскиз графика функции $y = e^x + 1$. Горизонтальная асимптота $y=1$ показана синей пунктирной линией.

Ответ:
Примером функции, для которой выполняется заданное условие, является $y=e^x+1$. График этой функции, обладающий горизонтальной асимптотой $y=1$ при $x \to -\infty$, представлен выше.

3. Начертите график какой-либо функции $y = f(x)$, для которой выполняется соотношение $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$.

3.

Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ означает, что при неограниченном возрастании аргумента $x$ (когда $x$ стремится к плюс бесконечности), значения функции $f(x)$ становятся сколь угодно близкими к нулю.

С геометрической точки зрения это означает, что график функции $y = f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс Ox), по крайней мере, в правой части координатной плоскости (при $x \to \infty$). То есть, по мере движения вправо вдоль оси Ox, график функции будет всё теснее "прижиматься" к этой оси.

Существует бесконечное множество функций, для которых выполняется данное соотношение. В качестве примера рассмотрим одну из самых простых и известных функций — обратную пропорциональность, заданную формулой $y = \frac{1}{x}$.

Анализ и построение графика функции $y = \frac{1}{x}$

1. Проверка условия: Найдем предел функции при $x \to \infty$: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$. Условие выполняется.

2. Основные свойства и асимптоты:

• Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$. В точке $x=0$ график функции имеет разрыв.
• Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось Oy). Когда $x$ приближается к нулю, значение $y$ неограниченно растет по модулю.
• Горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось Ox), так как $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ и $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$.

3. Описание графика (гиперболы): График функции $y = \frac{1}{x}$ состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных квадрантах и симметричных относительно начала координат.

• Ветвь в I квадранте ($x>0$): Кривая проходит через точку $(1, 1)$. При приближении $x$ к нулю справа ($x \to 0+$), $y$ стремится к $+\infty$ (ветвь уходит вверх вдоль оси Oy). При увеличении $x$ ($x \to \infty$), $y$ стремится к $0$, оставаясь положительным (ветвь приближается к оси Ox справа).
• Ветвь в III квадранте ($x<0$): Кривая проходит через точку $(-1, -1)$. При приближении $x$ к нулю слева ($x \to 0-$), $y$ стремится к $-\infty$ (ветвь уходит вниз вдоль оси Oy). При $x \to -\infty$, $y$ стремится к $0$, оставаясь отрицательным (ветвь приближается к оси Ox слева).

Для начертания графика нужно нарисовать оси координат Ox и Oy. Затем, пунктирными линиями можно обозначить асимптоты (которые в данном случае совпадают с осями). Далее, отметив несколько точек, например, $(1, 1), (2, 0.5), (0.5, 2)$ для первой ветви и $(-1, -1), (-2, -0.5), (-0.5, -2)$ для второй, можно плавно соединить их, получив две ветви гиперболы, которые не пересекают оси и стремятся к ним на бесконечности. Правая ветвь графика наглядно демонстрирует выполнение требуемого условия.

Другие примеры функций:

• $y = \frac{1}{x^2}$ (график похож, но обе ветви в верхней полуплоскости).
• $y = e^{-x}$ (экспоненциальное затухание, график проходит через точку $(0,1)$ и быстро приближается к оси Ox справа).
• $y = \frac{\sin(x)}{x}$ (затухающие колебания вокруг оси Ox).

Ответ: Примером функции, для которой выполняется соотношение $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$, является $y = \frac{1}{x}$. Её график — гипербола, одна из ветвей которой расположена в первой координатной четверти и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox) при $x \to \infty$.

$x \to \infty$

4. Начертите график какой-либо функции $y = f(x)$, для которой выполняются соотношения $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$, причём функция:

а) монотонна;

б) немонотонна.

Условия задачи определяют поведение функции на бесконечности, то есть наличие у нее горизонтальных асимптот.

Соотношение $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 3 $ означает, что график функции $y=f(x)$ неограниченно приближается к горизонтальной прямой (асимптоте) $y=3$ при $x$, стремящемся к минус бесконечности.

Соотношение $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -2 $ означает, что график функции неограниченно приближается к горизонтальной прямой (асимптоте) $y=-2$ при $x$, стремящемся к плюс бесконечности.

а) монотонна

Монотонная функция — это функция, которая на всей своей области определения либо только убывает (или не возрастает), либо только возрастает (или не убывает).

Поскольку предел функции при $x \to -\infty$ равен 3, а при $x \to +\infty$ равен -2, и при этом $3 > -2$, то для того, чтобы функция была монотонной, она должна быть монотонно убывающей. График такой функции будет плавно переходить от асимптоты $y=3$ к асимптоте $y=-2$, не имея при этом участков возрастания (локальных минимумов и максимумов).

Ниже представлен пример графика такой функции. Пунктирными линиями обозначены горизонтальные асимптоты $y=3$ и $y=-2$.

Ответ: График монотонно убывающей функции, которая при $x \to -\infty$ стремится к 3, а при $x \to +\infty$ стремится к -2, представлен выше.

б) немонотонна

Немонотонная функция — это функция, которая на своей области определения имеет как участки возрастания, так и участки убывания. На графике это проявляется в виде "колебаний" — наличия локальных максимумов и минимумов.

При этом общие требования к поведению на бесконечности остаются теми же: функция должна стремиться к $y=3$ слева и к $y=-2$ справа. Между этими "конечными точками" график может вести себя немонотонно. Например, функция может сначала убывать, достичь локального минимума, затем возрастать до локального максимума, и после этого снова убывать, стремясь к своей асимптоте $y=-2$. Важно отметить, что график функции может пересекать свои асимптоты.

Ниже представлен пример графика такой функции.

Ответ: График немонотонной функции, имеющей локальный минимум и максимум, но удовлетворяющей заданным предельным условиям, представлен выше.

ция. а) монотонна, б) немонотонна.

5. Известно, что график функции $y = f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту $y = 1$ при $x \to -\infty$ и $y = 7$ при $x \to +\infty$. Чему равен:

а) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$;

б) $\lim_{x \to +\infty} f(x)?$

Данная задача основана на определении горизонтальной асимптоты функции.

Прямая $y = L$ называется горизонтальной асимптотой графика функции $y = f(x)$, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \quad \text{или} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L $$

Это означает, что при $x$, стремящемся к бесконечности (положительной или отрицательной), значения функции $f(x)$ стремятся к постоянному числу $L$.

а) Найти $ \lim_{x \to -\infty} f(x) $

Из условия задачи известно, что график функции $y = f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту $y = 1$ при $x \to -\infty$. Согласно определению горизонтальной асимптоты, это означает, что предел функции $f(x)$ при стремлении $x$ к минус бесконечности равен 1.

$$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 $$

Ответ: 1

б) Найти $ \lim_{x \to +\infty} f(x) $

Аналогично, из условия известно, что график функции $y = f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту $y = 7$ при $x \to +\infty$. По определению, это означает, что предел функции $f(x)$ при стремлении $x$ к плюс бесконечности равен 7.

$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 7 $$

Ответ: 7

6. Сформулируйте теорему об арифметических операциях над пределами функций на бесконечности.

Теорема об арифметических операциях над пределами функций на бесконечности устанавливает правила для нахождения предела суммы, разности, произведения и частного двух функций, имеющих конечные пределы.

Формулировка:

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в некоторой окрестности бесконечности (т.е. на интервале вида $(a, +\infty)$ или $(-\infty, a)$) и пусть существуют их конечные пределы при $x \to \infty$:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$

$\lim_{x \to \infty} g(x) = B$

где $A$ и $B$ — действительные числа. Тогда справедливы следующие утверждения.

(Примечание: все правила верны как для $x \to \infty$, так и для односторонних пределов на бесконечности $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$)

Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме их пределов.

$\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} g(x) = A + B$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x)) = A + B$.

Предел разности

Предел разности двух функций равен разности их пределов.

$\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) - \lim_{x \to \infty} g(x) = A - B$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x)) = A - B$.

Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

$\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) \cdot \lim_{x \to \infty} g(x) = A \cdot B$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x)) = A \cdot B$.

Вынесение постоянного множителя

Как следствие из правила о пределе произведения, постоянный множитель можно выносить за знак предела.

$\lim_{x \to \infty} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to \infty} f(x) = c \cdot A$, где $c$ - постоянная.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (c \cdot f(x)) = c \cdot A$.

Предел частного

Предел частного (отношения) двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел функции в знаменателе не равен нулю.

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} f(x)}{\lim_{x \to \infty} g(x)} = \frac{A}{B}$

Данное правило справедливо только при выполнении условия $B = \lim_{x \to \infty} g(x) \neq 0$.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$, при условии $B \neq 0$.

7. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке.

Непрерывность функции в точке — это одно из фундаментальных понятий математического анализа. Интуитивно, функция непрерывна в точке, если её график в этой точке не имеет разрывов, то есть его можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Существует несколько строгих эквивалентных определений этого понятия.

Определение через предел (по Коши)

Это наиболее часто используемое определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если предел функции при $x$, стремящемся к $x_0$, существует и равен значению функции в самой точке $x_0$.

Это можно записать одним равенством:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Данное равенство подразумевает выполнение трех условий:

1. Функция определена в точке $x_0$ (то есть $f(x_0)$ существует).

2. Предел функции в точке $x_0$ существует (левый и правый пределы равны).

3. Значение предела равно значению функции в этой точке.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, функция имеет разрыв в точке $x_0$.

Определение на языке $\epsilon-\delta$ (эпсилон-дельта, по Коши)

Это более формальное и строгое определение. Функция $f(x)$, определенная в некоторой окрестности точки $x_0$, называется непрерывной в точке $x_0$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ (эпсилон) найдется такое положительное число $\delta$ (дельта), что для всех $x$ из области определения, удовлетворяющих условию $|x - x_0| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.

На языке математической логики это определение выглядит так:

$\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ : \ \forall x \in D(f), \ |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$

Геометрически это означает, что мы можем сделать значения функции $f(x)$ сколь угодно близкими к $f(x_0)$, выбирая значения $x$ в достаточно малой окрестности точки $x_0$.

Определение на языке последовательностей (по Гейне)

Это определение связывает понятие непрерывности с поведением последовательностей. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любой последовательности аргументов $\{x_n\}$, сходящейся к $x_0$, соответствующая последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ сходится к $f(x_0)$.

Формальная запись:

Для любой последовательности $\{x_n\}$ такой, что $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$, выполняется равенство $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)$.

Все три приведенных определения эквивалентны.

Ответ: Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если она определена в этой точке и её предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Эквивалентное определение (на языке $\epsilon-\delta$): для любого $\epsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для всех $x$ из области определения функции, удовлетворяющих неравенству $|x - x_0| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.

8. В каком случае функцию называют непрерывной на числовом промежутке?

Функцию называют непрерывной на числовом промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Однако определение непрерывности на промежутке зависит от типа самого промежутка (интервал, отрезок, полуинтервал).

Для начала вспомним, что функция $y=f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если выполняются три условия:

1. Функция определена в точке $x_0$, то есть существует $f(x_0)$.
2. Существует предел функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
3. Этот предел равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Интуитивно, непрерывная функция — это функция, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Непрерывность на интервале (a, b)

Функция $y=f(x)$ называется непрерывной на интервале $(a, b)$, если она непрерывна в каждой точке $x_0$ этого интервала. То есть для любого $x_0 \in (a, b)$ выполняется равенство:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Непрерывность на отрезке [a, b]

Это наиболее полный случай, который требует рассмотрения поведения функции на концах промежутка.

Функция $y=f(x)$ называется непрерывной на отрезке $[a, b]$, если:

1. Она непрерывна на интервале $(a, b)$.
2. Она непрерывна справа в точке $a$. Это означает, что предел функции при стремлении $x$ к $a$ справа равен значению функции в этой точке:

   $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$

3. Она непрерывна слева в точке $b$. Это означает, что предел функции при стремлении $x$ к $b$ слева равен значению функции в этой точке:

   $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$

Использование односторонних пределов на концах отрезка необходимо, так как с другой стороны от точек $a$ и $b$ функция может быть не определена.

Непрерывность на полуинтервалах [a, b) и (a, b]

По аналогии, функция непрерывна на полуинтервале $[a, b)$, если она непрерывна на интервале $(a, b)$ и непрерывна справа в точке $a$.

Функция непрерывна на полуинтервале $(a, b]$, если она непрерывна на интервале $(a, b)$ и непрерывна слева в точке $b$.

Ответ: Функцию называют непрерывной на числовом промежутке, если она непрерывна в каждой внутренней точке этого промежутка, а также непрерывна справа на левой границе и непрерывна слева на правой границе, если эти границы включены в промежуток.

9. Сформулируйте теорему об арифметических операциях над пределами функций в точке.

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в некоторой проколотой окрестности точки $a$ (то есть в некотором интервале, содержащем точку $a$, за исключением, возможно, самой точки $a$), и существуют их конечные пределы в этой точке:

$\lim_{x \to a} f(x) = A$

$\lim_{x \to a} g(x) = B$

где $A$ и $B$ — действительные числа.

Тогда существуют пределы суммы, разности, произведения и частного этих функций в точке $a$, и они вычисляются по следующим правилам:

Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме их пределов.
Ответ: $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = A + B$.

Предел разности
Предел разности двух функций равен разности их пределов.
Ответ: $\lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) = A - B$.

Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.
Ответ: $\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = A \cdot B$.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Ответ: $\lim_{x \to a} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to a} f(x) = c \cdot A$, где $c$ — любая константа.

Предел частного
Предел частного (отношения) двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел функции в знаменателе не равен нулю.
Ответ: $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} = \frac{A}{B}$, при условии, что $B \neq 0$.

10. Дана функция $y = f(x), x \in X$. Что такое приращение аргумента; как оно обозначается? Что такое приращение функции, как оно обозначается?

Что такое приращение аргумента; как оно обозначается?

Пусть дана функция $y = f(x)$. Аргументом этой функции является независимая переменная $x$. Если мы изменяем значение аргумента с некоторого начального значения $x_0$ до нового значения $x_1$, то разность между этими значениями и называется приращением аргумента.

Приращение аргумента принято обозначать греческой буквой $\Delta$ (дельта) перед символом аргумента. Таким образом, приращение аргумента обозначается как $\Delta x$.

Формула для вычисления приращения аргумента:
$\Delta x = x_1 - x_0$

Из этой формулы можно выразить новое значение аргумента через начальное и приращение: $x_1 = x_0 + \Delta x$.

Ответ: Приращение аргумента — это разность между новым и первоначальным значениями независимой переменной. Обозначается оно как $\Delta x$ и вычисляется по формуле $\Delta x = x_1 - x_0$.

Что такое приращение функции, как оно обозначается?

Когда аргумент $x$ получает приращение $\Delta x$ и изменяется от $x_0$ до $x_1 = x_0 + \Delta x$, значение функции $y = f(x)$ также изменяется. Начальное значение функции было $y_0 = f(x_0)$, а новое значение стало $y_1 = f(x_1) = f(x_0 + \Delta x)$.

Приращением функции называется разность между новым и первоначальным значениями функции, которая соответствует данному приращению аргумента.

Приращение функции обозначается аналогично приращению аргумента — с помощью символа $\Delta$. Обозначения: $\Delta y$ или $\Delta f$.

Формула для вычисления приращения функции:
$\Delta y = y_1 - y_0 = f(x_1) - f(x_0)$

Если подставить выражение для $x_1$, то формула примет вид, связывающий приращение функции с приращением аргумента:
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Ответ: Приращение функции — это разность между новым и первоначальным значениями функции, вызванная изменением (приращением) аргумента. Обозначается оно как $\Delta y$ или $\Delta f$ и вычисляется по формуле $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

11. Придумайте для произвольно выбранной вами функции пример вычисления приращения аргумента и соответствующего приращения функции.

Для демонстрации выберем произвольную функцию. Пусть это будет квадратичная функция $f(x) = x^2 + 5$.

Приращение аргумента, обозначаемое как $\Delta x$, — это разность между новым ($x_1$) и начальным ($x_0$) значением аргумента. Оно показывает, на сколько изменилась независимая переменная. Формула для вычисления:
$\Delta x = x_1 - x_0$

Приращение функции, обозначаемое как $\Delta y$ или $\Delta f(x)$, — это изменение значения функции, которое соответствует приращению аргумента $\Delta x$. Оно вычисляется как разность между новым и начальным значениями функции:
$\Delta y = f(x_1) - f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Проведем вычисления для конкретного примера. Пусть для функции $f(x) = x^2 + 5$ начальное значение аргумента $x_0 = 1$, а конечное значение $x_1 = 3$.

Сначала найдем приращение аргумента $\Delta x$:
$\Delta x = x_1 - x_0 = 3 - 1 = 2$.

Теперь вычислим значения функции в начальной и конечной точках:
Начальное значение функции: $f(x_0) = f(1) = 1^2 + 5 = 1 + 5 = 6$.
Конечное значение функции: $f(x_1) = f(3) = 3^2 + 5 = 9 + 5 = 14$.

Зная значения функции, найдем соответствующее приращение функции $\Delta y$:
$\Delta y = f(x_1) - f(x_0) = 14 - 6 = 8$.

Таким образом, при изменении аргумента $x$ на 2 (с 1 до 3), значение функции $f(x) = x^2 + 5$ увеличилось на 8 (с 6 до 14).

Ответ: Для функции $f(x) = x^2 + 5$ при изменении аргумента от $x_0=1$ до $x_1=3$ приращение аргумента равно $\Delta x = 2$, а соответствующее приращение функции равно $\Delta y = 8$.